4.4 第1课时 二项式定理(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦二项式定理及展开式通项公式核心知识点，从观察低次幂展开式系数规律入手，引导学生用计数原理证明定理，掌握通项公式，形成从具体到抽象再到应用的学习支架，助力解决特定项、常数项等问题。 通过观察归纳培养数学眼光，用计数原理证明发展逻辑推理，例题变式（如母题探究求常数项）提升数学运算。课中例题解析与跟进训练辅助教学，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

4.4　二项式定理 第1课时　二项式定理 学习任务 核心素养 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点) 1．通过对二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养． 观察以下各式： (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 它们的系数之间有何规律？各项系数与我们学过的组合数有何联系？那么(a＋b)n的展开式又是什么？ 知识点1　二项式定理 (a＋b)n＝bn． (1)上述公式称为二项式定理； (2)右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，一共有n＋1项； (3)各项的系数(其中0rn，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在二项式定理公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) an－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 等于(　　) A．2n B．2n－1 C．3n D．1 C　[原式＝(2＋1)n＝3n．] 知识点2　二项展开式的通项公式 式中an－rbr叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项为展开式的第r＋1项，Tr＋1＝an－rbr． 1．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？ [提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？ [提示]　不同．(a＋b)n展开式中第r＋1项为an－rbr，而(b＋a)n展开式中第r＋1项为bn－rar． 3．(1)(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　) A．－720 B．720 C．120 D．－120 (2)(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为______，第3项的二项式系数为________． (1)D　(2)40　10　(－x)3＝－120x3． (2)∵T3＝(2x)2＝22x2＝40x2， ∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为＝10．] 类型1　二项式的展开式 【例1】　【链接教材P197例1】 (1)求的展开式； (2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)． [解]　(1)法一：＝＝81x2＋108x＋54＋． 法二：＝＝(1＋3x)4 ＝(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋54＋108x＋81x2． (2)原式＝(x－2)0－1 ＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1． 【教材原题·P197例1】 例1　求的展开式． [解]　＝＝(3x－1)4 ＝(－1)4] ＝(81x4－108x3＋54x2－12x＋1) ＝81x2－108x＋54－． 　求二项展开式的常见思路 (1)简单的二项式问题，直接运用二项式定理展开． (2)较复杂的二项式问题，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便． (3)含负号的二项展开式形如(a－b)n的展开式中会出现正、负间隔的情况． [跟进训练] 1．(1)用二项式定理展开； (2)化简：． [解]　(1)法一：＝ ＝32x5－120x2＋． 法二：＝＝(－3)5] ＝·(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243) ＝32x5－120x2＋． (2)原式＝＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn． 类型2　求展开式中的特定项 【例2】　已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162． (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． [解]　(1)因为T3＝)n-2＝， T2＝)n-1＝， 依题意，得＝162，所以＝81， 所以n2＝81，n＝9． (2)设第r＋1项含x3项， 则Tr＋1＝)9-r＝， 所以＝3，r＝1， 所以第二项为含x3的项，T2＝x3＝－18x3． 二项式系数为＝9． [母题探究] 1．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项． [解]　通项公式为Tr＋1＝． 由＝0得r＝3． ∴展开式中的常数项为＝－672． 2．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的所有有理项． [解]　由题意可得故r可取1，3，5，7，9． 故二项展开式的所有有理项为 T2＝x3＝－18x3； T4＝x0＝－672； T6＝x-3＝－4 032x-3； T8＝x-6＝－4 608x-6； T10＝x-9＝－512x-9． 　1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第r项，Tr＝an－r+1br-1． (2)求含xr的项(或xpyq的项)． (3)求常数项． (4)求有理项． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)． (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． [跟进训练] 2．在的展开式中，常数项为________． 20　[因为的展开式的通项为Tr＋1＝＝x6(r-3)，r＝0，1，…，6， 令6(r－3)＝0，可得r＝3， 所以常数项为＝20．] 3．在二项式(n≥2，n∈N＋)的展开式中，前3项的系数和为49． (1)求正整数n的值； (2)求出展开式中的常数项． [解]　(1)依题意，的通项公式为Tr＋1＝·＝·x-r＝ (r＝0，1，…，n)， 则前3项系数和＝49⇒1－2n＋2n(n－1)＝49⇒n＝6或n＝－4(负舍)，故n＝6． (2)由(1)可知：Tr＋1＝， 令＝0⇒r＝2， 即常数项为T3＝＝60． 类型3　二项式定理的灵活应用 【例3】　(1)＋的展开式中的常数项为(　　) A．32 B．34 C．36 D．38 (2)(x＋y)(2x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．80 B．120 C．240 D．320 (1)D　(2)B　[(1)的展开式的通项公式为Tr＋1＝(x3)4-r＝x12-4r， 令12－4r＝0，可得r＝3，所以的展开式的常数项为＝－32， 的展开式的通项公式为 Tk＋1＝x8-k＝x8-2k， 令8－2k＝0，可得k＝4，所以的展开式的常数项为＝70， 所以＋的展开式中的常数项为－32＋70＝38． (2)∵(x＋y)(2x＋y)5＝(x＋y)(32x5＋80x4y＋80x3y2＋40x2y3＋10xy4＋y5)， 故展开式中x3y3的系数40＋80＝120．] 　1．两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性． [跟进训练] 4．(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________． (2)(x2＋2)的展开式中的常数项为________． (1)3　(2)－25　[(1)由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4． 故(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得a＝3． (2)的通项为Tr＋1＝＝·x6-2r， 则(x2＋2)的展开式的常数项须6－2r＝0或者6－2r＝－2， 所以r＝3或r＝4，常数项为＋2×＝15－40＝－25．] 1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得(　　) A．(x－1)4 B．x4 C．(x＋1)4 D．x5 B　[原式＝[(x－1)＋1]4＝x4．] 2．展开式中含x4项的系数是(　　) A．40 B．10 C．－40 D．－10 A　[根据所给的二项式写出展开式的通项， Tr＋1＝·(x2)5-r·＝·(－2)r·x10-3r， 要求x4的项的系数， ∴10－3r＝4， ∴r＝2， ∴x4的项的系数是＝40．] 3．在的展开式中，中间项是________． －160x3　[由n＝6知中间一项是第4项， 因为T4＝(2x2)3·＝·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3．] 4．在的展开式中常数项是________． 7　[ ＝， 当8－r＝0， 即r＝6时，T7＝＝7．] 5．(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)． －28　[因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8， 所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x3y5＝－28x2y6， 所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)你能写出本节课所学的公式吗？ [提示]　①二项式定理(a＋b)n＝an＋an-1b＋…＋an－rbr＋…＋bn． ②二项展开式的通项Tr＋1＝an－rbr． (2)你能写出(a－b)n的展开式的通项吗？ [提示]　Tr＋1＝an－rbr． 课时分层作业(四十)　二项式定理 一、选择题 1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 D　[原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5．] 2．(2x－y)5的展开式中x2y3的系数为(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 D　[(2x－y)5的展开式的通项公式为 Tr＋1＝·(2x)5-r·(－y)r， 令r＝3，可得展开式中x2y3的系数为－·22＝－40．] 3．展开式中的常数项是(　　) A．189 B．63 C．42 D．21 D　[的展开式的通项公式为 Tr＋1＝·(3x3)7-r·， 令21－＝0，解得r＝6， 所以展开式中的常数项是T7＝·3＝21．] 4．设(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a4＝(　　) A．17 B．18 C．16 D．19 A　[(1－2x)4的展开式的通项为Tr＋1＝(－2x)r＝xr，所以a0＋a4＝＋＝17．故选A．] 5．(多选题)对于的展开式，下列说法正确的是(　　) A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是240 C．展开式中x-3的系数为－160 D．展开式中x-6的系数为60 BCD　[因为n＝6，故的展开式共有7项，故选项A错误； 的展开式的通项公式为＝26-rx6-3r， 当r＝2时，展开式的常数项为＝240，故选项B正确； 令6－3r＝－3，得r＝3，展开式中x-3的系数为＝－160，故选项C正确； 令6－3r＝－6，得r＝4，展开式中x-6的系数为＝60，故选项D正确．] 二、填空题 6．(x＋2)4的展开式中x3的系数为________． 8　[(x＋2)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝x4-r·2r，令4－r＝3，可得r＝1， 所以展开式中x3的系数为×2＝8．] 7．的展开式中的常数项为________． －80　[∵展开式的通项为Tr＋1＝，令＝0，解得r＝3， ∴展开式中的常数项为－＝－80．] 8．在的展开式中，常数项是________． 15　[的展开式的通项为 5-r，令＝0，得r＝1，所以常数项为＝15．] 三、解答题 9．在二项式的展开式中，前3项系数的绝对值成等差数列． (1)求展开式的第4项； (2)求展开式的常数项． [解]　Tr＋1＝n－r ＝， 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得， 解这个方程得n＝8或n＝1(舍去)． (1)展开式的第4项为： T4＝． (2)当r＝0，即r＝4时，常数项为． 10．已知在的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解]　通项公式为： Tr＋1＝＝． (1)∵第6项为常数项， ∴当r＝5时，有＝0，即n＝10． (2)令＝2，得r＝(10－6)＝2， ∴所求的系数为(－3)2＝405． (3)由题意得，令＝k(k∈Z)， 则10－2r＝3k，即r＝5－k． ∵r∈Z，∴k应为偶数， ∴k＝2，0，－2，即r＝2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为 即405x2，－61 236，295 245x-2． 11．(多选题)使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的n的值可能为(　　) A．4 B．5 C．6 D．10 BD　[(3x)n－r＝，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0．当r＝2，n＝5时成立；当r＝4，n＝10时也成立．] 12．(1－x3)(1－x)9的展开式中x4的系数为(　　) A．124 B．135 C．615 D．625 B　[(1－x)9展开式中含有x的项和含有x4的项分别为(－x)4，故(1－x3)(1－x)9的展开式中x4的项为－(－x)＋(－x)4＝(9＋126)x4＝135x4，所以x4的系数为135，故选B．] 13．二项式(3＋x)n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝________． 10　[二项式(3＋x)n展开式的通项公式为Tr＋1＝3n－rxr，令r＝2，得x2项的系数为3n-2，令r＝0，得常数项为＝3n．因为x2项的系数是常数项的5倍，所以有3n-2＝5×3n，即n(n－1)＝90，所以n＝10(n＝－9舍去)．] 14．(x2＋2)的展开式的常数项是________． 3　[二项式展开式的通项为Tr＋1＝5-r·(－1)r＝·x2r-10·(－1)r． 当2r－10＝－2，即r＝4时，有＝×(－1)4＝5； 当2r－10＝0，即r＝5时，有x0·(－1)5＝－2． ∴展开式中的常数项为5－2＝3．] 15．已知m，n∈N＋，f (x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数． [解]　由题设知m＋n＝19， 又m，n∈N＋，所以1m18． x2的系数为＋(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171． 所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81， 此时x7的系数为＋＝156． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $