第三单元小数除法·单元复习篇（单元复习讲义）【五大篇章】-2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元小数除法·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检RQ 基础层 £1.小数除法基本计算法则，熟练的进行小数除法列竖式计算。 £2.商与被除数的大小关系，小数与商的规律变化。 £3.循环小数的认识和小数的分类。 £4.小数除法基本应用题。 进阶层 £1.小数四则混合运算和小数除法简便计算。 £2.用计算器探索规律，并解决问题。 £3.循环小数与周期问题。 £4.小数除法混合应用题及其他复合应用题。 拓展层 £1.涉及奥数思维的复杂小数除法简便计算。 £2.复杂的典型问题。 我的疑难问题 1. 2. 3. 【知识点一】小数除法基本计算法则 1. 除数是整数的小数除法的计算法则。 （1）按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的（小数点）对齐，如果被除数的整数部分比除数小，不够商1，要在商的个位上写（0），然后点上小数点，再继续除； （2）如果除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数的后面添（0）再继续除。 2. 一个数除以小数。 （1）先移动除数的小数点，使它变成（整数）； （2）除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足)； （3）然后按除数是整数的小数除法进行计算。 【知识点二】商的近似数 1. 在实际应用中，商的小数位数太多或除不尽时，可以用“四舍五入”法保留一定的小数位数取商的近似数。 2. 求商的近似数时，通常要计算到比要保留的小数位数多一位，再将最后一位“四舍五入”。 3. 求商的近似数时，有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0表示精确度，不能去掉。 【知识点三】商与被除数的大小关系 1. 一个数（0除外）除以大于1的数， 商（小于）被除数。 2. 一个数（0除外）除以（小于1）的数（0除外）， 商大于被除数。 3. 一个数（0除外）除以1，商等于被除数。 【知识点四】循环小数 1. 循环小数的认识。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 2. 循环节。 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的（循环节）。 3. 循环小数的简便记法。 方法一： 用省略号表示，要写出两个完整的循环节，后面标上省略号。 例如：0.3636……；1.587587…… 方法二： 只写出一组循环节，然后在循环节的（首位和末位）数字上面各记一个圆点，循环点最多只点两个。 4. 循环小数的大小比较。 比较有循环小数的一组数的大小时，通常先将简写的循环小数还原，并写成比有限小数多一位的形式或将两个循环小数还原到能比较出大小的形式，再进行比较。 5. 有限小数。 小数部分的位数（有限）的小数。 6. 无限小数。 小数部分的位数是（无限）的小数，叫做无限小数，其中无限小数可以分为（无限不循环小数和循环小数两种）。 7. 一个小数不是有限小数，就是无限小数。 8. 小数的分类。 【知识点五】用计算器探索规律 用计算器探索规律的一般过程：用计算器计算→观察比较，发现规律→根据规律直接写出算式得数。 【知识点六】小数除法解决问题 1. 进一法。 在我们生活中遇到类似剩下的不足1份又不能舍去的情况时，我们不论要保留的数位后一位上的数是否满5，都往前一位（进一），这就是“进一法”。 2. 去尾法。 在生活中遇到类似这种剩下的不足1份，无论保留数位后一位数是否满5，都去掉，这就是“去尾法”。 注意： 用“进一法”取近似数，当除到商是整数且还有余数时，可以不再继续除，直接用商的整数部分加1即可。 用“去尾法”取近似数，当除到商是整数且还有余数时，可以不再继续除，直接取商的整数部分即可。 3. 分段计费问题中的反求问题。 （1）确定范围。 （2）做除法求解。 【预测考点01】小数除法基本计算（口算） 直接写出得数。                                          【答案】0.04；7.9；50；0.52；12 5.4；12；1.2；2；3 【解析】略 【对应练习】 1．直接写出得数。                                         【答案】1；6；0.3；0.7；0.24 10.7；0.8；5；0.72；20 【详解】略 2．直接写得数。 2.3×12＝            3.04×1.2＝            0.78÷0.2＝            2.34÷18＝            （5.7＋4.3）×0＝ 1.04×25＝          1.25×0.8＝             14.4÷2.4＝            17.28÷3.6＝            4＋1.5×2＝ 【答案】27.6；3.648；3.9；0.13；0 26；1；6；4.8；7 【解析】略 【预测考点02】小数除法列竖式计算（笔算） 列竖式计算。 3.5÷0.14＝             15.6÷13＝              1.55÷3.9≈      （结果保留两位小数） 【答案】25；1.2；0.40 【分析】除数是整数的小数的除法：先按照整数除法的法则去除；商的小数点要和被除数的小数点对齐；除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，再继续除。 除数是小数的小数除法：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），按照除数是整数的除法进行计算。保留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位（千分位），再利用“四舍五入法”求出近似数即可。 【详解】3.5÷0.14＝25             15.6÷13＝1.2              1.55÷3.9≈0.40                       【对应练习】 1．列竖式计算。（带☆的要验算） 43.5÷29＝            2.41÷0.7≈     （得数保留两位小数）       ☆11.1÷0.37＝ 【答案】1.5；3.44；30 【分析】计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法的方法计算，被除数的整数部分不够除时，要在被除数的个位数字上面商0，对齐被除数的小数点点上商的小数点，再继续往下除；计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，商保留两位小数时，要除到小数点后面第三位，再根据四舍五入取近似值，据此解答。 【详解】43.5÷29＝1.5            2.41÷0.7≈3.44     （得数保留两位小数）       ☆11.1÷0.37＝30                         验算： 2．列竖式计算下面各题。（带△的需验算，带*的商保留两位小数，商是循环小数的要简写） △6.16÷3.5        *1.55÷3.92        40÷44 【答案】；； 【分析】根据小数除法的计算方法计算即可。除法算式的验算，可以用商乘除数，比较所得的积是否等于被除数。简写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。保留两位小数要除到小数点后面第三位。据此解答。 【详解】△    验算   * 【预测考点03】商与被除数的大小关系 在括号里填上“＞”“”或“＜”。 ( )5.8     ( )2.87     ( )33.5   0.66( )     6.8( )     ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。一个数（0除外）除以1，等于它自己。第一行据此解答。 把循环小数的循环节展开，化成普通小数的形式，再比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的小数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大，这样依次比较，直到比较出大小为止。据此解答第二行。 【详解】因为，所以＜5.8 因为，所以＝2.87 因为，所以＞33.5 因为0.＝0.666…，所以0.66＜ 因为6.＝6.3838…，所以6.8＞ 因为2.5＝2.5999…，2.＝2.5959…，2.5999…＞2.5959…，所以＞ 【对应练习】 1．在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 0.55×0.9( )0.55                36÷0.01( )36×100 7.32÷0.2( )7.32×0.2        ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于这个数； 分别计算出36÷0.01和36×100的结果进行比较； 一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于这个数；一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于这个数； 先多写出循环节，再从高位比起，循环节是56，即＝0.5656…，循环节是6，即＝0.566…；十分位和百分位都相同，再比较千分位，0.5656…千分位是5，0.566…千分位是6，5＜6，据此判断。 【详解】因为0.9＜1，所以0.55×0.9＜0.55； 36÷0.01＝3600，36×100＝3600，所以36÷0.01＝36×100； 因为0.2＜1，可得7.32÷0.2＞7.32，7.32×0.2＜7.32，所以7.32÷0.2＞7.32×0.2； ＝0.5656…，＝0.566…，十分位和百分位都相同，再比较千分位，0.5656…千分位是5，0.566…千分位是6，5＜6，所以0.5656…＜0.566…即＜。 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.28×5.6( )3.28         0.27×3.12( )3.12 2.15÷0.1( )2.15×10         4.36÷0.04( )4.36 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＞ 【分析】一个非0数乘小于1的数，积小于原数；一个非0数乘大于1的数，积大于原数。 一个非0数除以小于1的数，商大于被除数；一个非0数除以大于1的数，商小于被除数。 计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 一个数乘10、100、1000…，只要把小数点向右移动一位、两位、三位……即可。据此解答。 【详解】5.6＞1，则3.28×5.6＞3.28；         0.27＜1，则0.27×3.12＜3.12； 2.15÷0.1＝21.5，2.15×10＝21.5，则2.15÷0.1＝2.15×10；         0.04＜1，则4.36÷0.04＞4.36 【预测考点04】循环小数的认识 5.0292929……用循环小数的简写形式表示为( )，它的循环节是( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 29 5.03 【分析】（1）在循环小数中，找出依次重复出现的数字，即循环节，在循环节的首位和末尾数字上方各加一个点，即可写出循环小数的简写形式； （2）循环节是小数部分依次不断重复出现的数字，即可求出循环节； （3）保留两位小数需要看千分位，再根据“四舍五入”法，即可求出保留两位小数的形式。 【详解】（1）循环小数5.0292929…中，重复出现的数字是“29”，所以简写形式为 ； （2）这里的循环节是29； （3）千分位是9，要向百分位进1，所以5.0292929…保留两位小数约是5.03。 【对应练习】 1．8.3252525…用简便写法是( )，它的循环节是( )，保留两位小数是( )。 【答案】 25 8.33 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节，写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，最后根据“四舍五入”结果保留两位小数，据此解答。 【详解】分析可知，8.3252525…用简便写法是，它的循环节是25，千分位上是5，需向前一位进一，所以保留两位小数是8.33。 2．在6.81，6.，6.8，6.81212，6.71286…这5个数中，无限小数有( )个，最小的数是( )，最大的数是( )。 【答案】 3 6.71286… 6. 【分析】无限小数：是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大据此分析解答。 【详解】无限小数有：6.、6.8、6.71286…共3个 在6.81，6.，6.8，6.81212，6.71286…这5个数中，无限小数有3个，最小的数是6.71286…，最大的数是。 【预测考点05】小数除法基本应用题 1．一只大熊猫一周（7天）能吃掉竹叶21.14kg。这只大熊猫平均每天吃掉竹叶多少千克？ 【答案】21.14÷7＝3.02（kg） 【分析】由题意知，大熊猫吃的时间为7天，总重量为21.14kg，则每天吃的重量=总重量÷总时间。 【详解】21.14÷7=3.02（kg） 答：这只大熊猫平均每天吃掉竹叶3.02kg。 2．小明家到学校的距离是3.6千米，他步行0.8小时到达，平均每小时走多少千米？ 【答案】4.5千米 【分析】由题意可知，路程是3.6千米，时间是0.8小时，根据“速度＝路程÷时间”即可求得小明每小时走的路程，据此解答。 【详解】3.6÷0.8＝4.5（千米/小时） 答：平均每小时走4.5千米。 3．“阅兵”包括“阅兵式”和“分列式”。在“分列式”中，受检阅的距离就是天安门前东西两个华表之间相隔的96m，走这段距离的要求如下：士兵每步长必须为0.75m，总用时为68秒。士兵在这段距离中，走一步大约需要多少秒？（得数保留两位小数） 【答案】68÷（96÷0.75）≈0.53（秒） 【分析】先根据“总路程÷每步长=步数”求出士兵在受检阅的这段距离中总共要走的步数，再用总时长除以总步数计算出走一步的时长。根据“四舍五入”法保留两位小数即可。 【详解】 答：走一步大约需要0.53秒。 【对应练习】 1．一个粮食合作社用4台同样的收割机，3小时收割了4.2公顷小麦，1台收割机每小时可以收割小麦多少公顷？ 【答案】0.35公项 【分析】收割的总面积÷用的时间＝4台同样的收割机每小时收割面积，4台同样的收割机每小时收割面积÷4＝1台收割机每小时可以收割的面积，据此列式解答。 【详解】4.2÷3÷4 ＝1.4÷4 ＝0.35（公顷） 答：1台收割机每小时可以收割小麦0.35公顷。 2．政务大厅长12.8米，宽9.6米，用每块0.64平方米的方砖铺地。需要多少块这样的方砖？ 【答案】192块 【分析】根据长方形面积＝长×宽，求出政务大厅的面积，政务大厅的面积÷每块方砖的面积＝需要的方砖数量，据此列式解答。 【详解】12.8×9.6÷0.64 ＝122.88÷0.64 ＝192（块） 答：需要192块这样的方砖。 3．果园共收沙糖桔5吨，用载重1.2吨的小货车运送，至少要运几次才能全部运完？ 【答案】5次 【分析】求至少要运几次才能全部运完，就是求5吨里面有几个1.2吨，根据除法的意义，用5除以1.2即可解答。结果要用“进一法”取整数值。 【详解】5÷1.2≈5（次） 答：至少要运5次才能全部运完。 【预测考点01】小数四则混合运算和小数除法简便计算 下面各题怎样简便就怎样算。 0.27＋99×0.27            9.9×3.4          1.2×[（6.7－5.2）÷0.25]          5.2＋3.8÷（1.9－1.7） 【答案】27；33.66； 7.2；24.2 【分析】0.27＋99×0.27，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：0.27×（99＋1），再进行计算。 9.9×3.4，把9.9化为10－0.1，原式化为：（10－0.1）×3.4，再根据乘法分配律，原式化为：10×3.4－0.1×3.4，再进行计算。 1.2×[（6.7－5.2）÷0.25]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的乘法。 5.2＋3.8÷（1.9－1.7），先计算括号里的减法，再计算除法，最后计算加法。 【详解】0.27＋99×0.27 ＝0.27×1＋99×0.27 ＝0.27×（1＋99） ＝0.27×100 ＝27 9.9×3.4 ＝（10－0.1）×3.4 ＝10×3.4－0.1×3.4 ＝34－0.34 ＝33.66 1.2×[（6.7－5.2）÷0.25] ＝1.2×[1.5÷0.25] ＝1.2×6 ＝7.2 5.2＋3.8÷（1.9－1.7） ＝5.2＋3.8÷0.2 ＝5.2＋19 ＝24.2 【对应练习】 1．计算下面各题，能简算的要简算。 （1）125×0.4×2.5×0.8   （2）75÷1.25÷8 （3）18×100.2－18×0.2   （4）7.6＋2.4÷（1.5×2） 【答案】（1）100；（2）7.5 （3）1800；（4）8.4 【分析】（1）运用乘法交换律和乘法结合律，把原式转化为（125×0.8）×（0.4×2.5）简算； （2）根据除法的性质，把原式转化为75÷（1.25×8）简算； （3）运用乘法分配律a×c－b×c＝（a－b）×c，把原式转化为18×（100.2－0.2）简算； （4）先算括号里面的乘法，再算括号外面的除法，最后算括号外面的加法。 【详解】（1）125×0.4×2.5×0.8 ＝125×0.8×0.4×2.5 ＝（125×0.8）×（0.4×2.5） ＝100×1 ＝100    （2）75÷1.25÷8 ＝75÷（1.25×8） ＝75÷10 ＝7.5 （3）18×100.2－18×0.2 ＝18×（100.2－0.2） ＝18×100 ＝1800    （4）7.6＋2.4÷（1.5×2） ＝7.6＋2.4÷3 ＝7.6＋0.8 ＝8.4 2．脱式计算，能简算的要简算。 （1）                （2） （3）        （4） 【答案】（1）9；（2）9； （3）37.8；（4）194.5 【分析】（1）先把7.2转化为0.8×9，再利用乘法结合律简便计算； （2）利用乘法分配律简便计算； （3）利用除法性质简便计算； （4）按照四则混合运算的顺序，先计算括号里面的小数减法，再计算括号外面的小数除法，最后计算小数加法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝9 （2） ＝ ＝ ＝9 （3） ＝ ＝ ＝37.8 （4） ＝ ＝ ＝194.5 【预测考点02】用计算器探索规律，归纳法解决问题 填一填。 (1)用计算器计算下面各题，并找出规律。 99.99×1＝( ) 99.99×2＝( ) 99.99×3＝( ) (2)用发现的规律直接写出下面各题的得数。 99.99×4＝( ) 99.99×5＝( ) 99.99×6＝( ) (3)你能用发现的规律接着写出几道像这样的算式吗？试一试。 【答案】(1) 99.99 199.98 299.97 (2) 399.96 499.95 599.94 (3) 99.99×7＝699.93 99.99×8＝799.92 99.99×9＝899.91 【分析】（1）用计算器计算出各题的得数，发现规律：第一个因数都是99.99，第二个因数从上到下分别是1、2、3，第二、三个算式的得数都是两位小数共5个数字，首、末两个数字之和是9，其它3个数字都是9，从第二个算式开始，积的首位数字都比第二个因数小1。 （2）用发现的规律直接写出各题的得数，如：99.99×4的第二个因数是4，则得数的第一个数是4－1＝3，则最后一个数字是9－3＝6，中间的3个数字都是9，由此可知积是399.96；同理得出其它两个算式的积。 （3）用发现的规律接着写出几道像这样的算式即可。 【详解】（1）99.99×1＝99.99 99.99×2＝199.98 99.99×3＝299.97 （2）99.99×4＝399.96 99.99×5＝499.95 99.99×6＝599.94 （3）用发现的规律接着写出几道像这样的算式，如： 99.99×7＝699.93 99.99×8＝799.92 99.99×9＝899.91 （答案不唯一） 【对应练习】 1．先用计算器计算前3题，再直接写出后面各题的得数。 1.08÷0.9＝( ) 11.07÷0.9＝( ) 111.06÷0.9＝( ) 1111.05÷0.9＝( ) 11111.04÷0.9＝( ) ( )÷0.9＝123456.7 1111111.02÷0.9＝( ) ( )÷0.9＝( ) 【答案】 1.2 12.3 123.4 1234.5 12345.6 111111.03 1234567.8 11111111.01 12345678.9 【分析】通过计算器计算，1.08÷0.9＝1.2，11.07÷0.9＝12.3，111.06÷0.9＝123.4；观察这三个算式，发现商都是一位小数，被除数的整数部分有几位，商的整数部分也有几位，被除数的整数部分有几个1，则商的整数部分就从1开始排列，排到几；被除数百分位上的数字依次减少1，则商十分位上的数字依次增加1；据此解题。 【详解】1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝1234.5 11111.04÷0.9＝12345.6 111111.03÷0.9＝123456.7 1111111.02÷0.9＝1234567.8 11111111.01÷0.9＝12345678.9（最后这个算式答案不唯一） 【点睛】本题考查了算式的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。 2．观察前3道题的得数，再直接写出后3题的得数。 3×4＝12 3.3×3.4＝11.22 3.33×33.4＝111.222 3.333×333.4＝( ) 3.3333×3333.4＝( ) 3.33333×33333.4＝( ) 【答案】 1111.2222 11111.22222 111111.222222 【分析】从算式中观察得知：第二个算式开始每向下延伸一个算式，第一个因数的小数部分就多一个数字3，第二个因数的整数部分就多一个数字3；积则为小数部分和整数部分分别多一个数字2和1，据此填空。 【详解】则根据分析的规律： 3×4＝12 3.3×3.4＝11.22 3.33×33.4＝111.222 3.333×333.4＝1111.2222 3.3333×3333.4＝11111.22222 3.33333×33333.4＝111111.222222 【预测考点03】循环小数与周期问题 循环小数2.788788…，小数点后第100位上的数字是( )。 【答案】7 【分析】循环节是“788”，共3位。用100除以3求出商和余数，余数是几，就说明最后一个数字是每个循环节中的第几个数字。 【详解】100÷3＝33……1，余数是1。 小数点后第100位上的数字是7。 【对应练习】 1．6÷7的商的小数点后面第1000位数字是( )，小数点后面前1000个数字的和是( )。 【答案】 1 4503 【分析】一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；先计算出6÷7的商，也就是，这个小数的循环节是857142，以这6个数字为一个周期，求小数点后第1000位的数字，则用1000除以6，商表示1000里面有几个周期，如果结果没有余数，则小数点后第1000个数字是一个周期的最后一个数字，如果有余数，余数是几，则小数点后第1000个数字是一个周期的第几个数字。先用8＋5＋7＋1＋4＋2求出一个周期的和，再乘完整的周期个数，然后再加上一个周期里面剩下的前几个数字，即可求出小数点后面前1000个数字和。 【详解】6÷7＝ 1000÷6＝166……4 所以小数部分的第1000位数字是循环节中的第4个数1。 （8＋5＋7＋1＋4＋2）×166＋（8＋5＋7＋1） ＝27×166＋21 ＝4482＋21 ＝4503 6÷7的商用循环小数表示是0.857142，小数点后面前1000个数字的和是4503。 2．1÷14的商的小数点后面第1001位数字是( )，小数点后面前1001个数字的和是( )。 【答案】 2 4496 【分析】计算1÷14＝0.0714285714285…，可以发现，商是一个循环小数，从小数点后第二位开始循环，循环节是714285，循环节长度为6。由于小数点后第一位是0，不参与循环，那么参与循环的数字位数是1001－1＝1000位。用参与循环的位数除以循环节的长度，即1000÷6＝166……4，其中166是循环节的完整循环次数，余数4表示是循环节714285的第4个数字。循环节714285的第4个数字是2，所以小数点后面第1001位数字是2。 先计算一个循环节的数字和：7＋1＋4＋2＋8＋5＝27。完整循环的次数是166次，这部分的和为166×27。再加上循环节中余下的4个数字（循环节的前4个数字7、1、4、2）。 【详解】1÷14＝0.0714285714285… 1001－1＝1000 1000÷6＝166……4 循环节714285的第4个数字是2。 7＋1＋4＋2＋8＋5＝27 166×27＋7＋1＋4＋2 ＝4482＋7＋1＋4＋2 ＝4496 1÷14的商的小数点后面第1001位数字是2，小数点后面前1001个数字的和是4496。 【预测考点04】小数除法混合应用题 1．4台同样的织布机2.5小时织布1.3千米，照这样计算，5台同样的织布机1小时织布多少千米？ 【答案】0.65千米 【分析】用1.3除以2.5再除以4，先求出每台织布机每小时织多少千米的布，所得结果再乘5，计算出5台织布机1小时织多少千米的布。 【详解】1.3÷2.5÷4×5 ＝0.52÷4×5 ＝0.13×5 ＝0.65（千米） 答：5台同样的织布机1小时织布0.65千米。 2．大米4.5元/千克，面粉3.2元/千克。妈妈买大米和面粉共花了66.8元，其中买大米12千克，买面粉多少千克？ 【答案】4千克 【分析】单价×数量＝总价，总钱数－大米单价×质量＝面粉钱数，面粉钱数÷面粉单价＝面粉质量，据此列式解答。 【详解】（66.8－4.5×12）÷3.2 ＝（66.8－54）÷3.2 ＝12.8÷3.2 ＝4（千克） 答：买面粉4千克。 【对应练习】 1．服装厂有一批新布料，先做女士上衣，一共用了540米，剩下的做儿童连衣裙，每件儿童连衣裙用布料1.5米，正好可以做20件。如果这批布料全部都做儿童连衣裙，那么可以做多少件？（用两种方法解答） 【答案】380件 【分析】方法1：先用做女士上衣的布料540米除以每件儿童连衣裙用的布料的米数，求出540米新布料可以做儿童连衣裙的件数，再加上20件即可解答； 方法2：先根据件儿童连衣裙用的布料的米数乘件数，求出做20件儿童连衣裙用的布料的米数，再加上540米，最后再除以每件儿童连衣裙用的布料的米数即可解答。 【详解】方法1：540÷1.5＋20 ＝360＋20 ＝380（件） 答：可以做380件。 方法2：（1.5×20＋540）÷1.5 ＝（30＋540）÷1.5 ＝570÷1.5 ＝380（件） 答：可以做380件。 2．李丽拿7.2元钱买文具，买了4支铅笔，每只0.75元。剩下的钱买美术纸，每张0.5元，可以买多少张美术纸？ 【答案】8张 【分析】先用“0.75×4”计算出买铅笔的总价，再用总钱数减去买铅笔用去的钱，计算出剩下的钱，最后根据数量＝总价÷单价，得到买美术纸的张数。若有余数，剩余的钱不够买美术纸，应舍去。采用“去尾法”解答。 【详解】（7.2－0.75×4）÷0.5 ＝（7.2－3）÷0.5 ＝4.2÷0.5 ≈8（张） 答：可以买8张美术纸。 3．为预防流感，学校每天都要进行消毒。五年级有8个班，平均每个班使用消毒液1.45千克，五年级一共比六年级多使用1.1千克，六年级有6个班。六年级平均每个班使用消毒液多少千克？ 【答案】1.75千克 【分析】先用五年级平均每个班使用的消毒液质量乘五年级的班级数可得到五年级一共使用了多少千克的消毒液，再减去1.1可得到六年级一共使用了多少千克的消毒液，最后除以六年级的班级数即可得到六年级平均每个班使用了多少千克的消毒液。 【详解】1.45×8＝11.6（千克） 11.6－1.1＝10.5（千克） 10.5÷6＝1.75（千克） 答：六年级平均每个班使用消毒液1.75千克。 【预测考点05】分段计费问题 万达商场停车场的收费规定如下：停车2小时内收费3元；停车超过2小时，每多停1小时，额外交费1.5元。一辆汽车在离开停车场时缴费135元。这辆汽车最多停了几小时？ 【答案】90小时 【分析】从题意可知：停车费135元分为两部分：一部分为2小时的费用3元；另一部分为超过2小时的费用。先用135减去3算出超过部分的费用。再用超过部分的费用除以1.5，求出超过2小时的部分是多长时间，在这基础上再加上开始的2小时即可。 【详解】（135－3）÷1.5＋2 ＝132÷1.5＋2 ＝88＋2 ＝90（小时） 答：这辆汽车最多停了90小时。 【对应练习】 1．某市自来水公司为鼓励节约用水，采用按月分段计费的方法收取水费，12吨以内的每吨2.5元，超过12吨的部分，每吨3.8元。 （1）小云家上个月的用水量为12.5吨，应缴水费多少元？ （2）小可家上个月缴水费49元，小可家上个月用水多少吨？ 【答案】（1）31.9元 （2）17吨 【分析】（1）小云家上个月的用水量超过12吨，因此小云家上个月应缴水费由两部分组成：第一部分是12吨以内的，每吨按2.5元计算；第二部分是超过12吨的部分，即（12.5－12＝0.5）吨，按每吨3.8元计算；将这两部分的费用相加即为小云家上个月应缴水费多少元。 （2）用（12×2.5）计算出12吨以内的水费，再用小可家上个月缴水费的钱数减去12吨水的费用，求出超过部分的费用是多少，再用超过部分的水费除以3.8，求出超过了多少吨水；最后加上12，即为求出小可家上个月用水量是多少吨。 【详解】（1）12×2.5＋（12.5－12）×3.8 ＝30＋0.5×3.8 ＝30＋1.9 ＝31.9（元） 答：小云家上个月应缴水费31.9元。 （2）（49－12×2.5）÷3.8＋12 ＝（49－30）÷3.8＋12 ＝19÷3.8＋12 ＝5＋12 ＝17（吨） 答：小可家上个月用水17吨。 2．为了鼓励市民节约用水，某市采用了分段计费的方式，收费标准如下表： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 0~5吨（含5吨） 3.4元/吨 第二阶梯 6~10吨的部分（含10吨） 5.2元/吨 第三阶梯 超过10吨的部分 7.5元/吨 艾文家本月交水费65.5元。淘气说：“艾文家本月用水不超过10吨。”淘气说的对吗？为什么？ 【答案】说的不对，因为艾文家用水量是13吨。 【分析】根据总价＝数量×单价，计算如果用水量是10吨，需要交的水费是多少，判断出艾文家用水量的范围是大于10吨的。用交的65.5元减去10吨水的收费，即为超过10吨的部分需要交的费用，根据数量＝总价÷单价，求出超出10吨部分水的吨数，然后加10吨即可解答。 【详解】 （元） 因为，所以艾文家用水量超过10吨。 （吨） （吨） 因为，所以，淘气说：“艾文家本月用水不超过10吨，不对。 答：淘气说的不对，因为艾文家用水量是13吨。 【预测考点01】复杂的小数四则混合运算和简便计算 巧算。 （2024＋202.4＋20.24＋2.024）÷0.2024         0.999×0.999＋0.001999＋2023 【答案】11110；2024 【分析】（2024＋202.4＋20.24＋2.024）÷0.2024，根据乘法分配律的简便计算方法，用小括号里的数分别除以0.2024，再相加即可； 0.999×0.999＋0.001999＋2023，将0.999×0.999其中一个0.999拆成（1－0.001），利用乘法分配律计算0.999×0.999，再从左往右算。 【详解】（2024＋202.4＋20.24＋2.024）÷0.2024 ＝2024÷0.2024＋202.4÷0.2024＋20.24÷0.2024＋2.024÷0.2024 ＝10000＋1000＋100＋10 ＝11110 0.999×0.999＋0.001999＋2023 ＝（1－0.001）×0.999＋0.001999＋2023 ＝1×0.999－0.001×0.999＋0.001999＋2023 ＝0.999－0.000999＋0.001999＋2023 ＝0.998001＋0.001999＋2023 ＝1＋2023 ＝2024 【点睛】关键是灵活运用运算定律，明确整数乘法的运算定律同样适用于小数。 【对应练习】 用自己喜欢的方法计算。 20.9＋10.5÷（5.5－4.8）                   1÷32÷0.05÷0.25÷0.5 （5.4×4.5×8.1）÷（1.8×2.7×1.5）        17.6×1.3＋6.4÷1.3－0.96×13＋5.3÷1.3 【答案】35.9；5 27；19.4 【分析】20.9＋10.5÷（5.5－4.8），先算减法，再算除法，最后算加法； 1÷32÷0.05÷0.25÷0.5，将32拆成4×8，根据交换律和除法的性质进行简算； （5.4×4.5×8.1）÷（1.8×2.7×1.5），分别用前边括号里的数除以后边括号里得数是整数的数，再将除出来的结果相乘积可。 17.6×1.3＋6.4÷1.3－0.96×13＋5.3÷1.3，利用乘法分配律进行简算。 【详解】20.9＋10.5÷（5.5－4.8） ＝20.9＋10.5÷0.7 ＝20.9＋15 ＝35.9 1÷32÷0.05÷0.25÷0.5 ＝1÷4÷8÷0.05÷0.25÷0.5 ＝1÷（4×0.25）÷（8×0.05×0.5） ＝1÷1÷0.2 ＝5 （5.4×4.5×8.1）÷（1.8×2.7×1.5） ＝（5.4÷1.8）×（4.5÷1.5）×（8.1÷2.7） ＝3×3×3 ＝27 17.6×1.3＋6.4÷1.3－0.96×13＋5.3÷1.3 ＝（1.76－0.96）×13＋（6.4＋5.3）÷1.3 ＝0.8×13＋11.7÷1.3 ＝10.4＋9 ＝19.4 【预测考点02】复杂的典型问题 1．小花和小明一起去商店买文具，小花买了2支记号笔和5本笔记本，花了43.5元，小明买了4支记号笔和7个笔记本，花了70.5元，每个笔记本多少元？ 【答案】5.5元 【分析】小花花的钱数×2＝4支记号笔和10本笔记本的钱数，用小花花的钱数×2－小明花的钱数＝3本笔记本的钱数，3本笔记本的钱数÷3＝每个笔记本的钱数，据此列式解答。 【详解】（43.5×2－70.5）÷（5×2－7） ＝（87－70.5）÷（10－7） ＝16.5÷3 ＝5.5（元） 答：每个笔记本5.5元。 【点睛】关键是想办法将其中一种商品的钱数抵消，根据单价、数量和总价之间的关系进行解答。 2．一位粗心的营业员在结账时发现账面多了31元9角5分，经复查，原来是把一笔钱的小数点点错了一位，记错的这笔钱实际应该是多少元？ 【答案】3.55元 【分析】1元＝10角＝100分，整数部分为“元”的单位，那么小数点后面第一位为“角”的单位，小数点后面第二位为“分”的单位； 小数点位置向右移动引起数的大小变化规律：将一个数扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……，也就是这个数的小数点向右移动一位、两位、三位……，这个数就乘10、100、1000…，反之也成立； 根据题意，知道小数点点错了，又知道比实际营业额多了31元9角5分也就是31.95元，应该是把实际这笔钱的小数点向右点了一位，也就是扩大到了了10倍，将实际的钱数看作1份，则记错的钱数为10份，那么比实际多了（10－1）份，用多的钱数除以（10－1）份，可以计算出1份的钱数，也就是实际的钱数；据此解答。 【详解】31元9角5分＝31.95元 31.95÷（10－1） ＝31.95÷9 ＝3.55（元） 答：记错的这笔钱实际应该是3.55元。 【点睛】掌握差倍问题的计算方法，是解答本题的关键。 【对应练习】 1．李阿姨买3千克橘子和2千克梨共用18.6元，买2千克橘子和3千克梨共用去16.2元。每千克橘子和每千克梨各多少元？ 【答案】橘子：4.68元；梨：2.28元 【分析】买3千克橘子和2千克梨共用18.6元，那么买9千克橘子和6千克梨共用18.6×3元，买2千克橘子和3千克梨共用去16.2元，那么买4千克橘子和6千克梨共用去16.2×2元，所以买（9－4）千克橘子需要（18.6×3－16.2×2）元，用（18.6×3－16.2×2）÷（9－4）求出每千克橘子多少元，继而再求出每千克梨多少元。 【详解】（18.6×3－16.2×2）÷（9－4） ＝（55.8－32.4）÷5 ＝23.4÷5 ＝4.68（元） （18.6－3×4.68）÷2 ＝（18.6－14.04）÷2 ＝4.56÷2 ＝2.28（元） 答：每千克橘子是4.68元，每千克梨是2.28元。 【点睛】本题关键是明确多买5千克橘子多花23.4元，再根据单价＝总价÷数量解答。 2．仓库里有两桶油，甲桶油的质量是乙桶油的2.8倍。如果从甲桶中取出14.4千克油放入乙桶中，那么两桶油的质量就相等了。两桶油原来各有多少千克？ 【答案】甲桶：44.8千克；乙桶：16千克 【分析】从甲桶中取出14.4千克油放入乙桶中，两桶油的质量相等，说明两桶油的质量差是（14.4×2）千克，倍数差是（2.8－1），根据差倍问题的解题方法，较小数＝1倍数＝差÷倍数的差，求出乙桶油的质量，求一个数的几倍是多少用乘法，乙桶油的质量×2.8＝甲桶油的质量。 【详解】14.4×2÷（2.8－1） ＝28.8÷1.8 ＝16（千克） 16×2.8＝44.8（千克） 答：甲桶油原来有44.8千克，乙桶油原来有16千克。 【点睛】关键是掌握差倍问题的解题方法，本题关键是确定差，求出1倍数。 一、填空题。 1．（2024·河北衡水·期末）6÷11的商是一个( )小数，用简便形式写是( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 循环 0.55 【分析】小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】6÷11＝0.5454… 0.5454…＝≈0.55 6÷11的商是一个循环小数，用简便形式写是，保留两位小数约是0.55。 2．（2023·新疆乌鲁木齐·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.67÷0.23( )7.67           36.4÷1.02( )36.4 1.5×0.3( )1.5－0.3           0.75÷0.1( )0.75×10 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＝ 【分析】一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；除以大于1的数，商比原数小；除以0.1和乘10都是将小数点向右移动一位，因此一个数除以0.1等于这个数乘10；不能分析出大小关系的计算出结果再比较。 【详解】0.23＜1，7.67÷0.23＞7.67           1.02＞1，36.4÷1.02＜36.4 1.5×0.3＝0.45、1.5－0.3＝1.2，1.5×0.3＜1.5－0.3           0.75÷0.1＝0.75×10 3．（2024·重庆·期末）根据87×33＝2871，直接写出下面各题的得数。 0.87×3300＝( )   8.7×0.33＝( )   287.1÷0.87＝( ) 【答案】 2871 2.871 330 【分析】0.87×3300，87缩小到原来的，33扩大到原来的100倍，积不变； 8.7×0.33，87缩小到原来的，0.33缩小到原来的，积缩小到原来的；2871÷1000＝2.871； 由87×33＝2871可知，2871÷87＝33；被除数缩小到原来的，除数缩小到原来的，则商扩大到原来的10倍，33×10＝330；据此解答。 【详解】0.87×3300＝2871 8.7×0.33＝2.871 287.1÷0.87＝330 4．（2024·广东汕尾·期末）妈妈买了5卷同样的彩带，一共长36.2米。每卷彩带长多少米？小明用竖式计算如图，请在括号里填上合适的数。 【答案】0.01；0.1 【分析】在7.24这个小数中，4在百分位上。因为百分位的计数单位是0.01，所以4表示4个0.01。在计算过程中，36.2除以5，十位上3除以5不够除，看前两位36除以5，商7余1，这里的1表示1个一，与十分位上的2合起来是12，12在十分位上，十分位的计数单位是0.1，所以12表示12个0.1。 【详解】由分析得：4在百分位上，表示4个0.01；12在十分位上，表示12个0.1。 在括号里填上合适的数，如下： 5．（2023·重庆渝北·期末）把一个小数的小数点向右移动两位后变成256，这个小数原来是( )。 【答案】2.56 【分析】根据题意，可将256的小数点向左移动两位，就可找出原小数是多少。 【详解】256的小数点向左移动两位是2.56， 所以把一个小数的小数点向右移动两位后变成256，这个小数原来是2.56。 6．（2024·重庆·期末）观察算式：1÷x＝0.0909…，2÷x＝0.1818…，3÷x＝0.2727…，照这样的规律，6÷x＝( )，9÷x＝( )。（此空用循环小数表示） 【答案】 0.5454… 【分析】根据题意，可以发现规律：商是循环小数，循环节为两位，且循环节的值是被除数乘9得到的。所以6÷x的循环节部分是6×9＝54，9÷x的循环节部分是9×9＝81；写循环小数时，可在循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点，比如0.8181…可写成。据此解答。 【详解】6×9＝54 9×9＝81 所以照这样的规律，6÷x＝0.5454…，9÷x＝。 二、选择题。 7．（2024·福建莆田·期末）算式8÷2.1的商在约在下图中( )点的位置。 A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】先计算的商，不能整除，所以可以用估算方法判断商的大概位置，因为，除数增大商变小，除数减小商增大，所以的商在3到4之间，再具体计算出商的近似数，据此作答。 【详解】 商且更接近4，所以应该在点C的位置 故答案为：C 8．（2024·湖南长沙·期末）下列各数中，( )是循环小数。 A．5.676767 B．3.14159… C．7.32626… D．1.0260026… 【答案】C 【分析】一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫“循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。 【详解】A．5.676767是有限小数，不是循环小数； B．3.14159…没有循环节，不是循环小数； C．7.32626…是循环小数，循环节是26； D．1.0260026…没有循环节，不是循环小数。 7.32626…是循环小数。 故答案为：C 9．（2024·重庆九龙坡·期末）已知M×0.99＝N÷0.99（M、N均大于0），那么( )。 A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 【答案】A 【分析】设M×0.99和N÷0.99＝1，分别求出M和N 的值，再进行比较，即可解答。 【详解】设M×0.99和N÷0.99＝1 M×0.99＝1 M＝1÷0.99 M≈1.01 N÷0.99＝1 N＝1×0.99 N＝0.99 因为1.01＞0.99，所以M＞N。 已知M×0.99＝N÷0.99（M、N均大于0），那么M＞N。 故答案为：A 10．（2024·海南海口·期末）7÷37的商的小数点后第68位小数是( )。 A．1 B．8 C．9 D．2 【答案】B 【分析】7÷37＝，商是循环小数，循环节是189，每3位一循环，求7÷37的商的小数点后第68位小数是多少，就是求68里面有几个3，还余几，再根据余数进行推算即可解答。 【详解】7÷37＝ 循环节是189，每3位一循环 68÷3＝22……2 余数为2，所以7÷37的商的小数点后第68位小数就是循环节的第二位数字8。 故答案为：B 【点睛】先求出循环节，再把循环节看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解。 三、计算题。 11．（2024·河北衡水·期末）直接写得数。 0.63×8＝        1.24×5＝        6.02×0.7＝        4.5×20＝ 0÷20.24＝        25.8÷3＝        12.5÷0.5＝        24.8÷0.04＝ 【答案】5.04；6.2；4.214；90； 0；8.6；25；620 【详解】略 12．（2023·新疆乌鲁木齐·期末）列竖式计算。 （1）0.7×0.43＝    （2）40.32÷1.68＝   （3）5.75×4.7≈（积精确到十分位） 【答案】（1）0.301；（2）24；（3）27.0 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 精确到十分位看百分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】（1）0.7×0.43＝0.301    （2）40.32÷1.68＝24   （3）5.75×4.7≈27.0                 13．（2024·河南南阳·期末）计算下面各题，能简算的用简便运算。 （1）（31.6－11.7）÷2.5÷0.4      （2）23.8×101－23.8        （3）56×1.25 【答案】（1）19.9；（2）2380；（3）70 【分析】（1）根据运算顺序，先计算括号里的减法，再根据除法的性质，把式子转化为19.9÷（2.5×0.4）进行简算； （2）根据乘法分配律，把式子转化为23.8×（101－1）进行简算； （3）把56看作（7×8），再根据乘法结合律，把式子转化为7×（8×1.25）进行简算。 【详解】（1）（31.6－11.7）÷2.5÷0.4 ＝19.9÷2.5÷0.4 ＝19.9÷（2.5×0.4） ＝19.9÷1 ＝19.9 （2）23.8×101－23.8 ＝23.8×（101－1） ＝23.8×100 ＝2380 （3）56×1.25 ＝（7×8）×1.25 ＝7×（8×1.25） ＝7×10 ＝70 四、解答题。 14．（2024·河南信阳·期末）小红把一家人“五一”旅游期间的费用进行了整理。交通费用2895元，住宿费用2630元，购物费用和其他费用一共8800元，购物费用是其他费用的3.4倍。请你帮小红算一算，购物费用和其他费用分别是多少元？ 【答案】购物费用：6800元；其他费用：2000元 【分析】分析题目，根据购物费用是其他费用的3.4倍，把其他费用看作1倍，则购物费用就是3.4倍，所以8800元就是其他费用的（3.4＋1）倍，据此用除法求出其他费用，再用8800减去其他费用即可得到购物费用。 【详解】8800÷（3.4＋1） ＝8800÷4.4 ＝2000（元） 8800－2000＝6800（元） 答：购物费用是6800元，其他费用是2000元。 15．（2024·河南焦作·期末）明明骑自行车从家出发去滨河公园，去时每小时行12.5千米，0.3小时到达。返回时每小时行15千米，返回需要骑行多少小时？ 【答案】0.25小时 【分析】根据路程＝速度×时间得出家到滨河公园的距离，再根据时间＝路程÷时间得出需要的时间。 【详解】12.5×0.3÷15 ＝3.75÷15 ＝0.25（小时） 答：返回需要骑行0.25小时。 16．（2024·重庆巫山·期末）聪聪去书店购买《趣味数学》和《快乐童年》各3本，一共花了105元，已知《趣味数学》每本16.8元，《快乐童年》每本多少元？ 【答案】18.2元 【分析】根据单价×数量＝总价，用《趣味数学》的单价乘本数，求出买3本《趣味数学》花的钱数，再用105元减去买3本《趣味数学》花的钱数，求出买3本《快乐童年》花的钱数，再根据总价÷数量＝单价，用买3本《快乐童年》花的钱数除以3即可解答。 【详解】（105－16.8×3）÷3 ＝（105－50.4）÷3 ＝54.6÷3 ＝18.2（元） 答：《快乐童年》每本18.2元。 17．（2024·湖北十堰·期末）某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 档位 电量（度/年） 电费单价 第一档 2160度及以下 约0.57元/度 第二档 2160度（不含）~4800度（包含） 约0.62元/度 第三档 4801度及以上 约0.87元/度 （1）小宁家2023年用电2000度，电费是多少？ （2）小佳家2023年的电费1293.2元，她家用电量是多少？ 【答案】（1）1140元 （2）2260度 【分析】（1）小宁家用电量在第一档范围内，直接用电量乘第一档的单价即可得到电费。 （2）需要先判断小佳家的用电量处于哪个档位，然后根据相应档位的收费标准来计算用电量。 【详解】（1）2000×0.57＝1140（元） 答：电费是1140元。 （2）用电量2160度：2160×0.57＝1231.2（元） 用电量4800度：1231.2＋（4800－2160）×0.62 ＝1231.2＋2640×0.62 ＝1231.2＋1636.8 ＝2868（元） 2868＞1293.2，所以不超过4800度。 （1293.2－1231.2）÷0.62＋2160 ＝62÷0.62＋2160 ＝100＋2160 ＝2260（度） 答：她家用电量是2260度。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元小数除法·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检RQ 基础层 £1.小数除法基本计算法则，熟练的进行小数除法列竖式计算。 £2.商与被除数的大小关系，小数与商的规律变化。 £3.循环小数的认识和小数的分类。 £4.小数除法基本应用题。 进阶层 £1.小数四则混合运算和小数除法简便计算。 £2.用计算器探索规律，并解决问题。 £3.循环小数与周期问题。 £4.小数除法混合应用题及其他复合应用题。 拓展层 £1.涉及奥数思维的复杂小数除法简便计算。 £2.复杂的典型问题。 我的疑难问题 1. 2. 3. 【知识点一】小数除法基本计算法则 1. 除数是整数的小数除法的计算法则。 （1）按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的（ ）对齐，如果被除数的整数部分比除数小，不够商1，要在商的个位上写（ ），然后点上小数点，再继续除； （2）如果除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数的后面添（ ）再继续除。 2. 一个数除以小数。 （1）先移动除数的小数点，使它变成（ ）； （2）除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足)； （3）然后按除数是整数的小数除法进行计算。 【知识点二】商的近似数 1. 在实际应用中，商的小数位数太多或除不尽时，可以用“四舍五入”法保留一定的小数位数取商的近似数。 2. 求商的近似数时，通常要计算到比要保留的小数位数多一位，再将最后一位“四舍五入”。 3. 求商的近似数时，有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0表示精确度，不能去掉。 【知识点三】商与被除数的大小关系 1. 一个数（0除外）除以大于1的数， 商（ ）被除数。 2. 一个数（0除外）除以（ ）的数（0除外）， 商大于被除数。 3. 一个数（0除外）除以1，商等于被除数。 【知识点四】循环小数 1. 循环小数的认识。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 2. 循环节。 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的（ ）。 3. 循环小数的简便记法。 方法一： 用省略号表示，要写出两个完整的循环节，后面标上省略号。 例如：0.3636……；1.587587…… 方法二： 只写出一组循环节，然后在循环节的（ ）数字上面各记一个圆点，循环点最多只点两个。 4. 循环小数的大小比较。 比较有循环小数的一组数的大小时，通常先将简写的循环小数还原，并写成比有限小数多一位的形式或将两个循环小数还原到能比较出大小的形式，再进行比较。 5. 有限小数。 小数部分的位数（ ）的小数。 6. 无限小数。 小数部分的位数是（ ）的小数，叫做无限小数，其中无限小数可以分为（ ）。 7. 一个小数不是有限小数，就是无限小数。 8. 小数的分类。 【知识点五】用计算器探索规律 用计算器探索规律的一般过程：用计算器计算→观察比较，发现规律→根据规律直接写出算式得数。 【知识点六】小数除法解决问题 1. 进一法。 在我们生活中遇到类似剩下的不足1份又不能舍去的情况时，我们不论要保留的数位后一位上的数是否满5，都往前一位（ ），这就是“进一法”。 2. 去尾法。 在生活中遇到类似这种剩下的不足1份，无论保留数位后一位数是否满5，都去掉，这就是“去尾法”。 注意： 用“进一法”取近似数，当除到商是整数且还有余数时，可以不再继续除，直接用商的整数部分加1即可。 用“去尾法”取近似数，当除到商是整数且还有余数时，可以不再继续除，直接取商的整数部分即可。 3. 分段计费问题中的反求问题。 （1）确定范围。 （2）做除法求解。 【预测考点01】小数除法基本计算（口算） 直接写出得数。                                          【对应练习】 1．直接写出得数。                                         2．直接写得数。 2.3×12＝            3.04×1.2＝            0.78÷0.2＝            2.34÷18＝            （5.7＋4.3）×0＝ 1.04×25＝          1.25×0.8＝             14.4÷2.4＝            17.28÷3.6＝            4＋1.5×2＝ 【预测考点02】小数除法列竖式计算（笔算） 列竖式计算。 3.5÷0.14＝              15.6÷13＝               1.55÷3.9≈      （结果保留两位小数） 【对应练习】 1．列竖式计算。（带☆的要验算） 43.5÷29＝              2.41÷0.7≈     （得数保留两位小数）       ☆11.1÷0.37＝ 2．列竖式计算下面各题。（带△的需验算，带*的商保留两位小数，商是循环小数的要简写） △6.16÷3.5=         *1.55÷3.92=         40÷44= 【预测考点03】商与被除数的大小关系 在括号里填上“＞”“”或“＜”。 ( )5.8     ( )2.87     ( )33.5   0.66( )     6.8( )     ( ) 【对应练习】 1．在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 0.55×0.9( )0.55                36÷0.01( )36×100 7.32÷0.2( )7.32×0.2        ( ) 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.28×5.6( )3.28         0.27×3.12( )3.12 2.15÷0.1( )2.15×10         4.36÷0.04( )4.36 【预测考点04】循环小数的认识 5.0292929……用循环小数的简写形式表示为( )，它的循环节是( )，保留两位小数约是( )。 【对应练习】 1．8.3252525…用简便写法是( )，它的循环节是( )，保留两位小数是( )。 2．在6.81，6.，6.8，6.81212，6.71286…这5个数中，无限小数有( )个，最小的数是( )，最大的数是( )。 【预测考点05】小数除法基本应用题 1．一只大熊猫一周（7天）能吃掉竹叶21.14kg。这只大熊猫平均每天吃掉竹叶多少千克？ 2．小明家到学校的距离是3.6千米，他步行0.8小时到达，平均每小时走多少千米？ 3．“阅兵”包括“阅兵式”和“分列式”。在“分列式”中，受检阅的距离就是天安门前东西两个华表之间相隔的96m，走这段距离的要求如下：士兵每步长必须为0.75m，总用时为68秒。士兵在这段距离中，走一步大约需要多少秒？（得数保留两位小数） 【对应练习】 1．一个粮食合作社用4台同样的收割机，3小时收割了4.2公顷小麦，1台收割机每小时可以收割小麦多少公顷？ 2．政务大厅长12.8米，宽9.6米，用每块0.64平方米的方砖铺地。需要多少块这样的方砖？ 3．果园共收沙糖桔5吨，用载重1.2吨的小货车运送，至少要运几次才能全部运完？ 【预测考点01】小数四则混合运算和小数除法简便计算 下面各题怎样简便就怎样算。 0.27＋99×0.27             9.9×3.4          1.2×[（6.7－5.2）÷0.25]           5.2＋3.8÷（1.9－1.7） 【对应练习】 1．计算下面各题，能简算的要简算。 （1）125×0.4×2.5×0.8   （2）75÷1.25÷8 （3）18×100.2－18×0.2   （4）7.6＋2.4÷（1.5×2） 2．脱式计算，能简算的要简算。 （1）                （2） （3）        （4） 【预测考点02】用计算器探索规律，归纳法解决问题 填一填。 (1)用计算器计算下面各题，并找出规律。 99.99×1＝( ) 99.99×2＝( ) 99.99×3＝( ) (2)用发现的规律直接写出下面各题的得数。 99.99×4＝( ) 99.99×5＝( ) 99.99×6＝( ) (3)你能用发现的规律接着写出几道像这样的算式吗？试一试。 【对应练习】 1．先用计算器计算前3题，再直接写出后面各题的得数。 1.08÷0.9＝( ) 11.07÷0.9＝( ) 111.06÷0.9＝( ) 1111.05÷0.9＝( ) 11111.04÷0.9＝( ) ( )÷0.9＝123456.7 1111111.02÷0.9＝( ) ( )÷0.9＝( ) 2．观察前3道题的得数，再直接写出后3题的得数。 3×4＝12 3.3×3.4＝11.22 3.33×33.4＝111.222 3.333×333.4＝( ) 3.3333×3333.4＝( ) 3.33333×33333.4＝( ) 【预测考点03】循环小数与周期问题 循环小数2.788788…，小数点后第100位上的数字是( )。 【对应练习】 1．6÷7的商的小数点后面第1000位数字是( )，小数点后面前1000个数字的和是( )。 2．1÷14的商的小数点后面第1001位数字是( )，小数点后面前1001个数字的和是( )。 【预测考点04】小数除法混合应用题 1．4台同样的织布机2.5小时织布1.3千米，照这样计算，5台同样的织布机1小时织布多少千米？ 2．大米4.5元/千克，面粉3.2元/千克。妈妈买大米和面粉共花了66.8元，其中买大米12千克，买面粉多少千克？ 【对应练习】 1．服装厂有一批新布料，先做女士上衣，一共用了540米，剩下的做儿童连衣裙，每件儿童连衣裙用布料1.5米，正好可以做20件。如果这批布料全部都做儿童连衣裙，那么可以做多少件？（用两种方法解答） 2．李丽拿7.2元钱买文具，买了4支铅笔，每只0.75元。剩下的钱买美术纸，每张0.5元，可以买多少张美术纸？ 3．为预防流感，学校每天都要进行消毒。五年级有8个班，平均每个班使用消毒液1.45千克，五年级一共比六年级多使用1.1千克，六年级有6个班。六年级平均每个班使用消毒液多少千克？ 【预测考点05】分段计费问题 万达商场停车场的收费规定如下：停车2小时内收费3元；停车超过2小时，每多停1小时，额外交费1.5元。一辆汽车在离开停车场时缴费135元。这辆汽车最多停了几小时？ 【对应练习】 1．某市自来水公司为鼓励节约用水，采用按月分段计费的方法收取水费，12吨以内的每吨2.5元，超过12吨的部分，每吨3.8元。 （1）小云家上个月的用水量为12.5吨，应缴水费多少元？ （2）小可家上个月缴水费49元，小可家上个月用水多少吨？ 2．为了鼓励市民节约用水，某市采用了分段计费的方式，收费标准如下表： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 0~5吨（含5吨） 3.4元/吨 第二阶梯 6~10吨的部分（含10吨） 5.2元/吨 第三阶梯 超过10吨的部分 7.5元/吨 艾文家本月交水费65.5元。淘气说：“艾文家本月用水不超过10吨。”淘气说的对吗？为什么？ 【预测考点01】复杂的小数四则混合运算和简便计算 巧算。 （2024＋202.4＋20.24＋2.024）÷0.2024         0.999×0.999＋0.001999＋2023 【对应练习】 用自己喜欢的方法计算。 20.9＋10.5÷（5.5－4.8）                    1÷32÷0.05÷0.25÷0.5 （5.4×4.5×8.1）÷（1.8×2.7×1.5）         17.6×1.3＋6.4÷1.3－0.96×13＋5.3÷1.3 【预测考点02】复杂的典型问题 1．小花和小明一起去商店买文具，小花买了2支记号笔和5本笔记本，花了43.5元，小明买了4支记号笔和7个笔记本，花了70.5元，每个笔记本多少元？ 2．一位粗心的营业员在结账时发现账面多了31元9角5分，经复查，原来是把一笔钱的小数点点错了一位，记错的这笔钱实际应该是多少元？ 【对应练习】 1．李阿姨买3千克橘子和2千克梨共用18.6元，买2千克橘子和3千克梨共用去16.2元。每千克橘子和每千克梨各多少元？ 2．仓库里有两桶油，甲桶油的质量是乙桶油的2.8倍。如果从甲桶中取出14.4千克油放入乙桶中，那么两桶油的质量就相等了。两桶油原来各有多少千克？ 一、填空题。 1．（2024·河北衡水·期末）6÷11的商是一个( )小数，用简便形式写是( )，保留两位小数约是( )。 2．（2023·新疆乌鲁木齐·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.67÷0.23( )7.67           36.4÷1.02( )36.4 1.5×0.3( )1.5－0.3           0.75÷0.1( )0.75×10 3．（2024·重庆·期末）根据87×33＝2871，直接写出下面各题的得数。 0.87×3300＝( )   8.7×0.33＝( )   287.1÷0.87＝( ) 4．（2024·广东汕尾·期末）妈妈买了5卷同样的彩带，一共长36.2米。每卷彩带长多少米？小明用竖式计算如图，请在括号里填上合适的数。 5．（2023·重庆渝北·期末）把一个小数的小数点向右移动两位后变成256，这个小数原来是( )。 6．（2024·重庆·期末）观察算式：1÷x＝0.0909…，2÷x＝0.1818…，3÷x＝0.2727…，照这样的规律，6÷x＝( )，9÷x＝( )。（此空用循环小数表示） 二、选择题。 7．（2024·福建莆田·期末）算式8÷2.1的商在约在下图中( )点的位置。 A．a B．b C．c D．d 8．（2024·湖南长沙·期末）下列各数中，( )是循环小数。 A．5.676767 B．3.14159… C．7.32626… D．1.0260026… 9．（2024·重庆九龙坡·期末）已知M×0.99＝N÷0.99（M、N均大于0），那么( )。 A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 10．（2024·海南海口·期末）7÷37的商的小数点后第68位小数是( )。 A．1 B．8 C．9 D．2 三、计算题。 11．（2024·河北衡水·期末）直接写得数。 0.63×8＝        1.24×5＝        6.02×0.7＝        4.5×20＝ 0÷20.24＝        25.8÷3＝        12.5÷0.5＝        24.8÷0.04＝ 12．（2023·新疆乌鲁木齐·期末）列竖式计算。 （1）0.7×0.43＝    （2）40.32÷1.68＝   （3）5.75×4.7≈（积精确到十分位） 13．（2024·河南南阳·期末）计算下面各题，能简算的用简便运算。 （1）（31.6－11.7）÷2.5÷0.4      （2）23.8×101－23.8        （3）56×1.25 四、解答题。 14．（2024·河南信阳·期末）小红把一家人“五一”旅游期间的费用进行了整理。交通费用2895元，住宿费用2630元，购物费用和其他费用一共8800元，购物费用是其他费用的3.4倍。请你帮小红算一算，购物费用和其他费用分别是多少元？ 15．（2024·河南焦作·期末）明明骑自行车从家出发去滨河公园，去时每小时行12.5千米，0.3小时到达。返回时每小时行15千米，返回需要骑行多少小时？ 16．（2024·重庆巫山·期末）聪聪去书店购买《趣味数学》和《快乐童年》各3本，一共花了105元，已知《趣味数学》每本16.8元，《快乐童年》每本多少元？ 17．（2024·湖北十堰·期末）某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 档位 电量（度/年） 电费单价 第一档 2160度及以下 约0.57元/度 第二档 2160度（不含）~4800度（包含） 约0.62元/度 第三档 4801度及以上 约0.87元/度 （1）小宁家2023年用电2000度，电费是多少？ （2）小佳家2023年的电费1293.2元，她家用电量是多少？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共17页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第三单元小数除法·单元复习篇【五大篇章】 题 导向篇 问题层级 快速自检☑图 目基础层 口1.小数除法基本计算法则，熟练的进行小数除法列竖式计算。 口2.商与被除数的大小关系，小数与商的规律变化。 口3.循环小数的认识和小数的分类。 ☐4.小数除法基本应用题。 ©进阶层 口1.小数四则混合运算和小数除法简便计算。 口2.用计算器探索规律，并解决问题。 口3.循环小数与周期问题。 ☐4.小数除法混合应用题及其他复合应用题。 ⊙拓展层 口1.涉及奥数思维的复杂小数除法简便计算。 ☐2.复杂的典型问题。 可哦的疑难问题 1. 2 3 第2页共17页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 田 维导 篇 A按整数除法的计算方法计算 1.除数是整数 B.商的小数点和被除数小数点对齐 A移动除数的小数点使它变整数 B.除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够用0啉 2.一个数除以小数 C按除数是整数的小数除法进行计算 A,确定保留几位小数 B.除到比需要保留的小数位数多一位 3.商的近似数 C四舍五入 一个数的小数部分，从某一位，一个数字或几个数字不断重复出现 五上第三单元 A意义： ◆纯循环小数 小数除法 小数部分从第一位开始的小数 →混循环小数 不是从小数部分第位开始的小数 纯小数 整数部分是0的小数 按整数部分分类 、带小数 整数部分不是0的小数 B分类： 4.循环小数 有限小数 按小数部分分类 纯循环小数 循环小数 无限小数 混循环小数 不循环小数 厂会找循环小数的循环节和循环点 A用"进一法” 5.解决问题 B.用“去尾法” 了知 识 清单篇 【知识点一】小数除法基本计算法则 1.除数是整数的小数除法的计算法则。 (1)按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的( )对齐，如果被除 数的整数部分比除数小，不够商1，要在商的个位上写( ),然后点上小数点，再继 续除： (2)如果除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数的后面添( )再继续除。 2.一个数除以小数。 (1)先移动除数的小数点，使它变成( ): (2)除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的 末尾用“0”补足)： (3)然后按除数是整数的小数除法进行计算。 第3页共17页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【知识点二】商的近似数 1.在实际应用中，商的小数位数太多或除不尽时，可以用“四舍五入”法保留一定的小数位 数取商的近似数。 2.求商的近似数时，通常要计算到比要保留的小数位数多一位，再将最后一位“四舍五入”。 3.求商的近似数时，有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0表示精确度， 不能去掉。 【知识点三】商与被除数的大小关系 1.一个数(0除外)除以大于1的数，商( )被除数。 2.一个数(0除外)除以( )的数(0除外)，商大于被除数。 3.一个数(0除外)除以1，商等于被除数。 【知识点四】循环小数 1.循环小数的认识。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作 循环小数。 2.循环节。 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的( 3.循环小数的简便记法。 方法一： 用省略号表示，要写出两个完整的循环节，后面标上省略号。 例如：0.3636...：1.587587.. 方法二： 只写出一组循环节，然后在循环节的( )数字上面各记一个圆点，循环点最多只点两 个。 4.循环小数的大小比较。 比较有循环小数的一组数的大小时，通常先将简写的循环小数还原，并写成比有限小数多一位 的形式或将两个循环小数还原到能比较出大小的形式，再进行比较。 5.有限小数。 小数部分的位数( )的小数。 第4页共17页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 6.无限小数。 小数部分的位数是( )的小数，叫做无限小数，其中无限小数可以分为( )。 7.一个小数不是有限小数，就是无限小数。 8.小数的分类。 小，按整数纯小数（整数部分是0的小数，如0.324,0.68） 数 部分分带小数（整数部分不是0的小数，如13.6,14.29） 的 有限小数 分 按小数 纯循环小数（如0.35,6.246） 类 位数分 无限循 (循环节从小数部分的第一位开始)》 环小数 混循环小数（如4.932,10.843） 尢限小数 (循环节不是从小数部分的第一位开始) 无限不循环小数 (小数部分的位数是无限的，并且不循环) 【知识点五】用计算器探索规律 用计算器探索规律的一般过程：用计算器计算→观察比较，发现规律→根据规律直接写出算式 得数。 【知识点六】小数除法解决问题 1.进一法。 在我们生活中遇到类似剩下的不足1份又不能舍去的情况时，我们不论要保留的数位后一位上 的数是否满5，都往前一位( ),这就是“进一法”。 2.去尾法。 在生活中遇到类似这种剩下的不足1份，无论保留数位后一位数是否满5，都去掉，这就是“去 尾法”。 注意： 用“进一法”取近似数，当除到商是整数且还有余数时，可以不再继续除，直接用商的整数部 分加1即可。 用“去尾法”取近似数，当除到商是整数且还有余数时，可以不再继续除，直接取商的整数部 分即可。 3.分段计费问题中的反求问题。 (1)确定范围。 第5页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)做除法求解。 公考点预测篇 第一部分 基础层命题 吕【预测考点01】小数除法基本计算（口算）★ 直接写出得数。 0.56÷14= 6.2+1.7= 80÷1.6= 0.13×4= 8.4÷0.7= 6x0.9= 7.2÷0.6 0.15×8= 1.6÷0.8= 0.2×15= 肥【对应练习】 1.直接写出得数。 0.25×4= 3.6÷0.6= 1.5×0.2= 4.9÷7= 0.8×0.3= 1.07×10= 5.6÷7= 8.5÷1.7= 1.2×0.6= 8÷0.4= 2.直接写得数。 2.3×12= 3.04×1.2= 0.78÷0.2= 2.34÷18= (5.7+4.3)×0= 1.04×25= 1.25×0.8= 14.4÷2.4= 17.28÷3.6= 4+1.5×2= 吕【预测考点02】小数除法列竖式计算（笔算）★★ 列竖式计算。 3.5÷0.14= 15.6÷13= 1.55÷3.9≈ (结果保留两位小数) 肥【对应练习】 1.列竖式计算。（带☆的要验算） 43.5÷29= 2.41÷0.7≈ (得数保留两位小数) ☆11.1÷0.37= 第6页共17页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.列竖式计算下面各题。（带△的需验算，带*的商保留两位小数，商是循环小数的要简写) △6.16÷3.5= *1.55÷3.92= 40÷44= 吕【预测考点03】商与被除数的大小关系★★ 在括号里填上“>x=或“<”。 5.8÷1.02( )5.8 2.87÷1( )2.87 33.5÷0.8( )33.5 0.660 )0.6 6.8( )6.38 2.59( )2.59 肥【对应练习】 1.在()里填>x<”或=”。 0.55×0.9( )0.55 36÷0.01( )36×100 7.32÷0.2( )7.32×0.2 0.56( )0.56 2.在括号里填上>x<”或=”。 3.28×5.6( )3.28 0.27×3.12( )3.12 2.15÷0.1( )2.15×10 4.36÷0.040 )4.36 吕【预测考点04】循环小数的认识★★ 5.0292929...用循环小数的简写形式表示为( ),它的循环节是( ),保留两位 小数约是( ) 肥【对应练习】 1.8.3252525..用简便写法是( ),它的循环节是( ),保留两位小数是( ) 2.在6.81,6.8,6.812,6.81212,6.71286.这5个数中，无限小数有( )个，最小的 数是( ),最大的数是( )。 吕【（预测考点05】小数除法基本应用题★★ 1.一只大熊猫一周（7天)能吃掉竹叶21.14kg。这只大熊猫平均每天吃掉竹叶多少千克？ 第7页共17页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.小明家到学校的距离是3.6千米，他步行0.8小时到达，平均每小时走多少千米？ 3.阅兵”包括阅兵式”和分列式”。在“分列式中，受检阅的距离就是天安门前东西两个华表 之间相隔的96m,走这段距离的要求如下：士兵每步长必须为0.75m,总用时为68秒。士兵 在这段距离中，走一步大约需要多少秒？（得数保留两位小数） 即【对应练习】 1.一个粮食合作社用4台同样的收割机，3小时收割了4.2公顷小麦，1台收割机每小时可以 收割小麦多少公顷？ 2.政务大厅长12.8米，宽9.6米，用每块0.64平方米的方砖铺地。需要多少块这样的方砖？ 3.果园共收沙糖桔5吨，用载重1.2吨的小货车运送，至少要运几次才能全部运完？ 第8页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第二部分 进阶层命题 吕【预测考点01】小数四则混合运算和小数除法简便计算★★★ 下面各题怎样简便就怎样算。 0.27+99×0.27 9.9×3.4 1.2×[(6.7-5.2)÷0.25] 5.2+3.8÷(1.9-1.7) 即【对应练习】 1.计算下面各题，能简算的要简算。 (1)125×0.4×2.5×0.8 (2)75÷1.25÷8 (3)18×100.2-18×0.2 (4)7.6+2.4÷（1.5×2) 2.脱式计算，能简算的要简算。 （1)1.25×7.2 (2)(0.25-0.025)×40 第9页共17页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3)3.78÷0.25÷0.4 (4)24.5+91.8÷(18.2-17.66) 吕【预测考点02】用计算器探索规律，归纳法解决问题★★★ 填一填。 (1)用计算器计算下面各题，并找出规律。 99.99×1=( ) 99.99×2=( ) 99.99×3=( ) (2)用发现的规律直接写出下面各题的得数。 99.99×4=( ) 99.99×5=( ) 99.99×6=( ) (3)你能用发现的规律接着写出几道像这样的算式吗？试一试。 肥【对应练习】 1.先用计算器计算前3题，再直接写出后面各题的得数。 1.08÷0.9=( 11.07÷0.9=( ) 111.06÷0.9=( 1111.05÷0.9=( 11111.04÷0.9=( ) )÷0.9=123456.7 1111111.02÷0.9=( ) ( )0.9=( ) 第10页共17页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共37页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第三单元小数除法·单元复习篇【五大篇章】 题 导向篇 问题层级 快速自检☑图 目基础层 口1.小数除法基本计算法则，熟练的进行小数除法列竖式计算。 口2.商与被除数的大小关系，小数与商的规律变化。 口3.循环小数的认识和小数的分类。 ☐4.小数除法基本应用题。 ©进阶层 口1.小数四则混合运算和小数除法简便计算。 口2.用计算器探索规律，并解决问题。 口3.循环小数与周期问题。 ☐4.小数除法混合应用题及其他复合应用题。 ⊙拓展层 口1.涉及奥数思维的复杂小数除法简便计算。 ☐2.复杂的典型问题。 可哦的疑难问题 1. 2 3 第2页共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 田 维导 图 篇 A按整数除法的计算方法计算 1.除数是整数 B.商的小数点和被除数小数点对齐 A移动除数的小数点使它变整数 B.除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够用0啉 2.一个数除以小数 C按除数是整数的小数除法进行计算 A,确定保留几位小数 B.除到比需要保留的小数位数多一位 3.商的近似数 C四舍五入 一个数的小数部分，从某一位，一个数字或几个数字不断重复出现 五上第三单元 A意义： ◆纯循环小数 小数除法 小数部分从第一位开始的小数 →混循环小数 不是从小数部分第一位开始的小数 纯小数 整数部分是0的小数 按整数部分分类 、带小数 整数部分不是0的小数 B分类： 4.循环小数 有限小数 按小数部分分类 纯循环小数 循环小数 无限小数 <混循酥小数 不循环小数 厂会找循环小数的循环节和循环点 A用"进一法” 5.解决问题 B.用“去尾法” 了知 识 清单篇 【知识点一】小数除法基本计算法则 1.除数是整数的小数除法的计算法则。 (1)按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的（小数点）对齐，如果被除数 的整数部分比除数小，不够商1，要在商的个位上写(0)，然后点上小数点，再继续除： (2)如果除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数的后面添(0)再继续除。 2.一个数除以小数。 (1)先移动除数的小数点，使它变成（整数）； (2)除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的 末尾用“0”补足)： (3)然后按除数是整数的小数除法进行计算。 第3页共37页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【知识点二】商的近似数 1.在实际应用中，商的小数位数太多或除不尽时，可以用“四舍五入”法保留一定的小数位 数取商的近似数。 2.求商的近似数时，通常要计算到比要保留的小数位数多一位，再将最后一位“四舍五入”。 3.求商的近似数时，有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0表示精确度， 不能去掉。 【知识点三】商与被除数的大小关系 1.一个数(0除外)除以大于1的数，商（小于）被除数。 2.一个数(0除外)除以（小于1）的数(0除外)，商大于被除数。 3.一个数(0除外)除以1，商等于被除数。 【知识点四】循环小数 1.循环小数的认识。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作 循环小数。 2.循环节。 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的（循环节)。 3.循环小数的简便记法。 方法一： 用省略号表示，要写出两个完整的循环节，后面标上省略号。 例如：0.3636...：1.587587.. 方法二： 只写出一组循环节，然后在循环节的（首位和末位）数字上面各记一个圆点，循环点最多只点 两个。 4.循环小数的大小比较。 比较有循环小数的一组数的大小时，通常先将简写的循环小数还原，并写成比有限小数多一位 的形式或将两个循环小数还原到能比较出大小的形式，再进行比较。 5.有限小数。 小数部分的位数（有限）的小数。 第4页共37页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 6.无限小数。 小数部分的位数是（无限）的小数，叫做无限小数，其中无限小数可以分为（无限不循环小数 和循环小数两种)。 7.一个小数不是有限小数，就是无限小数。 8.小数的分类。 水 按整数纯小数（整数部分是0的小数，如0.324,0.68） 数 部分分带小数（整数部分不是0的小数，如13.6,14.29） 的 有限小数 分 纯循环小数（如0.35,6.246) 类 按小数 位数分 无限循（循环节从小数部分的第一位开始） 环小数 混循环小数（如4.932,10.843） 尢限小数 (循环节不是从小数部分的第一位开始) 无限不循环小数 (小数部分的位数是无限的，并且不循环) 【知识点五】用计算器探索规律 用计算器探索规律的一般过程：用计算器计算→观察比较，发现规律→根据规律直接写出算式 得数。 【知识点六】小数除法解决问题 1.进一法。 在我们生活中遇到类似剩下的不足1份又不能舍去的情况时，我们不论要保留的数位后一位上 的数是否满5，都往前一位（进一），这就是“进一法”。 2.去尾法。 在生活中遇到类似这种剩下的不足1份，无论保留数位后一位数是否满5，都去掉，这就是“去 尾法”。 注意： 用“进一法”取近似数，当除到商是整数且还有余数时，可以不再继续除，直接用商的整数部 分加1即可。 用“去尾法”取近似数，当除到商是整数且还有余数时，可以不再继续除，直接取商的整数部 分即可。 3.分段计费问题中的反求问题。 第5页共37页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)确定范围。 (2)做除法求解。 考点预测篇 第一部分 基础层命题 吕【预测考点01】小数除法基本计算（口算）★ 直接写出得数。 0.56÷14= 6.2+1.7= 80÷1.6= 0.13×4= 8.4÷0.7= 6×0.9= 7.2÷0.6= 0.15×8= 1.6÷0.8= 0.2x15= 【答案】0.04：7.9：50：0.52：12 5.4;12:1.2:2:3 【解析】略 即【对应练习】 1.直接写出得数。 0.25×4= 3.6÷0.6= 1.5x0.2= 4.9÷7= 0.8×0.3= 1.07×10= 5.6÷7= 8.5÷1.7= 1.2×0.6= 8÷0.4= 【答案】1；6；0.3；0.7：0.24 10.7:0.8；5:0.72:20 【详解】略 2.直接写得数。 2.3×12= 3.04×1.2= 0.78÷0.2= 2.34÷18= (5.7+4.3)×0= 1.04×25= 1.25×0.8= 14.4÷2.4= 17.28÷3.6= 4+1.5×2= 【答案】27.6：3.648；3.9：0.13；0 26；1:6；4.8；7 【解析】略 吕【预测考点02】小数除法列竖式计算（笔算）★★ 列竖式计算。 第6页共37页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.5÷0.14= 15.6÷13= 1.55÷3.9≈ (结果保留两位小数) 【答案】25：1.2：0.40 【分析】除数是整数的小数的除法：先按照整数除法的法则去除；商的小数点要和被除数的小 数点对齐；除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，再继续除。 除数是小数的小数除法：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把 被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），按照除数是整数的除法进行计算。保 留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位（千分位），再利用四舍五入法求出近 似数即可。 【详解】3.5÷0.14=25 15.6÷13=1.2 1.55÷3.9≈0.40 0.397 25 1.2 3.91.5.500 0.143.50 1315.6 117 28 13 380 70 26 351 70 26 290 0 0 273 17 肥【对应练习】 1.列竖式计算。（带☆的要验算） 43.5÷29= 2.41÷0.7≈ (得数保留两位小数) ☆11.1÷0.37= 【答案】1.5：3.44：30 【分析】计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法的方法计算，被除数的整数部分不够除 时，要在被除数的个位数字上面商0，对齐被除数的小数点点上商的小数点，再继续往下除： 计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几 位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数 是整数的小数除法进行计算，商保留两位小数时，要除到小数点后面第三位，再根据四舍五入 取近似值，据此解答。 【详解】43.5÷29=1.5 2.41÷0.7≈3.44 (得数保留两位小数) ☆11.1÷0.37=30 第7页共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.442 0,724.100 1.5 21 2943.5 31 30 0.37 29 28 0371110 验算： 30 145 30 111 11.18 145 28 0 0 20 14 6 2.列竖式计算下面各题。（带△的需验算，带*的商保留两位小数，商是循环小数的要简写） △6.16÷3.5 *1.55÷3.92 40÷44 【答案】1.76；0.40：0.90 【分析】根据小数除法的计算方法计算即可。除法算式的验算，可以用商乘除数，比较所得的 积是否等于被除数。简写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位 数字上面各记一个圆点。保留两位小数要除到小数点后面第三位。据此解答。 【详解】△6.16÷3.5=1.76 1.76 3561.60 1.76 35 3.5 266 验算 880 245 528 210 6.160 210 0 *1.55÷3.92≈0.40 0.395 3,921、55.000 1176 3740 3528 2120 1960 160 第8页共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 40÷44=0.90 0.9090 4440.0000 396 400 396 40 吕【预测考点03】商与被除数的大小关系★★ 在括号里填上“>x=或“<。 5.8÷1.02( )5.8 2.87÷1( )2.87 33.5÷0.8( )33.5 0.66( )0.6 6.8( )6.38 2.59( )2.59 【答案】 < > < > > 【分析】一个数(0除外)除以大于1的数，商小于这个数：一个数(0除外)除以小于1的 数(0除外)，商大于这个数。一个数(0除外)除以1，等于它自已。第一行据此解答。 把循环小数的循环节展开，化成普通小数的形式，再比较小数的大小，先比较整数部分，整数 部分大的小数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再 看百分位，百分位大的这个数就大，这样依次比较，直到比较出大小为止。据此解答第二行。 【详解】因为1.02>1，所以5.8÷1.02<5.8 因为1=1，所以2.87÷1=2.87 因为0.8<1，所以33.5÷0.8>33.5 因为0.6=0.666.，所以0.66<0.6 因为6.38=6.3838..，所以6.8>6.38 因为2.59=2.5999..，2.59=2.5959.，2.5999..>2.5959.，所以2.59>2.59 第9页共37页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.在()里填>x<”或=”。 0.55×0.9( )0.55 36÷0.01( )36×100 7.32÷0.2( )7.32×0.2 0.56( )0.56 【答案】 > 【分析】一个数(0除外)乘一个小于1的数，积小于这个数： 分别计算出36-0.01和36×100的结果进行比较： 一个数(0除外)除以一个小于1的数，商大于这个数：一个数(0除外)乘一个小于1的数， 积小于这个数： 先多写出循环节，再从高位比起，0.56循环节是56，即0.56=0.5656.，0.56循环节是6，即0.56 =0.566.:十分位和百分位都相同，再比较千分位，0.5656..千分位是5,0.566..千分位是6， 5<6,据此判断。 【详解】因为0.9<1，所以0.55×0.9<0.55： 36÷0.01=3600,36×100=3600,所以36÷0.01=36×100： 因为0.2<1，可得7.32÷0.2>7.32,7.32×0.2<7.32，所以7.32÷0.2>7.32×0.2： 0.56=0.5656.,0.56=0.566.,十分位和百分位都相同，再比较千分位，0.5656..千分位是 5,0.566..千分位是6,5<6，所以0.5656..<0.566..即0.56≤0.56。 2.在括号里填上>x<”或=”。 3.28×5.6( )3.28 0.27×3.12( )3.12 2.15÷0.1( )2.15×10 4.36÷0.04( )4.36 【答案】 > 【分析】一个非0数乘小于1的数，积小于原数：一个非0数乘大于1的数，积大于原数。 一个非0数除以小于1的数，商大于被除数：一个非0数除以大于1的数，商小于被除数。 计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位， 被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补0”），然后按照除数是整数的除法进 行计算。 一个数乘10、100、1000.，只要把小数点向右移动一位、两位、三位...即可。据此解答。 【详解】5.6>1，则3.28×5.6>3.28： 0.27<1,则0.27×3.12<3.12： 第10页共37页A按整数除法的计算方法计算 1.除数是整数 B.商的小数点和被除数小数点对挤 A移动除数的小数点使它变整数 B.除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够用0补 2.一个数除以小数 C按除数是整数的小数除法进行计算 A.确定保留几位小数 B.除到比需要保留的小数位数多一位 3.商的近似数 C四舍五入 一个数的小数部分，从某一位，一个数字或几个数字不断重复出现 五上第三单元 A意义： →纯循环小数 小数部分从第一位开始的小数 小数除法 →混循环小数 不是从小数部分第一位开始的小数 纯小数 整数部分是0的小数 按整数部分分类 带小数 整数部分不是0的小数 B.分类： 4.循环小数 有限小数 按小数部分分类 纯循环小数 循环小数 无限小数 混循环小数 不循环小数 会找循环小数的循环节和循环点 A用“进一法” 5.解决问题 B用“去尾法”