3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第三章函数。 第2课时1 函数的最大值、最小值 学习目标 B变式训练① 能够利用函数的单调性求简单函数的 设函数f(x)=-x2+4x-1在区间[t,t+1] 最值。 (t∈R)上的最大值为g(t),求g(t)的解 要点精析 析式. 川要点1利用函数的单调性求最值 例1已知函数f(x)=x2-a. (1)若函数f(x)在区间[1，+∞)上是增 函数，求实数a的取值范围. (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最 小值. 分析 一次函数、反比例函数以及二 次函数的单调性可以直接使用，过程中要 注意分类讨论， 学(63 N 高中数学必修第一册人教B版 例2已知函数fx)=+人+2，其中xE 2x 变式训练2 [1,+∞)，试求它的最小值 函数y=3x+V-1的最小值是 分析对于函数f(x)=ax+b (x>0,常 川要点2复合函数求最值 数a,b>0,可以证得，在0，V 上递 例3 (1)求函数y=(x2-2x)2+4(x2-2x) 减，在V,+上遥增，)=V合 的最小值， -2Vab (2）)求函数y=x2-2x 1一的值域 其中自变量范围允许的时候，最小值 分析复合函数f(g(x)求值域，只需 b 也可以通过均值不等式说明，即ax+ 要换元，设g(x)=,求出t的取值范围，然 后利用单调性求f(t)的取值范围即可. 2V品，当且仅当m=女，即x=√石时 取等号」 反思感悟 在求复合函数f八g(x)的最值时，应先 求出内函数t=g(x)的值域，在此基础上 再求外函数yf(t)的最值， B变式训练3 若函数f代x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于 直线=-2对称，则fx)的最大值为、 64)学 第三章函数。 要点3分段函数求最值 数学文化 例4设函数g(x)=x2-2(x∈R),fx)= 例高斯是德国著名的数学家，近代数 g(x)+x+4,x<g(x), 学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函 则fx)的值域是() g(x)-x,x≥g(x), 数”.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整 A是，0U1,+) 数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[-3.5] =-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=x-[x],则下列 B.[0,+∞) 选项中，正确的是（) c?+ A.f(x)的最大值为1，没有最小值 D.,0U2,+) B.fx)的最小值为0，没有最大值 C.f(x)没有最大值，没有最小值 分析 分段函数求值域，只需要把每 D.f(x)的最大值为1，最小值为0 一段的值域求出来，然后取并集。 分析先分段化简函数，并画函数图 B变式训练④ 象，再结合图象判断最值情况即可. 对于实数a,b,定义符号min{a,b}, 其意义为当a≥b时，min{a,b}=b;当a<b 时，min{a,b}=a.例如min(2,-l}=-l,若 关于x的函数为y=min{2x-1,-x+5},则该 函数的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.5 例5（多选题）下列说法正确的是 ( A.函数f(x+1)的定义域为[-2,2)，则 函数f(x)的定义域为[-1,3)》 B.x)=C和gx)=x表示同-个函数 C函数南的值城为0，】 D.定义在R上的函数f(x)满足2f(x) f-x)=+1,则fx)=+1 学(65均为减函数，故若f(x)=1+1存在跟随区间[a,b],则 1+1 a=y5 有 解得{ 2 b=1+V5 故存在，B正确。 b=1+ a 2 若函数fx)=m-Vx+I存在跟随区间[a,b],fx)= m-V+I为减函数，故由跟随区间的定义，可知 (b-m-Va+l, ab-VaT-VbT,b, am-Vb+T 即(a-b)(Va+1+Vb+I)=(a+1)-(b+1)=a-b. .a<b,..Va+T+Vb+T=1. 易得0≤Va+I<Vb+I≤1. ∴.a=m-Vb+1=m-(1-Va+1).令t=Va+I,代入化 简，可得P-t-m=0,同理t=Vb+1也满足2-t-m=0, 即2-m0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根。 故小40解得me人子，0，故C正确， -m≥0， 若x)=了+x存在“3倍跟随区间”，则可设定义 域为[a,b],值域为[3a,3b].当a<b≤1时，易得fx) =-了+x在定义域上单调递增，此时易得a,b为方 程-子+=3x的两根，解得x=0或=-4.故存在定义域 [-4,0],使得值域为[-12,0]，故D不正确.故选 ABC. 第2课时函数的最大值、最小值 要点精析 例1解：()函数f八x)=r-x的对称轴方程为x=号， :函数fx)在区间[1，+∞)上是增函数，号≤1，a≤2 (2)①当号≤1，即a≤2时，函数fx)在区间[1,2] 上是增函数，fx)mf1)=1-a; ②当号≥2，即a≥4时，函数fx)在区间[1,2]上 是减函数，f孔x)mf(2)=4-2a; ③当1k号2，即24时，函数f)在区间1，号)】 上是减函数，在号，2上是增函数，(x)mf受 经 综上所述，当a≤2时，fx)mf式1)=l-a, 当a≥4时，f(x)mf(2)=4-2a; 参考答案。 当2a4时.fx)号-子 变式训练1解：fx)=-x2+4-1=-(x-2)2+3. 当t+1≤2，即t≤1时，f(x)在区间[t,t+1]上为增 函数，·g(t)=ft+1)=-子+2t+2; 当t2<t+1,即1<t<2时，g(t)=f2)=3: 当t≥2时，f(x)在区间[t,t+1]上为减函数， .∴g(t)f(t)=-+4t-1. -t+2t+2,t≤1， 综上所述，g(t)=3,1<1<2, -t+4t-1,t≥2. 例2解：任取x1,2e[1,+∞)，且< fx1)-f(x2) =(x-)+212 11 urol-2 =(r6)2l 2x1X2 1≤x<2,x1-x<0,x>1, 2x-1>0,∴fx)-fa)<0. 即x)2),∴fx)在区间[1，+∞)上单调递增， 六当1时，)有最小值子 变式训练23【解析】由x1≥0，得x≥1，又y=Vx-I 在[1，+0)上是增函数，y=3x在[1，+∞)上也是增 函数，∴f(x)=3x+Vx-I在[1，+∞)上是增函数，则 f八x)mn=3. 例3解：(1)设t=x2-2,则=+4. 对t=x2-2xxeR，,te[-1,+∞)， 对y=2+4t,当te[-1,+∞)，得ye[-3,+∞). y的最小值为-3. (2)x2-2x≠0，x≠0且x≠2， 2定义域为t≠0且≠2外 设1=2-2x,则)= te[-1,+∞）， ye(-∞，-1]U(0,+∞). 注：画数)x无最大值也无最小值。 变式训练316【解析】点(1,0)，(-1,0)在 f(x)图象上，这两点关于直线x=-2的对称点(-5,0)， f-5)=(1-25)(25-5a+b)=0, (-3,0)必在fx)的图象上， f(-3)=(1-9)(9-3a+b)=-0 ja=8, 2b15 45 N 高中数学必修第一册人教B版 .∴fx)=-(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5). 令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4，.f(t)=-(t+3)(t-5)=16- (t-1)2≤16，故f(x)的最大值为16. 例4D【解析】由x<gx)=x2-2,得x2-x-2>0,则x<-1 或>2. 因此x≥g(x)=x2-2的解集为-1≤x≤2， 于是fx)= x2+x+2,x<-1或x>2, x2-x-2,-1≤x≤2 当x<-1或x>2时，fx)>2. 当1≤2时，-23-号 可得-？≤e)≤0. 因此)的值域是-是，0]U(2。+。 故选D. 变式训练4B【解析】由题可得y=min(2x-1,-x+5}= |2x-1,x≤2， .当=2时，ym=3.故选B -+5,2, 例5ACD【解析】A选项，对于f(x+1),令t=x+l,则 x=t-1∈[-2,2)，则t∈[-1，3)，.f(t),即f(x)的定 义域为[-1,3)，A选项正确；对于B,f(x)的定义域 为{≠O,g(x)的定义域为R,不是同一个函数，B选 大≤子，即雨 项不正确；对于C,+3≥3，.0<1 数y=3的值域为0，号]，C选项正确：对于D, 由2f(x)-f(-x)=x+1,可得2f(-x)-f(x)=-x+1,由 2f(x)-f-x)=x+1, 2f(-x)-fx)=-x+1 可得f八x)=专+l,D选项正确.故选 ACD 数学文化 例B【解析】由高斯函数的定义，可得 当0≤x<1时，[x]=0,则x-[x]=x; 当1≤x<2时，[x]=1,则x-[x]=x-1: 当2≤x<3时，[x]=2,则x-[x]=x-2; 当3≤<4时，[x]=3,则x-[x]=x-3. 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示 例题答图 46 观察可得函数有最小值0，没有最大值.故选B. 3.1.3函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 要点精析 例1解：(I)xeR,-xeR. 又f(-x)=-x+1l--x-11 =x-1-lx+1l=-(lx+1l-x-1l) =-f(x), fx)为奇函数. (2)函数fx)的定义域为{-1,1， 关于原点对称，且f(x)=0, .f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), f(x)既是奇函数又是偶函数。 (3)fx)的定义域为(-0,1)U(1,+∞)，不关于原点 对称， ·fx)为非奇非偶函数 (4)f孔x)的定义域是(-∞，0)U(0,+∞)，关于原点对 称 当x>0时，-x<0,f-x)=1-(-x)=1+xfx); 当x<0时，-x>0,f-x)=1+(-x)=1-x=fx). 综上可知，对于x∈(-∞，0)U(0,+∞)，都有f(-x)= f(x),f(x)为偶函数. 变式训练1ACD【解析】对于A,定义域为(-，0)U o).-H-0 =-f(x),∴f(x)是奇函数，故A正确；由1-x2≥0，lx+ 2-2≠0，得-1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称， gx)=Y=Y=V,满足g-x=-g. lx+2-2x+2-2 故g(x)是奇函数，故B错误；F(-x)=f(-x)f(x)=F(x), 故C正确；h(x)的定义域为{-2,2}，且h(x)=0, ∴h(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确.故选ACD. 例2解：(1)由题意，作出函数f(x)图象如图所示. 2个2x 111-11111 例2答图 (2)据图可知，单调递增区间为(-1,0)，(1，+). (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)