2026届高考物理一轮复习讲义：专题21 开普勒定律和万有引力定律

专题21 开普勒定律和万有引力定律 学习目标 熟练理解并掌握开普勒三大定律的概念，融汇贯通所涉及到的题型；熟练掌握万有引力和重力的关系，并利用万有引力求解天体的质量和密度，计算星球表面的重力加速度等问题；关注当下热点，尤其是涉及到中国的航天航空事业，它是每年高考常考的热点。 知识点梳理 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比是一个常量．其表达式为＝k，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星绕中心天体公转的周期，k是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量． 二、万有引力定律的建立 1．太阳与行星间引力的推导 (1)太阳对行星的引力：F∝. (2)行星对太阳的引力：F′∝. (3)总结F与F′的关系：F＝F′∝. 2．万有引力定律 (1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比． (2)表达式：F＝G. (3)万有引力定律中的距离r，是指两个质点之间的距离；对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离． 三、引力常量 1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引力常量． 2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为G＝6.672(10)×10－11 N·m2/kg2，通常可以取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 三、计算天体的质量 1．称量地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力． (2)关系式：mg＝G. (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力． (2)关系式：＝mr. (3)结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r就可以计算出太阳的质量． 真题汇编 1．（2024•海南）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为，轨道高度与月球半径之比为，引力常量为，则月球的平均密度为　　 A． B． C． D． 2．（2024•山东）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为。已知地球同步卫星的轨道半径为，则月球与地球质量之比可表示为　　 A． B． C． D． 3．（2024•新课标）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的　　 A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 4．（2024•选择性）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响）。设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体的倍。的值为　　 A． B． C． D． 5．（2023•新课标）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约的物资进入距离地面约（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资　　 A．质量比静止在地面上时小 B．所受合力比静止在地面上时小 C．所受地球引力比静止在地面上时大 D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大 考点1：开普勒行星运动定律 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 例题精讲： 【例1】（2025•江苏模拟）如图所示，在竖直平面内固定有光滑椭圆轨道，两焦点、在轴上关于坐标原点对称。一质量为的小球套在轨道上从最低点开始以初速度运动，恰能通过最高点，重力加速度为。则 A．球的加速度沿竖直方向的位置共有三处 B．小球通过轨道最右端时加速度为 C．小球与点的连线在相同时间内扫过的面积相等 D．初速度稍增大，轨道与球间作用力为零的位置会下移 【例2】（2025•怀化开学）土星的公转周期约为30年，把地球到太阳的平均距离作为1天文单位，把土星、地球绕太阳的运动均看作圆周运动，则土星到太阳的平均距离约为　　 A．5天文单位 B．10天文单位 C．15天文单位 D．20天文单位 【例3】（2025•鞍山模拟）地球绕太阳的公转轨道是一个接近正圆的椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。近似图如下图，，是地球公转轨道的两个焦点，甲和乙位置为短轴和轨道的交点。由于地球公转速度大小不是恒定的，地球由甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半。下列说法正确的是 A．太阳的位置在焦点处 B．甲位置时地球的公转速度为全年最大 C．夏至时地球的公转速度比冬至时小 D．地球在夏至和冬至时的公转加速度大小相等 考点2：万有引力定律 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 例题精讲： 【例4】（2025•越秀区开学）2024年5月3日，搭载嫦娥六号的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射场发射成功。若嫦娥六号在地面时，地球对它的万有引力大小为（地球可视为球体）；则当嫦娥六号上升到离地面距离为地球半径的3倍时，地球对它的万有引力大小为　　 A． B． C． D． 【例5】（2025春•濠江区校级期末）牛顿发现了万有引力定律，并给出了物体间引力大小表达式，但没有给出引力常量的具体取值。如图为人类第一次在实验室测量出万有引力常量的实验示意图，通过此套装置比较精确测量出了万有引力常量数值，引力常量的精确测定对深入研究物体之间相互作用规律更有意义。以下说法正确的是　　 A．伽利略首先测量出了万有引力常量数值 B．图示引力常量测量实验中运用了放大法 C．图示实验中的大球对小球引力大于小球对大球引力 D．根据万有引力定律表达式，当时，物体间引力将趋于无穷大 【例6】（2025春•郑州期末）有一半径为的匀质球体，距离球心处有一质点。现从球体中心挖去半径为的球体，如图所示。则挖去前后质点受到万有引力的比值为　　 A． B． C． D． 考点3：万有引力定律的应用 估算天体质量和密度的两种方法 (1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G ＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 例题精讲： 【例7】（2025•济南开学）2025年5月29日，我国研制的“天问二号”探测器发射升空，我国首次小行星探测与采样返回之旅正式开启。某同学提出探究方案，通过探测器绕小行星做匀速圆周运动，可测得小行星的质量，测出经过时间通过的弧长，弧长所对应的角度为（弧度制），已知引力常量为，不考虑其他天体对卫星的引力，则小行星的质量为　　 A． B． C． D． 【例8】（2025•蚌埠开学）天文学家发现一颗距离我们100光年的行星，它围绕恒星公转的半径与地球绕太阳公转的半径之比为，周期之比为，则恒星的质量与太阳的质量之比为　　 A． B． C． D． 【例9】（2025•宁夏校级开学）若某航天器绕靠近土星表面的圆形轨道做匀速圆周运动，运行圈历时，视土星为均匀球体，引力常量为，不考虑土星自转。则土星的平均密度为　　 A． B． C． D． 课后提优练习 一．选择题（共14小题） 1．（2025•河南开学）如图所示，地球的公转轨道接近圆，彗星的公转轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。已知哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986年，76，下列说法正确的是（　　） A．哈雷彗星绕太阳转动的周期约为86年 B．哈雷彗星下次大约在2070年出现在近日点 C．目前（2025年）哈雷彗星与太阳间距正在增大 D．目前（2025年）哈雷彗星的线速度正在增大 2．（2025春•遵义期末）迄今为止，人类发射的人造地球卫星仍在轨运行的约有1万颗，其中有两颗卫星甲和乙，运行周期相等。卫星甲做匀速圆周运动且轨道半径为r，卫星乙沿椭圆轨道运动，且近地点到地心的距离为0.5r。则卫星乙远地点到地心的距离为（　　） A． B．1.5r C． D．2r 3．（2025•黑河开学）在天文学上，春分、夏至、秋分、冬至将一年分为春、夏、秋、冬四季。如图所示，从地球绕太阳的运动规律分析，下列判断正确的是（　　） A．在冬至日前后，地球绕太阳的运行速率较小 B．在夏至日前后，地球绕太阳的运行速率较小 C．春夏两季比秋冬两季时间短 D．春夏两季和秋冬两季时间相同 4．（2025春•贵州期末）2025年5月29日，我国成功发射“天问二号”探测器，开启对小行星2016HO3的采样任务。如图所示，探测器在接近小行星时，需从初始圆轨道通过转移轨道进入目标圆轨道。已知初始圆轨道半径为r1、周期为T1，目标圆轨道半径为r2、周期为T2，且r2＜r1。以下说法正确的是（　　） A．T2＜T1 B．T2＞T1 C．探测器在转移轨道的速率恒定 D．探测器在转移轨道的近地点速率最小 5．（2025•辽宁开学）如图所示，有一质量分布均匀、半径为R的球形物体，一可视为质点的小球放在距离球形物体球心O点3R处。在小球和物体球心的连线上紧靠球形物体的最左侧挖走一半径为的球，则剩余的阴影部分对小球的万有引力与挖走前球形物体对小球万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•南昌开学）如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，则由“冬至”到“夏至”的过程，关于地球的运动，下列说法正确的是（　　） A．速率变小，加速度变小 B．速率变小，加速度变大 C．速率变大，加速度变小 D．速率变大，加速度变大 7．（2025春•新乡期末）海王星是太阳系八大行星之一，其绕太阳公转一周大约需要165年，轨道呈椭圆形。海王星绕太阳逆时针运行的轨迹如图所示，若只考虑太阳对海王星的万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星与太阳间的距离小于地球与太阳间的距离 B．海王星在D点的加速度与在B点的加速度相同 C．海王星从C点运动到D点所用的时间大于从A点运动到B点所用的时间 D．海王星在从D点运动到A点的过程中速度增大，故其与太阳的连线在相同时间内扫过的面积增大 8．（2025•成都校级模拟）为了验证地球对月球的引力F1与地球对地球表面物体的引力F2遵循相同的规律，牛顿进行了著名的“月—地检验”。月球绕地球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为g，月球轨道半径为r，地球半径为R，忽略地球自转影响。关于“月地检验”，下列说法中正确的是（　　） A．计算a需要测量引力常量G B．“月地检验”需要测量F1、F2的大小 C．g可以通过自由落体实验测量得出 D．若计算得，则验证了F1、F2遵循相同的规律 9．（2025春•河南期末）万有引力定律公式是结合行星运动的规律以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（　　） A．该公式只适用于天体之间引力的计算 B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大 C．若m1、m2、r同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍 D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式计算 10．（2025春•鹤壁期末）万有引力定律公式是结合行星运动的规律以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（　　） A．该公式只适用于天体之间引力的计算 B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大 C．若m1、m2、r同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍 D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式计算 11．（2025•唐县校级开学）下列关于万有引力的说法正确的是（　　） A．两个物体间的万有引力大小与两个物体的质量之和成正比 B．两个物体间的万有引力大小与两个物体间的距离成正比 C．两个物体间的万有引力大小与两个物体间的距离成反比 D．引力常量具有普适性，适用于任何两个物体间的万有引力计算 12．（2025•越秀区开学）2024年5月3日，搭载嫦娥六号的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射场发射成功。若嫦娥六号在地面时，地球对它的万有引力大小为F（地球可视为球体）；则当嫦娥六号上升到离地面距离为地球半径的3倍时，地球对它的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 13．（2025春•大通县期末）关于天体运动、行星运动的三大定律，下列说法正确的是（　　） A．八大行星中离太阳最近的水星比离太阳最远的海王星围绕太阳转一周的时间长 B．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动 C．伽利略用“月—地检验”证实了地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力 D．开普勒第三定律中，围绕同一中心天体运行的所有行星（或卫星），k值不相等 14．（2025•娄底模拟）现代天文观测表明，地月距离在缓慢增加。以下说法正确的是（　　） A．地球与月亮之间没有相互作用的力 B．地球与月亮之间有引力 C．地球与月亮之间的力与距离无关 D．地球与月亮之间的力随距离增大而增大 二．多选题（共1小题） （多选）15．（2025•重庆开学）如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，当卫星Ⅰ、Ⅱ间相距最远时开始计时，它们之间的距离随时间变化的关系图像如图乙所示，已知卫星Ⅰ的周期为T，轨道半径为R，下列说法正确的是（　　） A．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最近距离为3R B．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最远距离为4R C．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为1：3 D．卫星Ⅰ、Ⅱ的线速度大小之比为2：1 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 开普勒定律和万有引力定律 学习目标 熟练理解并掌握开普勒三大定律的概念，融汇贯通所涉及到的题型；熟练掌握万有引力和重力的关系，并利用万有引力求解天体的质量和密度，计算星球表面的重力加速度等问题；关注当下热点，尤其是涉及到中国的航天航空事业，它是每年高考常考的热点。 知识点梳理 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比是一个常量．其表达式为＝k，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星绕中心天体公转的周期，k是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量． 二、万有引力定律的建立 1．太阳与行星间引力的推导 (1)太阳对行星的引力：F∝. (2)行星对太阳的引力：F′∝. (3)总结F与F′的关系：F＝F′∝. 2．万有引力定律 (1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比． (2)表达式：F＝G. (3)万有引力定律中的距离r，是指两个质点之间的距离；对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离． 三、引力常量 1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引力常量． 2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为G＝6.672(10)×10－11 N·m2/kg2，通常可以取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 三、计算天体的质量 1．称量地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力． (2)关系式：mg＝G. (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力． (2)关系式：＝mr. (3)结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r就可以计算出太阳的质量． 真题汇编 1．（2024•海南）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为，轨道高度与月球半径之比为，引力常量为，则月球的平均密度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据牛顿第二定律和质量密度公式列式联立推导。 【解答】解：设月球半径为，则卫星高度，根据牛顿第二定律 又 联立解得，故错误，正确。 故选：。 2．（2024•山东）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为。已知地球同步卫星的轨道半径为，则月球与地球质量之比可表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据万有引力定律、匀速圆周运动公式和开普勒第三定律求解作答。 【解答】解：对地球同步卫星，万有引力提供向心力 化简得 根据开普勒第三定律 解得 可见，开普勒第三定律中的值与中心天体有关； 地球质量 同理对“鹊桥二号”中继星，可得月球质量 根据题意 因此解得月球与地球质量之比 综上分析，故错误，正确。 故选：。 3．（2024•新课标）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的　　 A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【答案】 【分析】地球（行星）绕太阳（红矮星）做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据向心力公式求解作答。 【解答】解：设日地距离为，则行星的轨道 地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 行星绕红矮星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 联立解得 即这颗红矮星的质量约为太阳质量的0.1倍。 综上分析，故错误，正确。 故选：。 4．（2024•选择性）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响）。设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体的倍。的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据星球（地球或某天体）表面上，万有引力等于重力求解星球质量与表面重力加速度的关系；根据密度公式和体积公式求解星球的密度；根据弹簧振子的振幅关系求解重力加速度的关系，然后完成作答。 【解答】解：在地球上，忽略地球自转，万有引力等于重力 在某天体表面上，忽略天体自转，万有引力等于重力 解得 在地球上，设弹簧振子的振幅为，在平衡位置时有： 在某天体上，设弹簧振子的振幅为，在平衡位置时有： 可得： 地球的密度 某天体的密度 联立解得 综上分析，故错误，正确。 故选：。 5．（2023•新课标）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约的物资进入距离地面约（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资　　 A．质量比静止在地面上时小 B．所受合力比静止在地面上时小 C．所受地球引力比静止在地面上时大 D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大 【答案】 【分析】质量是物体的固有属性，物资进入太空后质量不发生变化；根据物体运动状态比较合力大小；根据万有引力公式比较引力大小；地球自转角速度等于同步卫星做匀速圆周运动的角速度，同步卫星和物资均绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力比较角速度大小。 【解答】解：、物资在空间站中的质量与静止在地面上的质量相等，故错误； 、若不考虑地球自转，物资静止在地面时，所受合力为零。物资在空间站中做匀速圆周运动，物资所受的合力为地球对物资的万有引力，则物体在空间站中所受合力比静止在地面上时大，故错误； 、由万有引力公式得： 物资在空间站中离地球球心的距离大于在地面上时离球心的距离，则所受地球引力比静止在地面上时小，故错误； 、地球自转角速度等于同步卫星做匀速圆周运动的角速度，同步卫星和物资均绕地球做匀速圆周运动，万有引力等于向心力： 解得： 由题意可知，空间站运动轨道离地面高度小于地球同步卫星与地面的距离，则空间站做圆周运动的半径小于同步卫星做圆周运动的半径，角速度大于同步卫星的角速度，则空间站做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大，故正确。 故选：。 考点1：开普勒行星运动定律 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 例题精讲： 【例1】（2025•江苏模拟）如图所示，在竖直平面内固定有光滑椭圆轨道，两焦点、在轴上关于坐标原点对称。一质量为的小球套在轨道上从最低点开始以初速度运动，恰能通过最高点，重力加速度为。则 A．球的加速度沿竖直方向的位置共有三处 B．小球通过轨道最右端时加速度为 C．小球与点的连线在相同时间内扫过的面积相等 D．初速度稍增大，轨道与球间作用力为零的位置会下移 【答案】 【分析】根据椭圆轨道的运动特点，分析小球在不同位置的加速度方向、大小，以及开普勒定律的适用条件、作用力为零的位置变化等，逐一判断选项。 【解答】解：、在最低点加速度沿着竖直方向，最高点加速度为零，从最低点向最高点运动的过程中，到达轴正半轴之前，弹力指向圆环的内侧，也就是小球对圆环的内侧存在压力，由于恰好通过最高点，在最高点时，圆环外侧对小球存在弹力，从轴正半轴到最高点的过程中，存在某个位置，弹力为零，加速度竖直向下；利用对称性，在第二象限同样存在一点，加速度竖直向下，故正确； 、小球通过轨道最右端时，受重力（竖直向下）和轨道弹力（水平向左）。根据牛顿第二定律，合力为重力与弹力的矢量和，其大小大于重力，因此加速度大于，故错误； 、根据开普勒第二定律可知，只在引力的作用下，行星与中心天体连线在相等时间内扫过的面积相等，类比开普勒第二定律，小球沿椭圆运行时，还要受到轨道对小球的弹力，因此小球与点的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故错误； 、设小球在点不受椭圆轨道作用力，如图所示 将运动倒过来可以看成从最高点由静止向下运动，在最高点弹力指向圆弧外侧，到达时弹力为零，通过点后弹力指向圆弧内侧，如果给小球一个较小的初速度，这样到达点时，由于所需向心力比第一次大，已经对圆弧内侧存在压力了，不存在压力的位置在该点的上方，故错误。 故选：。 【例2】（2025•怀化开学）土星的公转周期约为30年，把地球到太阳的平均距离作为1天文单位，把土星、地球绕太阳的运动均看作圆周运动，则土星到太阳的平均距离约为　　 A．5天文单位 B．10天文单位 C．15天文单位 D．20天文单位 【答案】 【分析】根据开普勒第三定律进行分析解答。 【解答】解：根据开普勒第三定律有，解得天文单位，故正确，错误。 故选：。 【例3】（2025•鞍山模拟）地球绕太阳的公转轨道是一个接近正圆的椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。近似图如下图，，是地球公转轨道的两个焦点，甲和乙位置为短轴和轨道的交点。由于地球公转速度大小不是恒定的，地球由甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半。下列说法正确的是 A．太阳的位置在焦点处 B．甲位置时地球的公转速度为全年最大 C．夏至时地球的公转速度比冬至时小 D．地球在夏至和冬至时的公转加速度大小相等 【答案】 【分析】开普勒第一定律表明行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点； 第二定律指出行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，即离太阳越近速度越大，越远速度越小；万有引力定律可分析不同位置的引力大小，进而分析加速度大小。 【解答】解：、根据题意可知，地球由甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半，根据开普勒第二定律，从冬至日到夏至日过程，地球从近日点到远日点，故太阳的位置在焦点处，在冬至日时地球的公转速度为全年最大，在夏至日时地球的公转速度为全年最小，故错误，正确； 、根据题意可知，设太阳的质量为，地球的质量为，为日地之间的距离，万有引力提供天体运动的向心力，根据牛顿第二定律有 解得 由于地球在夏至日和冬至日时的不同，故地球在这两个位置的公转加速度大小不相等，故错误。 故选：。 考点2：万有引力定律 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 例题精讲： 【例4】（2025•越秀区开学）2024年5月3日，搭载嫦娥六号的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射场发射成功。若嫦娥六号在地面时，地球对它的万有引力大小为（地球可视为球体）；则当嫦娥六号上升到离地面距离为地球半径的3倍时，地球对它的万有引力大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据万有引力定律进行分析解答。 【解答】解：由题意，根据万有引力定律有，当“嫦娥六号”上升到离地面距离等于地球半径3倍时，地球对它的万有引力大小为，故正确，错误。 故选：。 【例5】（2025春•濠江区校级期末）牛顿发现了万有引力定律，并给出了物体间引力大小表达式，但没有给出引力常量的具体取值。如图为人类第一次在实验室测量出万有引力常量的实验示意图，通过此套装置比较精确测量出了万有引力常量数值，引力常量的精确测定对深入研究物体之间相互作用规律更有意义。以下说法正确的是　　 A．伽利略首先测量出了万有引力常量数值 B．图示引力常量测量实验中运用了放大法 C．图示实验中的大球对小球引力大于小球对大球引力 D．根据万有引力定律表达式，当时，物体间引力将趋于无穷大 【答案】 【分析】根据卡文迪什，放大法和牛顿第三定律以及万有引力定律的适用条件进行分析解答。 【解答】解：．卡文迪什首先测量出了万有引力常量数值，故错误； ．图示万有引力常量测量实验中运用了放大法，故正确； ．根据牛顿第三定律，图示实验中的大球对小球引力等于小球对大球引力，故错误； ．根据万有引力定律表达式，当时，万有引力的公式不再适应，不能得出物体间引力趋于无穷大，故错误。 故选：。 【例6】（2025春•郑州期末）有一半径为的匀质球体，距离球心处有一质点。现从球体中心挖去半径为的球体，如图所示。则挖去前后质点受到万有引力的比值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】通过计算挖去部分和原球体对质点的万有引力，进而得到挖去前后的引力比值。 【解答】解：由万有引力定律：，匀质球体质量， 挖去前原球体对质点（与球心间距 的引力， 挖去部分球心与质点间距也为，根据万有引力定律，挖去部分对质点的引力 ，则挖去前后质点受到万有引力的比值为， 故错误，正确； 故选：。 考点3：万有引力定律的应用 估算天体质量和密度的两种方法 (1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G ＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 例题精讲： 【例7】（2025•济南开学）2025年5月29日，我国研制的“天问二号”探测器发射升空，我国首次小行星探测与采样返回之旅正式开启。某同学提出探究方案，通过探测器绕小行星做匀速圆周运动，可测得小行星的质量，测出经过时间通过的弧长，弧长所对应的角度为（弧度制），已知引力常量为，不考虑其他天体对卫星的引力，则小行星的质量为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周运动的特点，可得到线速度、角速度、轨道半径的大小；根据万有引力提供向心力，可得到小行星的质量。 【解答】解：根据圆周运动的特点，可得到线速度：，角速度：，轨道半径的大小：； 根据万有引力提供向心力：，解得小行星的质量：，故错误，正确。 故选：。 【例8】（2025•蚌埠开学）天文学家发现一颗距离我们100光年的行星，它围绕恒星公转的半径与地球绕太阳公转的半径之比为，周期之比为，则恒星的质量与太阳的质量之比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据万有引力提供向心力得到中心天体质量的表达式，然后求出恒星的质量与太阳的质量之比。 【解答】解：根据万有引力提供向心力，则有：，解得。 则恒星的质量与太阳的质量之比为：，故正确、错误。 故选：。 【例9】（2025•宁夏校级开学）若某航天器绕靠近土星表面的圆形轨道做匀速圆周运动，运行圈历时，视土星为均匀球体，引力常量为，不考虑土星自转。则土星的平均密度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据万有引力提供向心力、体积公式和密度公式进行分析解答。 【解答】解：航天器绕土星表面附近做圆周运动，轨道半径近似等于土星半径。运行圈历时，则，万有引力提供向心力，又土星体积，密度公式，联立解得，故正确，错误。 故选：。 课后提优练习 一．选择题（共14小题） 1．（2025•河南开学）如图所示，地球的公转轨道接近圆，彗星的公转轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。已知哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986年，76，下列说法正确的是（　　） A．哈雷彗星绕太阳转动的周期约为86年 B．哈雷彗星下次大约在2070年出现在近日点 C．目前（2025年）哈雷彗星与太阳间距正在增大 D．目前（2025年）哈雷彗星的线速度正在增大 【解答】解：AB.根据开普勒第三定律，代入数据可得哈雷彗星的运行周期T＝76年，哈雷彗星的下次出现在近日点的时间为（1986+76）年＝2062年，故AB错误； CD.年，根据（1986+38）年＝2024年可知，2025年彗星在靠近太阳，线速度增大，故C错误，D正确。 故选：D。 2．（2025春•遵义期末）迄今为止，人类发射的人造地球卫星仍在轨运行的约有1万颗，其中有两颗卫星甲和乙，运行周期相等。卫星甲做匀速圆周运动且轨道半径为r，卫星乙沿椭圆轨道运动，且近地点到地心的距离为0.5r。则卫星乙远地点到地心的距离为（　　） A． B．1.5r C． D．2r 【解答】解：根据开普勒第三定律，卫星的轨道周期平方与半长轴立方成正比，由于卫星甲和乙的运行周期相等，故 对于卫星甲，其轨道半径r，即为半长轴a甲，故r＝a甲 乙卫星的近地点到地心距离为0.5r，根据半长轴的概念可知， 根据开普勒第三定律，卫星乙的半长轴也为 r，即 代入数据解得d＝1.5r 故B正确，ACD错误。 故选：B。 3．（2025•黑河开学）在天文学上，春分、夏至、秋分、冬至将一年分为春、夏、秋、冬四季。如图所示，从地球绕太阳的运动规律分析，下列判断正确的是（　　） A．在冬至日前后，地球绕太阳的运行速率较小 B．在夏至日前后，地球绕太阳的运行速率较小 C．春夏两季比秋冬两季时间短 D．春夏两季和秋冬两季时间相同 【解答】解：AB．根据开普勒第二定律，近日点太阳与地球间连线短，在冬至日前后，地球绕太阳的运行速率较大，远日点太阳与地球间连线长，在夏至日前后，地球绕太阳的运行速率较小，故A错误，B正确； CD．由上述可知，春夏两季比秋冬两季时间长，故CD错误。 故选：B。 4．（2025春•贵州期末）2025年5月29日，我国成功发射“天问二号”探测器，开启对小行星2016HO3的采样任务。如图所示，探测器在接近小行星时，需从初始圆轨道通过转移轨道进入目标圆轨道。已知初始圆轨道半径为r1、周期为T1，目标圆轨道半径为r2、周期为T2，且r2＜r1。以下说法正确的是（　　） A．T2＜T1 B．T2＞T1 C．探测器在转移轨道的速率恒定 D．探测器在转移轨道的近地点速率最小 【解答】解：AB、已知初始圆轨道半径为r1、周期为T1，目标圆轨道半径为r2、周期为T2，且r2＜r1，根据开普勒第三定律得T2＜T1，故A正确，B错误； CD、根据开普勒第二定律可知在探测器在转移轨道上速度不断变化，在转移轨道的近地点速率最大，远地点速率最小，故CD错误。 故选：A。 5．（2025•辽宁开学）如图所示，有一质量分布均匀、半径为R的球形物体，一可视为质点的小球放在距离球形物体球心O点3R处。在小球和物体球心的连线上紧靠球形物体的最左侧挖走一半径为的球，则剩余的阴影部分对小球的万有引力与挖走前球形物体对小球万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设球原来质量为M，挖走部分质量为M′，则 整个大球对小球的万有引力大小为 挖走部分对小球的万有引力大小为 解得 所以剩余的阴影部分对小球的万有引力大小为 所以，故C正确，ABD错误。 故选：C。 6．（2025•南昌开学）如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，则由“冬至”到“夏至”的过程，关于地球的运动，下列说法正确的是（　　） A．速率变小，加速度变小 B．速率变小，加速度变大 C．速率变大，加速度变小 D．速率变大，加速度变大 【解答】解：根据开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。假设在相等的时间Δt内，地球与太阳的连线扫过的扇形面积为S，则，因为从“冬至”到“夏至”的过程中，地球与太阳的距离r逐渐增大，所以v必然减小，即地球的速率逐渐变小。 地球绕太阳运动，太阳对地球的引力提供地球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有ma，可得加速度a＝G。因为从“冬至”到“夏至”的过程中，地球与太阳的距离r逐渐增大，所以加速度a逐渐变小。 综上，从“冬至”到“夏至”的过程中，地球的速率变小，加速度变小，故A正确，BCD错误。 故选：A。 7．（2025春•新乡期末）海王星是太阳系八大行星之一，其绕太阳公转一周大约需要165年，轨道呈椭圆形。海王星绕太阳逆时针运行的轨迹如图所示，若只考虑太阳对海王星的万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星与太阳间的距离小于地球与太阳间的距离 B．海王星在D点的加速度与在B点的加速度相同 C．海王星从C点运动到D点所用的时间大于从A点运动到B点所用的时间 D．海王星在从D点运动到A点的过程中速度增大，故其与太阳的连线在相同时间内扫过的面积增大 【解答】解：A．海王星的运行周期更大，由开普勒第三定律有，则海王星到太阳的距离更大，故A错误； B．海王星在D点和B点受到太阳的万有引力均指向太阳，加速度方向与引力方向相同，则加速度方向也指向太阳，加速度方向不一样，故B错误； CD．根据开普勒第二定律可知，海王星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，海王星离太阳越近，线速度越大，海王星在AB段的平均速率大于在CD段的平均速率，则tCD＞tAB，故C正确，D错误。 故选：C。 8．（2025•成都校级模拟）为了验证地球对月球的引力F1与地球对地球表面物体的引力F2遵循相同的规律，牛顿进行了著名的“月—地检验”。月球绕地球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为g，月球轨道半径为r，地球半径为R，忽略地球自转影响。关于“月地检验”，下列说法中正确的是（　　） A．计算a需要测量引力常量G B．“月地检验”需要测量F1、F2的大小 C．g可以通过自由落体实验测量得出 D．若计算得，则验证了F1、F2遵循相同的规律 【解答】解：A.计算月球绕地球运动的向心加速度a不需要测量引力常量G，可以根据向心加速度公式计算，故A错误； B.月地检验”验证的是引力与距离平方成反比的关系，而非直接测量引力大小，故B错误； C.地表重力加速度可以通过自由落体实验测量得出，故C正确； D.验证引力与距离平方成反比的关系，应该计算与是否相等，故D错误。 故选：C。 9．（2025春•河南期末）万有引力定律公式是结合行星运动的规律以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（　　） A．该公式只适用于天体之间引力的计算 B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大 C．若m1、m2、r同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍 D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式计算 【解答】解：A．万有引力定律不仅适用于天体之间引力的计算，也适用于任何两个可以看成质点的有质量的物体的引力计算体，故A错误； B．当两物体距离趋近于零时，无法视为质点，公式不再适用，故B错误； C．若m1、m2、r同时加倍，代入公式可得 可知两物体间的万有引力不变，故C错误； D．万有引力普遍存在，但公式仅适用于质点或均匀球体，其他情况可能无法直接计算，故D正确。 故选：D。 10．（2025春•鹤壁期末）万有引力定律公式是结合行星运动的规律以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（　　） A．该公式只适用于天体之间引力的计算 B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大 C．若m1、m2、r同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍 D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式计算 【解答】解：A．万有引力定律不仅适用于天体之间引力的计算，也适用于任何两个可以看成质点的有质量的物体的引力计算体，故A错误； B．当两物体距离趋近于零时，无法视为质点，公式不再适用，故B错误； C．若m1、m2、r同时加倍，代入万有引力公式可得，所以两物体间的万有引力不变，故C错误； D．万有引力普遍存在，但万有引力定律公式仅适用于质点或均匀球体，其他情况可能无法直接计算，故D正确。 故选：D。 11．（2025•唐县校级开学）下列关于万有引力的说法正确的是（　　） A．两个物体间的万有引力大小与两个物体的质量之和成正比 B．两个物体间的万有引力大小与两个物体间的距离成正比 C．两个物体间的万有引力大小与两个物体间的距离成反比 D．引力常量具有普适性，适用于任何两个物体间的万有引力计算 【解答】解：ABC.根据F，可知F与两质点质量乘积成正比，与距离的二次方程反比，故ABC错误； D.根据万有引力定律的理解，引力常量具有普适性，适用于任何两个物体间的万有引力计算，故D正确。 故选：D。 12．（2025•越秀区开学）2024年5月3日，搭载嫦娥六号的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射场发射成功。若嫦娥六号在地面时，地球对它的万有引力大小为F（地球可视为球体）；则当嫦娥六号上升到离地面距离为地球半径的3倍时，地球对它的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，根据万有引力定律有，当“嫦娥六号”上升到离地面距离等于地球半径3倍时，地球对它的万有引力大小为，故A正确，BCD错误。 故选：A。 13．（2025春•大通县期末）关于天体运动、行星运动的三大定律，下列说法正确的是（　　） A．八大行星中离太阳最近的水星比离太阳最远的海王星围绕太阳转一周的时间长 B．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动 C．伽利略用“月—地检验”证实了地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力 D．开普勒第三定律中，围绕同一中心天体运行的所有行星（或卫星），k值不相等 【解答】解：A、根据开普勒第三定律可知，八大行星中离太阳最近的水星比离太阳最远的海王星围绕太阳转一周的时间短，故A错误； B、开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，故B正确； C、牛顿用“月—地检验”证实了地球对月球的引力和地球对地球表面上物体的引力是同种性质的力，故C错误； D、开普勒第三定律中，围绕同一中心天体运行的所有行星（或卫星），k值是相等的，故D错误。 故选：B。 14．（2025•娄底模拟）现代天文观测表明，地月距离在缓慢增加。以下说法正确的是（　　） A．地球与月亮之间没有相互作用的力 B．地球与月亮之间有引力 C．地球与月亮之间的力与距离无关 D．地球与月亮之间的力随距离增大而增大 【解答】解：AB．地月距离在缓慢增加，但地球与月亮之间依然有引力，故A错误，B正确； CD．地月距离在缓慢增加，根据万有引力定律有可知，随着地球与月亮之间的力随距离增大而减小，故CD错误； 故选：B。 二．多选题（共1小题） （多选）15．（2025•重庆开学）如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，当卫星Ⅰ、Ⅱ间相距最远时开始计时，它们之间的距离随时间变化的关系图像如图乙所示，已知卫星Ⅰ的周期为T，轨道半径为R，下列说法正确的是（　　） A．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最近距离为3R B．卫星Ⅰ、Ⅱ间的最远距离为4R C．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为1：3 D．卫星Ⅰ、Ⅱ的线速度大小之比为2：1 【解答】解：ABC．设卫星Ⅰ的角速度为ω，则 设卫星Ⅱ的周期为T2，轨道半径为R2，角速度为ω2，则 取卫星Ⅱ为参考系，由于绕行方向相反，则卫星Ⅰ相对于卫星Ⅱ的角速度为 根据题图乙可知，两卫星从相距最远到相距最近有 解得T2＝8T 根据开普勒第三定律有 解得R2＝4R 卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为R：R2＝1：4 卫星Ⅰ、Ⅱ间的最近距离为xmin＝R2﹣R＝3R 卫星Ⅰ、Ⅱ间的最远距离为xmax＝R2+R＝5R 故A正确，BC错误； D．根据匀速圆周运动的规律，卫星Ⅰ的线速度 卫星Ⅱ的线速度 可知卫星Ⅰ、Ⅱ的线速度大小之比为v：v2＝2：1 故D正确。 故选：AD。 2 学科网（北京）股份有限公司 $