2.2.1 直线的点斜式方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，从点斜式基本形式切入，通过已知点和斜率求方程、斜率不存在情况等例题，过渡到斜截式及其与截距、象限的关系，构建从基础到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象倾斜角与斜率关系，用数学思维推理过定点问题（如将方程化为点斜式确定定点），通过数学语言（方程模型）描述直线特征。采用递进式例题与反思总结，提升学生抽象能力与推理意识，教师可借助分层作业和小结高效教学，助力核心素养培养。

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第2章 平面解析几何初步 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 2.2.1　直线的点斜式方程 学习任务 核心素养 1．了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程．(难点) 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．(重点) 3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．(难点、易错点) 通过学习直线的点斜式方程及斜截式方程，提升逻辑推理及数学运算素养． 2.2.1　直线的点斜式方程 设l1，l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1，l2是否唯一．如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标(x，y)应该满足什么条件． (1)已知l1的斜率不存在； (2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(－2，1)； (3)已知l2的斜率为； (4)已知l2的斜率为且l2过点B(1，2)． 必备知识·情境导学探新知 2.2.1　直线的点斜式方程 知识点1　直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k ______________ 斜率存在 的直线 2．当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是_______． y－y0＝k(x－x0) x＝x0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 思考　1．(1)过点P(x0，y0)，分别平行于x轴和y轴的直线的方程是什么？ (2)方程k＝与y－y0＝k(x－x0)表示同一条直线吗？ [提示]　(1)过点P(x0，y0)，平行于x轴的直线的方程为y＝y0； 过点P(x0，y0)，平行于y轴的直线的方程为x＝x0． (2)不表示同一条直线，k＝表示去掉P(x0，y0)的一条直线，而y－y0＝k(x－x0)表示整条直线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 体验　1．(1)思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) ①x轴所在直线的方程为x＝0． (　　) ②y轴所在直线的方程为y＝0． (　　) ③过点P(1，2)的所有直线都可表示为y－2＝k(x－1)． (　　) × × × (2)已知直线l的方程是y＋2＝－x－1，则直线l的斜率k＝________． －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 知识点2　直线的斜截式方程 1．直线l在y轴上的截距 直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线l在y轴上的截距． 2．直线的斜截式方程 方程____________由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定，因此该方程称为直线的斜截式方程，简称斜截式． y＝kx＋b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 思考　2．(1)截距是距离吗？ (2)一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？ [提示]　(1)不是．截距是直线与y轴交点的纵坐标，其值可正，可负，也可以为零，而距离不能为负值． (2)一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k可以为0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 体验　2．已知直线l的方程为y＝－2x－2，则直线l在y轴上的截距b＝________． －2　[由直线的斜截式方程可知b＝－2．] －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 类型1　直线的点斜式方程 【例1】　【链接教材P66例1】 已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的点斜式方程． 关键能力·合作探究释疑难 2.2.1　直线的点斜式方程 [解]　(1)如图所示， 因为A(1，1)，B(5，1)，所以AB∥x轴， 所以AB边所在直线的方程为y＝1． (2)因为∠A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)． 因为∠B＝45°， 所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)． 【教材原题·P66例1】 例1　已知直线l经过点P(2，3)，斜率为2，求直线l的方程，并画出该直线． [解]　经过点P(2，3)，斜率为2的直线的点斜式方程是y－3＝2(x－2)． 画该直线时，可在直线l上另取一点P1(x1，y1)， 如取x1＝1，y1＝1，得P1(1，1)， 过P，P1作直线即为所求，如图2.2-2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 反思领悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 [跟进训练] 1．求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与y轴平行； (3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 [解]　(1)因为直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)． (2)直线与y轴平行，斜率不存在，其直线方程为x＝3． (3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝ ＝－1．又因为直线过点P(－2，3)， 所以直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)． 类型2　直线的斜截式方程 【例2】　(1)倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线的斜截式方程为___________． (2)已知直线l的斜率与直线y＝x－3的斜率相等，且直线l与x轴交点的横坐标比在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程． y＝x－5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 (1)y＝x－5　[∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－， 设倾斜角为α，由tan α＝－，知α＝120°， 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝． 又所求直线在y轴上的截距是－5，故所求直线的斜截式方程为y＝x－5．] (2)[解]　由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b(b≠0)．令y＝0得x＝－b，所以直线l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，由题意知－b－b＝1，解得b＝－， 所以直线l的斜截式方程为y＝x－． 反思领悟　直线的斜截式方程的求法与应用 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要已知直线斜率，直线在y轴上的截距，就可以直接用斜截式表示． (2)已知直线的斜截式方程，可直接求得直线的斜率与y轴上的截距，与截距有关的问题，可先设出直线的斜截式方程y＝kx＋b，再求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 [跟进训练] 2．(1)若k<0，且b<0，则直线y＝kx＋b必不过(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 (1)A　[由k<0，b<0可知直线过第二、三、四象限．故选A．] (2)[解]　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时， x＝－6b． 由已知可得·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6， ∴b＝±1． 故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1． 类型3　直线过定点问题 【例3】　(1)直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标为________． (2)已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0． ①求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限； ②若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 尝试与发现 观察两题中的直线方程是否为点斜式，由此思考直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)过哪一定点． (2，3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 (1)(2，3)　[直线方程改写为点斜式y－3＝k(x－2)，则过定点(2，3)．] (2)[解]　①证明：将直线l的方程整理为y－＝a， 则直线l的斜率为a，且直线l过定点A． 又点A在第一象限，所以直线l过第一象限． 故不论实数a为何值，直线l总经过第一象限． ②因为O(0，0)，A，所以直线OA的斜率为k＝＝3． 又直线l不经过第二象限，所以a≥3． 即实数a的取值范围是[3，＋∞)． 反思领悟　(1)证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想． (2)对于直线过定点问题，若直线的斜率存在，则把直线方程化为点斜式y－y0＝k(x－x0)的形式，从而不论直线的斜率k取何值，直线都过定点(x0，y0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 [跟进训练] 3．已知直线l：y＝kx＋2k＋1． (1)求证：直线l过定点； (2)若当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． [解]　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)，则直线l过定点(－2，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 (2)设函数f (x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线． 当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方， 则即 解得－k1． 所以实数k的取值范围是． 1．(多选题)下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是(　　) A．x＝3　　　　　　　　 B．y＝－5 C．2y＝x D．y＝4x－1 学习效果·课堂评估夯基础 √ BD　[根据直线的斜截式方程的特点知，y＝－5，y＝4x－1是直线的斜截式方程，故选BD．] √ 2.2.1　直线的点斜式方程 2．方程y＝k(x－2)表示(　　) A．经过点(－2，0)的所有直线 B．经过点(2，0)的所有直线 C．经过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线 D．经过点(2，0)且除去x轴的所有直线 √ C　[直线过定点(2，0)，又直线斜率存在，则直线不垂直于x轴，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 3．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 √ B　[∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为________． x＝3　[因为直线y＝x＋1的倾斜角是45°， 所以直线l的倾斜角为90°， 又直线l过点P(3，3)，所以直线的方程是x＝3．] x＝3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 5．直线l：mx＋y－1－m＝0过定点________；过此定点倾斜角为的直线方程为________． 　x＝1　　[直线l方程可整理为y－1＝－m(x－1)， 故直线l过定点，过此点且倾斜角为的直线方程为x＝1．] x＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)试写出直线的点斜式方程． [提示]　y－y0＝k(x－x0)． (2)试写出直线的斜截式方程． [提示]　y＝kx＋b． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．(教材P66练习T1(3)改编)过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线的点斜式方程为(　　) A．y－2＝－(x＋4) B．y－(－2)＝－(x－4) C．y－(－2)＝(x－4) D．y－2＝(x＋4) 课时分层作业(十三)　直线的点斜式方程 33 B　[所求直线的斜率k＝tan 150°＝－，直线的点斜式方程为y－(－2)＝－(x－4)，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　) A．任何一条直线 B．不过原点的直线 C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线 D　[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 35 3．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能正确的是(　　) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　　　B C　　　　　　D A　[在选项B，C中，b1>b2，不合题意；在选项D中，k1<k2，故D错．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 36 √ 4．下列直线中过第一、二、四象限的是(　　) A．y＝2x＋1　　　　　　 B．y＝x＋ C．y＝－2x＋4 D．y＝x－3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[若直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，则k<0，b>0，选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C项满足k<0，b>0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 37 √ 5．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则(　　) A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[将直线方程化成斜截式得： y＝－x－(由题设条件可知，b≠0)，由于直线经过第一、二、三象限，所以它的斜率与在y轴上的截距均为正，所以－＞0，－＞0，所以ab＜0，bc＜0，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 38 二、填空题 6．直线ax－2y＋4－2a＝0恒过定点________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2，2)　[由题意，直线ax－2y＋4－2a＝0可化为y－2＝(x－2)， 根据直线的点斜式方程，可得直线恒过点(2，2)．] (2，2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 39 7．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y－(－)＝(x－2)　[因为直线y＝x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k＝tan 60°＝． 又该直线过点A(2，－)， 故所求直线的点斜式方程为y－(－)＝(x－2)．] y－(－)＝(x－2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 40 8．与直线x－y＝0的夹角为，且过点(0，1)的直线l的方程为________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y＝x＋1或y＝1　[直线x－y＝0的斜率k＝，即倾斜角是，直线l与直线x－y＝0的夹角为，故直线l的倾斜角是0或，故斜率为0或，故过点(0，1)的直线l的方程为y＝x＋1或y＝1．] y＝x＋1或y＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 41 三、解答题 9．根据条件写出下列直线方程的斜截式： (1)经过点A(3，4)，在x轴上的截距为2； (2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴上的截距与直线y＝2x＋3的相同． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 42 [解]　(1)法一：易知直线的斜率存在， 设直线方程为y＝k(x－2)， ∵点A(3，4)在直线上， ∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 法二：由于直线过点A(3，4)和点(2，0)， 则直线的斜率k＝＝4， 由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8． (2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1， 又直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3， 所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 10．求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 45 法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0． 令解得 ∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 √ 11．已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列图形中，正确的是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 47 D　[逐一判定即可．对于选项A，由l1的图象知a>0，b>0，由l2的图象知a<0，b<0，矛盾，故A错误；对于选项B，由l1的图象知a>0，b<0，由l2的图象知a<0，b>0，矛盾，故B错误；对于选项C，由l1的图象知a<0，b>0，由l2的图象知a<0，b<0，矛盾，故C错误；对于选项D，由l1的图象知a<0，b>0，由l2的图象知a<0，b>0，故D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 12．(多选题)若直线l经过点P(2，3)，且在x轴上的截距的取值范围是(－1，3)，则其斜率k的可能取值是(　　) A．2　　B．－2　　C．3　　D．－4 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ACD　[取x轴上的点M(－1，0)，N(3，0)，则kPM＝＝1，kPN＝＝－3．∵直线l与线段MN相交(不包含端点)，∴k>1或k<－3．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 49 13．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (－∞，0]　[当k＝0时，直线y＝2不过第三象限； 当k>0时，直线过第三象限； 当k<0时，直线不过第三象限．] (－∞，0] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 50 14．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 k≥1或k－1　[令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2． 由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1， 所以k的范围是k≥1或k－1．] k≥1或k－1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 51 15．直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 52 [解]　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2． 令y＝0，得x＝，由三角形的面积为2，得×2＝2． 解得k＝．可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　直线的点斜式方程 $