专题01直线与方程（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题01 直线与方程 题型1 斜率与倾斜角变换关系（常考点） 题型9 三线能否围成三角形问题（难点） 题型2 斜率公式应用 题型10 两点间距离公式的应用（重点） 题型3 直线与线段的相交关系求斜率的取值范围 （常考点）（重点） 题型11 点到直线的距离公式（常考点 题型4求直线方程 题型12 到两点距离相等的直线 题型5 直线与坐标轴围成三角形面积（常考点） 题型13 点关于直线的对称点（重点） 题型6 直线过定点 题型14 平行直线间距离（常考点 题型7 两条直线平行（重点） 题型15 直线关于点对称直线（重点） 题型8 两条直线垂直（重点） 题型16 直线关于直线对称问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 斜率与倾斜角变换关系（共5小题） 1．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系. 【详解】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 3．（多选）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 4．（多选）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】讨论、，结合斜率与夹角关系判断各项的正误. 【详解】当时，； 当时，. 故选：AB 5．求直线倾斜角的取值范围． 【答案】 【分析】先求斜率的取值范围，根据倾斜角和斜率的关系，分情况讨论即可. 【详解】由. 所以直线的斜率为：. 设倾斜角为，则（）. 所以当时，； 当时，. 综上，倾斜角的取值范围为：. 故倾斜角的取值范围为 题型二 斜率公式应用（共2小题） 6．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 7．已知，，，不能构成三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 题型三 直线与线段的相交关系求斜率的取值范围 （共3小题） 8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 9．已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 10．经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 题型四 求直线方程（共5小题） 11．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出的倾斜角及斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即， 则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是． 故选：A. 12．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况讨论，分别设出直线的方程，再将点代入即可求解. 【详解】当直线l在坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为， 因为直线l过点，所以，所以，所以直线方程为； 当直线l在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程设为， 将代入可得，此时直线方程为， 综上，直线l的方程为或． 故选：C. 13．过点，斜率为的直线点斜式方程为 . 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程求解． 【详解】由直线的点斜式方程得，． 故答案为： 14．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； （4）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 15．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程； (4)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1)， (2) (3)． (4)． 【分析】（1）解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； （3）由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； （4）由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】（1）解法1：由两点式得边所在直线方程为，即． 由截距式得边所在直线方程为，即． 解法2：因为，所以边所在直线方程为，即． 因为，所以边所在直线方程为，即． （2）解法1：设的中点为，由中点坐标公式可得， 由两点式得所在直线方程为，即． 解法2：设的中点为，由中点坐标公式可得， 则， 所以所在直线方程为，即． （3）因为，的中点， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． （4）因为，， 所以边上的高所在直线方程为，即． 题型五 直线与坐标轴围成三角形面积（共4小题） 16．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 17．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 18．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 19．已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用提取参数，来求出方程的一个解，从而得到直线恒过一定点； （2）利用截距式方程来求解三角形的面积，再利用直线过定点，得到方程组即可求解. 【详解】（1）由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 题型六 直线过定点（共4小题） 20．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 21．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分离参数将问题转化为过直线交点的直线系方程，即可求解. 解法一：直线方程可化为，解方程组，即可求解； 解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.解方程组，即可求解； 解法三：设直线过定点，则，即，解方程组，即可求解. 【详解】解法一：直线方程可化为， 分离参数后直线交点即为定点. 令，解得，所以直线过定点. 解法二（取特殊值）：直线方程中， 令，得；令，得. 由，解得，所以直线过定点. 解法三：设直线过定点，则， 即， 则，解得，所以直线过定点. 故选：B. 22．无论取何实数，直线都经过定点 【答案】 【分析】将已知直线化为，结合，可得方程组，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即直线， 由于，故， 即无论取何实数，直线都经过定点， 故答案为： 23．求证：为任意实数时，直线必过一定点． 【答案】证明见解析 【分析】将原方程变形成直线的点斜式方程得解；或将方程整理出过两直线交点的直线系方程求解. 【详解】将原方程变形为：， 即，可知直线过定点， 或将方程整理成恒成立， 所以， 从而. 所以直线恒过定点 题型七 两条直线平行（共4小题） 24．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 25．“”是“直线与直线平行”的（    ）． A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，两直线方程为，，所以两直线平行. 当直线与直线平行时，， 解得或， 当时，两直线方程为，，两直线平行， 当时，两直线方程为，，两直线平行， 所以由直线与直线平行，得或. 综上，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：B. 26．已知直线，直线，若，则 ． 【答案】 【分析】由两条直线平行列式计算即可. 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 27．已知点，直线．求： (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由直线平行，斜率相等得到斜率，再由直线的点斜式方程得到直线方程； （2）由直线垂直，斜率乘积为得到斜率，再由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】（1）直线的斜率为2，由直线的点斜式方程知过点且与直线平行的直线方程为， 即. （2）直线的斜率为2，过点且与直线垂直的直线斜率为， 由直线的点斜式方程知过点且与直线垂直的直线方程为， 即. 题型八 两条直线垂直 （共4小题） 28．已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 29．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，得到，求解即可判断. 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 30．经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果. 【详解】由题意可知的斜率为， 所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为， 故选：D 31．已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】2或0 【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a的方程即可求解. 【详解】由于直线与直线垂直， 故，解得或0． 故答案为：2或0 题型九 三线能否围成三角形问题（共4小题） 32．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 33．设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 34．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 35．（多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 题型十 两点间距离公式的应用（共3小题） 36．函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题将转化为点到两定点的距离和，然后利用将军饮马模型，得到距离最值即可. 【详解】， 则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示： 根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点， 则，此时直线的直线方程为 令，则，故当时，. 故选：A. 37．函数的最小值是 . 【答案】5 【分析】依题意可得，设，，，则问题转化为求点到点，两点的距离之和的最小值，求出关于轴的对称点的坐标，则，再根据距离公式求解即可. 【详解】解：因为 ， 设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即， 点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则， 所以，所以的最小值是. 故答案为： 38．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据两点距离公式的几何意义可得表示到点距离之和，作点关于轴的对称点，根据对称的性质结合不等式分析可得，运算求解 【详解】， 根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和， 如图所示，作出点关于轴的对称点， 连接，交轴于点，连接， 可得， 又由， 当且仅当点与重合时，等号成立， 所以，即函数的最小值为 故答案为： 题型十一 点到直线的距离公式（共3小题） 39．若点到直线（）的距离为3，则（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为点到直线（）的距离为3， 所以，结合可得， 故选：B. 40．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 41．已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】本题利用定点到定直线的距离为求直线方程，只需待定系数法列出等式进行求解. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 题型十二 到两点距离相等的直线（共3小题） 42．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 43．（多选）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先设直线方程，再根据点到直线距离公式列方程解得结果. 【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 可设所求直线方程为，即， 因为与点距离相等， 则，可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：BC 44．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】解法1：设出直线方程，利用两点到直线的距离相等，列出方程并求解，需要根据斜率是否存在进行讨论；解法2：由题意数形结合，可推得直线或直线经过线段的中点，分别求解即可． 【详解】解法1：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 由题意知，解得．故直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 解法2：如图，当时，，的方程为，即． 当直线经过线段的中点时，又直线过点，故其方程为. 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或. 题型十三 点关于直线的对称点（共3小题） 45．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 46．已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 47．（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【详解】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 题型十四 平行直线间距离（共3小题） 48．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 49．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 50．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 题型十五 直线关于点对称直线（共4小题） 51．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 52．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 53．直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 54．直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 题型十六 直线关于直线对称问题（共4小题） 55．求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 【答案】B 【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项. 【详解】设对称直线方程为， ，解得或（舍去）. 所以所求直线方程为. 故选：B 56．两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设所求直线上任一点M（x，y）且M关于直线的对称点，，利用轴对称的性质列出方程组解出用、表示、的式子，再由点在直线上代入，化简即得所求对称直线方程； 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，， 则，解出 点在直线上， 将式代入，得， 化简得，即为关于对称的直线方程． 故选：C 57．已知直线，，则关于对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】先求得直线与的交点坐标，再在直线上任取一点，写出其关于直线l的对称点，由这两点的坐标，以及直线的点斜式，即可得解． 【详解】联立，解得， ∴直线与的交点坐标为， 在直线上任取一点，其关于直线的对称点为， 由点和点，可得，即． 故答案为：． 58．求与直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】先求得两条直线的交点坐标,再在直线上取一个点,求得点关于直线的对称点,即可利用两个点的坐标求得其对称点的直线方程. 【详解】因为直线与直线相交， 所以联立直线方程可得,解方程组可得， 即两条直线的交点的坐标为 在直线上取一个点,设关于直线的对称点为,由中点坐标公式及斜率关系可得， ,解方程组可得， 所以， 则直线方程的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为， 化简可得， 即直线关于直线对称的直线方程为. $专题01 直线与方程 题型1 斜率与倾斜角变换关系（常考点） 题型9 三线能否围成三角形问题（难点） 题型2 斜率公式应用 题型10 两点间距离公式的应用（重点） 题型3 直线与线段的相交关系求斜率的取值范围 （常考点）（重点） 题型11 点到直线的距离公式（常考点 题型4求直线方程 题型12 到两点距离相等的直线 题型5 直线与坐标轴围成三角形面积（常考点） 题型13 点关于直线的对称点（重点） 题型6 直线过定点 题型14 平行直线间距离（常考点 题型7 两条直线平行（重点） 题型15 直线关于点对称直线（重点） 题型8 两条直线垂直（重点） 题型16 直线关于直线对称问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 斜率与倾斜角变换关系（共5小题） 1．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 5．求直线倾斜角的取值范围． 题型二 斜率公式应用（共2小题） 6．已知实数满足，则的最大值为 ． 7．已知，，，不能构成三角形，则 ． 题型三 直线与线段的相交关系求斜率的取值范围 （共3小题） 8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A．B． C． D． 10．经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 题型四 求直线方程（共5小题） 11．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 13．过点，斜率为的直线点斜式方程为 . 14．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 15．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程； (4)边上的高所在直线的方程． 题型五 直线与坐标轴围成三角形面积（共4小题） 16．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 18．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 19．已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 题型六 直线过定点（共4小题） 20．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 21．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 22．无论取何实数，直线都经过定点 23．求证：为任意实数时，直线必过一定点． 题型七 两条直线平行（共4小题） 24．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 25．“”是“直线与直线平行”的（    ）． A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 26．已知直线，直线，若，则 ． 27．已知点，直线．求： (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)过点且与直线垂直的直线方程． 题型八 两条直线垂直 （共4小题） 28．已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 29．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 31．已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 题型九 三线能否围成三角形问题（共4小题） 32．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 33．设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 34．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 35．（多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型十 两点间距离公式的应用（共3小题） 36．函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 37．函数的最小值是 . 38．函数的最小值为 ． 题型十一 点到直线的距离公式（共3小题） 39．若点到直线（）的距离为3，则（   ） A．3 B．2 C． D．1 40．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 41．已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 题型十二 到两点距离相等的直线（共3小题） 42．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 43．（多选）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 44．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 题型十三 点关于直线的对称点（共3小题） 45．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 46．已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 47．（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 题型十四 平行直线间距离（共3小题） 48．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 49．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 50．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 题型十五 直线关于点对称直线（共4小题） 51．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 52．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 53．直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 54．直线关于点对称的直线方程为 . 题型十六 直线关于直线对称问题（共4小题） 55．求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 56．两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 57．已知直线，，则关于对称的直线方程为 .． 58．求与直线关于直线对称的直线的方程． $