2.3　用公式法求解一元二次方程 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章　一元二次方程　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.3　用公式法求解一元二次方程 第2课时　公式法的应用 【学习目标】 用一元二次方程解决实际问题，会设计方案. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 问题引入探究 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 1.(教材P44母题改编)在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等.以下是他的解答过程： 解：设四周小路的宽度为x m，根据题意得 (16-2x)(12-2x)=×12×16，解得x1=2，x2=12. 答：小路的宽为2 m或12 m. 你认为小明的结果对吗？为什么？ 【答案】小明的结果不对，因为当x=12时，16-2x<0，12-2x<0，不符合实际. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 课堂高效融合 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 2.如图，在一块长92 m、宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？ 解：设水渠应挖x m宽，由题意得 (92-2x)(60-x)=885×6， 解得x1=105(不符合题意，舍去)，x2=1. ∴x=1. 答：水渠应挖1 m宽. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 【自我归纳】 图形设计方案问题方法小结：①分析图形的关系，化为特殊几何图形；②选取适合的方法解方程；③对方程的解进行检验，是否符合实际问题. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 3.(教材P44母题)在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应是多少？ 解：设金边的宽度为x cm，则整个挂画的长为(90+2x)cm，宽为(40+2x)cm.由题意得 (90+2x)(40+2x)72%=90×40， 解得x1=-70(舍去)，x2=5. 答：金边的宽应该是5 cm. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 核心知识精练 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 4.如图，一个长方形花圃ABCD，AB=15米，BC=20米，要在它四周环绕宽度相等的小路.已知小路的面积为246平方米，假设小路的宽度为x m，则可列方程为(15+2x)(20+2x)=246+ 20×15. (15+2x)(20+2x)=246+20×15 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 5.如图，在宽为20 m，长为30 m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路(阴影)，余下部分作为草地，草地面积为551 m2，根据图中数据，求得小路宽x的值为　1　 .  1 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 6.社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知AD=52 m，AB=28 m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为640 m2.求道路的宽. 解：根据题意得(52-2x)(28-2x)=640， 整理得x2-40x+204=0，解得x1=34(舍去)，x2=6， 答：道路的宽为6 m. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 7.如图，ABCD(AD>AB)是一张周长为36厘米的矩形纸片，设矩形纸片的长AD为x厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，剩下的纸片折成一个无盖的长方体纸盒，如果所得的长方体纸盒的体积是48立方厘米，求AD的长. 解：因为矩形纸片的长AD为x厘米，所以宽AB为(18-x)厘米， 依题意得2(x-4)(18-x-4)=48，解得x1=8，x2=10. ∵x>18-x，即x>9，∴x=10. 答：AD的长为10厘米. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 思维拓展提能 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 8.(教材P45母题改编)如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m)，另三边用木栏围成，木栏长35 m. (1)鸡场的面积能达到150 m2吗？ 解：设垂直于墙的鸡场的边的长度为x m. (1)x(35-2x)=150，解得x1=10，x2=7.5. 当x=7.5时，35-2x=20>18，不合题意，舍去. 当x=10时，35-2x=15.∴x=10. 答：当垂直于墙的鸡场的边的长度为10 m，平行于墙的鸡场的边的长度为15 m时，鸡场的面积为150 m2. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 (2)鸡场的面积能达到180 m2吗？ 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. (2)x(35-2x)=180，2x2-35x+180=0. ∵Δ=352-4×2×180=-215<0，∴此方程无实数根. 答：鸡场的面积不能达到180 m2. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 温馨提示：请完成课后分层作业本·B本(P318) 第二章　一元二次方程　 $ 第二章　一元二次方程　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.3　用公式法求解一元二次方程 第1课时　公式法 【学习目标】 1.推导求根公式. 2.会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 问题引入探究 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0(a≠0). 解：移项(把常数项移到等号的右边)，得ax2+ bx=-c. 二次项系数化为1，得x2 +. 配方，得x 2+，即. 当b2-4ac ≥0时，开方，得x +.解得 x=__________________________. ax2+bx=-c x2+ x2+ b2-4ac x+ 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4a c≥0时，它的根是 ______________，这个式子称为一元二次方程的求根 公式. b2-4ac x= 求根公式 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 课堂高效融合 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 2.(教材P42母题)用公式法解方程： (1)x2-7x-18=0； (2)4x2+1=4x. 解：(1)a=1，b=-7，c=-18，∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0， ∴x=，即x1=9，x2=-2. (2)整理得4x2-4x+1=0，a=4，b=-4，c=1， ∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0，∴x=. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 【自我归纳】用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)把方程化为一 般形式，确定a，b， c的值. (2)求出b2-4a c的值. (3)当b2-4ac≥0时，把a，b，c及b2-4ac代入求根公式：，求出 x1，x2.　 一般 a，b，c b2-4ac 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 3.(1)用公式法解一元二次方程x2-2x+3=0时，你发现了什么？ (2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，方程有实数根吗？ 【答案】(1)发现了b2-4ac<0. (2)当b2-4ac<0时，方程没有实数根. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 【自我归纳】用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时：　 (1)当b2-4ac>0时，方程有两个不 相等的实数根. (2)当b2-4ac=0时，方程有两个相 等的实数根. (3)当b2-4ac<0时，方程没有实数 根.(注意：Δ=b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式) 不相等 相等 没有实数根 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 4.不解方程，判断下列方程根的情况： (1)-x2+3x=4； (2)3x2+5(2x+1)=0. 解：(1)整理得x2-3x+4=0，a=1，b=-3，c=4，∵Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×4=-7<0，∴原方程没有实数根. (2)整理得3x2+10x+5=0，a=3，b=10，c=5， ∵Δ=b2-4ac=102-4×3×5=40>0， ∴原方程有两个不相等的实数根. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 核心知识精练 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 5.利用求根公式求方程x2+4x=-3的根时，a，b，c的值分别是( ) A.1，4，-3 B.1，-3，4 C.1，4，3 D.1，3，4 6.关于x的一元二次方程x2+2x-8=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 C A 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 7.关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 　9　 .  8.用公式法解下列方程： (1)3x2-16x+5=0；　　　　 解：(1)这里a=3，b=-16，c=5，∵Δ=(-16)2-4×3×5=196>0，∴x=. ∴x1=5，x2=. 9 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 (2)x2-3x-5=0. (2)这里a=. ∴x1=3+. 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 思维拓展提能 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 9.已知关于x的一元二次方程(k-2)x2-x+=0有两个不相等的实数 根，则k的取值范围是k<且 k≠2. k<且k≠2 第二章　一元二次方程　 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 温馨提示：请完成课后分层作业本·A本(P263) 第二章　一元二次方程　　　 $