第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学拓展模块一上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【江西专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及性质。 第三章 圆锥曲线 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分。对每小题的命题做出判断，对的选A，错的选B。 1．双曲线的离心率为． ( A B) 2．抛物线关于顶点对称． ( A B) 3．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大． ( A B) 4．双曲线的离心率（其中）． ( A B) 5．方程表示开口向上的抛物线． ( A B) 6．等轴双曲线的离心率是． ( A B) 7．知果椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为． ( A B) 8．双曲线的焦点坐标为． ( A B) 9．椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围相同． ( A B) 10．长轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为． ( A B) 二、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。 11．对两个非空集合，下列关系不正确的是（    ） A． B．若，则或 11．双曲线的实轴长、虚轴长和离心率分别为（    ） A． B． C． D． 12．经过椭圆的焦点，且垂直于轴的弦长为（    ） A． B． C． D． 13．设双曲线的一个焦点为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 14．椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 15．抛物线的焦点位于（    ） A．x轴的负半轴 B．x轴的正半轴 C．y轴的负半轴 D．y轴的正半轴 16．已知曲线上的动点P到和的距离之差为6，则曲线方程（    ） A． B． C． D． 17．若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为（    ） A．16 B．8 C．2 D．1 三、填空题：本大题共6小题，每小题 5分，共30分。 19．双曲线的焦点在 轴上． 20．等轴双曲线的离心率为 ，渐近线为 ； 21．到两点的距离差的绝对值为1的动点的轨迹方程是 ． 22．设、分别是椭圆的左、右焦点，是上的点，则的周长为 ． 23．已知双曲线的实半轴长为3，虚半轴长为2，焦点在轴上，则该双曲线的标准方程为 . 24．椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ； 四、解答题：本大题共 6 小题，25-28每题8分，29-30每题9分，共 50分。解答应写出过程步骤。 25．若方程表示的曲线是椭圆，求实数的取值范围. 26．设点是顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线上一点，且点M到此抛物线准线的距离为5，求此抛物线的方程和a的值． 27．求直线与椭圆的交点坐标． 28．已知双曲线的标准方程为，求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程． 29．求符合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在轴，虚轴长为6，离心率为； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为. 30．抛物线的顶点在原点，焦点为椭圆的右焦点．求： (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线l，l与抛物线交于A，B两点，且M恰为线段AB的中点，求直线l的方程，并求出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江西专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及性质。 第三章 圆锥曲线 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分。对每小题的命题做出判断，对的选A，错的选B。 1．双曲线的离心率为． ( A B) 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率的定义直接求解即可. 【详解】双曲线离心率的定义为：双曲线的焦距与实轴长的比值，即. 故答案为：A. 2．抛物线关于顶点对称． ( A B) 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义分析即可 【详解】抛物线关于坐标轴对称． 故答案为:B. 3．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大． ( A B) 【答案】A 【分析】由双曲线的性质即可判断． 【详解】不妨以双曲线为例， 由，可以看出，越大，的值越大， 从而渐近线的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大． 即双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大． 故答案为：A. 4．双曲线的离心率（其中）． ( A B) 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】双曲线标准方程为，则长半轴长为，短半轴长为且，即离心率. 故答案为：B. 5．方程表示开口向上的抛物线． ( A B) 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义分析即可. 【详解】当时，方程表示开口向下的抛物线． 故答案为:B. 6．等轴双曲线的离心率是． ( A B) 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质判断即可. 【详解】因为实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线， 所以，则，得， 所以. 故答案为：A. 7．知果椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为． ( A B) 【答案】A 【分析】由椭圆的性质及离心率公式即可得解. 【详解】设椭圆的长轴为，短轴为. 由题意可知. 所以. 又因为. 所以. 所以离心率. 故答案为：A. 8．双曲线的焦点坐标为． ( A B) 【答案】B 【分析】由双曲线的焦点坐标即可得解. 【详解】由双曲线得焦点在轴上且. 所以. 所以或（舍）. 所以焦点坐标. 故答案为：B. 9．椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围相同． ( A B) 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的离心率范围判断即可. 【详解】椭圆的离心率的取值范围是，双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为:B. 10．长轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为． ( A B) 【答案】B 【分析】由椭圆长轴，短轴的定义及椭圆的标准方程即可得解. 【详解】由题意可知 所以椭圆的标准方程为或. 故答案为：B. 二、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。 11．对两个非空集合，下列关系不正确的是（    ） A． B．若，则或 11．双曲线的实轴长、虚轴长和离心率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】双曲线方程可化为，可得，根据实轴长、虚轴长和离心率的定义可求解. 【详解】因为双曲线可化为， 所以， 所以实轴长为8，虚轴长为6，离心率. 故选：C 12．经过椭圆的焦点，且垂直于轴的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程得到焦点坐标，即可求解. 【详解】∵椭圆中，，∴椭圆的焦点在轴上． 由椭圆的标准方程可知，， ∴， ∴焦点坐标为， ∴垂直于轴的直线为．将代入椭圆的方程，解得， ∴所求弦长为． 故选：C. 13．设双曲线的一个焦点为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的焦点坐标求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，且，， ∴，即. 故选:B. 14．椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程判别焦点的位置，再求得参数，即可得到焦点坐标. 【详解】∵椭圆方程为， 故此椭圆焦点在轴上，且，，得到. 即. 故焦点坐标为. 故选：C. 15．抛物线的焦点位于（    ） A．x轴的负半轴 B．x轴的正半轴 C．y轴的负半轴 D．y轴的正半轴 【答案】C 【分析】先化为抛物线的标准方程，根据抛物线的基本性质可解得． 【详解】解：把抛物线转化为标准方程. 则焦点在y轴的负半轴. 故选：C 16．已知曲线上的动点P到和的距离之差为6，则曲线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义求动点的轨迹方程即可. 【详解】因为曲线上的动点P到和的距离之差为6， 所以可知， 由双曲线定义可得动点P的轨迹是是以为焦点的双曲线的右支， 所以， 所以方程为. 故选:D. 17．若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，结合题意求出点坐标，利用抛物线的定义即可得解. 【详解】抛物线，焦点在轴正半轴，准线方程为， 抛物线上一点到轴的距离为，则点的纵坐标为或， 当时，，解得； 当时，，解得； ， 点到抛物线的准线的距离为， 点到抛物线的焦点的距离为4， 故选：. 18．已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为（    ） A．16 B．8 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，结合双曲线方程，表示出a和b的值，结合渐近线方程可得的值，继而列出等式求得m的值，即可求得虚轴长. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以焦点在x轴上，且，即， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 所以，即，解得， 所以，虚轴长为. 故选：C. 三、填空题：本大题共6小题，每小题 5分，共30分。 19．双曲线的焦点在 轴上． 【答案】 【分析】结合双曲线的标准方程即可判断. 【详解】解：因为双曲线标准方程中含项的符号为正， 所以焦点就在轴上． 故答案为： 20．等轴双曲线的离心率为 ，渐近线为 ； 【答案】 【分析】由双曲线的离心率和渐近线方程即可得解. 【详解】因为等轴双曲线的. 所以. 所以离心率. 所以渐近线. 故答案为：；. 21．到两点的距离差的绝对值为1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】先根据双曲线的定义可判断出点的轨迹为双曲线，然后设出双曲线的标准方程，求出即得解. 【详解】解：根据双曲线定义可知，到两点的距离差的绝对值为1的动点的轨迹是： 以为左、右焦点，实轴长为1的双曲线， 设其标准方程为， 由已知条件可知，则， 又，所以， 所以所求动点的轨迹方程为. 故答案为：. 22．设、分别是椭圆的左、右焦点，是上的点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】由椭圆的定义结合题干条件求的周长即可. 【详解】由椭圆可得，， 则，∴，， 、分别是椭圆的左、右焦点，是上的点， 由椭圆的定义可得，， ∴的周长为． 故答案为：. 23．已知双曲线的实半轴长为3，虚半轴长为2，焦点在轴上，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据实半轴长，虚半轴长得，再根据焦点在轴上求标准方程. 【详解】∵双曲线的焦点在轴上， ∴设该双曲线的标准方程为. 由题意得，， ∴该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 24．椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ； 【答案】 6 4 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解. 【详解】因为椭圆为.所以椭圆焦点在x轴. 因为.所以. 所以. 所以长轴长，短轴长为.离心率. 焦距.焦点坐标为.顶点坐标为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共 6 小题，25-28每题8分，29-30每题9分，共 50分。解答应写出过程步骤。 25．若方程表示的曲线是椭圆，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由方程表示的曲线为椭圆列不等式求解实数即可. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 则解得且， ∴实数的取值范围是. 26．设点是顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线上一点，且点M到此抛物线准线的距离为5，求此抛物线的方程和a的值． 【答案】， 【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离即到准线的距离求出抛物线方程，再将点的坐标代入抛物线方程求出参数值即可. 【详解】由题意得点M到此抛物线准线的距离为， ，． 抛物线方程为． 在抛物线上， ，． 27．求直线与椭圆的交点坐标． 【答案】和． 【分析】直接联立直线方程和椭圆方程，求交点坐标. 【详解】联立直线方程和椭圆方程，得到 消去得，即， 解得或，分别代入直线方程， 当时，得； 当时，得， ∴所求交点坐标为和． 28．已知双曲线的标准方程为，求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程． 【答案】答案见解析. 【分析】根据双曲线的标准方程求出的值，再利用双曲线的几何意义即可求出答案. 【详解】由双曲线的标准方程为,其中,焦点为x轴上. 又因为, 所以实轴长为,虚轴长为； 焦距为,顶点坐标为,即, 焦点坐标为,即, 渐近线方程为. 29．求符合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在轴，虚轴长为6，离心率为； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的性质，结合已知条件分别求出双曲线的的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）根据焦点的位置进行分析，结合已知条件分别求出双曲线的的值，进而得到双曲线的标准方程. 【详解】（1）焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为（，）. 由题意得，解得，，. 所以双曲线的标准方程为. （2）当焦点在轴时，设所求双曲线的标准方程为（，）， 由题意得，解得，， 所以焦点在轴的双曲线的标准方程为； 当焦点在轴时，设所求双曲线的标准方程为（，）， 由题意得，解得，， 所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为. 30．抛物线的顶点在原点，焦点为椭圆的右焦点．求： (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线l，l与抛物线交于A，B两点，且M恰为线段AB的中点，求直线l的方程，并求出线段的长． 【答案】(1)． (2)，． 【分析】（1）先求出抛物线焦点，即可求出抛物线方程； （2）先讨论斜率是否存在，进而利用弦长公式求解. 【详解】（1）椭圆的右焦点为． 即抛物线焦点为， 则抛物线方程为． （2）直线l的斜率不存在时，，不符合题意； 直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l为：，即． 联立得． 设 则． 由题意，得，得． ， ． 直线l的方程为， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $