课时分层作业36 二项式系数的性质(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

课时分层作业(三十六) 1．A　[(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5．] 2．B　[由2n＝64，得n＝6，∴Tk+1＝x6-kx6-2k(0≤k≤6，k∈N)． 由6－2k＝0，得k＝3．∴T4＝＝20．] 3．C　[(x－1)11＝x11＋x10(－1)1＋x9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024．] 4．A　[令x＝－1，得a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(3－(－1))4＝44＝256．] 5．C　[由(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8，令x＝0，可得a0＝18＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8－1＝255，解得m＝1或m＝－3．故选C．] 6．10　[令x＝1得2n＝32，∴n＝5． ∵Tk+1＝(x2)5-k··x10-5k，∴由10－5k＝0，得k＝2，∴展开式中的常数项是＝10．] 7．34　[由已知，即，化简得．解得n＝34．] 8．10　[∵f(x)＝x5＝[(1＋x)－1]5，∴a3＝(－1)2＝10．] 9．解：依题意可知2n＝1 024，因此n＝10． 从而可知展开式的通项为 Tk+1＝(x2)10-k(－1)k＝(－1)kx20-2k， 要使此项含x6，必须有20－2k＝6，从而有k＝7，因此含x6的项为 T8＝(－1)7x6＝－x6＝－120x6． 10．解：(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1． (2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9． 由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为(1＋510)： ①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为(1－510)． 11．C　[令t＝x－3，则(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5可化为(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝×3＝10－36＝－26．] 12．A　[在(n∈N+)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第6项，则n＝10，则的展开式的通项为Tk+1＝·2k·，令5－＝0，得k＝2，可得展开式中常数项为·22＝180．] 13．ABC　[展开式的第k＋1项Tk+1＝x13-k·＝(－1)kx13-2k(k＝0，1，2，…，13)．对于A，展开式共有14项，根据组合数的性质可知，中间两项的二项式系数最大，即第7项和第8项的二项式系数最大，故A正确：对于B，令13－2k＝0，得k＝，不是整数，则无常数项，故B正确：对于C，第7项的系数为(－1)6，第8项的系数为(－1)7<0，显然，故第7项系数最大，故C正确：对于D，第4项的系数为(－1)3＝－286，故D不正确．故选ABC．] 14．6　63　[逆用二项式定理得＋22＋23＋…＋2n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以＋…＋＝26－＝64－1＝63．] 15．解：∵， ∴其通项为Tr+1＝(r＝0，1，…，10)， 要求原式中的常数项，则应先求出的展开式中的常数项． ∵Tk+1＝ar-kar-3k(k＝0，1，2，…，r)， 由题意，令r－3k＝0，即r是k的3倍． 又r∈N，且r≤10，∴r＝0，3，6，9，此时k＝0，1，2，3． 当r＝0时，k＝0，系数为＝1： 当r＝3时，k＝1，系数为＝360： 当r＝6时，k＝2，系数为＝3 150： 当r＝9时，k＝3，系数为＝840． ∴展开式的常数项为1＋360＋3 150＋840＝4 351． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(三十六)　二项式系数的性质 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分 一、选择题 1．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　) A．5　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．15 2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　) A．10　　　 　　B．20　　　 　　C．30　　　 　　D．120 3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　) A．－2 048　　　 B．－1 023 C．－1 024　　　 D．1 024 4．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(　　) A．256　　　　　　B．136　　　　　C．120　　　 　　D．16 5．设(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，若a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m为(　　) A．1　　 B．－1 C．1或－3　　 D．－1或－3 二、填空题 6．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3． 8．将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________． 三、解答题 9．(源自人教B版教材)已知(x2－1)n的展开式中，所有的二项式系数之和为1 024，求展开式中含x6的项． 10．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求: (1)各项系数之和； (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 11．若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝(　　) A．－70　　　　B．28　　　　C．－26　　　　D．40 12．在(n∈N+)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第6项，则展开式中常数项是(　　) A．180　　　　B．120　　　　C．90　　　　D．45 13．(多选题)关于的说法，下列正确的是(　　) A．展开式中第7项和第8项的二项式系数最大 B．展开式中无常数项 C．展开式中的第7项的系数最大 D．展开式中第4项的系数为286 14．已知＋…＋2n＝729，则n＝________；＋…＋＝________． 15．求展开式中的常数项． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $