第2章 一元二次函数、方程和不等式复习（高效培优复习讲义）数学湘教版2019必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习讲义 教学目标 1.掌握等式性质和不等式性质，能利用不等式性质比较大小、求范围、证明不等式； 2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 3.掌握一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的分布情况； 4.掌握一元二次不等式、简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式的解法。 教学重难点 1、重点：重要的不等式、基本不等式、三个二次的关系； 2、难点：利用基本不等式的性质及变形求最值、不等式的证明。 知识点01 等式与不等式性质 1、不等式关系与不等式 (1)不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． (2)常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号语言 2、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 同正可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 (四)、不等式的两类常用性质 1.倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒； (2)a<b<0⇒； (3)a>b>0,0<c<d⇒； (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒. 2.糖水不等式(有关分数的不等式性质)：若a>b>0，m>0，则 (1)糖水不等式：(b－m>0)；(2)糖水不等式的倒数形式：(b－m>0)． 【即学即练1】(24-25高一上·湖南长沙·阶段练习)下列不等式中成立的是(   ) A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 知识点02 比较大小 两个实数比较大小的常用方法：作差法(a，b∈R)． 【即学即练2】(24-25高一上·湖南·阶段练习)下列命题为真命题的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点03 基本不等式 (一)基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 拓展常用不等式链： 1.以上不等式成立的条件：①a>0，b>0. ②等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． 2.其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． (二)、几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)(a，b同号)；(3)ab≤ (a，b∈R)；(4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. (三)、基本不等式的拓展 (1)三元基本不等式：(均为正数)，当且仅当等号成立． (2)n元基本不等式：(均为正数)，当且仅当等号成立． 【即学即练3】(23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习)若且，则的最小值为( ) A． B．1 C．2 D．4 知识点04 利用基本不等式求最值 1、基本不等式与最值：已知x，y都是正数， (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 2、利用基本不等式求最值的注意点： (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数、或者和为常数的形式，再利用基本不等式． (3)条件最值三种方法：一是配凑法、二是常数代换法、三是消元法． 【即学即练4】(24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习)已知，则的最小值为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 知识点05 三个二次的关系 1、“三个二次”：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数 判别式 两不等实根: 两相等实根 无实数根 R ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的一般步骤 (1)标准化：利用不等式的性质将二次项系数化为正值； (2)求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； (3)标根：将根标在数轴上(注意两根大小顺序，特别是当根中含有字母时)，画出开口向上抛物线示意图； (4)写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取(根)两边，小于零取(根)中间(即大于选数轴上方部分，小于取数轴下方部分) 3、含参一元二次不等式的讨论依据 (1)讨论二次项系数：对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； (2)讨论判别式：当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； (3)讨论两根位置：当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4、分式不等式 (1) ⇔f(x)g(x)>0； (2)⇔f(x)g(x)<0； (3) ⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0； (4)⇔f(x)g(x)0且g(x)≠0. 5、简单的绝对值不等式： |x|>a(a>0)(－∞，－a)∪(a，＋∞)； |x|<a(a>0)(－a，a)． 6、一元高次不等式的解法：“穿针引线法(数轴穿根法)”，步骤如下： (1)标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； (2)分解因式：化为如同：的形式，其中各因式中未知数的系数为正； (3)求根标根：求的根，并按照从小到大的顺序在数轴上表示出来； (4)穿线：从最大根右上方开始穿线，经过数轴上表示各根的点； 穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则(即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧)，简称“奇过偶不过”； (5)写解集：若不等式“”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“”，则找“线”在数轴下方的区间． 7、一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 【即学即练4】(2025高一上·湖南·期中)不等式的解集是( ) A． B． C． D．或 题型01 等式与不等式性质、比较大小 【典例1-1】(25-26高一上·新疆·期中)设为实数，且，则下列不等式正确的是( ) A． B． C． D． 【典例1-2】(24-25高一上·江苏南通·期末)若a＞b，c＞d，则(   ) A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【典例1-3】(23-24高一上·湖南湘西·期中)若，则下列不等式不能成立的是(   ) A． B． C． D． 【典例1-4】(多选)(24-25高二下·河北邢台·阶段练习)若，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-1】(24-25高一上·江苏徐州·期中)已知，则下列不等式中一定成立的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】(25-26高一上·全国·单元测试)中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为(单位：)，若体积不超过，用数学关系式可表示为( ) A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-3】(25-26高一上·陕西·开学考试)若，则的值可能是( ) A． B． C． D． 【变式1-4】(多选)(23-24高二下·山东临沂·期末)已知(，，)，且，则( ) A． B． C．存在，使得 D． 【变式1-5】(24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习)记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则 . 【变式1-6】(24-25高一上·江苏南通·阶段练习)设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 题型02 利用不等式性质求范围 【典例2-1】(25-26高一上·河南鹤壁·开学考试)已知实数满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高一上·广西崇左·开学考试)已知且，求的取值范围( ) A． B． C．或 D．或 【典例2-3】(2024·湖南衡阳·模拟预测)新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是(   ) A． B． C． D．或 【典例2-4】(多选)(25-26高一上·江苏无锡·阶段练习)下列命题为真命题的是(   ) A．若，则的最大值为2 B．若，则 C．不等式的解集是 D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立 【变式2-1】(25-26高一上·全国·课后作业)若，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高一上·全国·单元测试)已知实数满足，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式2-3】(多选)(24-25高一上·湖南怀化·阶段练习)若实数a，b满足，则下列结论中正确的有( ) A． B． C． D． 【变式2-4】(多选)(24-25高二下·陕西·阶段练习)已知实数a，b满足，，则( ) A． B． C． D．的取值范围是 【变式2-5】(24-25高二下·河北邢台·阶段练习)已知实数，满足，，则范围是 【变式2-6】(24-25高一上·上海·阶段练习)已知实数x、y满足:则 的取值范围是 题型03 一元二次不等式(不含参) 【典例3-1】(25-26高三上·江苏扬州·开学考试)已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【典例3-2】(25-26高一上·河南南阳·阶段练习)不等式的解集为 ． 【典例3-3】(25-26高一上·贵州贵阳·开学考试)设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3-4】(25-26高一上·河南南阳·阶段练习)不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 【变式3-1】(2025·广东梅州·模拟预测)集合，，则( ) A． B． C． D． 【变式3-2】(25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试)不等式 的解集是( ) A． B． C． D． 【变式3-3】(25-26高三上·上海·开学考试)若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式3-4】(25-26高三上·云南曲靖·阶段练习)成立的一个必要不充分条件是(   ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(24-25高一上·广东江门·期中)下列不等式的解集为R的是(      ) A． B． C． D． 【变式3-6】(2025高三·北京·专题练习)不等式的解集为 . 题型04 一元二次不等式(含参) 【典例4-1】(25-26高一上·浙江·期中)若，则关于的不等式的解集为( ) A． B． C．或 D．或 【典例4-2】(25-26高一上·全国·单元测试)已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知关于的不等式的解集为或，则( ) A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【典例4-4】(多选)(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)设二次函数满足，则( ) A． B．的最小值小于0 C．若，则是正数 D．若，则是正数 【变式4-1】(25-26高一上·全国·课后作业)已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是( ) A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 【变式4-2】(2025高三·全国·专题练习)不等式(其中)的解集不是( ) A．且 B． C． D．或或 【变式4-3】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)关于的不等式的解集可能为( ) A． B． C． D． 【变式4-4】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是( ) A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 【变式4-5】(多选)(24-25高一上·山东德州·阶段练习)已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则且 D．若，则关于的不等式的解集为或 【变式4-6】(多选)(23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习)已知为常数，给出关于的不等式，则( ) A．当，时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为或的形式，其中 C．当时，不等式的解集为或的形式，其中， D．当时，不等式的解集为的形式，其中 题型05 由一元二次不等式的解集求参数或其范围 【典例5-1】(24-25高一上·福建莆田·阶段练习)关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是(   ) A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为或 【典例5-2】(多选)(23-24高一上·安徽池州·期中)若关于的不等式的解集为， 则的值可以是( ) A． B． C．2 D．1 【典例5-3】(多选)(24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为(   ) A． B． C． D．5 【典例5-4】(25-26高一上·海南·开学考试)已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【变式5-1】(多选)(25-26高一上·河南南阳·开学考试)关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是( ) A． B． C． D． 【变式5-2】(24-25高二下·浙江温州·期中)函数，非空集合， 且，则下列说法中正确的是(   ) A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 【变式5-3】(2025高一上·江苏·专题练习)已知的解集为()，则的值为 . 【变式5-4】(25-26高三上·江苏扬州·开学考试)若关于的一元二次不等式的解集为，则 . 【变式5-5】(2025高三·上海·专题练习)已知关于x的不等式的解集是，则实数b= ，c= ，的解集为 . 【变式5-6】(24-25高一上·江苏徐州·期中)已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 题型06 不等式恒成立、有解问题 【典例6-1】(25-26高一上·天津·期中)不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【典例6-2】(23-24高一上·上海·阶段练习)若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 【典例6-3】(25-26高一上·天津·期中)对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【典例6-4】(2025高三·全国·专题练习)已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是 . 【变式6-1】(2025高一上·江苏·专题练习)已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式6-2】(24-25高二下·江西九江·期末)设，若恒成立，则k的最小值为( ) A．9 B．8 C．－1 D．－2 【变式6-3】(25-26高三上·江苏盐城·阶段练习)已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为( ) A．3 B．4 C．5 D．8 【变式6-4】(多选)(24-25高二下·福建泉州·期末)下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．命题“，”的否定是“，或” C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【变式6-5】(25-26高一上·云南·期中)若“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【变式6-6】(25-26高三上·上海·阶段练习)任意都是不等式的解，求实数的取值范围 . 题型07 一元二次方程根的分布 【典例7-1】(2025高一·全国·专题练习)若一元二次方程()有一个正根和一个负根，则( )． A． B． C． D． 【典例7-2】(24-25高一上·上海徐汇·期末)下列说法正确的是( ) A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【典例7-3】(23-24高一上·四川成都·期中)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【典例7-4】(25-26高三上·福建·开学考试)若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【变式7-1】(2025高一·全国·专题练习)已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是( )． A． B． C． D．或 【变式7-2】(24-25高一上·江苏南京·阶段练习)已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是( ) A．或 B． C． D．或 【变式7-3】(多选)(24-25高二下·江西赣州·期末)已知函数，若存在使得，则a的范围可以是( ) A． B． C． D． 【变式7-4】(24-25高三上·上海浦东新·期中)若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 . 【变式7-5】(25-26高一上·上海宝山·开学考试)若是方程的两个实数根，则的值等于 . 【变式7-6】(2025高三·北京·专题练习)已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 题型08 基本不等式及其应用 【典例8-1】(23-24高一上·湖南娄底·期末)若，，且，则的最大值是( ) A． B． C． D．1 【典例8-2】(24-25高一上·陕西西安·阶段练习)若，则的最小值为( ) A．13 B．26 C． D． 【典例8-3】(24-25高二下·湖南娄底·期末)已知，且，则的最小值为(   ) A．3 B．4 C．5 D．9 【典例8-4】(2025·广东梅州·模拟预测)已知正实数满足，则的最小值是( ) A． B．4 C． D． 【变式8-1】(25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试)函数()的最大值为( ) A． B．3 C．1 D． 【变式8-2】(2025高三·全国·专题练习)已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为( ) A． B． C．1 D．2 【变式8-3】(24-25高一上·江苏南京·阶段练习)已知正数满足，则的最小值为(   ) A． B．4 C． D．5 【变式8-4】(24-25高一上·江苏无锡·期中)设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为(   ) A．2 B． C．1 D． 【变式8-5】(多选)(25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习)已知，，．则下列说法正确的是( ) A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【变式8-6】(24-25高一上·江苏南京·阶段练习)已知，且满足，则的最小值为 ． 题型09 不等式的实际应用 【典例9-1】(24-25高一上·湖南湘潭·期中)两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是( ) A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【典例9-2】(24-25高二下·云南·期末)要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价(底的造价与壁的造价之和)的最小值为(   ) A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【典例9-3】(多选)(25-26高三上·辽宁·阶段练习)建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是(   ) A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【典例9-4】(2025高一上·上海·专题练习)我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为 钱； 【变式9-1】(2025高三·全国·专题练习)某学校后勤部采购一台设备原值(购买价格)为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值(剩余值)为零，则这台设备最佳更新年限为( ) A．年 B．年 C．年 D．年 【变式9-2】(24-25高二上·浙江杭州·期末)某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则(   ) A． B． C． D． 【变式9-3】(多选)(23-24高一上·河南·期中)如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【变式9-4】(多选)(24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习)《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是(   ) A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【变式9-5】(25-26高一上·全国·单元测试)某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买吨．若每次的运费为5000元，一年的储存费用为元，则每次购买 吨原材料，总费用(运费和储存费之和)最低． 【变式9-6】(24-25高一上·安徽铜陵·期末)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 一、单选题 1.(25-26高一上·全国·课前预习)若，则的最大值为(   ) A．0 B．1 C． D．2 2.(25-26高三上·重庆·开学考试)若，则下列命题正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.(2025高二下·湖南·学业考试)已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是(  ) A． B． C． D． 4.(24-25高一上·陕西西安·开学考试)如图，二次函数图象顶点在第一象限，且过、 两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．( ) A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 5.(24-25高一上·湖南长沙·阶段练习)已知，则使成立的充分条件为(   ) A． B． C． D． 6.(25-26高一上·湖南长沙·阶段练习)不等式 的解集为(   ) A．且 B．且 C．或 D．或 7.(24-25高一上·江苏常州·期中)已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是( ). A． B． C． D． 8.(24-25高一下·云南·期中)已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为( ) A．1 B． C．2 D．3 二、多选题 9.(23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习)不等式的解集是，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 10.(25-26高一上·河南南阳·开学考试)已知，，，则下列结论成立的是( ) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11.(23-24高一上·山东菏泽·阶段练习)下列命题正确的是( ) A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 三、填空题 12.(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知正实数，满足，则的最小值为 . 13.(2025高一上·全国·专题练习)关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 14.(23-24高一上·江苏徐州·期中)若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15.(24-25高一上·福建厦门·阶段练习)比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 16.(2024高一·全国·专题练习)关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根；(2)一个根大于，一个根小于；(3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 17.(25-26高一上·广东广州·开学考试)已知正数、满足． (1)求的最大值，并求出此时、的值；(2)求的最小值，并求出此时、的值． 18.(24-25高一上·四川德阳·期中)问题：正实数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 19.(23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习)集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料：①若，且，则有；②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第二章一元二次函数、方程和不等式复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01等式与不等式性质 题型01等式与不等式的性质、比较大小 题型02利用不等式性质求范围 知识点02比较大小 题型03一元一次不等式（不含参） 题型04一元二次不等式（含参） 第二章一元二次函数、方程和不等式复习 题型05由一元二次不等式的解集求参数或其范围 知识点03基本不等式 题型06不等式恒成立、有解问题 题型07一元二次方程根的分布 题型0B基本不等式及其应用 知识点04利用基本不等式求最值 题型09不等式的实际应用 知识点05三个二次的关系 教学目标、教学重难点 1.掌握等式性质和不等式性质，能利用不等式性质比较大小、求范围、证明不等式： 2理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系： 教学目标 3.掌握一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的分布情况； 4掌握一元二次不等式、简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式的解法。 1、重点：重要的不等式、基本不等式、三个二次的关系： 教学重难点 2、难点：利用基本不等式的性质及变形求最值、不等式的证明。 知识清单 知识点01等式与不等式性质 1、不等式关系与不等式 (1)不等式的概念：用数学符号“≠”“">”“<"“≥"“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系， 含有这些不等式号的式子，叫做不等式 (2)常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号语言 < ≤ 2、 等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 a=b→b=a 可逆 2 传递性 a=b,b=c→a=c 同向 3 可加、减性 a=b台→L士c=b士c 可逆 4 可乘性 a=b→ac=bc 同向 5 可除性 a=6,c≠0→g= 同向 c 4、不等式的性质 第1页共51页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 性质 别名 性质内容 注意 又 对称性 a>b台b<a 可逆 2 传递性 a>b,b>c→a>c 同向 3 可加性 a>b→a+c>b+c 可逆 4 可乘性 a>b,C>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b,c>d→a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0→ac>bd 同向 > 同正可乘方性 a>b>0→an>b(n∈N,n22) 同正 (四)、不等式的两类常用性质 1.倒数性质：(1①)b,b>0=→<吉 ②K60→> eaba,0cd>号 a0 KKb或aK0=2<生长月 2.糖水不等式（有关分数的不等式性质）：若心b>0,心>0，则 (1)糖水不等式：<名<b-心>0)：（②）糖水不等式的倒数形式：<号<，一m>0. a-maa十m b+m b-m 【即学即练1】(24-25高一上湖南长沙阶段练习)下列不等式中成立的是() A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.已知a>b>0,c<d<0,e<0,则e>,e a-c b-d C.若a<b<0,则a2<ab<b2 0.若a<i<0,则上<} a b 【答案】B【难度】0.94【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：当c=0时，ac2=bc2,A选项错误： B选项：因为a>b>0,c<d<0,e<0,所以a-c>b-d>0, 所以。。司则品。6司8达理正确 C选项：若a<b<0,则a2>ab>b,C选项错误： D迹项：当a=-2,b=-1时，>6D选项错误，故选：包 知识点02比较大小 (a-b>0台a>b, 两个实数比较大小的常用方法：作差法a-b=0一a=b,(a,b∈R). (a-b<0台a<b, 【即学即练2】(24-25高一上·湖南·阶段练习)下列命题为真命题的是() A.若a>b,则a2>b B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>b,则。方 11 D.若a>b>0,则+点 a+l a 【答案】D【难度】0.65【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 第2页共51页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【分析】对A,B,C举反例说明，对D,作差法求解判断. 【详解】若a>b,取a=0,b=-1,则d<b2,故A错误： 若a>b,当c=0时，则ac2=bc2,故B错误： 若a>b,取a=1,b=-1,则2>3，故C错误： 若a>b>0,则 +1b_(b+1)a-(a+1)b_a-b a+l a a(a+1) aa+>0,故D正确故选：D 知识点03基本不等式 (一)基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数， 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b22ab(a,b∈R) 当且仅当“b时取= 基本不等式 Va5≤a>0,b>0) 当且仅当“b时取“=” 也叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数. 2 拓展常用不等式链：员≤V历≤2≤、 a2+b2 1.以上不等式成立的条件：①心0，b>0.②等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. 2其中叫做正数a,b的算术平均数，b叫做正数a,b的几何平均数. (二)、几个重要的不等式 (①a2+b≥2aba,b∈R:(ag+号≥2，b同号)：3)b≤()2a,b∈R:(4④9≥()Pa,b∈R. 以上不等式等号成立的条件均为a=b. (三)、基本不等式的拓展 (1)三元基本不等式：+b+c≥c(ab,c均为正数，当且仅当a=b=c等号成立. 3 2n元基本不等式：马+4++区≤，a,4(4,4,a均为正数)，当且仅当4=4，==a,等号成立. 【即学即练3】23-24高一上湖南邵阳阶段练习)若a>0,b>0且a+b-1,则上+的最小值为 ) a b A月 B.1 C.2 D.4 【答案】D【难度】0.94【知识点】基本不等式“1"的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求和的最小值 【详解】若a>0,b>0且a+b=1,则二+ 片ab日82+4 a b 且仅当a=b时等号成立，所以。+的最小值为4，放选：D 2 知识点04利用基本不等式求最值 1、基本不等式与最值：已知x,y都是正数， (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x十y有最小值2VP. 第3页共51页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值S2 2、利用基本不等式求最值的注意点： (1)前提：“一正”“二定”“三相等” (②)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数、或者和为常数的形式，再利用基本不等式. (3)条件最值三种方法：一是配凑法、二是常数代换法、三是消元法。 【即学即练4】2425高一上湖南邵阳阶段练习)已知x>2,则x+,4,的最小值为) x-2 A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A【难度】0.94【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】运用拼凑法，将所求式整理成积为定值，再利用基本不等式即可求得. 【解1因>2，由+2-2222沙高+=6 当且仅当=4时等号成立，即当x=4时，+的最小值为6故选：A 知识点05三个二次的关系 1、“三个二次”：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数 判别式△=b2-4ac △>0 △=0 △<0 ax2+bx+c=0(a≠0) 两不等实根：x1≠x2 两相等实根x1=x2=一 b 无实数根 2 f(x)=ax2+bx+c(a ≠0) OX=X2 ax2+bx+c>0(a>0) (-∞，X1)U(X2,+∞) x R ax2+bx+c<0(a>0) &1,X2) 0 0 2、解一元二次不等式的一般步骤 (1)标准化：利用不等式的性质将二次项系数化为正值； (②)求根：计算判别式△，求出相应方程的实数根： (3)标根：将根标在数轴上（注意两根大小顺序，特别是当根中含有字母时），画出开口向上抛物线示意图： (4)写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间（即大于选数轴上方部分，小于取数轴下方部分） 3、含参一元二次不等式的讨论依据 (1)讨论二次项系数：对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论： (2)讨论判别式：当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论： (3)讨论两根位置：当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 4、分式不等式 (1)fe>0Afxg()>0: (2)<0台fxg火0： g(x) g(x) 6)f巴≥0fxg()≥0且8y)≠0： g(x) (4/g≤0台fx)8(y≤0且g)≠0. g(x) 第4页共51页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5、简单的绝对值不等式： lxa(0)→(-∞，-aU(a,+∞)： x长a(>0)→(-a,④ 6、一元高次不等式的解法：“穿针引线法（数轴穿根法）”，步骤如下： (1)标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式： ②)分解因式：化为如同：(x-x)(x-x)…(x-x)>0的形式，其中各因式中未知数的系数为正： (3)求根标根：求(x-x)(x-)…(c-x)）=0的根，并按照从小到大的顺序在数轴上表示出来； (4)穿线：从最大根右上方开始穿线，经过数轴上表示各根的点： 穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数 轴的一侧穿过到达数轴的另一侧)，简称“奇过偶不过”： (⑤)写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间： 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间. 7、一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2+bx十c>0(a≠0)，x∈R恒成立÷>0且K0: (2)不等式ax2+br十c<0(a≠0)，x∈R恒成立÷K0且K0: (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a=0的情形， 【即学即练4】2025商一上湖南期中钊不等式[名}>0的解集是() 【答案】D【难度】0.94【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，即可求解 【详解)由合目小>0，得到xx》>0,解得x<兮或> 所以不等式日启0的解失是{x<兮或x引 .故选：D 题型精讲 题型01等式与不等式性质、比较大小 凰典例1-1】(25-26高一上新疆期中)设a,b,c为实数，且a>b>0,则下列不等式正确的是() A.ac2>bc2 B.1<} ab c.bsa D.a2<ab a b 【答案】B【难度】0.94【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判断BCD的真假. 【详解】对A:若c=0,则ac2=bc2,故A错误： 对B:因为a>b>0,两边同除以b,可得> b a ,故B正确： 第5页共51页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 a ,故c错误： 对C:因为a>b>0,所以2<1<， 对D:因为a>b>0,两边同乘以a,得：a2>ab,故D错误.故选：B 【典例1-2】(24-25高一上江苏南通·期末)若a>b,c>d,则) A.ac2>bc2 B.a-c>b-d C.a-d>b-c D.ac>bd 【答案】C【难度】0.85【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可， 【详解】选项A:若c2=0,则ac2=bc2=0.所以选项错误 选项B:若a=7,b=6,c=4,d=1,满足a>b,c>d,但是a-c<b-d.所以选项B错误. 选项C:因为c>d,所以-d>-c,又因为a>b,所以a-d>b-c.所以选项c正确 选项D:若a=7,b=3,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但是ac<bd,所以选项D错误.故选：C 凰典例1-3】(23-24高一上·湖南湘西期中)若a<b<0,则下列不等式不能成立的是() A2 11 ab B.a2>b2 C.a D.ab 【答案】D【难度】0.65【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】根据条件，结合结合作差法比较大小得到答案， 【详解】因为a<b<0,所以a+b<0,a-b<0,ab>0,b-a>0, 对于A合。论，0，所后言放A成立： a b ab 对于B,a2-b2=(a-b)(a+b)>0,所以a2>b2成立，故B成立： 对于C,ad-b=-a+b>0,所以abl,故c成立： 对于D,子-京=结合B选项，6-a2<0,又因为ab>0, 南日0：所以日，数D个成立，数运：口 【典例141（多选2425高二下河北邢邪台阶段练习刃若a=9+b=+5,c=兽+名则） A.b<c B.a<b C.c<a D.c<b 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法，适当放缩比较c、a和b、a的大小，得到a、b、c的大小关系即可求解. 【详解】a=·兰.b+号=，c=+二=+匹， 41636 43636 所以e-Q=5登-X5--登<08-10受-63整<0所以c<a, 36 36 36 36 =4-9受=-2+2>99x15+受-4555>0所以b>a, b-a 36 36 36 36 所以b>a>c,所以B、C、D正确，A错误.故选：BCD 【变式1-1】(24-25高一上江苏徐州期中)已知a,b,c∈R,则下列不等式中一定成立的是() 第6页共51页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 A.若a>b,则4>b B.若a<b<0,则二< +2 C.若a>b>0,则2 D.若a>b,则c2(a-b)>0 aa+2 【答案】C【难度】0.94【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】赋值法可判断AD;利用不等式性质可判断B,作差法比较数的大小判断C. 【详解】对于A,a=-1>b=-3,但a<b,故A错误： 对于，由a6<0,可将而0，不等式两边同来以 b得axbx ab 对于c6b+?_(a+2)-ab+2_2b-0 aa+2 aa+2) a(a+2) 因为a>b>0,2②<0，所以2<1号 a(a+2) aa+2,故c正确 对于D,a>b,当c=0时，c2(a-b)=0,故D错误.故选：C 【变式1-2】(25-26高一上全国单元测试)中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组 列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位：cm), 若体积不超过73500cm3,用数学关系式可表示为() A.a+b+c<130且abc<73500 B.a+b+c>130且abc>73500 C.a+b+c≤130且abc≤73500 D.a+b+c≥130且abc≥73500 【答案】C【难度】0.94【知识点】用不等式表示不等关系【分析】根据己知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过130cm,得a+b+c≤130， 由体积不超过73500cm3,得abc≤73500.故选：C 【交式1-3】(2526高一上陕西开学考试)若。+>2，则a,b的值可能是（了 A.a<0,b<0B.a>1,b>1C.a<0,b>1D.a>1,b>0 【答案】D【难度】0.85【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据各选项中b的取值范围，得出上+子的取值范围，再判断是否满足上+子>2即可 a b a b 1,1 【详解】A选项：当a<0,b<0时，上<0,2<0，则上+<0，不可能大于2，A错误： a a b B选项：当a>1b>1时，0<<L0<<1,则0<+<2，不可能大于2，B错误： a b a b c选项：当a<0,b>1时，<0,0<<1，则2+ a 测上+<1，不可能大于2，C错误： a b 则+ D选项：当a>1,b>0时，取a=2,b=上， >2,存在满足上+、 ,1-5 >2的情况，D正确故选：D a b 2 a b 《变式1-4】（多选）23-24高二下山东临沂.期末)已知a>b>c(a,b,c∈R),且3a+2b+c=0,则() A.a+c<0 B.+C≤-2 c a 第7页共51页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2a+b1 C.存在a,c使得c2-36a2=0 D. a+c 2 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】对于A,据已知条件即可证明：对于B,使用基本不等式即可证明；对于C,据已知条件即可否定： 对于D,将条件变形为a+c=-2(b+c),再利用C<0即可证明结论 【详解】对于A,a>b>c,3a+2b+c=0,所以3a+3c<3a+2b+c=0,故A正确： 对于B,a>b>c,3a+2b+c=0,所以6a>3a+2b+c=0,可得a>0,同理可得c<0, 又因a+c<0,所以-1，故号+号《（引3引938+号2=8+s-,故B正确： a C a 对于C,a>b>c,3a+2b+c=0,由B知a>0,c<0,又2<1，存在a,c使得c2-36=0可知c=-6a, 代入3a+2b+0=0可得乡=？与已知相矛盾，故c错误： a 2 对于D,将条件变形为a+c=-2(a+b),2a+白=+b+a=+也+=-+？，由A知a+c<0,由B知a>0, a+c a+c a+c a+c 2 a+c 所以2。<0，南-片e-片故0正确故随：A如0 【变式1-5】(24-25高一上湖南衡阳阶段练习)记实数x,x2…xn中的最大数为mx{5,x2x},最小为 min{书x,},若a,b,c均为正数，则minmax2a,36,4c,3+9+2) a b c 【答案】9【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围、集合新定义 M22a M≥3b 【分析】设M=max2a,3b,4c, .3,9,12 M≥4c,计算可得M≥9，可得结论. 'a b'c },可得 3,9,12] 【详解】设M=max2a,3b,4c,-+ 一十 ,因为a,b,c均为正数，所以M>0, a b c M≥2a [12 M≥3b a M 依题意 1、3 M>4c 整理得 所u0名8吕是+爱是是得w8 3.9.12 4 a+6+ M≥ c M 所以M≥9，当且仅当2a=3b=4c=9时等号成立，所以M的最小值为9.故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到M与α，b,c的不等关系，将多变量问题转化为单变量问题 【变式1-6】(24-25高一上江苏南通阶段练习)设max{a,b,c}表示a,b,c中最大的数.设.0<a<b<c<1, 且b≥2a,则max{b-a,c-b,1-c}的最小值为 【答案】青【难度】04【知识点】利用不等式求值或取值范围 b=1-n-p 【分析】利用换元法可得 a=1-m-n-p'进而根据不等式的性质，讨论求解即可。 第8页共51页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b=1-n-p 【详解】令b-a=,c-b=n,1-c=P,其中m,n,p>0,所以 a=1--n-p 若b≥2a,则b=1-n-p≥2(1-m-n-p),故2m+n+p21, M=max b-a,c-b,1-c max im,n p, 2M22m 因此。放4M≥2m+n+p≥1，则M牙，可知max0-ac-1-c的最小值为行：放答案为：子 1 MEp 题型02利用不等式性质求范围 【典例2-1】(25-26高一上河南鹤壁·开学考试)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5，则z=9x-y 的取值范围是() A.{-7≤z≤26B.{a-1≤z≤205C.{4≤z≤15}D.{1≤z≤15} 【答案B【难度10.65【知识点】利用不等式求值或取值范围（分析令=x-少，n=4x-y,得到9x-y=3”-3m, 85 求得了9号号得到1 5 二3’33” -三m≤20，即可求解 33 m=x-y 【详解】令m=x-y,n=4x-y,联立方程组 n=4r-y’解得 3 2-4m 3 则9x-y=9n-m_n-4m_8,5 3 3 =3-3, 因为-4≤m≤-1-1≤n≤5，可得号s-ms20-8s840 n≤ 3,33 3 所以-1≤8n3m≤20，所以-1≤9x-y≤20，即-1≤：≤20.故选：B, 3 3 【典例2-2】(25-26高一上广西崇左·开学考试)已知2≤a-b≤3且3≤a+b≤4，求4a-2b的取值范围() A.9<4a-2b<13 B.9≤4a-2b≤13 C.4a-2b<9或4a-2b>13 D.4a-2b≤9或4a-2b≥13 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】先将4a-2b用a+b,a-b表示出 来，根据已知的a+b与a-b的取值范围，再利用不等式的性质求4a-2b的取值范围. 4=m+n,m=3 【详解】设4a-2b=m(a-b)+(a+)→ -2=-+nn=1 因为2≤a-b≤3，所以6≤3(a-b)≤9，又因为3≤a+b≤4，将3(a-b)与a+b的取值范围相加， 所以6+3≤3(a-b)+(a+b)≤9+4，即9≤4a-2b≤13.故选：B. 《典例2-3】(2024湖南衡阳·模拟预测)新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名 前5%-3%的同学赋分95-97分.若原始分的最大值为a,最小值为b,令f(x)为满足f(a)=97,f(b)=95 的一次函数.对于原始分为x,(b≤x≤a)的学生，将(x)的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分96， 赋分97；小叶原始分81，赋分95；小林原始分89，他的赋分是() 第9页共51页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.95 B.96 C.97 D.96或97 【答案】D【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】由题意设f(x)=x+,再根据赋 分原理，列出f(96)和f(81)的范围，并表示f(89),根据不等式，即可求解 【详解】设f(x)=x+n,96.5≤f(96)≤97.4,94.5≤f(81)≤95.4， 15 95.6≤f89)≤96.5..赋分是96或97.故选：D. 【典例2-4】（多选）25-26高一上江苏无锡·阶段练习)下列命题为真命题的是() 9 A.若a2+b2=2,则a+b的最大值为2 B若0≤x+y≤2，-1≤x-y≤1，则-32x+y≤) c.不等式2x>1的解集是 D.当且仅当a,b均为正数时，+色≥2恒成立 3x+1 3 <x<0 b a 【答案】AC【难度】0.65【知识点】分式不等式、基本不等式的内容及辨析、利用不等式求值或取值范围、 基本不等式的恒成立问题【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得到正确答案 【详解】选项A:因为(a+b)}=a2+b+2ab≤2(a2+b2)=4,所以a+b≤2.所以选项A正确： 选项B:因为0≤x+y≤2，所以0≤3x+3y≤6.因为-1≤x-y≤1，所以-1≤4x+2y≤7， 所以2x+≤弓所以选项B错误 2 选项c:因为1，所以行10，即0，即x(3r+)<0解得：<0所以选项C正确： 3x+1 选项0：当号0号0时，2恒成立，当且仅当分名1时，等号成立 b 所以a,b同为负数时，也可使二+2≥2恒成立所以选项D错误故选：AC 【变式2-1】(25-26高一上全国·课后作业)若3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9，则x+2y的最小值为) A.-7 B.-6 C.-5 D.-4 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】已知2x+y,x-y的范围求x+2y的最小值，用待定系数法或换元法求解。 【详解】法一：设x+2y=m(2x+y)+n(x-y)=(2+n)x+(m-my, 故2m+n=1且m-n=2,所以m=1,n=-1,故x+2y=(2x+y)(-y), 由于3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9，则-9≤-(x-y)≤-6，所以3+(-9)≤2x+y-(x-y)≤9+(-6)， 2x+y=3 整理得-6≤x+2y≤3，故最小值为-6，此时由 x-y=9,可得x=4,y=-5: 送：设2x+y5x=y=t,则x== 32,所以x+2=-. 由于3≤s≤9,6≤t≤9，所以-9≤-t≤-6，故3+(-9)≤5-t≤9+(-6)， 即-6≤x+2y≤3，故最小值为-6，同法可得x=4,y=-5.故选：B 第10页共51页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第二章一元二次函数、方程和不等式复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01等式与不等式性质 题型01等式与不等式的性质、比较大小 题型02利用不等式性质求范围 知识点02比较大小 题型03一元一次不等式（不含参） 题型04一元二次不等式（含参） 第二章一元二次函数、方程和不等式复习 题型05由一元二次不等式的解集求参数或其范围 知识点03基本不等式 题型06不等式恒成立、有解问题 题型07一元二次方程根的分布 题型0B基本不等式及其应用 知识点04利用基本不等式求最值 题型09不等式的实际应用 知识点05三个二次的关系 教学目标、教学重难点 1.掌握等式性质和不等式性质，能利用不等式性质比较大小、求范围、证明不等式： 2理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系： 教学目标 3.掌握一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的分布情况； 4掌握一元二次不等式、简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式的解法。 1、重点：重要的不等式、基本不等式、三个二次的关系： 教学重难点 2、难点：利用基本不等式的性质及变形求最值、不等式的证明。 知识清单 知识点01等式与不等式性质 1、不等式关系与不等式 (1)不等式的概念：用数学符号“≠”“">”“<"“≥"“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系， 含有这些不等式号的式子，叫做不等式 (2)常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号语言 < ≤ 2、 等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 a=b→b=a 可逆 2 传递性 a=b,b=c→a=c 同向 3 可加、减性 a=b台→L士c=b士c 可逆 4 可乘性 a=b→ac=bc 同向 5 可除性 a=6,c≠0→g= 同向 c 4、不等式的性质 第1页共21页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b台b<a 可逆 2 传递性 a>b,b>c→a>c 同向 3 可加性 a>b→a+c>b+c 可逆 4 可乘性 a>b,C>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b,c>d→a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0→ac>bd 同向 > 同正可乘方性 a>b>0→an>b(n∈N,n22) 同正 (四)、不等式的两类常用性质 1.倒数性质：(1①)b,b>0=→<吉 ②K0→> eaba.rcdm>号 a0Kb或abk0→<生日 2.糖水不等式（有关分数的不等式性质）：若心b>0,心>0，则 ()糖水不等式：器<名<山-心>0：（②糖水不等式的倒数形式：积<号<票，b一心0. a-m a atm b+m 【即学即练1】(24-25高一上湖南长沙阶段练习)下列不等式中成立的是() A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.已知a>b>0,c<d<0,e<0,则_e>,e a-c b-d C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<6<0,则上<} a b 知识点02比较大小 (a-b>0÷a>b, 两个实数比较大小的常用方法：作差法a-b=0台a=b,(a,b∈R). (a-b<0台a<b, 【即学即练2】(24-25高一上湖南阶段练习)下列命题为真命题的是() A若a>6,则d>公B.若a>b,则am2ycC.若a>6,则片君 D.若a>b>0,则 知识点03基本不等式 (一)基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数： 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“Fb时取=” 基本不等式 Va而≤2a>0,b>0) 当且仅当“=b时取=” a+叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数. 2 怀展常用不等式链：异≤Va≤学≤ 2 a2+b2 第2页共21页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.以上不等式成立的条件：①心0，b>0.②等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. 2.其中+也叫做正数a,b的算术平均数，Vab叫做正数a,b的几何平均数. (二)、几个重要的不等式 (0a2+≥2aa,b∈R:(a2+8≥2，b同号)：3ab≤（尝）2a,b∈R;(④≥(Pa,b∈R. 以上不等式等号成立的条件均为a=b. (三)、基本不等式的拓展 (1)三元基本不等式：+b+9之c(ab,c均为正数，当且仅当a=b=c等号成立. 3 2n元基本不等式：马+++8≤a4,a(4,4,a均为正数)，当且仅当a=4,==a等号成立. 【即学即练3】(23-24高一上湖南邵阳阶段练习)若a>0,b>0且a+b=1,则2+片的最小值为() A B.1 C.2 D.4 知识点04利用基本不等式求最值 1、基本不等式与最值：已知x,y都是正数， (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x十y有最小值2VP. (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值S2 2、利用基本不等式求最值的注意点： (1)前提：“一正”“二定”“三相等” (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数、或者和为常数的形式，再利用基本不等式， (3)条件最值三种方法：一是配凑法、二是常数代换法、三是消元法， 【即学即练4】2425高一上湖南邵阳阶段练习)已知>2，则x+4 的最小值为) x-2 A.6 B.5 C.4 D.3 知识点05三个二次的关系 1、“三个二次”：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数 判别式△=b2-4ac △>0 △=0 △<0 ax2+bx+c=0(a≠0) 两不等实根：x1≠x2 两相等实根x1=为=一 无实数根 2a 公 f(x)=ax2+bx +c(a ≠0) O1=x2 ax2+bx+c>0(a>0) （-0∞，X1)U(&2,+∞) {x+- R ax2+bx+c<0(a>0) (&1,X2) g 0 2、解一元二次不等式的一般步骤 第3页共21页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)标准化：利用不等式的性质将二次项系数化为正值： (2)求根：计算判别式△，求出相应方程的实数根； (3)标根：将根标在数轴上（注意两根大小顺序，特别是当根中含有字母时），画出开口向上抛物线示意图； (4)写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间（即大于选数轴上方部分，小于取数轴下方部分） 3、含参一元二次不等式的讨论依据 (1)讨论二次项系数：对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论： (2)讨论判别式：当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论： (3)讨论两根位置：当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集， 4、分式不等式 1f9>0台fg>0: g(x) (2f巴<0台fg(w0: g(x) B)f@≥0xg)≥0且g)≠0： g(x) ④s0gts0且st倒≠0. 5、简单的绝对值不等式： x>a(>0)→（一o∞，-U(a,+o): xa(心0)→(-a, 6、一元高次不等式的解法：“穿针引线法（数轴穿根法）”，步骤如下： (1)标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式： (2)分解因式：化为如同：(x-x)(x-x)…(x-x)>0的形式，其中各因式中未知数的系数为正： (3)求根标根：求(x-x)(x-:)…(x-x)=0的根，并按照从小到大的顺序在数轴上表示出来： (4)穿线：从最大根右上方开始穿线，经过数轴上表示各根的点： 穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数 轴的一侧穿过到达数轴的另一侧)，简称“奇过偶不过”： (⑤)写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间： 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间. 7、一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2+bx十c>0(a≠0)，x∈R恒成立÷>0且<0： (2)不等式ar2+bx十c<0(a≠0)，x∈R恒成立÷a<0且小<0： (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a=0的情形 【即学即练4】2025高一上湖南期中)不等式？}小0的解梨是() A{作分g平分c{}。.该司 题型精讲 第4页共21页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01等式与不等式性质、比较大小 〖典例1-1】(25-26高一上新疆期中)设a,b,c为实数，且a>b>0,则下列不等式正确的是() 11 A.ac2>bc2 B. a b c69 a b D.a'<ab 【典例1-2】(24-25高一上江苏南通期末)若a>b,c>d,则() A.ac2>bc2 B.a-c>b-d C.a-d>b-c D.ac>bd 【典例1-3】(23-24高一上·湖南湘西·期中)若a<b<0,则下列不等式不能成立的是(） 11 11 A.> B.a2>b2 C.a>b a b D.>6 【典例14（多选24-25商二下河北邢台阶段练习刃若a=9+忌b=+5,e=9+完则） A.b<c B.a<b C.c<a D.c<b 凰变式1-1】(24-25高一上江苏徐州期中)已知a,b,c∈R,则下列不等式中一定成立的是() A.若a>b,则a>bl B.若a<b<0,则<1 a b c.若a>b>0,则2b+2 D.若a>b,则c2(a-b)>0 aa+2 【变式1-2】(25-26高一上·全国.单元测试)中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组 列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位：cm), 若体积不超过73500cm3,用数学关系式可表示为) A.a+b+c<130且abc<73500 B.a+b+c>130且abc>73500 C.a+b+c≤130且abc≤73500 D.a+b+c≥130且abc≥73500 11 【变式1-3】(25-26高一上陕西·开学考试)若二- 三>2，则a,b的值可能是() a b A.a<0,b<0B.a>1,b>1C.a<0,b>1D.a>1,b>0 【变式1-4】（多选）(23-24高二下山东临沂·期末)已知a>b>c(a,b,c∈R),且3a+2b+c=0,则() A.a+c<0 B.0+e≤-2 C a C.存在a,c使得c2-36a2=0 D. 2a+b-1 a+c 2 凰变式1-5】(24-25高一上湖南衡阳阶段练习)记实数x,x2-xm中的最大数为nx{5,x2x},最小为 第5页共21页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 min{,x},若a,b,c均为正数，则minmax{2a,3动，4c,3+9+12) 'a b c 【变式1-6】(24-25高一上·江苏南通·阶段练习)设max{a,b,c}表示a,b,c中最大的数.设.0<a<b<c<1, 且b≥2a,则max{b-a,c-b,1-c}的最小值为 题型02利用不等式性质求范围 I典例2-1】(25-26高一上河南鹤壁·开学考试)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5，则z=9x-y 的取值范围是() A.{z-7≤z≤26} B.{z-1≤z≤20}C.{z4≤z≤15}D.{z1≤z≤15} 【典例2-2】(25-26高一上广西崇左·开学考试)己知2≤a-b≤3且3≤a+b≤4，求4a-2b的取值范围() A.9<4a-2b<13 B.9≤4a-2b≤13 C.4a-2b<9或4a-2b>13 D.4a-2b≤9或4a-2b≥13 【典例2-3】(2024湖南衡阳·模拟预测)新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名 前5%-3%的同学赋分95-97分.若原始分的最大值为a,最小值为b,令f(x)为满足f(a)=97,f(b)=95 的一次函数.对于原始分为x,(b≤x≤a)的学生，将∫(x)的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分96， 赋分97；小叶原始分81，赋分95；小林原始分89，他的赋分是() A.95 B.96 C.97 D.96或97 【典例2-4】（多选）(25-26高一上·江苏无锡阶段练习)下列命题为真命题的是() A.若a2+b2=2,则a+b的最大值为2 8.石0s+s2-1-ys1,则2)s号 C.不等式 1-2x >1的解集是 3x+1 <x<0 D.当且仅当a,b均为正数时，二+2≥2恒成立 b a 【变式2-1】(25-26高一上全国·课后作业)若3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9，则x+2y的最小值为) A.-7 B.-6 C.-5 D.-4 【变式2-2】(25-26高一上全国.单元测试)己知实数x,y满足1≤x+y≤4，-1≤x-y≤2，则4x-2y的取值范 围是() A.-4≤4x-2y≤10B.-3≤4x-2y≤6C.-5≤4x-2y≤13D.-2≤4x-2y≤10 I变式2-3】（多选）24-25高一上湖南怀化阶段练习)若实数a,b满足1<a<3,2<b<7,则下列结论中正确 的有() 第6页共21页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3<a+b<10 11,1 B.7<a2+6<9 c.2<b<21D.7<6<2 【变式2-4】（多选）24-25高二下.陕西阶段练习)已知实数a,b满足-3<a+2b<2,-1<2a-b<4,则() A.-1<a<2 B.-2<b<1 C.-2<a+b<2 D.a-b的取值范围是(-2,4) 【变式2-5】(24-25高二下河北邢台阶段练习)已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9，则4x+y范 围是 【变式2-6】(24-25高一上·上海阶段练习)已知实数x、y满足：3<x+y<42<x+y2<6,则(x+y)(x+y2)的 取值范围是 题型03一元二次不等式（不含参） 【典例31】(25-26高三上江苏扬州开学考试)已知集合A={xr2-8x+12≤0}，B={x∈N3≤x≤7}，则 A∩B=() A.[2,7] B.[3,6] C.3,4,5,6} D.{2,3,4,5,6 【典例32】25-26高一上河南南阳阶段练习不等式-10≥1的解集为 x+2 凰典例3-3】(25-26高一上贵州贵阳开学考试)设x∈R,则“x-2<1"是“x2+x>0"的) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例34】(25-26高一上河南南阳·阶段练习)不等式x(x-1)3x-2)(x+2)2<0的解集为() A-(20 8.20割 c.20u引a+*j 。.引割 【变式31】(2025广东梅州模拟预测)集合A={x|x<1),B={xx2-2x<0},则A∩B=() A.{x|0<x<1}B.{x|-1<x<0}C.{x|-1<x<2}D.{x|0<x<2} 【变式321(25-26高三上重庆沙坪坝开学考试)不等式x4>0的解集是() A.(-0,-2)(0,+∞）B.(2,+∞）C.（-2,0)D.（-2,0)U(2,+∞) 第7页共21页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 凰变式33】(25-26高三上·上海开学考试)若“x<a"是“x2-3x-4<0”的必要不充分条件，则实数a的取值 范围是() A.(-0,-1] B.（-0,-1) C.[4,+o) D.(4,+0) 【变式3-4】（25-26高三上·云南曲靖阶段练习) 3 >1成立的一个必要不充分条件是() x-1 A.1<x<4 B.x<4 C.2<x<3 D.x<1 【变式35】（多选）24-25高一上广东江门期中)下列不等式的解集为R的是() A.x-x+>0 B.x2-3x+5>0C.-3x2+6x-4<0 D.x2+ 1 ≥1 4 x2+1 【变式36】(2025高三·北京·专题练习)不等式x(x-1)3x-2)(x+2}<0的解集为 题型04一元二次不等式（含参） 【典例41】(25-26高一上浙江期中)若a<0,则关于x的不等式a(+2)x+)<0的解集为) A.{x<x<2B.{-2<x<寻C.{xx>-域x<-2}D.x>-2或x<-寻 【典例4-2】(25-26高一上.全国.单元测试)已知二次函数y=(ax-1)(x-a).甲同学：y>0的解集为xx<a 或x>》:乙同学：y<0的解集为<a或x>},丙同学：函数y=(am-(x-图象的对称轴在y轴 a 右侧.在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为) A.a<-1 B.-1≤a<0 C.0<a≤1 D.a>1 【典例43】（多选）25-26高一上·全国·单元测试)已知关于x的不等式x2+bx+c≤0的解集为{x|x≤4或 x≥3}，则() A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集为{xx<12} D.不等式c-+a<0的解集为x 【典例44】（多选）25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔阶段练习)设二次函数f(x)=ax2+b.x-a+b满足 4x-1≤f(x)≤2x2+1,则() A.f(-1)+fI)=3 B.f(x)的最小值小于0 C.若f(x)+x≥0，则m是正数 D.若f(x)+x2>0,则是正数 第8页共21页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式41】(25-26高一上.全国课后作业)已知关于x的不等式x2-(3a+3)x+2a2+3a≤0的解集为A,则下 列结论错误的是() A.A中可能只有一个元素 B.若a<-3,则A中的元素为负数 1 C.若4eA,则2≤a≤4 D.A可能为空集 【变式42】(2025高三·全国.专题练习)不等式(x-a2023(x-1)224(x-2)225<0其中aeR)的解集不是() A.{x0<x<2且x≠1}B.{x1<x<2}C.⑦D.{xx<1或1<x<2或x>3} 【变式43】（多选）25-26高一上·全国·课后作业)关于x的不等式ax2-(a+2)x+2>0的解集可能为) A.R B.{xx<1} C. xx>2或x<1 D.2r<1 a 【变式44】（多选）25-26高一上全国·课后作业)己知关于x的不等式ax2+bx+1>0,下列关于此不等式的 解集结论正确的是(） A.解集可以是☑B.解集可以是RC.解集可以是{xx>1}D.解集可以是{x-1<x<2} 【变式45】（多选）24-25高一上山东德州阶段练习)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 M,则下列说法正确的是() A.若M=(-1,2),则a+b+c>0 若？=名=，则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集也为亚 C.若M=⑦，则a<0且b2-4ac≤0 D.若M={x-1<x<2},则关于x的不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ar的解集为N={x|x<0或x>3} 凰变式46（多选）23-24高一上浙江嘉兴-阶段练习)已知a,b为常数，给出关于x的不等式m≤x2-x+1≤bx, 则) A当a-1,b多时，不等式m≤-+1s的解失为分≤x≤ 2 B.当a<b<1时，不等式≤x2-x+I≤bx的解集为{xm≤x或x≥的形式，其中m<n C.当1<a<b时，不等式≤x2-x+l≤br的解集为{x|m≤x≤n,或p≤x≤q}的形式，其中m<n,卫<q D.当a<1<b时，不等式ar≤x2-x+1≤bx的解集为{x|m≤x≤的形式，其中m<n 题型05由一元二次不等式的解集求参数或其范围 【典例51124-25高一上：福建莆田阶段练习)关于x的一元二次不等式a心+bc+c>0的解集为1<x<号。 第9页共21页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则下列不正确的是() A.a<0 B.b+c=0 C.关于x的一元二次不等式bx2+ax-c≥0的解集为{xx=-1} D.关于x的一元二次不等式ar+c-b<0的解集为x<2或x>l 【典例5-2】（多选）23-24高一上安徽池州·期中)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x1≤x≤3}， 则3a+b+2c的值可以是() A B. 3 C.2 D.1 [x2-2x-8>0 【典例5-3】（多选24-25高一上陕西咸阳阶段练习）已知关于x的不等式组2x+2+7)x+7化<0仅有一个整 数解，则k的值可能为() A.-5 B.-V5 C.π D.5 凰典例5-4】(25-26高一上海南开学考试)已知函数y=2-x,若关于x的不等式y≥x2-2x-m的解集中有 且仅有2个整数，则的取值范围为) A.-2≤m≤-1 B.-2<m<-1 C.-2≤m<0 D.-2<<0 【变式511（多选）25-26高一上河南南阳·开学考试)关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0的解集中恰有两个 整数，则实数α的取值范围可能是() A.-1≤a<0B.4<a≤5C.-1<a≤0D.4≤a<5 凰变式52(24-25高二下浙江温州期中)函数f(x)=x2+x+2+(m,n∈R),非空集合A=xf(x)≤0 B={xf(f(x)-2)≤4且A=B,则下列说法中正确的是() A.n的取值与m有关B.n为定值C.2≤m≤8D.8≤m≤6+2√5 凰变式53(2025高一上江苏.专题练习)已知2x2-+m<0的解集为(-1，t)(t>-1),则k+m的值为一 【变式54(25-26高三上江苏扬州开学考试)若关于x的一元二次不等式x2-3x+a<0的解集为xx≠m心， 则m+a=一 【空式S2025高三上海：专恩练习尼知关于x的不等式2士+C>0的解集是-一2加2，+∞)，则塑 第10页共21页 第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习讲义 教学目标 1.掌握等式性质和不等式性质，能利用不等式性质比较大小、求范围、证明不等式； 2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 3.掌握一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的分布情况； 4.掌握一元二次不等式、简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式的解法。 教学重难点 1、重点：重要的不等式、基本不等式、三个二次的关系； 2、难点：利用基本不等式的性质及变形求最值、不等式的证明。 知识点01 等式与不等式性质 1、不等式关系与不等式 (1)不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． (2)常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号语言 2、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 同正可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 (四)、不等式的两类常用性质 1.倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒； (2)a<b<0⇒； (3)a>b>0,0<c<d⇒； (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒. 2.糖水不等式(有关分数的不等式性质)：若a>b>0，m>0，则 (1)糖水不等式：(b－m>0)；(2)糖水不等式的倒数形式：(b－m>0)． 【即学即练1】(24-25高一上·湖南长沙·阶段练习)下列不等式中成立的是(   ) A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B【难度】0.94【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：当时，，A选项错误； B选项：因为，，，所以， 所以，则，B选项正确； C选项：若，则，C选项错误； D选项：当，时，，D选项错误．故选：B. 知识点02 比较大小 两个实数比较大小的常用方法：作差法(a，b∈R)． 【即学即练2】(24-25高一上·湖南·阶段练习)下列命题为真命题的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D【难度】0.65【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断. 【详解】若，取，，则，故A错误； 若，当时，则，故B错误； 若，取，，则，故C错误； 若，则，故D正确.故选：D. 知识点03 基本不等式 (一)基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 拓展常用不等式链： 1.以上不等式成立的条件：①a>0，b>0. ②等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． 2.其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． (二)、几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)(a，b同号)；(3)ab≤ (a，b∈R)；(4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. (三)、基本不等式的拓展 (1)三元基本不等式：(均为正数)，当且仅当等号成立． (2)n元基本不等式：(均为正数)，当且仅当等号成立． 【即学即练3】(23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习)若且，则的最小值为( ) A． B．1 C．2 D．4 【答案】D【难度】0.94【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】若且，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为4．故选：D. 知识点04 利用基本不等式求最值 1、基本不等式与最值：已知x，y都是正数， (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 2、利用基本不等式求最值的注意点： (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数、或者和为常数的形式，再利用基本不等式． (3)条件最值三种方法：一是配凑法、二是常数代换法、三是消元法． 【即学即练4】(24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习)已知，则的最小值为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A【难度】0.94【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】运用拼凑法，将所求式整理成积为定值，再利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为6.故选：A. 知识点05 三个二次的关系 1、“三个二次”：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数 判别式 两不等实根: 两相等实根 无实数根 R ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的一般步骤 (1)标准化：利用不等式的性质将二次项系数化为正值； (2)求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； (3)标根：将根标在数轴上(注意两根大小顺序，特别是当根中含有字母时)，画出开口向上抛物线示意图； (4)写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取(根)两边，小于零取(根)中间(即大于选数轴上方部分，小于取数轴下方部分) 3、含参一元二次不等式的讨论依据 (1)讨论二次项系数：对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； (2)讨论判别式：当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； (3)讨论两根位置：当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4、分式不等式 (1) ⇔f(x)g(x)>0； (2)⇔f(x)g(x)<0； (3) ⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0； (4)⇔f(x)g(x)0且g(x)≠0. 5、简单的绝对值不等式： |x|>a(a>0)(－∞，－a)∪(a，＋∞)； |x|<a(a>0)(－a，a)． 6、一元高次不等式的解法：“穿针引线法(数轴穿根法)”，步骤如下： (1)标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； (2)分解因式：化为如同：的形式，其中各因式中未知数的系数为正； (3)求根标根：求的根，并按照从小到大的顺序在数轴上表示出来； (4)穿线：从最大根右上方开始穿线，经过数轴上表示各根的点； 穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则(即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧)，简称“奇过偶不过”； (5)写解集：若不等式“”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“”，则找“线”在数轴下方的区间． 7、一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 【即学即练4】(2025高一上·湖南·期中)不等式的解集是( ) A． B． C． D．或 【答案】D【难度】0.94【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，即可求解． 【详解】由，得到，解得或， 所以不等式的解集是或.故选：D． 题型01 等式与不等式性质、比较大小 【典例1-1】(25-26高一上·新疆·期中)设为实数，且，则下列不等式正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判断BCD的真假. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：因为，两边同除以，可得，故B正确； 对C：因为，所以，故C错误； 对D：因为，两边同乘以，得：，故D错误.故选：B 【典例1-2】(24-25高一上·江苏南通·期末)若a＞b，c＞d，则(   ) A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C【难度】0.85【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误.故选：C. 【典例1-3】(23-24高一上·湖南湘西·期中)若，则下列不等式不能成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】根据条件，结合结合作差法比较大小得到答案. 【详解】因为，所以，，，， 对于A，，所以，故A成立； 对于B，，所以成立，故B成立； 对于C，，所以，故C成立； 对于D，，结合B选项，，又因为， 所以，所以，故D不成立，故选：D. 【典例1-4】(多选)(24-25高二下·河北邢台·阶段练习)若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解. 【详解】， 所以所以， ,所以， 所以，所以B、C、D正确，A错误.故选：BCD 【变式1-1】(24-25高一上·江苏徐州·期中)已知，则下列不等式中一定成立的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C【难度】0.94【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】赋值法可判断AD；利用不等式性质可判断B，作差法比较数的大小判断C. 【详解】对于A，，但，故A错误； 对于B，由，可得，不等式两边同乘以，得，即，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，故C正确； 对于D，，当时，，故D错误.故选：C. 【变式1-2】(25-26高一上·全国·单元测试)中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为(单位：)，若体积不超过，用数学关系式可表示为( ) A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C【难度】0.94【知识点】用不等式表示不等关系【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得．故选：C 【变式1-3】(25-26高一上·陕西·开学考试)若，则的值可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据各选项中的取值范围，得出的取值范围，再判断是否满足即可. 【详解】A选项：当时，，则，不可能大于2，A错误； B选项：当时，，则，不可能大于2，B错误； C选项：当时，，则，不可能大于2，C错误； D选项：当时，取，则，存在满足的情况，D正确.故选：D 【变式1-4】(多选)(23-24高二下·山东临沂·期末)已知(，，)，且，则( ) A． B． C．存在，使得 D． 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，，所以，可得，同理可得， 又因，所以，故，，故B正确； 对于C，，，由B知，，又，存在，使得可知，代入可得与已知相矛盾，故C错误； 对于D，将条件变形为，，由A知，由B知，所以，即，故D正确.故选：ABD 【变式1-5】(24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习)记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则 . 【答案】9【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围、集合新定义 【分析】设，可得，计算可得，可得结论. 【详解】设，因为，，均为正数，所以， 依题意，整理得，所以，得 所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到与的不等关系，将多变量问题转化为单变量问题. 【变式1-6】(24-25高一上·江苏南通·阶段练习)设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【详解】令其中，所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则，可知的最小值为，故答案为： 题型02 利用不等式性质求范围 【典例2-1】(25-26高一上·河南鹤壁·开学考试)已知实数满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】令，得到， 求得，得到，即可求解. 【详解】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即.故选：B. 【典例2-2】(25-26高一上·广西崇左·开学考试)已知且，求的取值范围( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设 因为，所以，又因为，将与的取值范围相加， 所以，即.故选：. 【典例2-3】(2024·湖南衡阳·模拟预测)新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是(   ) A． B． C． D．或 【答案】D【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解. 【详解】设，，， ，∴， .∴赋分是或.故选：D. 【典例2-4】(多选)(25-26高一上·江苏无锡·阶段练习)下列命题为真命题的是(   ) A．若，则的最大值为2 B．若，则 C．不等式的解集是 D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立 【答案】AC【难度】0.65【知识点】分式不等式、基本不等式的内容及辨析、利用不等式求值或取值范围、基本不等式的恒成立问题【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得到正确答案. 【详解】选项A：因为，所以.所以选项A正确； 选项B ：因为所以.因为，所以， 所以.所以选项B错误； 选项C：因为，所以，即，即解得：.所以选项C正确； 选项D：当时，恒成立，当且仅当时，等号成立. 所以同为负数时，也可使恒成立.所以选项D错误.故选：AC. 【变式2-1】(25-26高一上·全国·课后作业)若，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解. 【详解】法一：设 故且，所以，故， 由于，则，所以， 整理得，故最小值为，此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得．故选：B 【变式2-2】(25-26高一上·全国·单元测试)已知实数满足，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则因此． 方法二：设，则，所以， 又因为，所以，因此．故选：D 【变式2-3】(多选)(24-25高一上·湖南怀化·阶段练习)若实数a，b满足，则下列结论中正确的有( ) A． B． C． D． 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理，即可求解. 【详解】由题意，实数a，b满足，根据不等式的性质，可得，所以A正确； 由，可得，所以，所以B不正确； 由不等式的基本性质，可得，所以C正确； 由，左右都乘以，可得，可得，所以D正确.故选：ACD. 【变式2-4】(多选)(24-25高二下·陕西·阶段练习)已知实数a，b满足，，则( ) A． B． C． D．的取值范围是 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得，即， 且，，所以的范围是，故C正确； 设，得，得，即， 且，，所以的范围是，故D错误.故选：ABC 【变式2-5】(24-25高二下·河北邢台·阶段练习)已知实数，满足，，则范围是 【答案】.【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，，所以.故答案为：. 【变式2-6】(24-25高一上·上海·阶段练习)已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】【难度】0.65【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为.故答案为：. 题型03 一元二次不等式(不含参) 【典例3-1】(25-26高三上·江苏扬州·开学考试)已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】由题意解一元二次不等式，求出集合的元素，根据交集的概念求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，即，则；故选：C. 【典例3-2】(25-26高一上·河南南阳·阶段练习)不等式的解集为 ． 【答案】或【难度】0.85【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】移项，通分，由分类讨论解分式不等式. 【详解】不等式，移项可得，通分得到， 对分子因式分解，得，其等价于或， 解得或，所以不等式的解集为或. 故答案为：或 【典例3-3】(25-26高一上·贵州贵阳·开学考试)设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得解. 【详解】由，解得，由，解得或， 若成立，则或也成立， 反之，若或成立，则不一定成立， ∴“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A. 【典例3-4】(25-26高一上·河南南阳·阶段练习)不等式的解集为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】解不含参数的一元二次不等式、高次不等式 【分析】按的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案. 【详解】按的正负分类可得：或，即：或或， 解得：或或.故选：A 【变式3-1】(2025·广东梅州·模拟预测)集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】先解集合B，再求两集合的交集可得. 【详解】由，得，在数轴上表示集合A，B如图， 所以.故选：A. 【变式3-2】(25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试)不等式 的解集是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】利用分类讨论结合一元二次不等式的解法可求不等式的解. 【详解】原不等式等价于或， 故或，故原不等式的解集为.故选：D. 【变式3-3】(25-26高三上·上海·开学考试)若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以.故选：C. 【变式3-4】(25-26高三上·云南曲靖·阶段练习)成立的一个必要不充分条件是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式 【分析】先解出不等式为，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，则，即，解得， 则是成立的充要条件，是成立的必要不充分条件， 是成立的充分不必要条件，是成立的既不充分也不必要条件.故选：B． 【变式3-5】(多选)(24-25高一上·广东江门·期中)下列不等式的解集为R的是(      ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，解得，则原不等式的解集为，A错误； 对于B，，且二次项系数大于0，则原不等式的解集为R，B正确； 对于C，由，得，，则原不等式的解集为R ，C正确； 对于D， R，， ， 当且仅当，即时取等号，因此原不等式的解集为R，D正确.故选：BCD 【变式3-6】(2025高三·北京·专题练习)不等式的解集为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】解不含参数的一元一次不等式、高次不等式 【分析】将不等式转化为不等式组，再依次解不等式组，最后取并集即可. 【详解】不等式化为：或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为.故答案为：. 题型04 一元二次不等式(含参) 【典例4-1】(25-26高一上·浙江·期中)若，则关于的不等式的解集为( ) A． B． C．或 D．或 【答案】C【难度】0.85【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，，所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或，故选：C． 【典例4-2】(25-26高一上·全国·单元测试)已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，．故选：C. 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)已知关于的不等式的解集为或，则( ) A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对.故选：BCD 【典例4-4】(多选)(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)设二次函数满足，则( ) A． B．的最小值小于0 C．若，则是正数 D．若，则是正数 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求二次函数的解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】根据条件可得，求出，由于恒成立，可得恒成立，则，求出的值，得到，检验所求满足，利用二次函数的图像与性质依次分析选项即可求解. 【详解】因为，令，即， 所以，则，即 因为是二次函数，所以，又因为恒成立， 所以恒成立，由于当时，， 所以，解得:，则， 此时满足条件，所以 对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，，则， 解得：，所以不一定是正数，故C错误； 对于D，，当时，不是恒大于0，不成立， 当时，要使，则，解得：， 所以要使，则是正数，故D正确；故选;ABD 【变式4-1】(25-26高一上·全国·课后作业)已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是( ) A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 【答案】D【难度】0.65【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据元素与集合的关系求参数 【分析】A选项，因式分解得到，当时，，A正确；B选项，时，，A中元素均为负数，B正确；C选项，在AB基础上，得到时，，结合得到不等式，求出C正确；D选项，由根的判别式得到A不可能为空集. 【详解】A选项，由，得， 当，即时，，得，则，A正确； B选项，当，即时，， 此时与均为负值，所以A中元素均为负数，B正确； C选项，由AB知，时，不满足，当，即时，， 因为，所以，得，C正确； D选项，由题意得，则A不可能为空集，D错误．故选：D 【变式4-2】(2025高三·全国·专题练习)不等式(其中)的解集不是( ) A．且 B． C． D．或或 【答案】D【难度】0.65【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】对于每个选项可选取的特殊值进行判断即可. 【详解】A选项，若，， 由穿针引线法可知，不等式解集为且，A正确； B选项，当时，，解得，B正确； C选项，当时，，解集为，C正确； D选项，由于解集中出现了，故，此时， 由穿针引线法可知，不等式解集为，D错误；故选：D 【变式4-3】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)关于的不等式的解集可能为( ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确．故选：BCD 【变式4-4】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是( ) A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 【答案】BD【难度】0.65【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解集性质、一元一次不等式的解集性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，所以不等式的解集不可能为，故A错误； 对于B，当且时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集也为，故B正确； 对于C，因为当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，而解集不包含0，故C错误； 若该结论正确，显然，且，是一元二次方程的两个实数根， 由，解得，此时不等式为，即，解集为，故D正确. 故选：BD. 【变式4-5】(多选)(24-25高一上·山东德州·阶段练习)已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则且 D．若，则关于的不等式的解集为或 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】对于A和D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得，且，即可求解；对于B，由题是可得，从而得不等式的解集，即的解集，即可求解；对于C，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，且和是方程的两根， 则，得到，所以，故A正确； 对于B，若，则，此时等价于，即， 显然一元二次不等式与一元二次不等式解集不相等，所以B错误； 对于C，令，因为，则图象开口向下，且与轴有一个交点或无交点， 所以且，故C正确； 对于D，因为，由选项A知，，且， 由，得到，即，解得或，所以D正确， 故选：ACD. 【变式4-6】(多选)(23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习)已知为常数，给出关于的不等式，则( ) A．当，时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为或的形式，其中 C．当时，不等式的解集为或的形式，其中， D．当时，不等式的解集为的形式，其中 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】当，时，转化为一元二次不等式组求解可判断A；讨论直线与抛物线的相交情况，然后根据条件作出函数，，的图象，观察图象即可判断BCD. 【详解】当，时，，即，解得，A正确； 设直线，联立，得， 由得或，直线与抛物线有两个交点； 由得或，直线与抛物线有一个交点； 由得，直线与抛物线无交点. 作出函数，，的图象，当时，如图一， 由图可知，此时不等式解集为，B错误；      当时，如图二，由图可知，C正确； 当时，如图三，由图可知，D正确.故选：ACD 题型05 由一元二次不等式的解集求参数或其范围 【典例5-1】(24-25高一上·福建莆田·阶段练习)关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是(   ) A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为或 【答案】D【难度】0.65【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题可得的解为或，，然后由韦达定理可得关系，可判断各选项正误. 【详解】因的解集为，则，故A正确； 对于B，由题可得的解为或，由韦达定理：，，则，故B正确； 对于C，关于的一元二次不等式可化为：，故C正确； 对于D，关于的一元二次不等式可化为： 或，故D错误.故选：D. 【典例5-2】(多选)(23-24高一上·安徽池州·期中)若关于的不等式的解集为， 则的值可以是( ) A． B． C．2 D．1 【答案】BC【难度】0.4【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得，所以， 所以，所以，故的值可以是和，故选：BC 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 【典例5-3】(多选)(24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为(   ) A． B． C． D．5 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，可确定不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，方程组的解为，不是整数，所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意，得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数，则，即. 综上，的取值范围为.故选：ABD. 【典例5-4】(25-26高一上·海南·开学考试)已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、求绝对值不等式中参数值或范围、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】将不等式化为，令，即. 然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取、、、时的函数值，画出函数的部分图像，数形结合即可得解. 【详解】根据题意，函数，不等式，即， 变形可得，令函数，所求即． 当时，， 所以在上上单调递减，在上单调递增，且，，． 当时，，在上单调递减，且． 可以绘制出函数图像．    结合图像和取、、、时的值可知，要使的解集中有且仅有两个整数， 这两个整数解只能是和，所以的取值范围为．故选：C 【变式5-1】(多选)(25-26高一上·河南南阳·开学考试)关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是( ) A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.65【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解为，不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为，不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或.故选：AB 【变式5-2】(24-25高二下·浙江温州·期中)函数，非空集合， 且，则下列说法中正确的是(   ) A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 【答案】BD【难度】0.4【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简， 解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得， 则，进而求得的取值范围. 【详解】令，则可化为， 不妨设的解集为，即， ，即，故， 又，且，，且，，且， 由，解得，故选项A错误，选项B正确； ，，有解， ，即或， 又是方程的两个根，即是方程的两个根， 故，即，， 又，则，解得：， 又或，，故选项C错误，选项D正确.故答案选：BD. 【变式5-3】(2025高一上·江苏·专题练习)已知的解集为()，则的值为 . 【答案】【难度】0.94【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解集端点与一元二次方程的根之间的关系即可求解. 【详解】因为的解集为()， 所以为的根，所以.故答案为： 【变式5-4】(25-26高三上·江苏扬州·开学考试)若关于的一元二次不等式的解集为，则 . 【答案】【难度】0.65【知识点】由一元二次不等式的解确定参数【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，得到判别式的值和的正负，从而解出和的值，得到的值. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以对应的一元二次方程有且仅有一个解，且， 所以，解得，代入一元二次方程得，解得， 所以，所以，故答案为：. 【变式5-5】(2025高三·上海·专题练习)已知关于x的不等式的解集是，则实数b= ，c= ，的解集为 . 【答案】；；【难度】0.65【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数【分析】根据不等式的解集，结合韦达定理可求出，再代入新的不等式求解即可. 【详解】 因为关于x的不等式的解集是， 所以方程的两根，由根与系数关系得，， 不等式即为，解集为.故答案为：；； 【变式5-6】(24-25高一上·江苏徐州·期中)已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【答案】；【难度】0.4【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，，则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以，即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有，所以，所以三个整数解为， 所以，解得.故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键. 题型06 不等式恒成立、有解问题 【典例6-1】(25-26高一上·天津·期中)不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】【难度】0.65【知识点】一元二次不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立，所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，， 等号成立当且仅当，所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为.故答案为：. 【典例6-2】(23-24高一上·上海·阶段练习)若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 【答案】【难度】0.85【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况，当时，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式等价于，得到，不合题意， 当时，因为不等式的解集是，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，故答案为：. 【典例6-3】(25-26高一上·天津·期中)对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ，当且仅当，即时取等号， ，，即，解得， 故实数的取值范围是.故选：C 【典例6-4】(2025高三·全国·专题练习)已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】【难度】0.4【知识点】一元二次不等式恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】在中，其对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增， ∵对于，均有成立， 即对于，均有恒成立， 设，则其对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， ① 当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递减， ，， ，解得； ② 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，，， 解得； ③ 当，即时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减， ，，，故不符题意，舍去； ④ 当即时，函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此时， 解得； ⑤ 当即时，函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此时， 此时，，所以符合题意. ⑥ 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递增， ，， 此时，，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是.故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性. 【变式6-1】(2025高一上·江苏·专题练习)已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式乘“1”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意知：不等式恒成立，即， ，即：， ∴，∴， 又∵，∴，；∴，当且仅当即 时等号成立. ∴当时，取得最小值为8.∴解得：；故选：C. 【变式6-2】(24-25高二下·江西九江·期末)设，若恒成立，则k的最小值为( ) A．9 B．8 C．－1 D．－2 【答案】C【难度】0.65【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得，所以的最小值为.故选：C. 【变式6-3】(25-26高三上·江苏盐城·阶段练习)已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为( ) A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C【难度】0.4【知识点】一元二次不等式恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意结合三个二次之间的关系列式求参数，恒成立问题结合二次函数的性质列式求的取值范围，即可得结果. 【详解】不等式的解集为，则方程的两根为，，且， 所以，解得，不等式，即为， 故不等式对恒成立， ∵二次函数的对称轴为，则有： ①，解得；或②，无解； 综上所述：，所以实数的最大值为．故选： 【变式6-4】(多选)(24-25高二下·福建泉州·期末)下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．命题“，”的否定是“，或” C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD【难度】0.65【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、特称命题的否定及其真假判断【分析】根据不等式性质，命题逻辑，充分条件判定及二次不等式恒成立的条件，逐一分析选项，验证每个命题的正误. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，原命题“存在x满足”的否定应为“所有x都不满足”，即“所有x都满足或”，原命题表述正确，故B正确； 对于C，若，，则，则，即，必要性成立； 若，，则，所以，充分性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件，故C错误； 对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D正确.故选：BD. 【变式6-5】(25-26高一上·云南·期中)若“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、根据特称(存在性)命题的真假求参数【分析】根据题意，得到为真命题，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为“”为假命题，可得为真命题， 即对于任意恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 所以取得最小值，所以，即实数的取值范围为.故答案为：. 【变式6-6】(25-26高三上·上海·阶段练习)任意都是不等式的解，求实数的取值范围 . 【答案】【难度】0.65【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对勾函数求最值 【分析】由题可转化为在上恒成立，令，整理得，再利用对勾函数函数得到最小值即可. 【详解】由题知，即不等式在上恒成立， 则，又，所以令， 即，所以， 又，当，即时取等号，所以在上单调递减， 所以.故答案为：. 题型07 一元二次方程根的分布 【典例7-1】(2025高一·全国·专题练习)若一元二次方程()有一个正根和一个负根，则( )． A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，(). 则.故选：A 【典例7-2】(24-25高一上·上海徐汇·期末)下列说法正确的是( ) A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D【难度】0.85【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题 【分析】判别式判断A、B；整理方程求解得判断C；求一元二次方程的解判断D. 【详解】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对.故选：D 【典例7-3】(23-24高一上·四川成都·期中)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据不动点的定义列出方程，然后根据二次函数零点的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间上恰有两个不同的不动点， 即在区间上恰有两个解， 即在区间上恰有两个零点， 所以或者，解得：或，故选：C 【典例7-4】(25-26高三上·福建·开学考试)若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【答案】【难度】0.85【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根，所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时，设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是.故答案为：. 【变式7-1】(2025高一·全国·专题练习)已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是( )． A． B． C． D．或 【答案】C【难度】0.85【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令，因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得．故选：C． 【变式7-2】(24-25高一上·江苏南京·阶段练习)已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是( ) A．或 B． C． D．或 【答案】B【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即，解得.故选：B. 【变式7-3】(多选)(24-25高二下·江西赣州·期末)已知函数，若存在使得，则a的范围可以是( ) A． B． C． D． 【答案】BC【难度】0.65【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】若存在使得，即函数的对称轴在即可求解. 【详解】若存在使得，所以函数的对称轴在即可， 由的对称轴为，所以，所以满足是的子区间即可， 故AD错误，BC正确，故选：BC. 【变式7-4】(24-25高三上·上海浦东新·期中)若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 . 【答案】【难度】0.85【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，即实数的取值范围是.故答案为： 【变式7-5】(25-26高一上·上海宝山·开学考试)若是方程的两个实数根，则的值等于 . 【答案】【难度】0.85【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】已知是方程的两个实数根，由根与系数的关系得出及的值，再对进行化简后代入及的值求解． 【详解】是方程的两个实数根， ， ．故答案为： 【变式7-6】(2025高三·北京·专题练习)已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 【答案】【难度】0.65【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，.故答案为：. 题型08 基本不等式及其应用 【典例8-1】(23-24高一上·湖南娄底·期末)若，，且，则的最大值是( ) A． B． C． D．1 【答案】B【难度】0.94【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当.故选：B. 【典例8-2】(24-25高一上·陕西西安·阶段练习)若，则的最小值为( ) A．13 B．26 C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因，则，则，等号成立时， 故的最小值为.故选：D 【典例8-3】(24-25高二下·湖南娄底·期末)已知，且，则的最小值为(   ) A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C【难度】0.85【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】，当且仅当时等号成立.答案：C. 【典例8-4】(2025·广东梅州·模拟预测)已知正实数满足，则的最小值是( ) A． B．4 C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立.故选：A 【变式8-1】(25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试)函数()的最大值为( ) A． B．3 C．1 D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即(当时取等号)， 所以的最大值为；故选：D 【变式8-2】(2025高三·全国·专题练习)已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为( ) A． B． C．1 D．2 【答案】B【难度】0.85【知识点】解不含参数的一元一次不等式、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】已知，，，恒成立等价于恒成立. 又，则，. ，即，解得(舍去)或，的最小值为，故选：B. 【变式8-3】(24-25高一上·江苏南京·阶段练习)已知正数满足，则的最小值为(   ) A． B．4 C． D．5 【答案】A【难度】0.65【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：A 【变式8-4】(24-25高一上·江苏无锡·期中)设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为(   ) A．2 B． C．1 D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】，，又均为正实数， (当且仅当时取"=")， ，此时.， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为.故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 【变式8-5】(多选)(25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习)已知，，．则下列说法正确的是( ) A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当， 即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，， 当且仅当，即时取等号，所以D正确.故选：ABD. 【变式8-6】(24-25高一上·江苏南京·阶段练习)已知，且满足，则的最小值为 ． 【答案】1【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】对原式变形得，令，待求式转化为，由基本不等式求最值即可. 【详解】由可得，即， 令，则， ， 当且仅当，即时等号成立，故答案为：1 题型09 不等式的实际应用 【典例9-1】(24-25高一上·湖南湘潭·期中)两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是( ) A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【答案】B【难度】0.65【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案. 【详解】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠.故选：B 【典例9-2】(24-25高二下·云南·期末)要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价(底的造价与壁的造价之和)的最小值为(   ) A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B【难度】0.65【知识点】基本不等式的实际应用【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元.故选：B 【典例9-3】(多选)(25-26高三上·辽宁·阶段练习)建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是(   ) A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD【难度】0.65【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对.故选：AD. 【典例9-4】(2025高一上·上海·专题练习)我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为 钱； 【答案】8【难度】0.94【知识点】解不含参数的一元一次不等式【分析】设买大竹子根，每根单价为钱，则可得，求出解后根据可求. 【详解】依题意可设买大竹子根，每根单价为钱， 买小竹子根，每根单价为钱，所以即． 因为，，解得， 而为非负整数，故，故大竹子的单价为每根钱.故答案为：. 【变式9-1】(2025高三·全国·专题练习)某学校后勤部采购一台设备原值(购买价格)为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值(剩余值)为零，则这台设备最佳更新年限为( ) A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C【难度】0.65【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用(年折旧平均费用和年消耗平均费用)最小，表示出设备总费用，结合基本不等式即可求解． 【详解】设这台设备使用年后更新， 即最佳更新年限为年均设备费用(年折旧平均费用和年消耗平均费用)最小， 由题意可得，年消耗平均费用为元， 年折旧平均费用为元，则平均年总费用， 最佳更新年限为设备总费用(年折旧平均费用和年消耗平均费用)最小， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以这台设备最佳更新年限为，故选：C． 【变式9-2】(24-25高二上·浙江杭州·期末)某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】基本不等式的实际应用、基本不等式求积的最大值 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即；所以， 所以，当且仅当时取等号.故选：B. 【变式9-3】(多选)(23-24高一上·河南·期中)如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】CD【难度】0.94【知识点】基本不等式求和的最小值、基本(均值)不等式的应用 【分析】首先设，，根据，得到，再利用基本不等式的性质得到矩形绿地的周长，即可得到答案. 【详解】如图，设，，由题意知，即，， 所以，化简得，因此矩形绿地的周长， 当且仅当时取等号．故矩形菜地的周长可能为米，米．故选：CD． 【变式9-4】(多选)(24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习)《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是(   ) A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A的真假；把、用表示出来，判断B的真假；把、用表示出来，判断C的真假；把、用表示出来，判断D的真假. 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误.故选：ABD 【点睛】方法点睛：采用数形结合，分别表示出相应线段，结合图形中线段的长度关系，逐一分析各选项，即可得到答案. 【变式9-5】(25-26高一上·全国·单元测试)某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买吨．若每次的运费为5000元，一年的储存费用为元，则每次购买 吨原材料，总费用(运费和储存费之和)最低． 【答案】10【难度】0.94【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可得出函数解析式，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得总费用， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以每次购买10吨原材料，总费用最低．故答案为：10 【变式9-6】(24-25高一上·安徽铜陵·期末)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为；每月库存货物费万元与x的函数关系近似为．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少． 【答案】4【难度】0.85【知识点】基本(均值)不等式的应用 【分析】先根据题意找到两项费用与的关系，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，； 所以总费用为 当且仅当时等号成立，解得或(舍)；故答案为：4. 一、单选题 1.(25-26高一上·全国·课前预习)若，则的最大值为(   ) A．0 B．1 C． D．2 【答案】B【难度】0.94【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为1．故选：B 2.(25-26高三上·重庆·开学考试)若，则下列命题正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B【难度】0.85【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、判断命题的真假、作差法比较代数式的大小【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，，， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，， 所以，即，故C错误； 对于D，令，，则，，故D错误.故选：B. 3.(2025高二下·湖南·学业考试)已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是(  ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件.故选：C. 4.(24-25高一上·陕西西安·开学考试)如图，二次函数图象顶点在第一象限，且过、 两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．( ) A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D【难度】0.65【知识点】二次函数的图象分析与判断、求二次函数的解析式 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确；故选：D 5.(24-25高一上·湖南长沙·阶段练习)已知，则使成立的充分条件为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】充分条件、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据充分条件的概念，结合不等式的性质或举出反例，逐项判断即可. 【详解】选项A：当时，由得，此时， 当时，由得，不一定有， 所以不是成立的充分条件； 选项B：当，时，满足，此时不一定有， 所以不是成立的充分条件； 选项C：由可得，当，，且时满足， 此时不一定有，所以不是成立的充分条件； 选项D：由可得，即，此时，所以是成立的充分条件； 故选：D 6.(25-26高一上·湖南长沙·阶段练习)不等式 的解集为(   ) A．且 B．且 C．或 D．或 【答案】C【难度】0.65【知识点】高次不等式【分析】先判断一元二次式的正负，再根据高次不等式的求解方法(数轴穿根法)来确定原不等式的解集. 【详解】，故原不等式等价于， 对于方程可得或或或， 根据数轴穿根法，可得不等式的解集为或，故选：C. 7.(24-25高一上·江苏常州·期中)已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是( ). A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根，所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为，所以， 则在上恒成立，即， 因为，当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意，所以的取值范围是.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 8.(24-25高一下·云南·期中)已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为( ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】D【难度】0.4【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据已知条件可得，然后对化简变形后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】不等式对于一切实数恒成立，且，，. ，使成立，，， ， 当且仅当，即时等号成立.故选：D. 二、多选题 9.(23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习)不等式的解集是，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】BD【难度】0.85【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据解集和韦达定理得到，再一一分析即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，所以AC错误， 则，，故BD正确．故选： BD． 10.(25-26高一上·河南南阳·开学考试)已知，，，则下列结论成立的是( ) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由，可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾， 故的最小值大于2，故C错误； 对于D，，故，最小值大于1，故D错误.故选：AB. 11.(23-24高一上·山东菏泽·阶段练习)下列命题正确的是( ) A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题、分式不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于C，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可，则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故C正确；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确.故选：ACD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得在上恒成立，C选项的关键是得，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 三、填空题 12.(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】3【难度】0.94【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式即可得. 【详解】，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为3.故答案为：3. 13.(2025高一上·全国·专题练习)关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】探求命题为真的充要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根(含重根)时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是．故答案为：． 14.(23-24高一上·江苏徐州·期中)若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为 . 【答案】【难度】0.15【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】构造函数，用二次函数根的分布得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】令，易得， 又因为的解集中恰有2个整数， 所以的解集中要么恰有两个整数，要么恰有两个整数， 当的解集中恰有两个整数时， 有，即，解得； 当的解集中恰有两个整数时， 有，即，解得； 综上：或，即实数的取值范围为.故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于注意到，从而将问题转化为的解集中要么恰有两个整数，要么恰有两个整数，由此得解. 四、解答题 15.(24-25高一上·福建厦门·阶段练习)比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1)；(2)【难度】0.85【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】作差法比较即可 【详解】(1)， 则. (2)， 则 16.(2024高一·全国·专题练习)关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根；(2)一个根大于，一个根小于；(3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题 【分析】令，设的两个根为，结合二次函数的图象与性质，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】(1)令，设的两个根为， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. (2)解：若方程的一个根大于，一个根小于， 则满足，解得，即实数的取值范围为. (3)解：若方程一个根在内，另一个根在内， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. (4)解：若方程的一个根小于，一个根大于， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 17.(25-26高一上·广东广州·开学考试)已知正数、满足． (1)求的最大值，并求出此时、的值；(2)求的最小值，并求出此时、的值． 【答案】(1)当且仅当时，的最大值为1；(2)，时，的最小值为 【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】(1)直接由基本不等式即可求解；(2)由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】(1)∵，，∴．又，∴． 当且仅当时等号成立，∴的最大值为1． (2) 当且仅当，即，时，的最小值为． 18.(24-25高一上·四川德阳·期中)问题：正实数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 【答案】(1)；(2)，当且仅当且同号时，等号成立.【难度】0.4 【知识点】由基本不等式比较大小、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】(1)利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；(2)由“1”的妙用得到，其中 ，从而得到，并得到等号取到的条件. 【详解】(1)正实数，满足，故， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为； (2)， 而，当且仅当时，等号成立， 所以， 故，当且仅当且同号时，等号成立. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 19.(23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习)集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料：①若，且，则有；②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 【答案】(1)，(2)；(3)证明见解析.【难度】0.4 【知识点】必要条件、根据交集结果求集合或参数、由不等式的性质证明不等式 【分析】(1)由条件可得，列关系式，求， (2)由条件结合必要条件的定义可得，列不等式求的取值范围， (3)由三角形性质可得，，， 结合结论①证明， ，，再利用结论②完成证明. 【详解】(1)因为，，， 所以，，所以， (2)因为是的必要条件，所以，又，， 所以，，所以，所以的取值范围为， (3)因为是三角形的三边，所以，，， 由结论①可得， ，， 由结论②可得，又， 所以，故. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $