2.2.4 均值不等式及其应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

N高申数学必修第一册人教B版 2.2.4均值不 效果评价 1.给出下列条件：①ab>0:②ab<0: ③a0,6>0:④a<0,b<0.其中能使名+号 ≥2成立的条件的个数有() A.1 B.2 C.3 D.4 2.设a,b为正数，且a+b=4,则下列各 式中正确的是() A.1+1<1 B.1+L≥1 a b a b C.1+}<2 D.1+1≥2 a b a b 3.如果m>0,那么当m+16取得最小值 m 时，m的值为() A.-4 B.4 C.8 D.16 4.已知a>0,b>0且ab=1,则1+ 2a+26+ 8的最小值为() at A.2 B.4 C.6 D.8 5.(多选题)16世纪中叶，英国数学家 雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作 为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次 使用“<”和“>”，并逐渐被数学界接受， 不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 实数a>b,则下列不等式不一定成立的有 () (26)练 等式及其应用 A8>刘 B.ab+b2 C.b+a≥2 D&号 6.当x∈[0,3]时，不等式x2+(a-4)x+ 4>0恒成立，则a的取值范围为 7.某种饮料分两次提价，提价方案有两 种.方案甲：第一次提价p%,第二次提价9%； 方案乙：每次都提价P%.若p>g>0,则提 价多的方案是 8.(多选题)设a>0,b>0,a+b=1,则 下列不等式中一定成立的是() Ab≤4 B.Va+V≥V2 C+6≥ D.b+4≥8 a b 9.设a>b>c,且1+≥m恒成 a-b+b-c a-c 立，求m的取值范围. 10.已知xe0,分，求函数y=+ ,8的最小值. 1-2x 提升练习 11.如果x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y 的最小值为() A多 B.1+V3 C.2V3-2 D.2-V3 12.已知正实数a,b满足，1 2a+b a+2b 1,则a+b的最小值为 第二章等式与不等式。 *13.经观测，某公路段在某时段内的车 流量y(千辆h)与汽车的平均速度v(kmh) 之间的丽数关系为00 900 (>0): (1)在该时间段内，当汽车的平均速度 v为多少时车流量y最大 (2)为保证在该时段内车流量至少为 12千辆，则汽车的平均速度应控制在什么 范围内？ 练(27N 高中数学必修第一册人教B版 解集是{x<-3或>2}.故选C. 2.D【解析】由题意，得4=m-4×受<0，即m- 2m<0,解得0km<2.故选D. 3.B【解析】由题意，知方程a2+5x+c=0的两根为 兮，弓，由根与系数的关系，得+了+了名 写}台解得-6,6l放迹B。 4.A【解析】不等式a--&06-K a 0.0<ac1,故a<,不等式的解集是a<。 a 故选A. (x-3)(x+1)<0, 5.A【解析】原不等式等价于x+1≠0， (x-2)2≠0， 解得-1<<3且x≠2.故选A. △=(m-3)2-4m≥0， 6.{mlm≥9y【解析】x+x2=3-m<0, .∴m≥9. (xx=m>0, 7.(-∞，-7]U[1,+∞)【解析】由x2+3x-4<0,得 x∈(-4,1).当x2-(2k+3)x+h2+3>0,即(x-)[x-(k+3)]> 0,解得x<k或x>k+3.由题意，知(-4,1)军(-∞，k)U (k+3,+∞)，.k≥1或k+3≤-4，即k∈(-∞，-7]U[1, +∞). 8.AC【解析】由已知条件，可知二次函数y=a2+ bx+c图象的开口向上，即a>0,故A正确；由已知，得 方程a2+bx+c=0的两根为-3,4，由根与系数关系得 b=-3+4, a 解得b=-a,因此x+c>0台--120>0. 8=-3x4, lc=-12a, 又a>0,<-12,因此B不正确；“c=-12a, b=-a, .cx2 a0e-12m2+r+a0e12r-l0ex<-}或xo号， 4 er-bxa0的解集为kK子或号，放C正确： 而a+b+c=--12a=-12a<0,故D不正确.故选AC. 9.解：①当a0时，原不等式即为-+1<0，解得心1. ②当a0时，原不等式化为。x-10,解得K 或o1 ③当0时，原不等式化为x-。x-1)<0. 若l,即。1时，不等式无解： 若心1，即1<1时，解得1<<1； 62 若0acl,即合>1时，解得l< 袋上，当a0时，不等式的解集为<或o1: 当a=0时，不等式的解集为{>1： 当0<a<1时，不等式的解集为x1< a 当a=1时，不等式的解集为☑； 当®1时，不等式的解集为< 10.解：(1)不等式a2-3x+b<0的解集为{x1< x<2},1和2是关于x的方程ax2-3x+b=0的两根， 1+23 由根与系数的关系，知 a 解得a=1,b=2. 1x2-6 a (2)由(1)知，不等式mx2+mx+3≥0对于xeR均 成立， 当m=0时，不等式为3≥0恒成立， 当m≠0时，应满足 fm>0, 4=m2-12ms0,解得0< m≤12. 综上，实数m的取值范围是[0,12]. 提升练习 11.C【解析】M={xeZ1-2<x<3}=-1,0,1,2}, 由2+x-6<0,得(x-2)(x+3)<0,解得-3<x<2,N= xl-3<x<2},.M∩N=-1,0,1.故选C 12.解：由1-x2≥㎡+a+1(xeR)的解集为☑，得 (1-x2)m<a2+a+1.而(1-x2)mx=1,∴.2+a+1>1,∴.a<-1或 a>0,即a∈(-∞，-1)U(0,+∞). 13.解：由题意，不等式a2-x+1-a≤0对a∈ [2,3]恒成立，可设f(a)=(x2-1)a+(-x+1),a∈ [2,3],则f(a)是关于a的一次函数，要使题意成立， 只20.0解得-号≤e1,x的取 f3)≤03-x-2≤0， 值范围是}小 2.2.4均值不等式及其应用 效果评价 1C《解析】当名，号均为正数时，合+号≥2， 故只需a,b同号即可，∴.①③④均可以.故选C. 2B【解标】≤生≤生-4，+公≥ 2V石≥2V牙1.放选B. 3B【解折】由于m>0,散m+治≥2Vm-8, m 当且仅当m=16,即m=4时，取等号.放选B. m 4B【解桥】女7品器+品学空+之 2V学-4 当且仅当学品时，原等号，闻16 lab=1 u-2-V3,或 =2+V了，时取等号. b=2+V3b=2-V3 5.ACD【解析】当a=-1,b=-2时，满足a>b,此 时号=号<1，故A符合题意：7-2h=a-b八0. 4>2,变a,即c梦，≤学-定 2 成立，故B不符合题意；当a=1,b=-1时，满足a>b, 此时b+4=-1-1=-2<2,故C符合题意；当=1，b=-1 b 时，满足b,此时少}=l,故D符合题意放选 ACD. 6.(0,+∞)【解析】由题知x2+ax-4x+4>0, .ax>-x2+4x-4. ①当x=0时，0>-4恒成立，∴.a∈R; ②当x0,3]时，心4-4-+4 x0,.+=24. -+44≤-44-0，a80 综上①②，a的取值范围为(0，+∞) 7.乙【解析】设原价为1，则提价后的价格为方案 甲：(1p%)(19%),方案乙：1+生%) VI+p9%1+%≤1±p%1+%-1+P9%,且py>0, 2 .V1+p%)(1+9%)<1+p%,即(1+p%)(1+g%)< 2 1+P9%,提价多的方案是乙. &.ACD【解析】ab≤a-子，当且仅当a-b 2 号时，取等号，A正确面(Va+V万)ab+2Va面 ≤1+2yV牙-2Va+VD≤Vz,当且仅当a-b= 子时，取等号、B错误又4≥a少-宁，当且 仅当a号时，取等号，C正确又合+片-台 4a-8+物+4≥2V会要+44，当且仅当8-0 b a b a b 参考答案。 即G号，b号时，等号成立，故D正确放选ACD 9.解：由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0. 因此，原不等式等价于得+公≥m 要使原不等式恒成立，只需+二的最小值不 小于m即可 0-c+0-c=a-b)+b-c+a-b)+(b-c2-2+b-e a-bb-c a-b b-c a-b +b≥2+21/b-e.b=4, b-c V a-b b-c 当且仅当名后二，即2办0时，等号成立. .m≤4，即me{mlm≤4. 0屏：层经2212 =10+2.1-2+8.2x 2x 1-21 面xe0,号，212+822≥2V6=8. 2x 当组仅当2，是-8高 即=石=0，分时，取等号，则y≥18， 函数+受的数小值为8 提升练习 11.C【解析】已知x>0,y>0,且x+y+xy=2,即xy= 2-(+),利用均值不等式y≤空，可得2-(x+) ≤空，解得x+≥2V了2，当且仅当写=V3-1 时，取等号，则+y的最小值为2V3-2.故选C. 12.号【解析】令2ad,+2,则上+}1，且 x Y 0.0.a6g5w时5++2】 号2V号子2小广号，当且仅当2时，取等号 900 900 1.解：（D）Fr450+10+005 +100≥2V0.100-20V10, y= 90≤900一=180，当且仅 +1000+520V0+54V/10+1 当=1000，即=10V10时，等号成立.当汽车的 平均速度v=l0V0kmh时车流量y最大. 63 N 高中数学必修第一册人教B版 900v (2)令+50+000≥12，则可化为2-70咖+1000≤ 0,即(v-20)(v-50)≤0，解得20≤v≤50..汽车的平均 速度应控制在20kmh到50km/h范围内. >"阶段性练习卷（二) 1.A【解析】由题意，得M={x-1≤x<4,N={1≤ x≤5}，则MnW={1≤x<4}.故选A. 2.D【解析】.x2-3x+2=0,△=9-8=1>0，.当x<1或 x>2时，x2-3x+2>0成立，故A是假命题；x2=3,当且 仅当x=±V3,不是有理数，故B是假命题；x∈R, x2+1≥1，故C是假命题；移项，得4x2-(2x-1+3x2)=x2- 2x+1=(x-1)2≥0，即4x2≥2x-1+3x2,故D是真命题.故 选D. 3.C【解析】.不等式ax2-bx+c>0的解集为{xl-2<x< -2+1= a (b=-a, 1,-2x1=,c=-2a, a, a<0, a<0. ·=ar2+bx+c=a2-ax-2a=a(x2-x-2),图象开口方向向 下，与x轴的交点为(-1,0)和(2,0).故选C. 4.B【解析】x>2,y>1,(x-2)y-1)=4,∴x+y= a-2)40-10+3≥2V206T+7.当且取当 时，等号成立.故选B 5A【解折】若a血，则a记，b止 -1 ab a6d证信记r女产品女= 12+2+2=1+1+1 2 Vabc Vabe VabcVaV+Ve ”十一 bc=1是a+h+c≥L+】+的充分条件；当 Va vb Ve a=2,b=l,c=1时，a+h+e>++成立， Va vb Ve 但abc=2≠1，.abc=1不是必要条件.故选A 6.A【解析】a,beR,ab0,+4+1≥ ab =2b2, 1=+≥2y4地话=，当且仅当 ab ab=1 ab' V② 即2’时，取等号，放+41的最小值为4 |b2-V2 ab 4 故选A. 7.CD【解析】原式变式为：存在正数x,y使得t≥ 64 *+的+成立，即≥w+3+号 由题知，正数x,y满足+2y=4. 22*+头*}》 y 4+42 含+++3+2V号子 智，当且仅当可时，取等号，故选CD 8.ACD【解析】a+2b+3c=0,a>b>c,c<0,a>0. a>b,c<0,∴.ac<bc,A正确；当b=0时，满足a>b>c, 此时abl=clb1,B错误；a>b>c,a-e>b-c0,1< a-c 又ea0,>e,C正确：ob.a-b>0, ∴.a(a-b)>c(a-b),即ad-ab>ac-bc,整理，可得+bc> ac+ab=a(b+c),D正确.故选ACD. 9.4【解析】将x=2,)3代人方程组2-=m,得 x+my=n, [m=1.:m-nl-4. ln=5, 10.(1,+∞)【解析】若“3xeR,x2-2x+a≤0” 是假命题，则“Hx∈R,x2-2x+a>0恒成立”是真命题， 则需满足△=4-4a<0,解得a>1. 11.(-∞，3]【解析】原不等式变形为alx≤x2+lxl+ 1.当x=0时，0≤1恒成立，.a∈R.当x≠0时，a≤lxl+ 1.邮0，≥2.当且仅当订即1时， 取等号，.a≤3.综上，a∈(-0,3]. 12.[9,+∞)【解析】由a+b≥2Vab,可得ab= a+h+3≥2Vab+3,即ab≥2Vab+3,整理，得ab-2Vab -3≥0，即(Vab-3)(Vab+1)≥0.又a>0,b>0,解得 Vab≥3，即abe[9,+∞)，当且仅当b=3时，取等号. 13.解：设BC的长为xm,则与其相邻的一边长为 号(46-43)m, 依题意列方程，得(46-+3)x=299, 即x2-49x+598=0,解得x=26或x=23. .25<26,.=26(不符合题意，舍去)..x=23. 答：矩形花园的长BC为23m. 14.解：(1)关于x的不等式ax2-5x+(b+4)>0的 解集为xlr<2或>3}，2和3是方程ar2-5x+(b+4)=0的 /2+3=5 两个实数根，且a>0, 2X3=b+4