第5章 §2 2.1 排列与排列数 2.2 排列数公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦排列与排列数，涵盖排列定义、排列数公式及简单排列问题解决。通过选班长、分电影票等现实问题导入，从具体情境抽象出排列概念，再过渡到公式应用，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是结合大量实例（如对数底数真数、值日安排），培养学生用数学眼光观察现实，通过公式推导和方程求解发展数学思维，用树形图与符号表达强化数学语言。采用母题探究和分层作业，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第五章　计数原理 §2　排列问题 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 学习任务 核心素养 1．了解排列及排列数的概念．(重点) 2．掌握排列数公式．(难点) 1．通过对排列及排列数的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助排列数公式的应用，培养数学运算素养． 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 1．从1，2，3三个数字中，任选两个做除法，用枚举法写出所有不同的结果． 2．在问题1中，与是不同结果吗？这说明了什么问题？ 必备知识·情境导学探新知 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 1．排列 一般地，从n个不同元素中____m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照__________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．我们把有关求排列的____的问题叫作排列问题． 取出 一定的顺序 个数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 2．排列数及排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有________的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 _____ 不同排列 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 排列数 公式 乘积式 ＝_______________________________ 阶乘式 ＝________ 规定 ＝__，0！＝__ 备注 n，m∈N＋，m≤n n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)] 1 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 思考　两个排列相同的条件是什么？ [提示]　这两个排列的元素完全相同，且元素排列的顺序也相同． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)1，2，3与3，2，1是同一个排列． (　　) (2)求集合{a，b，c}二元子集个数是一个排列问题． (　　) ＝n(n－1)(n－2)…(n－m)． (　　) 中的x满足x∈． (　　) × × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 2．从4名学生中选出2名学生当正、副班长，共有选法种数为(　　) A．4 　 B．6 C．8 　 D．12 √ D　[共有＝4×3＝12种选法．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 3．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法． 720　[问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，共有＝10×9×8＝720种分法．] 720　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 4．方程＝的解为______． 5　[由排列数公式得：3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝， ∵x≥3，且x∈N＋，∴原方程的解为x＝5．] 5　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 关键能力·合作探究释疑难 类型1　排列的定义 【例1】　判断下列问题是否为排列问题． (1)选2个小组分别去种树和种菜，共有多少种选法？ (2)选10人组成一个学习小组，共有多少选法？ (3)选3个人分别担任班长、学习委员和生活委员，共有多少种选法？ (4)某班40名学生在假期相互写信，共需写多少封信？ 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 [解]　(1)中种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题； (2)中不存在顺序问题，不属于排列问题； (3)中每个人的职务不同，例如甲当班长与甲当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题； (4)中A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(1)、(3)、(4)属于排列问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 反思领悟　1．保证是排列问题应满足的两个条件： ①元素互异；②元素有序． 2．判断一个具体问题是否为排列问题的思路 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 [跟进训练] 1．判断下列哪些问题是排列问题． (1)从10名学生中抽出2名学生开会，共有多少种抽法？ (2)从2，3，5，7，11中任取两个数相除，共有多少种不同的商？ (3)以圆上的10个点为端点作弦，可以得到多少条弦？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 [解]　(1)选出同学甲、乙与乙、甲开会是同一回事，所以与两名学生的先后顺序无关，所以(1)不是排列问题． (2)由于2÷3≠3÷2，所以本题与两数的顺序有关，是排列问题． (3)因为弦AB与弦BA是同一条弦，所以本题不是排列问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 类型2　排列数的计算或化简 【例2】　计算或化简下列各式： ；；；(4)1！＋22！＋…＋nn！；(5)＋…＋． [思路点拨]　利用排列数公式和阶乘的定义进行计算，并考虑排列数之间的关系，化简可减少运算量． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 [解]　＝15×14＝210． ＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40 320． ＝(n－m)！＝ (n－m)！＝1． (4)1！＋22！＋…＋nn！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 (5)∵＝， ∴＋…＋＝＋…＋＝1－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 反思领悟　1．排列数的第一个公式＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点． 2．排列数的第二个公式＝，适用于与排列数有关的证明、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N＋”的运用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 3．常见技巧 (1)nn！＝(n＋1)！－n！； (2)＝； ＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 [跟进训练] 2．(1)计算； (2)已知＝5×6×7×…×2 024，求m，n的值． [解]　(1)原式＝＝4×14－12＝44． (2)∵5×6×7×…×2 024中最大的数为2 024，共有2 024－5＋1＝2 020个数，∴5×6×7×…×2 024＝， ∴m－1＝2 020，n＝2 024，∴m＝2 021，n＝2 024． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 类型3　简单的排列问题 【例3】　【链接教材P167例3】 (1)写出从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素的所有排列，并指出有多少种不同的排列？ (2)从3、5、7、8中任意选两个分别作为对数的底数与真数，能构成多少个不同的对数值？ [思路点拨]　(1)依据排列的定义，用枚举法求解；(2)看能不能把问题归结为排列问题，若能，进一步确定m与n的取值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 [解]　(1)由题意作树形图，如图． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．共有＝4×3×2＝24种． (2)选出的任意两个数分别作为对数的底数与真数时，构成的对数值是不一样的，因此是一个有序问题，应用排列去解．故能构成＝4×3＝12个不同的对数值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 [母题探究] 若将本例第(2)小题中的“3、5、7、8”改为“2、3、4、9”，能构成多少个不同的对数值？ [解]　由于log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，故能构成－4＝4×3－4＝8个不同的对数值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 【教材原题P167例3】 例3　利用1，2，3，4这4个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ [解]　本题是从1，2，3，4这4个数字中，任意选出3个数字排成一排，有多少种排法的排列问题． 因为＝4×3×2＝24，所以利用1，2，3，4这4个数字，可以组成24个没有重复数字的三位数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 反思领悟　解决简单的排列问题的方法 (1)要看能不能把问题归结为排列问题，也就是判断问题是否与顺序有关，如果与顺序有关，就可归结为排列问题来解；如果与顺序无关，则不能用排列问题求解． (2)分析问题中n个不同元素指的是什么，m个元素指的是什么，从n个不同元素中每次取出m个元素的每一个排列对应着问题里的什么事件，最后根据排列数公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)进行计算． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 学习效果·课堂评估夯基础 √ ．＝(　　) A． 　 B．2 025 C． 　 D．　 A　[＝＝．] 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 2．下列问题不是排列问题的是(　　) A．从2，3，5，7，11中任取两数相乘，可得多少个不同的积 B．从2，3，5，7，11中任取两数相减，可得多少个不同的差 C．某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一名，共有多少种选举结果 D．某商场有四个大门，若从一个门进入，购买商品后再从另一个大门出来，不同的出入方式共有多少种 √ A　[只有A中两数相乘与顺序无关不是排列问题，其余都与顺序有关，属于排列问题．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 3．从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，则不同的商有 (　　) A．12个 　 B．10个 C．8个 　 D．6个 √ B　[∵＝＝，∴不同的商有－2＝4×3－2＝10．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 4．已知＝，则n＝________． 7　[∵＝，∴n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n≥2，n－4≥2，且n∈N＋，∴n＝7或n＝(舍)，∴n＝7．] 7　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 5．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法． [解]　由题意作出树形图，如图．     故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 1．排列的定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”． 2．有关排列数公式的应用，应注意选择哪种形式的公式，还要注意其中的隐含条件． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 课时分层作业(三十一)　排列与排列数　排列数公式 一、选择题 1．已知＝132，则n等于(　　) A．11 　 B．12 C．13 　 D．14 B　∵＝n(n－1)＝132，∴n＝12或n＝－11(舍)，∴n＝12．] 34 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．89×90×91×…×100可表示为(　　) √ C　[最大数为100，共有12个连续整数的乘积，由排列数公式的定义可以得出．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 3．将五辆车停在5个车位上，其中A车不停在1号车位上，则不同的停车方案种数为(　　) A．24 　 B．78 C．96 　 D．120 √ C　[∵A车不停在1号车位上，∴可先将A车停在其他四个车位中的任何一个车位上，有4种可能，然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列，有种停法，由分步乘法计数原理，得共有＝4×24＝96种停车方案．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 4．已知＝10，则n的值为(　　) A．4 　 B．5 C．6 　 D．7 √ B　[＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，2n＝10，n＝5．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 5．不等式的解集是(　　) A．{x|x>3}　 　 B．{x|x>4，x∈N} C．{x|x>4}　 　 D．{x|x>3，x∈N＋} √ D　[由题意得x[x×(x－1)×(x－2)]>3×[x×(x－1)]，∵x≥3且x∈N＋，∴x－1>0，∴x(x－2)>3，即x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1(舍)， ∴原不等式的解集为{x|x>3，x∈N＋}．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 二、填空题 6．从6个不同元素中取出2个元素的排列数为______．(用数字作答) 30　[＝6×5＝30．] 30　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 7．从4个蔬菜品种中选出3个，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，则不同的种植方法有________种．(用数字作答) 24　[本题可理解为从4个不同元素(4个蔬菜品种)中任取3个元素的排列个数，即为＝24(种)．] 24　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 8．集合p＝{x|x＝，m∈N＋}，则p中元素的个数为________． 3　[由，m∈N＋的意义可知，m＝1，2，3，4． 当m＝1时＝＝4； 当m＝2时＝＝12； 当m＝3时＝＝24； 当m＝4时＝＝24． 由集合元素的互异性可知，p中元素的个数共有3个．] 3　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 三、解答题 9．(源自人教B版教材)求证：＝． [证明]　由排列数公式可知 ＝＋m ＝ ＝ ＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 10．有三张卡片，正面分别写着1，2，3三个数字，反面分别写着0，5，6三个数字，问这三张卡片可组成多少个三位数？ [解]　先排列三张卡片，有×2×2×2种排法，0排在首位的个数为×2×2，则这三张卡片可以组成×2×2＝40个三位数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 43 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 11．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A．12种 　 B．24种 C．48种 　 D．120种 B　[∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有＝24(种)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 12．(多选题)下列等式中成立的是(　　) A．＝(n－2)　 B． C．n 　 D． √ ACD　[A中，右边＝(n－2)(n－1)n＝成立；C中，左边＝n×(n－1)×…×2＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝成立；D中，左边＝＝＝成立；经验证只有B不正确．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 13．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法种数共有(　　) A．48 　 B．72 C．78 　 D．84 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 A　[将五个球排成一行共有种不同的排法， 当两个红色球相邻共有种不同的排法， 当两个黄色球相邻共有种不同的排法， 当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法， 则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有＝120－48－48＋24＝48(种)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 47 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1　排列与排列数 2.2　排列数公式 $