课时分层作业42 离散型随机变量的方差(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

课时分层作业(四十二)　离散型随机变量的方差 说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共85分 一、选择题 1．若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为(　　) A．无法求　　 B．0　　 C．EX　　　　 D．2EX 2．已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则DX等于(　　) A．0 　 B．0.8 C．2 　 D．1 3．若随机变量X的分布列为 X 0 1 P p q 其中p∈(0，1)，则(　　) A．EX＝p，DX＝p3 B．EX＝p，DX＝p2 C．EX＝q，DX＝q2 D．EX＝1－p，DX＝p－p2 4．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下： ξ 0 1 2 P η 0 1 2 P 甲、乙两名工人的技术水平较好的为(　　) A．一样好 　 B．甲 C．乙 　 D．无法比较 5．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于(　　) A．0 　 B．2 C．4 　 D．无法计算 二、填空题 6．随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a＋c＝2b，若Eξ＝，则Dξ＝________． 7．若X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D＝________． 8．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________． 三、解答题 9．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.2 求EX，DX，D(2X－3)． 10．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 0.5 x y 若Eξ＝，则Dξ＝(　　) A． 　 B． C． 　 D．1 11．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，则(　　) A．EX＝1，DX＝1 　 B．EX＝2，DX＝1 C．EX＝1，DX＝2 　 D．EX＝2，DX＝2 12．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则EX＝________，DX＝________． 13．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(四十二) 1．B　[∵EX是一个常数，∴E(X－EX)＝EX－EX＝0．] 2．B　[∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8．] 3．D　[由于p＋q＝1，所以q＝1－p．从而EX＝0×p＋1×q＝q＝1－p，DX＝[0－(1－p)]2p＋[1－(1－p)]2q＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p－p2．] 4．C　[工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为： Eξ＝0×＝0.7，Dξ＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81． 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为： Eη＝0×＝0.7，Dη＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61． 由Eξ＝Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定．] 5．A　[在分布列中概率的和为1，则a＋＝1，a＝． ∵Eξ＝2，∴＝2． ∴m＝6－2n． ∴Dξ＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2． ∴n＝2时，Dξ取最小值0．] 6．　[由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③， 以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故Dξ＝．] 7．　[∵EX＝1×， ∴DX＝，∴D．] 8．　[X的分布列为 X 1 3 5 P 则EX＝1×，DX＝．] 9．解：∵0.2＋0.3＋a＋0.2＝1，∴a＝0.3． ∴EX＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.3＋3×0.2＝1.5． ∴DX＝(0－1.5)2×0.2＋(1－1.5)2×0.3＋(2－1.5)2×0.3＋(3－1.5)2×0.2＝1.05．∴D(2X－3)＝4DX＝4.2． 10．A　[由分布列性质，得x＋y＝0.5． 又Eξ＝，得2x＋3y＝，可得 Dξ＝．] 11．A　[X的所有可能取值为0，1，3， X＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况， 所以P(X＝0)＝： X＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 所以P(X＝1)＝： X＝3表示三位学生全坐对了，只有1种情况，所以P(X＝3)＝． 所以X的分布列为 X 0 1 3 P 所以EX＝0×＝1，DX＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．] 12．　[因为X的取值为0，1，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝1－，所以EX＝0×，DX＝．] 13．解：(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得EX＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4． 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 EY＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6． 因为57.6>54.4，即EY>EX，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $