专题07 三角函数的图像和性质（讲义）-2026版安徽省（分类招生和对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版安徽省（分类招生和对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及安徽省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版安徽省（分类招生和对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为三角函数的图像和性质。 2026版安徽省（分类招生和对口招生） 二轮复习《数学考纲专题练》 专题07 三角函数的图像和性质 一、课标解读 · 正弦函数的图像和性质:了解正弦函数的图像和特征，了解正弦的数的图像及周期性。 · 余弦函数的图像和性质:了解余弦函数图像与正弦函数图像的关系，了解作余弦函数的性质。 · 已知三角函数值求角:了解由特殊的三角函数值求角的方法，了解由三角函数值求符合条件的角的方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 选择题 17 正弦函数的性质 4 安徽对口招生真题中，函数的概念与表示考查呈现以下特点： （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在8分左右。 （3）内容：主要考查正弦函数与余弦函数的图像和性质。 2023 选择题 23 辅助角公式及正弦函数的性质 4 2022 选择题 17 正弦函数平移问题 4 选择题 14 三角函数的性质 4 2021 选择题 3 正弦函数的性质 4 选择题 24 三角函数的值域 4 三、考点预测 预估2026年安徽省分类招生和对口招生考试有1-2道选择题考查三角函数的性质，共4-8分。 具体考点： · 三角函数的周期性 · 三角函数的值域 四、知识梳理 三角函数是高中数学的核心内容之一，其图像和性质是解决三角求值、化简、方程与不等式问题的基础。以下从基本三角函数（正弦、余弦、正切） 的图像与性质入手，延伸至三角函数的变换，系统梳理核心知识点。 一、基本三角函数的图像与性质 高中阶段重点研究的三个基本三角函数为：正弦函数 \(y = \sin x\)、余弦函数 \(y = \cos x\)、正切函数 \(y = \tan x\)。三者的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质存在显著差异，需对比记忆。 核心性质对比表 函数 定义域 值域 最大值 / 最小值 最大值 1；最小值（ 最大值 1；最小值  无最大值、无最小值 周期性 最小正周期  最小正周期  最小正周期 奇偶性 奇函数（图像关于原点对称），满足 偶函数（图像关于 y 轴对称），满足 奇函数（图像关于原点对称），满足 单调性 增区间：；减区间： 增区间：；减区间： 增区间：；无减区间 对称性 对称轴：对称中心： 对称轴：；对称中心： 无对称轴；对称中心： 2. 图像特征（一个周期内） （1）正弦函数（周期  关键点： 图像形状：“波浪线”，从原点出发，先上升至最高点，再下降至最低点，最后回到 x 轴。（2）余弦函数（周期） 关键点： 图像形状：“波浪线”，从最高点出发，先下降至最低点 ，再上升回到最高点（可看作向左平移 个单位）。 （3）正切函数（周期） 关键点： 图像形状：“渐近线型曲线”，在区间 内单调递增，图像无限接近渐近线（但不相交），过原点。 二、三角函数的图像变换 实际问题中常遇到 “形如”（或余弦、正切型）的函数，其图像由基本三角函数通过平移、伸缩、对称变换得到。以下以正弦型函数为例，梳理变换规律（余弦型类似，正切型需注意周期和渐近线）。 1. 变换的核心参数 对于： A：振幅，决定图像的 “纵向伸缩”， 越大，图像上下波动越剧烈；值域为。 ：角频率，决定图像的 “横向伸缩”，影响周期： ：相位，决定图像的 “左右平移”，平移量为  k：纵向平移量，决定图像的 “上下平移”，；对称中心的纵坐标变为 k。 2. 常见变换路径（ 路径 1：先平移，后伸缩（推荐，避免相位混淆） 纵向平移：； 左右平移： 横向伸缩： 纵向伸缩： 路径 2：先伸缩，后平移（需注意平移量调整） 纵向平移：； 横向伸缩： 左右平移：； 纵向伸缩：同路径 1 第 4 步。 三、三角函数性质的应用要点 1. 周期性的判断与计算 若 对任意 x 成立，则 T 是 的周期，最小的正数 T 为 “最小正周期”。 常见函数周期： 复合函数（如 ）：需先化简，再求周期。 2. 单调性的分析 求  的单调区间时，需分两步： 确定 “内层函数” 的单调性时，t 随 x 递增；时，t 随 x 递减； 结合 “外层函数” 的单调性时，与单调性一致； 时，与 单调性相反，列不等式求解。 3. 对称性的应用 对称轴：正弦型函数的对称轴过 “最高点” 或 “最低点”，满足 对称中心：正弦型函数的对称中心是 “平衡点”（与  的交点），满足，对称中心坐标为 。 五、10分钟小测验 1.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是(    ) A. B. C. D. 2.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是(    ) A. B. C. D. 3.函数的最小正周期是  (    ) A. B. C. D. 4.设函数在的图象大致如图，则的最小正周期为  (    ) A. B. C. D. 5.函数，在区间上的值域为(    ) A. B. C. D. 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正弦型函数的图象变换，属于基础题． 利用三角函数图像变换规则解题即可． 【解答】 解：将函数  的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得到图象对应的函数解析式为  ， 将  的图象向左平移  个单位得到的图象对应的解析式为  ． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 即， ，，得，， 当时，是． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由已知最小正周期是， 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题． 先利用得到，由，可得，进而可得的值，则的值可得，即可求解． 【解答】 解：由图可知， 所以 化简可得， 又因为，即，所以， 则当且仅当时，， 所以，故最小正周期． 故选C． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正弦函数的值域的求法，考查计算能力． 通过自变量的范围求出相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解即可． 【解答】 解：，则， ， ． 故选：． 六、经典例题解析 （1） 三角函数的图像和性质 【例1】（2024·安徽对口升学高考）已知函数 ,关于此函数下列结论正确的是( ) A.最小正周期为 B. 振幅为4 C. 初相为 D. 频率为 【答案】A 【解析】答案：A 解析：对于函数最小正周期振幅为初相为频率在函数中，所以最小正周期振幅为2，初相为，频率 故选：A 【例2】（2023·安徽对口升学高考）函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 故选：C 【例3】（2022·安徽对口升学高考）下列函数中，最小正周期为的是（　　） A．y＝3sinx B．y＝3sin2x C． D． 【答案】D 考点： 。 故选：D 【例4】（2021·安徽对口升学高考）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 解析：三角函数最小正周期有固定公式，如或的最小正周期，的最小正周期。根据题干函数，代入公式计算得最小正周期 故选：B （二）三角函数平移变换、伸缩变换 【例1】（2022·安徽对口升学高考）把曲线向右平移个单位，所得曲线的函数解析式为（　　） A．y＝sin3x B． C． D． 【答案】A 考点：三角函数图像平移规则，“左加右减”（对 x 进行加减）。 故选A 【例2】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则(    ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 【例3】已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点(    ) A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】A  【解析】 【解析】【分析】本题主要考查函数的图象变换规律，属基础题． 由题意利用函数的图象变换规律，得出结论． 【解析】解：， 将向右平移个单位后变为， 故选A． （三）正弦函数、余弦函数的值域 【例1】（2021·安徽对口升学高考）函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用利用辅助角公式，借助三角函数性质求值域 = 所以的最大值为2，最小值为-2 结果为选项D。 故选：A 【例2】 函数在区间上的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查正弦函数的最值的求法，属于基础题． 由题意，可先求出的取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值． 【解答】 解：由题意， 得， ， 函数在区间的最小值为． 故选B． 【例3】已知函数，则函数的值域为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查三角函数的值域，属于基础题型． 直接利用函数的定义域结合三角函数的性质即可求解． 【解答】 解：当时，， 故， 故 故 故选：． 七、专题归纳小结 一、专题内容总结（紧扣考纲核心） 三角函数的图像和性质是高中数学三角函数模块的核心内容，也是高考重点考查板块，考纲要求考生掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征及核心性质，并能迁移应用到形复合三角函数中。 二、教学与复习中的解题策略（实用技巧）​ 三角函数图像与性质的题目类型多样（如图像识别、性质计算、图像变换、最值求解等），需结合题型特点掌握针对性解题技巧，提升解题效率与准确率。 1. 三角函数图像识别题：“三看” 法锁定答案 图像识别题的核心是通过关键特征排除错误选项，可按 “一看周期、二看振幅、三看特殊点” 的步骤解题： 一看周期：根据图像中相邻两个波峰（或波谷）的水平距离，计算周期T，排除周期不符的选项。 二看振幅：根据图像中波峰到平衡位置（或波谷到平衡位置）的垂直距离，确定振幅，排除振幅不符的选项。 三看特殊点：代入函数解析式计算y值，对比图像中该点的纵坐标，排除特殊点不符的选项。 2. 复合三角函数性质计算题：“换元法” 转化为基本函数 对于的单调性、最值、对称性等性质计算，可通过 “换元法” 将复合函数转化为基本函数，再结合基本函数的性质求解： 3. 三角函数图像变换题：“先相位后周期” vs “先周期后相位” 的辨析 图像变换中，“相位变换” 和 “周期变换” 的顺序会影响平移量，需明确两种变换顺序的差异： 顺序 1：先相位变换，后周期变换（推荐，不易出错） 2：先周期变换，后相位变换 三、教学中高频易错点（针对性提醒） 三角函数图像与性质的易错点多源于对概念的模糊理解、参数的忽略或变换顺序的混淆，需针对高频错误点强化提醒： 1. 忽略参数的符号，导致性质判断错误 易错点 1：判断的单调性时，忽略A和的符号. 易错点 2：计算的最值时，忽略A的符号. 2. 混淆图像变换的顺序与平移量，导致变换错误 易错点：将 “先周期后相位” 的平移量错记为，而非. 3. 对正切函数的性质理解不全面，导致定义域或对称性错误 易错点 1：忽略正切函数的定义域限制。 易错点 2：误将正切函数的对称中心记为。 4. 求复合三角函数的对称轴 / 对称中心时，忽略 “整体代换” 原则 易错点：求的对称轴时，直接令，而非对 “内层函数 整体代换。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $