专题01 空间向量和立体几何（期中真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题01 空间向量和立体几何 6大高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间距离问题内容 考点03 空间向量的综合应用 考点04 空间中异面直线夹角问题 考点05 直线与平面的夹角问题 考点06 平面与平面的夹角问题 地 城 考点01 空间向量的运算 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（    ）． A． B． C． D．存在非零实数，使 【答案】D 【详解】若非零向量，在同一条直线上，则、共线. 对于A选项，，且是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以，、同向，所以，是、在一条直线上的充分不必要条件； 对于B选项，取，，则，但、不共线； 对于C选项，若，则，可知； 对于D选项，“存在非零实数，使”“”. 故选：D. 2．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】因为，则． 因为，， 所以，解得． 故选：A． 3．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面、的法向量分别为、且， 所以，即， 则， 故选：A. 4．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)已知向量，点，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，，， 故选：D. 5．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（    ） A． B．5 C． D．5 【答案】A 【详解】∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2， ∴•0，0， 又3×5×cos60°. ∵， ∴2＝（）2 222+2•229+16+25+15＝65， ∴||. 故选：A. 6．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为， 点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为， 点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为， 所以点关于y轴对称点的坐标为. 故选：C. 7．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为共面，则存在实数，使得，即， 于是， 所以在上的投影向量的模为. 故选：B 8．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)（多选题）已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】， 又， 所以， 当且仅当共线同向时等号成立， 因为为单位向量，且， 若共线，则存在实数使得， 即，可得，方程组无解， 所以一定不共线. . 故选：CD. 9．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)（多选题）给出下列命题，其中不正确的为（   ） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则是钝角 C．若，则与一定共线 D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 【答案】ABD 【详解】对于A，考虑平行四边形中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，即A错误； 对于B，当两个非零向量的夹角为时，满足，但不是钝角，即B错误； 对于C，当时，可得，则与一定共线，可知C正确； 对于D，考虑三棱柱，令， 满足与，与，与都是共面向量，但不共面，可得D错误. 故选：ABD 10．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)（多选题）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则的长度相等而方向相同或相反 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若两个非零向量与满足，则 D．若空间向量，满足，且与同向，则 【答案】BC 【详解】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误； B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确； C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确； D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误. 故选：BC 【点睛】本题考查对平面向量及空间向量基本概念的辨析，命题真假的判断，属于基础题 11．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则 .    【答案】/ 【详解】在中，点是的中点，则， 又，，则， 而点共线，因此，所以. 故答案为： 地 城 考点02 空间距离问题 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是 . 【答案】 【详解】由题意可得， ， ， 由平行六面体法则可得， 所以， ， 故. 故答案为：. 2．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度. 如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则点、、、， 所以，，，， 设向量满足，， 由题意可得，解得，取，则，， 可得， 因此，. 故答案为：. 3．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为 【答案】 【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设平面的法向量是， ， ∴由，可得 取得， ， ∴到平面的距离. 故答案为：. 4．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)如图，已知平行六面体中，，，，. (1)证明：； (2)求的长度. 【详解】（1）平行六面体中，设，，， ，， 由，， 得，， 则， 因此，所以. （2）依题意， ， 因此 ， 所以的长度为. 地 城 考点03 空间向量综合应用 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)（多选题）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．不是定值 C．三棱锥的体积为定值 D． 【答案】ACD 【详解】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确； B. ，故，故B不正确； C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确； D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确. 故选：ACD 2．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)（多选题）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（    ）    A．当E点运动时，总成立 B．当E向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为45° D．在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】对A：因为，面，所以面， 因为面，所以，同理可证， 因为，面，所以平面， 因为平面，所以总成立，故选项A正确； 对B：平面即平面，而平面即平面，所以当E向运动时， 二面角大小不变，选项B不正确； 对C：建立如图所示的空间直角坐标系：    则， 因为E，F在上，且，故可设 ，设平面的法向量为， 又，所以，取，则， 平面的法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角， 故，当，故，所以，当且仅当时取最大值，即取最小值，故C正确； 对D：因为，，所以，故在方向上的投影向量为， 故选项D正确． 故选：ACD． 3．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)（多选题）如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面 C．二面角的大小为 D．点到平面的距离为2 【答案】ABD 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 对A：. ，A项正确； 对B：. 设为平面的一个法向量，则， 即，令，得，则， 因为，不在平面内，所以平面，则B项正确； 对C：由图可知，平面，所以是平面的一个法向量， 则 ， 故二面角的大小不是，所以C项不正确. 对D：由，所以点到平面的距离为，D项正确； 故选：ABD 4．(24-25高二上·甘肃西北师范大学附属中学·期中)（多选题）今年”国庆"假期期间，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（    ） A．小王和小张都中奖的概率为0.1 B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48 C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52 【答案】BCD 【详解】记事件：顾客小王中奖，事件：顾客小张中奖，则小王、小张未中奖可记为； 易知； 由题意可知与相互独立，所以与，与，与均相互独立； 所以小王和小张都中奖的概率为，即A错误； 小王和小张都没有中奖的概率为，可得B正确； 小王和小张中只有一个人中奖的概率为，即C正确； 小王和小张中至少有一个人中奖的概率为，即D正确. 故选：BCD 地 城 考点04 空间中异面直线的夹角问题 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)． 故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−. 设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=. 2．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.    (1)求直线与所成角的大小； (2)判断直线与平面的关系. 【详解】（1）在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,， ,0,，,2,， 设直线与所成角为， 则，， 直线与所成角的大小为； （2）直线与平面垂直，理由如下： 由（1）知,2,，,0,， ，， ，， ，、平面， 直线与平面垂直． 3．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，. （1）用，，表示及求； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1) ,.(2). 【详解】（1）. ， . （2）， 则 . 又，， . 异面直线与所成的角的余弦值是. 地 城 考点05 直线与平面的夹角问题 1．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)如图，平面，，，，则二面角的余弦值大小为 . 【答案】 【详解】以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∵、、、 ∴，，， 设平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则且， ∴可取，，∴. 二面角是锐二面角，∴其余弦值为． 故答案为：． 2．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点. （1）证明平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴， ∵，，∴平面，∴， 又，，∴，又， ∴平面； （2）解：由（1）可知，，，， 故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则即， 设，则、，则， 设与平面所成角为， 则， ∴与平面所成角的正弦值为. 3．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点. (1)证明： ； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接， 因为，故，又平面平面，且平面平面， 因此平面， 同理可知，平面， 因此 且，故四边形为平行四边形，所以 ， 又因为 ，所以. （2）因为，所以，所以， 以为原点，为轴，为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由题意知，， ， 所以. 设平面的法向量为， 则有即 令，则，即平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 4．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形； (1)当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积． 【详解】（1）因为底面为等腰梯形，， 所以，，，所以. 所以， 又，平面，且，所以平面. 又平面，所以平面平面. 取中点，因为是等边三角形，所以， 平面平面， 所以平面. 再取中点，连接，则，所以. 所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，，.. 设，可得 所以，取平面的法向量. 因为与平面所成角的正弦值为， 所以，解得或（舍去）. 所以：线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. （2）当平面平面时, 与平面所成角为. 当平面与平面不垂直时，过做平面，连接， 则为与平面所成角，因为， ，，，所以. 故当平面平面时，与平面所成角最大. 此时，设棱锥的外接球球心为，, 所以，解得. 所以三棱锥的外接球的体积为： . 地 城 考点06 平面与平面的夹角问题 1．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】试题分析：（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值． 试题解析：（Ⅰ）在图1中， 因为，，是的中点，，所以 即在图2中，， 从而平面 又，所以平面． （Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，， 所以为二面角的平面角，所以． 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为， 所以 得 ，． 设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为， 则，得，取， ，得，取， 从而， 即平面与平面夹角的余弦值为． 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用． 2．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图所示，在中，，为边上一点，且，平面，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）在中，，且，所以， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为平面，， 所以平面，即平面， 又由平面，所以平面平面. （2）以､､所在射线分别为､､轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，，所以， 设与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点，点在线段上． （1）证明：平面； （2）如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置． 【详解】（1）证明：在梯形中，∵，且， ∴，，∴， ∵点为的中点，∴，∴ ， ∴四边形是平行四边形，，∴， 又∵底面，底面，∴， 又平面，平面，，∴平面； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系： 则、、、、， ∴，，， 设()，则， 则，， 设平面的法向量为，由得， 令得，则平面的一个法向量为， 则 ， 所以，整理得， 解得或， 因为，所以应舍去， 所以，即， ∴当点与点重合时直线与平面所成的角的正弦值为． 4．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图，三棱柱中，，，. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由. 解析： （Ⅰ）证明：连接  为平行四边形，且 为菱形   又，平面 又 平面   （Ⅱ）      两两垂直 以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，设 易知，，， 则平面的一个法向量 设是平面的一个法向量 则 得 ，解得： 在棱上存在点，当时，得二面角的大小为. 5．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长. 【详解】（1）证明：因为底面底面， 所以. 因为，所以. 取的中点，则，所以. 由得，，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）及条件可知，两两垂直. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以 设，则，所以 . 设平面的一个法向量为， 由得取， 设平面的一个法向量为， 由得取， 所以， 令，则，整理得， 解得. 由，解得（负值舍去）， 即. 6．(24-25高二上·甘肃西北师范大学附属中学·期中)甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是，甲､丙都未命中的概率是，乙､丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. (1)求乙､丙两人各自命中的概率； (2)求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率. 【详解】（1）设乙､丙两人各自命中的概率分别为， 故，，解得， 故乙､丙两人各自命中的概率分别； （2）甲､乙､丙三人均命中的概率为， 甲､乙､丙三人中2人命中的概率为 ， 故甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率为. 7．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·)某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 (1)试估计这1000名用户评分的平均分； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率. 【详解】（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006， 则平均评分分数为=（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10=76.2，所以估计这1000名用户评分的平均分为76.2分. （2）由频率分布直方图可知，评分在[40，50），[50，60）内的人数分别为40，60. 若采用分层随机抽样的方法从评分在[40，50），[50，60）内的用户中抽取5人，则 [40，50）中选：（人），分别记作A，B； [50，60）中选：（人），分别记作a，b，c. 从这5人中任选2人的所有情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种情况. 其中至少有1人的评分在[40，50）内的情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），共7种情况. 故所求概率 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量和立体几何 6大高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间距离问题内容 考点03 空间向量的综合应用 考点04 空间中异面直线夹角问题 考点05 直线与平面的夹角问题 考点06 平面与平面的夹角问题 地 城 考点01 空间向量的运算 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（    ）． A． B． C． D．存在非零实数，使 2．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．4 D． 3．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)已知向量，点，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（    ） A． B．5 C． D．5 6．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)（多选题）已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)（多选题）给出下列命题，其中不正确的为（   ） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则是钝角 C．若，则与一定共线 D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 10．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)（多选题）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则的长度相等而方向相同或相反 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若两个非零向量与满足，则 D．若空间向量，满足，且与同向，则 11．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则 .    地 城 考点02 空间距离问题 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是 . 2．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ． 3．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为 4．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)如图，已知平行六面体中，，，，. (1)证明：； (2)求的长度. 地 城 考点03 空间向量综合应用 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)（多选题）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．不是定值 C．三棱锥的体积为定值 D． 2．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)（多选题）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（    ）    A．当E点运动时，总成立 B．当E向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为45° D．在方向上的投影向量为 3．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)（多选题）如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面 C．二面角的大小为 D．点到平面的距离为2 4．(24-25高二上·甘肃西北师范大学附属中学·期中)（多选题）今年”国庆"假期期间，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（    ） A．小王和小张都中奖的概率为0.1 B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48 C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52 地 城 考点04 空间中异面直线的夹角问题 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为    A． B． C． D． 2．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点. (1)求直线与所成角的大小； (2)判断直线与平面的关系. 3．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，. （1）用，，表示及求； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 地 城 考点05 直线与平面的夹角问题 1．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)如图，平面，，，，则二面角的余弦值大小为 . 2．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点. （1）证明平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 3．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点. (1)证明： ； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形； (1)当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积． 地 城 考点06 平面与平面的夹角问题 1．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 2．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图所示，在中，，为边上一点，且，平面，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 3．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点，点在线段上． （1）证明：平面； （2）如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置． 4．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)如图，三棱柱中，，，. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由. 5．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $