2.3.3颠倒直线的距离公式、2.3.4两平行线间的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕点到直线的距离公式及平行直线间距离公式展开，通过设问“如何求点到直线的距离”导入，从斜率垂直关系推导入手，延伸出代数法、向量法等多种探究思路，构建从公式推导到应用的学习支架。 其亮点在于通过多思路推导（如设而不求、向量投影）培养数学思维的推理能力，结合例题（如三角形面积计算）和巩固训练渗透应用意识，帮助学生理解公式本质，教师可借助丰富素材实施启发式教学，提升课堂效率。

2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式 已知点 ，直线 ，如何求点 到直线 的距离？ 课堂探究 2 及直线 的斜率 由 得 直线 的斜率为 的方程为 因此直线 解方程组 得 课堂探究 即Q点的坐标为 点 之间的距离 （ 到 的距离）为 逐项整理 课堂探究 的距离为 到直线 由此我们得到点 1.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 2.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 注意 课堂探究 请问除了以上思路，我们还可以怎么求距离？ 课堂探究 下面设A≠0,B ≠0,我们进一步探求点到直线的距离公式: [思路二] 利用两点间距离公式，设而不求: P y x o l Q 点P到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足(如右图).因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|,就可以得到点P到直线l的距离. 课堂探究 [思路二] 利用两点间距离公式，设而不求: 将(1)(2)两边平方后相加，得 得 课堂探究 [思路三] 构造直角三角形求其高. [思路四] 向量法求点到直线的距离. 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离? 课堂探究 课堂探究 P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离： （1）分子是P点坐标代入直线方程； （2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根 类似于勾股定理求斜边的长 (3) 运用此公式时要注意直线方程必须是一般式, 若给出其他形式,应先化成一般式再用公式. (4) 当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然 适用. 课堂探究 1、P（2，-3）到直线x+2y+4= 0的距离是_______ 2、点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3、点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 课堂探究 0 解：如图，设 边上的高为 ，则 y 1 2 3 4 x O -1 1 2 3 AB边上的高 h 就是点 C 到AB的距离． 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1,0）, 求三角形ABC的面积。 例6、 典例精讲 即 点 到 的距离 因此 边所在直线的方程为： 典例精讲 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1,0）, 求三角形ABC的面积。 例6、 y 1 2 3 4 x O -1 1 2 3 1、已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程. 解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意; 当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时, 设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0, 由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得 即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0. 巩固训练 (方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点. 当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB, 即x+3y-5=0. 当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1. 综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0. 巩固训练 1、已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程. 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离 思考：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 新知探究 根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。 课堂探究 1. 定义：夹在两平行线间的__________的长. 公垂线段 2. 图示： 3. 求法：转化为点到直线的距离. 两条平行直线间的距离 公式解析 课堂探究 例7、求平行线2x-7y-8=0与6x-21y-1=0的距离. 在l1上任取一点，例如A(4,0) A到l2的距离等于l1与l2的距离 y O x l2: 6x-21y-1=0 l1:2x-7y-8=0 A(4,0) 两平行线间的距离处处相等 直线到直线的距离转化为点到直线的距离 典例精讲 例8、 O y x l2 l1 P Q 证明: 典例精讲 例8、 典例精讲 l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0 用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。 两平行线间的距离公式 O y x l2 l1 P Q 课堂探究 1、两平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的 距离是______; 2、两条平行线3x+4y=10和6x+8y=0的 距离是____. 2 13 2 巩固训练 3、求与直线l：5x-12y+6=0平行，且到l的距离是2的直线的方程． 解：设所求直线为5x-12y+C=0, 所求直线为5x-12y-20=0或5x-12+32=0． 即|6-C|=26,解得C=-20或32． 巩固训练 4、两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？ 巩固训练 4、两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？ 变式:上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程． 巩固训练 5、求点P(－5,13)关于直线l:2x－3y－3＝0的对称点P′的坐标. 解　设P′的坐标为(x0，y0)， 即2x0－3y0－55＝0. ① 巩固训练 5、求点P(－5,13)关于直线l:2x－3y－3＝0的对称点P′的坐标. 即3x0＋2y0－11＝0. ② ∴P′的坐标为(11，－11). 巩固训练 (2)直线关于直线的对称的求法 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1、P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程. 反思感悟 d＝. ,解得k=-, 此时l的方程为y-2=-(x+1), 直线l的斜率为kl,则kAB=kl==-, 此时直线l的方程为y-2=-(x+1), 解析：如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝eq \r(6＋32＋2＋12)＝3eq \r(10). 故所求的d的变化范围为(0,3eq \r(10)]． 解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直． 而kAB＝eq \f(2－－1,6－－3)＝eq \f(1,3)，∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 则线段PP′中点Q的坐标为(，). ∵Q在直线l上，∴2·－3·－3＝0， 又∵PP′⊥l，∴kl·kPP′＝－1，即·＝－1， 联立①②解得 (1)点关于直线对称的点的求法 点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组求得. $