1.2.1 命题与量词-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 (26-6-x) 6 (15-10) 4(13-4-x) 例5答图 由全班共36名学生，可得 (26-6-x)+6+(15-10)+4+(13-4-x)+x=36, 解得=8. .同时参加数学和化学小组的有8人 方法二：设参加数学、物理、化学小组的学生构成 的集合分别为A,B,C,则card(AUBUC)=36, card (A )=26,card(B)=15,card(C)=13,card(AnB)=6. card(B∩C)=4,card(A∩C)=x,card(A∩BnC)=0,则 同时参加数学和化学小组的有x人，由全班共36名学 生可得26+15+13-6-4-x=36,解得x=8. .同时参加数学和化学小组的有8人 变式训练4C【解析】由题意，该中学既喜欢足球又 喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为0.6+0.82 0.96=0.46...该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占 该校学生总数的比例为46%.故选C 数学文化 例1证明：(1)如图1，A∩B区域里的元素出现两 次，.并集区域的元素个数等于各个集合中元素个数和 减去公共区域元素个数和，.结论(1)成立. (2)如图2，.A∩B,A∩C,B∩C区域里的元素分 别出现两次，而A∩B∩C区域里的元素出现三次， AUBUC区域中元素个数，应该等于A,B,C区域内 的元素个数和减去A与B,A与C,B与C的公共区域 元素个数，再加上三个区域的公共部分的元素个数， .结论(2)成立. A∩B A A∩B∩C B∩G y A∩B B A∩C C 图1 图2 例1答图 28 例2C【解析】设参加田赛的学生组成集合A,则card (A)=14, 参加径赛的学生组成集合B,则card(B)=9, 由题意，得card(A∩B)=5, ..card(A UB)=card(A )+card(B)-card(AB) =14+9-5=18, .高一(1)班参加本次运动会的人数共有18人. 故选C >“1.2常用逻辑用语 1.2.1命题与量词 要点精析 例1②④⑤④【解析】①是疑问句，不是命题；② 是命题，·一个数还可以是0，.·②是假命题：③是感叹 句，不是命题；④是命题，有人喜欢足球，也有人不喜 欢足球，④是真命题；⑤是命题，当x=0时，该命 题不成立，.⑤是假命题. 变式训练1ABC【解析】3能整除15，能判断真假， A是命题；x2+2x+1=(x+1)2≥0，B是命题；4不小于 2能判断真假，C是命题；“你准备考北京大学吗？” 是疑问句，不是陈述句，且无法判断真假，D不是命 题.故选ABC 例2解：(1)全称量词命题，Hn∈N,n2≥0，真 命题. (2)存在量词命题，3x∈R,x2≥2.取x=2,则x2- 4≥2，真命题. (3)存在量词命题，3平行四边形，它的对角线不 互相垂直.当平行四边形不是菱形时，其对角线不互相 垂直，真命题. (4)存在量词命题，3a∈R,函数y=ax+b的值随x 的增大而增大.当a心0时，则函数y=ax+b的值随x的增 大而增大，真命题. 变式训练2D【解析】x=0∈N,x>0不成立，故A 错误；CQ表示无理数，不存在x∈CQ,x∈Z,故B 错误；当x=2时，2x-3<0不成立，.x∈R,2x-3<0 不是真命题，故C错误；当x=1时，2x2-3x+1=0,. 了x∈Z,2x2-3x+1=0,故D正确.故选D. ·例3解：(1)由题意，可知不等式x2-a≥0在x∈ [1,2]上恒成立，即a≤x2在x∈[1,2]上恒成立，令 =x2,则ym=l,∴.a≤1，故实数a的取值范围为(-，1]. (2)由题意，可知存在x∈[1,2]，使得不等式x2- a≥0成立，即存在x∈[1,2]，使a≤x2成立，令y=x2, 则ym=4,.a≤4，故实数a的取值范围为(-∞，4]. 变式训练3解：若p是真命题，则a≤x对于x∈[1,2] 恒成立，.a≤(x2)m=1.故a的取值范围为(-o,1]. 数学文化 例1解：结合五个命题，可以列表如下： 甲 乙 丙 丁 休息 不 不 不 锻炼 不 不 不 读书 练字 不 不 由表格看出，丙在休息，乙在锻炼，由(3)可知， 甲在练字，最后推出丁在读书. 例2A【解析】“红豆生南国”是陈述句，所述事件 在唐代是事实，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问 句，不是命题；“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； “此物最相思”是感叹句，不是命题.故选A, 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 要点精析 例1解：(1)命题的否定：V2不是无理数.是假 命题. (2)命题的否定：3和4不都是15的因数.是真 命题. (3)命题的否定：若m2+n2=0,则实数m,n不全为 零.是假命题 (4)命题的否定：任意的质数都不是偶数.是假 命题. (5)命题的否定：存在能被3整除的数，不能被4 整除.是真命题 (6)命题的否定：存在一个三角形，它的两边之和 不大于第三边.是假命题 变式训练1ABD【解析】xX2-x-12=0,(x-4)(x+3)= 0,解得x=-3或x=4,.若x2-x-12=0,则x=4为假命 题，其否命题为真，故A符合题意；x5,解得<-V√5 或x>V5,2>5,则x>V5为假命题，其否命题为 真，故B符合题意；三角形中，大边对大角，在 △ABC中，若AB<BC,则有∠ACB<∠BAC为真命题， 其否命题为假，故C不符合题意；4=1-4=-3<0，则 x2-x+1=0无解，x2-x+1=0有实数根为假命题，其否命题 为真，故D符合题意.故选ABD. 例2(1)B(2)B【解析】(1)HneN,n2≤3+5， 故选B. (2)对于高0，解得0或1， 参考答案。 命题“x0,若>0”的香定是“3x0,0≤ x≤1”.故选B. 变式训练2D【解析】由全称量词命题的否定知，命 题“/x∈R,x2+2x+3≥0”的否定是“]x∈R,x2+2x+3< 0”.故选D. 数学文化 例1D【解析】甲、乙两人说的话矛盾，必有一对一错， 如果丁正确，则丙也是对的，丁是错误的，可得丙正确， 此时，乙正确.故选D. 例2AD【解析】当x∈Z时，x=[x]; 当xZ时，设k<<k+1(k∈Z),则[x]=k,则[x] <x<[x]+1. 综上，[x]≤<[x]+1,A正确，B,C选项均错误. 由上可知，[x]≤x<[x]+1,设x=[x]+{x,则0≤ (x<1. 若0≤{x+by<l,则[x+y]=[x]+[y]; 若1≤{+y<2,则[x+y]=[x]+[y]+1. 综上，Hx,yeR,[x]+[y]≤[x+y],D选项正确. 故选AD. 1.2.3充分条件、必要条件 要点精析 例1解：(1)记A={xlx>2,B={xlx<-2或x>2,则 A车B,p是q的充分不必要条件. (2)若x,y为无理数，则x+y可能为有理数，例如 x=-V2,y=V2,而x+y=0为有理数，·Pq. 反之，若x+y为无理数，则x,y可以有一个是有理 数，另一个是无理数，例如x=1,y=V2,·qp,p 是q的既不充分也不必要条件. (3)若x+y≥3，则x≥1或y≥2至少有一个成立. 假设x≥1或y≥2都不成立，则x<1且y<2,x+y<3,与 x+y≥3矛盾，p→q. 反之，若x≥1或y≥2，则x+y≥3不一定成立，例 如，当=-1，y=3时，不满足x+y≥3，∴qp,p是q 的充分不必要条件. (4)由方程ax+3=0在[-1,2]上有实数根，可得 -1≤-3≤2 a a>0, a<0, .-a+3≤0，或-a+3≥3， 2a+3≥0 2a+3≤0， 解得a≥3或a5-是 9:a≥3或a≤号，p→7且，p是g的充 29N 高中数学必修第一册人教B版 1.2 常用逻辑用语 1.2.1命题与量词 学习目标 变式训练1 1.了解命题的概念，会判断简单命题的 (多选题)下列语句是命题的有() 真假. A.3是15的约数 2.通过已知的数学实例，理解全称量词 B.x2+2x+1≥0 与存在量词的意义，会用符号语言表示全称 C.4不小于2 量词命题和存在量词命题， D.你准备考北京大学吗？ 3.会判断全称量词命题与存在量词命题 川要点2量词 的真假 1.全称量词与全称量词命题 要点精析 一般地，“任意”“所有”“每一个” 川要点1命题 在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量 词，用符号“V”表示. 可供真假判断的陈述语句就是命题，而 含有全称量词的命题，称为全称量词 且，判断为真的语句称为真命题，判断为假 命题， 的语句称为假命题. 符号表示：Vx∈M,r(x). 注：一个命题，要么是真命题，要么是 思考你能举出一个全称量词命题的 假命题， 例子吗？ 思考你能举出一个真命题、一个假 2.存在量词与存在量词命题 命题的例子吗？ “存在”“有”“至少有一个”在陈述 例1下列语句是命题的有 中表示所述事物的个体或部分，称为存在量 是真命题的有 (填序号) 词，用符号“了”表示 ①你会说英语吗？②一个数不是正数就 含有存在量词的命题，称为存在量词命 是负数.③这幅画真漂亮！④并非所有的人 题，符号表示：3x∈M,s(x). 都喜欢足球.⑤x2-1>0(x∈R) 思考你能举出一个存在量词命题的 分析根据命题的定义要求：一是可 例子吗？ 供真假判断，二是陈述语句 14 学 第一章集合与常用逻辑用语。 例2判断下列命题是全称量词命题还 变式训练2 是存在量词命题，用符号“H”或“了”表 下列命题中是真命题的是() 示，并判断其真假 A.Vx∈N,x>0 (1)自然数的平方大于或等于零， B.]x∈CRQ,x∈Z (2)存在实数x,满足x2≥2. C.Hx∈R,2x-3<0 (3)有些平行四边形的对角线不互相 D.3x∈Z,2x2-3x+1=0 垂直 *例3(1)已知命题“Hx∈[1,2]， (4)存在实数a,使函数y=ax+b的值随 x2-a≥0”是真命题，求实数a的取值范围. x的增大而增大. (2)已知命题“]x∈[1,2]，x2-a≥0" 分析确定命题中含有的量词，即可 是真命题，求实数a的取值范围 确定该命题是全称量词命题还是存在量词 分析根据命题的真假，可以把问题 命题 转化为不等式成立问题，再利用参变量分 离求最值来解决.(1)(2)问题中最关键 的词：（1)中是“任意”，而（2)中是 “存在” 反思感悟 要判定全称量词命题为真命题，可以 由已知条件进行逻辑推理，判断其为真命 题，也可以对限定集合中每个元素一一验 证结论成立；要判定全称量词命题为假命 题，可以举出限定集合中的一个元素，说 明结论不成立，要判定存在量词命题为真命 题，可以举出限定集合中的一个元素，说 反思感悟 明结论成立；要判定存在量词命题为假命 含有量词命题的真假求参数的取值范 题，可以由已知条件进行逻辑推理，判断 围，可以考虑将参数和变量进行分离，根 其为假命题，也可以对限定集合中每个元 据变量的最值求解参数范围.本题中，a为 素一一验证结论不成立 参数，x为变量 N 高中数学必修第一册人教B版 分析本题条件较多，比较复杂，可 变式训练3 以通过列表找出命题之间的矛盾部分得到 命题p:“Hx∈[1,2]，x2-a≥0.”若答案 p是真命题，求实数a的取值范围. 数学文化 *例1某大学同一宿舍有甲、乙、丙、 例2“红豆生南国，春来发几枝？愿 丁四名男生，周末上午没有课，待在宿舍 君多采撷，此物最相思.”这首《相思》是 中，一人在锻炼，一人在读书，一人在练 唐代山水田园诗人王维的作品.王维，字摩 字，另外一人在休息，每个人都做着不一样 诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之 的事情.有以下五个命题： 诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.” (1)甲不在休息，也不在锻炼； 这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题 (2)乙不在练字，也不在休息； 的是() (3)若丙在休息，则甲在练字； A.红豆生南国 B.春来发几枝 (4)丁不在锻炼，也不在休息； C.愿君多采撷 D.此物最相思 (5)丙不在锻炼，也不在练字 分析根据命题的定义判断可得出 若上面的命题都是真命题，问这四个人 结论 各自在做什么. 16)学