章末综合测评1 数列(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

章末综合测评(一)　数列 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列1，，3，，…，，…，则是这个数列的(　　) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项 2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列第6项a6＝(　　) A．6 B．8 C．12 D．16 3．在等比数列{an}中，已知a4a7＝8，a2a5a6＝24，则a2＝(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 4．如果b是a和c的等比中项，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．0或2 5．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A． B． C． D．n2＋n 6．已知数列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n＋1，则a2 023＝(　　) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 7．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则下列结论中正确的是(　　) A．数列{an}的通项公式为an＝2n B．数列{an}为等比数列 C．数列{ln an}为等比数列 D．数列{ln an}为等差数列 8．数列{an}是正项等比数列，满足anan＋1＝4n，则数列的前n项和Tn＝(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2 047 D．an＋an＋1＜an＋2 10．已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．14 11．设是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 13．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N＋)，则d＋q的值是________． 14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N＋)．用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N＋)． 16．(本小题满分15分)设数列{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求数列{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 17．(本小题满分15分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4． (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 18．(本小题满分17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋kn＋k． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 19．(本小题满分17分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评(一) 1．B　[观察可知该数列的通项公式为an＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B．] 2．B　[因为数列{an}是等差数列，由等差数列的性质得2a6＝a4＋a8＝16，所以a6＝8．故选B．] 3．C　[由题设可得⇒a1q＝3，由此可得a2＝3，故选C．] 4．A　[由b是a和c的等比中项，得到b2＝ac，且ac>0， 令ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则Δ＝b2－4ac＝ac－4ac＝－3ac＜0， 所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是0．故选A．] 5．A　[设公差为d，则a1(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，把a1＝2代入可解得d＝．∴an＝2＋(n－1)×＝n＋．∴Sn＝＝n2＋．故选A．] 6．C　[∵an＋1＋an＝2n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝－(an－n)， 即数列{an－n}是以1为首项，－1为公比的等比数列， ∴an－n＝(－1)n-1，∴an＝n＋(－1)n-1， ∴a2 023＝2 023＋(－1)2 022＝2 024．] 7．C　[因为a1＝2，an＋1＝，所以ln an＋1＝＝2ln an， 所以数列{ln an}是以2为公比，ln 2为首项的等比数列，所以C正确，D错误； 所以ln an＝2n-1ln 2，所以an＝ ，所以A错误， 所以＝＝ 不是常数，所以数列{an}不是等比数列，所以B错误．故选C．] 8．A　[数列{an}是正项等比数列，设公比为q(q>0)，由anan＋1＝4n，可得a1a2＝q＝4，a2a3＝q3＝16，解得a1＝，q＝2，则an＝a1qn-1＝·2n-1＝． 则＝ ＝＝ ＝2， 则Tn＝2 ＝2＝．故选A．] 9．ABD　[由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确；an＝2×2n-1＝2n，选项B正确； Sn＝＝2n+1－2，所以S10＝2 046，选项C错误； an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确．故选ABD．] 10．ACD　[由题意可得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋， 由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5，15， 因此，正整数n的可能取值有2，4，14．故选ACD．] 11．ABD　[由是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8， 则a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7<0，a7＋a8＝S8－S6<0， 则数列为递减数列，即选项A，B正确； 由S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)<0，即S9<S5，即选项C错误； 由a1>a2>…>a6＞a7＝0>a8>a9>…，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选ABD．] 12．25　[法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25． 法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25．] 13．4　[当n＝1时，S1＝a1＋b1＝1①，当n≥2时，an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n－2＋2n-1，则a2＋b2＝4②，a3＋b3＝8③，a4＋b4＝14④，②－①得d＋b1(q－1)＝3⑤，③－②得d＋b2(q－1)＝4⑥，④－③得d＋b3(q－1)＝6⑦，⑥－⑤得b1(q－1)2＝1，⑦－⑥得b2(q－1)2＝2，则q＝2，b1＝1，d＝2，所以d＋q＝4．] 14．　[设第n天织布的尺数为an，可知数列为等差数列，设等差数列的公差为d，前n项和为Sn，则a1＝5，an＝1，Sn＝90， 则Sn＝＝3n＝90，解得n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得d＝－，因此，每天比前一天少织布的尺数为．] 15．证明：　①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1<a2，所以，n＝1时，不等式成立； ②假设n＝k(k∈N＋)时，ak<ak＋1成立，则当n＝k＋1时， ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1＋ ＝ ＝>0， 所以，当n＝k＋1时，不等式成立． 综上所述，不等式an<an＋1(n∈N＋)成立． 16．解：　(1)设数列{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2． 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2． 故数列{an}的公比为－2． (2)记Sn为数列{nan}的前n项和．由(1)及题设可得，an＝(－2)n-1． 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n-1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n-1＋n×(－2)n． 可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n-1－n×(－2)n＝－n×(－2)n． 所以Sn＝． 17．解：　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2． 又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1． 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋． 18．解：　(1)当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋kn＋k－2－k－k ＝4n＋k－2， 当n＝1时，a1＝S1＝2k＋2， 又数列为等差数列， 故当n＝1时，a1＝2k＋2＝2＋k， 解得k＝0． 故an＝4n－2． (2)由(1)可知，bn＝ ＝， 故Tn＝ ＝＝ ． 故数列{bn}的前n项和Tn＝． 19．解：　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d， an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d． (2)由(1)得an＝an－1－d＝－d ＝·an－2－d－d ＝… ＝a1－d． 整理得an＝(3 000－d)－2d＝·(3 000－3d)＋2d． 由题意知am＝4 000，所以(3 000－3d)＋2d＝4 000， 解得d＝＝． 故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $