第12讲 解一元一次方程讲义（知识清单+3易错+6必考题型）-2025-2026学年人教版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

第12讲 解一元一次方程 题型梳理 易错分析 易错点一 解方程时，移项不变号致错 易错点二 去括号时漏乘项致错 易错点三 去分母时容易漏乘不含分母的项，也容易因没有给多项式分子加括号而出现符号错误 题型方法 题型一 利用合并同类项和移项解一元一次方程 题型二 利用合并同类项和移项解一元一次方程的应用 题型三 利用去括号解一元一次方程 题型四 利用去括号解一元一次方程的应用 题型五 利用去分母解一元一次方程 题型六 利用去分母解一元一次方程的应用 知识清单 知识点1．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点2．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 易错分析 【易错点一】解方程时，移项不变号致错 【例1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）解方程时，嘉嘉和淇淇有不同的解法，如图所示： 嘉嘉的解法 解：方程两边都除以，得 因为， 所以不成立 所以原方程无解 淇淇的解法 解：移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 所以原方程的解为 以下说法正确的是（    ） A．嘉嘉的解法正确，淇淇的解法错误 B．嘉嘉的解法错误，淇淇的解法正确 C．嘉嘉和淇淇的解法都正确 D．嘉嘉和淇淇的解法都错误 【举一反三】【变式1】（21-22七年级上·广西贺州·期末）解方程步骤如下：①去括号，得：；②移项，得：；③合并同类项，得：；④系数化为1，得：．其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程的过程回答问题． 解方程：． 解：移项，得．（A） 合并同类项，得．（B） 系数化为1，． （C） (1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________； (2)错误的原因：___________； (3)请写出正确的解题过程． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）解答题 分析下列解方程产生错误的原因，并改正． (1)解方程：． 【解】移项，得，则． 错误：___________． 原因：___________． 正解：___________． (2)解方程：． 【解】移项，得，所以，解得． 错误：___________． 原因：___________． 正解：___________． 【易错点二】去括号时漏乘项致错 【例2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）（江苏期末）解方程），步骤如下：去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为1，得．其中开始出现错误的一步是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）四名同学用接力的方式解方程，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙 【变式3】（22-23七年级上·河北张家口·期末）嘉琪同学在解方程：时，步骤如下： 嘉琪的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程． 【易错点三】去分母时容易漏乘不含分母的项，也容易因没有给多项式分子加括号而出现符号错误 【例3】（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）下图是方程变形求解过程，最先出错的步骤是（   ） 解：原方程可以化为：………………第一步 去分母，得：………………第二步 去括号，得：………………第三步 移项，得：………………第四步 合并同类项，得： 系数化为1，得： A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）下面是小明同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母，得：  第一步 去括号，得：  第二步 移项，得：  第三步 合并同类项，得：  第四步 两边都除以9，得：  第五步 (1)以上解题过程中，小明从第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请解出该方程正确的解． 题型方法 【题型一】利用合并同类项和移项解一元一次方程 【例1】（20-21七年级上·广西梧州·期末）一元一次方程的解是（    ） A．1 B． C．2 D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北沧州·期末）将方程移项后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22七年级上·吉林通化·期末）若多项式的值为，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）已知，满足方程，求一元一次方程的解． 【题型二】利用合并同类项和移项解一元一次方程的应用 【例2】（24-25七年级上·山东聊城·期末）小明发现关于x的方程★中的x的系数被污染了，要解方程怎么办？他找到答案一看，此方程的解为，则★等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，是用一些木棒摆成的图案，第1个图案用9根木棒拼成，第2个图案用13根木棒拼成，第3个图案用17根木棒拼成，…，第n个图案用8101根木棒拼成，则n的值为（   ） A．2026 B．2023 C．2024 D．2025 【变式3】（21-22七年级上·广东惠州·期中）“十一”黄金周期间，某市外出旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 人数变化 单位：万人 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 （1）请判断外出旅游人数最多的是10月 　　　日，最少的是10月 　　　日． （2）若黄金周期间平均每人每天消费300元，且出游人数最多的一天有3万人，求城市10月6日这天外出旅游消费总额是多少万元？ 【题型三】利用去括号解一元一次方程 【例3】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）以下方程的解是的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若是方程的解，则m的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解是 ． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）解方程： (1)． (2)； 【题型四】利用去括号解一元一次方程的应用 【例4】（24-25七年级上·贵州·期末）某商店有两件进价不同的上衣都卖了60元，其中一件盈利，另一件亏，则在这次买卖中，这家商店（ 　   　） A．亏5元 B．盈利5元 C．不盈不亏 D．盈利8元 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器（刚好用完，无浪费），恰好配成这种仪器 套． 【变式3】（2025七年级上·四川成都·专题练习）乌龟和兔子比赛，它们同时从A地跑向B地．兔子每分钟跑，每跑分钟就休息分钟；乌龟不间断地爬行，每分钟爬．结果在兔子刚刚到达B地正准备休息时乌龟也同时到达．A、B两地相距多远？ 【题型五】利用去分母解一元一次方程 【例5】（24-25七年级上·全国·期末）把方程去分母，方程两边同乘的最恰当的数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）若与互为相反数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【题型六】利用去分母解一元一次方程的应用 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）整理一批图书，由1人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后再增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设每个人的工作效率相同，则计划先安排整理的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知一艘船在静水中的速度为每小时26千米，船沿江从A港逆流行驶至B港用时，比从B港返回A港多用3个小时，已知水流的速度为每小时2千米，则A港到B港的距离是 千米． 【变式3】（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江西南昌·期末）方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）解方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·贵州·期末）下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 4．（24-25七年级上·全国·期末）学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·全国·期末）某工厂有26名工人，每名工人每天可加工100个A部件或80个B部件，2个A部件和1个B部件配套，为使每天加工的A部件和B部件刚好配套．设安排x名工人加工A部件，可列方程为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（20-21七年级上·辽宁·期末）定义运算：，则方程的解为 ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 8．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）某种商品进价为每千克元，按标价的八折销售时，利润率为，则这种商品每件的标价为 ． 9．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）汽车上坡时每小时走28千米，下坡时每小时走35千米，去时下坡比上坡路的2倍还少14千米，原路返回比去时多用12分钟，则去时下坡路程 千米． 10．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时． 三、解答题 11．（22-23七年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）解方程 (1) (2) (3) (4) 13．（24-25七年级上·四川自贡·期末）整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？ 14．（24-25七年级上·吉林·期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有90名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或80个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 15． （24-25七年级上·甘肃武威·期中）甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，速度是，乙步行，速度为．若甲出发后在路上遇到熟人交谈了半小时后，仍以原速前进地，结果甲、乙两人同时到达地，问、两地的路程是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 解一元一次方程 题型梳理 易错分析 易错点一 解方程时，移项不变号致错 易错点二 去括号时漏乘项致错 易错点三 去分母时容易漏乘不含分母的项，也容易因没有给多项式分子加括号而出现符号错误 题型方法 题型一 利用合并同类项和移项解一元一次方程 题型二 利用合并同类项和移项解一元一次方程的应用 题型三 利用去括号解一元一次方程 题型四 利用去括号解一元一次方程的应用 题型五 利用去分母解一元一次方程 题型六 利用去分母解一元一次方程的应用 知识清单 知识点1．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点2．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 易错分析 【易错点一】解方程时，移项不变号致错 【例1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）解方程时，嘉嘉和淇淇有不同的解法，如图所示： 嘉嘉的解法 解：方程两边都除以，得 因为， 所以不成立 所以原方程无解 淇淇的解法 解：移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 所以原方程的解为 以下说法正确的是（    ） A．嘉嘉的解法正确，淇淇的解法错误 B．嘉嘉的解法错误，淇淇的解法正确 C．嘉嘉和淇淇的解法都正确 D．嘉嘉和淇淇的解法都错误 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，是解题的关键．根据等式的基本性质和解一元一次方程的基本方法，进行判断即可． 【详解】解：对于嘉嘉的解法来说，方程两边都除以时要进行分类讨论，分为和进行讨论，当时，方程成立，因此嘉嘉的解法错误； 对于淇淇的解法来说，利用了移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，但淇淇在移项时，没有变号，应该是，而不是，因此淇淇的解法也错误； 综上分析可知：嘉嘉和淇淇的解法都错误． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（21-22七年级上·广西贺州·期末）解方程步骤如下：①去括号，得：；②移项，得：；③合并同类项，得：；④系数化为1，得：．其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据去括号法则，移项法则即可作出判断． 【详解】解：4x-4-x=2x+1； 移项，得4x-x-2x=1+4． 则做错的一步是②． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解方程的依据是等式的基本性质，注意移项变号． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程的过程回答问题． 解方程：． 解：移项，得．（A） 合并同类项，得．（B） 系数化为1，． （C） (1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________； (2)错误的原因：___________； (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)A，C (2)步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了 (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． 首先观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误，即可解答（1），（2）；然后根据移项，合并同类项，系数化为1的过程解答（3）即可． 【详解】（1）解：观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误， 故答案为：A，C． （2）解：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了； 故答案为：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了． （3）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）解答题 分析下列解方程产生错误的原因，并改正． (1)解方程：． 【解】移项，得，则． 错误：___________． 原因：___________． 正解：___________． (2)解方程：． 【解】移项，得，所以，解得． 错误：___________． 原因：___________． 正解：___________． 【答案】(1)移项这一步，移项的时候没有变号，2 (2)移项时常数项变成6，解方程的步骤是移项，不是去分母， 【分析】本题考查一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）解方程移项时，要把未知数移到等号的左边，已知数移到等号的右边，移项要变号； （2）根据等式的性质，把未知数移到等号的左边，等号右边的数字不变，据此分析解答． 【详解】（1）解：移项，得，则． 错在：移项这一步． 原因：移项的时候没有变号． 正解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：移项，得，所以，解得． 错在：移项时常数项变成6． 原因：解方程的步骤是移项，不是去分母． 正解：解， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【易错点二】去括号时漏乘项致错 【例2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号．根据乘法分配律先将2乘进去即可． 【详解】解： 去括号，得， 故选∶B． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）（江苏期末）解方程），步骤如下：去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为1，得．其中开始出现错误的一步是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程步骤即可求解，掌握解一元一次方程步骤是解题的关键． 【详解】解：去括号，得， ∴开始出现错误的一步是第步， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）四名同学用接力的方式解方程，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤，进行判断即可．去分母时，要注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时，要注意变号． 【详解】解：， 去分母得：，故甲同学计算正确； 去括号得：，故乙同学计算错误； 因为每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算， 所以移项得，，丙同学计算正确； 系数化为1得：，丁同学计算错误． 故选：C． 【变式3】（22-23七年级上·河北张家口·期末）嘉琪同学在解方程：时，步骤如下： 嘉琪的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程． 【答案】第①步，原因是应用乘法分配律时漏乘了项（去括号时漏乘了项），解答过程见解析 【分析】根据解一元一次方程的方法，去括号，移项，合并同类项，系数化为的方法即可求解． 【详解】解：第①步，原因是应用乘法分配律时漏乘了项（去括号时漏乘了项） 正解如下：， 去括号，， 移项， 合并同类项， 系数化为， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程的方法，掌握以上知识是解题的关键． 【易错点三】去分母时容易漏乘不含分母的项，也容易因没有给多项式分子加括号而出现符号错误 【例3】（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程．将等式两边同时乘以4化简即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以4得，． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）下图是方程变形求解过程，最先出错的步骤是（   ） 解：原方程可以化为：………………第一步 去分母，得：………………第二步 去括号，得：………………第三步 移项，得：………………第四步 合并同类项，得： 系数化为1，得： A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去分母时方程两边的每一项都要乘以12，确定即可． 【详解】第二步，去分母时两边都乘以12，其中1漏乘． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【答案】①，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据去分母时1没有乘以12可知第①步开始出错，根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：小强在去分母时1没有乘以12，则他从第①步开始出错， 解方程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：① 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）下面是小明同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母，得：  第一步 去括号，得：  第二步 移项，得：  第三步 合并同类项，得：  第四步 两边都除以9，得：  第五步 (1)以上解题过程中，小明从第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请解出该方程正确的解． 【答案】(1)一；1漏乘10 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：以上解题过程中，小明从第一步开始出错，错误的原因是1漏乘10． 故答案为：一；1漏乘10． （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 题型方法 【题型一】利用合并同类项和移项解一元一次方程 【例1】（20-21七年级上·广西梧州·期末）一元一次方程的解是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． 按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北沧州·期末）将方程移项后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，根据移项时让等号变号求解即可． 【详解】解：将方程移项后，正确的是， 故选：C． 【变式2】（21-22七年级上·吉林通化·期末）若多项式的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程． 根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：多项式的值为， ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）已知，满足方程，求一元一次方程的解． 【答案】． 【分析】本题考查了偶次幂非负性，一元一次方程的定义，解一元一次方程，由，得，，方程整理得，再根据一元一次方程定义可得，则，然后解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型二】利用合并同类项和移项解一元一次方程的应用 【例2】（24-25七年级上·山东聊城·期末）小明发现关于x的方程★中的x的系数被污染了，要解方程怎么办？他找到答案一看，此方程的解为，则★等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，将代入方程中，将看作未知数，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．设所求常数为，根据方程的解的定义，把的值代入，求出的值即可． 【详解】解：设所求常数为， 把代入方程得：， 即， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，是用一些木棒摆成的图案，第1个图案用9根木棒拼成，第2个图案用13根木棒拼成，第3个图案用17根木棒拼成，…，第n个图案用8101根木棒拼成，则n的值为（   ） A．2026 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元一次方程，观察可知，后面一个图形比前面一个图形多4根木棒，据此规律得到第k个图案用根木棒拼成，再由第n个图案用8101根木棒拼成建立方程求解即可． 【详解】解：第1个图案用9根木棒拼成， 第2个图案用根木棒拼成， 第3个图案用根木棒拼成， ……， 以此类推可知，第k个图案用根木棒拼成， ∵第n个图案用8101根木棒拼成， ∴， 解得， 故选：C． 【变式3】（21-22七年级上·广东惠州·期中）“十一”黄金周期间，某市外出旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 人数变化 单位：万人 +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 （1）请判断外出旅游人数最多的是10月 　　　日，最少的是10月 　　　日． （2）若黄金周期间平均每人每天消费300元，且出游人数最多的一天有3万人，求城市10月6日这天外出旅游消费总额是多少万元？ 【答案】（1）3，7；（2）600万元 【分析】（1）设9月30日外出旅游人数记为a，根据代数式和正负数的性质，用含字母a的代数式表示出10月1日到7日的人数，即可得到答案； （2）最多一天有出游人数3万人，即：a+2.8＝3万，可得出a的值，然后求出10月6日人数，再乘以300即可． 【详解】（1）设9月30日外出旅游人数记为a， ∴10月1日外出旅游人数为：a+1.6， ∴10月2日外出旅游人数为：a+1.6+0.8＝a+2.4； ∴10月3日外出旅游人数为：a+1.6+0.8+0.4＝a+2.8； ∴10月4号外出旅游人数为：a+2.8﹣0.4＝a+2.4； ∴10月5号外出旅游人数为：a+2.4﹣0.8＝a+1.6； ∴10月6号外出旅游人数为：a+1.6+0.2＝a+1.8； ∴10月7号外出旅游人数为：a+1.8﹣1.2＝a+0.6； ∴10月3号外出旅游人数最多；7号最少； 故答案为：3；7； （2）根据（1）的结论，结合最多一天有出游人数3万人，得：a+2.8＝3万， ∴a＝0.2（万） ∵10月6号外出旅游人数为a+1.8＝2（万）， ∴2×300＝600（万元）． ∴该城市10月6日这天外出旅游消费总额是600万元． 【点睛】本题考查了正负数、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 【题型三】利用去括号解一元一次方程 【例3】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）以下方程的解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的解与一元一次方程的解法，熟记方程的解的含义与解法步骤是解本题的关键．先分别解出各选项中的方程，再比较即可得到答案． 【详解】解：A．∵， ∴，故选项A不符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴，故选项D符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若是方程的解，则m的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解法，熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．把代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的意义，利用方程的解求参数等知识点，解题的关键是掌握方程的解的意义． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值，然后代入关于y的方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得， 解得， ∴关于y的方程为， 解得， 故答案为：5． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）解方程： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1即可； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1得：， （2）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1得：． 【题型四】利用去括号解一元一次方程的应用 【例4】（24-25七年级上·贵州·期末）某商店有两件进价不同的上衣都卖了60元，其中一件盈利，另一件亏，则在这次买卖中，这家商店（ 　   　） A．亏5元 B．盈利5元 C．不盈不亏 D．盈利8元 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．设盈利的进价为x元，亏损的进价为y元，根据销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设盈利的进价为x元，亏损的进价为y元，由题意，得： ，， 解得：， ∴成本为：（元）． ∵售价为：（元）， 利润为：（元）， 即这次买卖中，这家商店亏了5元． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用水立方米（），根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设用水立方米（），根据题意得 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器（刚好用完，无浪费），恰好配成这种仪器 套． 【答案】160 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设用作A部件，则用作B部件，根据一套仪器由1个A部件和3个B部件构成，得到部件的数量是部件的3倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设用作A部件，则用作B部件， 由题意，得：， 解得：， ∴， 故恰好配成这种仪器160套； 故答案为：160． 【变式3】（2025七年级上·四川成都·专题练习）乌龟和兔子比赛，它们同时从A地跑向B地．兔子每分钟跑，每跑分钟就休息分钟；乌龟不间断地爬行，每分钟爬．结果在兔子刚刚到达B地正准备休息时乌龟也同时到达．A、B两地相距多远？ 【答案】 【分析】本题考查了行程问题．可先分析兔子的运动周期，再根据兔子和乌龟运动时间的关系列出方程，进而求出A、B 两地的距离． 【详解】解：设兔子跑了n个分钟到达B地，依题意得 去括号得 移项得 合并同类项得 解得 答：A、两地相距． 【题型五】利用去分母解一元一次方程 【例5】（24-25七年级上·全国·期末）把方程去分母，方程两边同乘的最恰当的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质，方程两边乘以和的最小公倍数即可去分母，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和的最小公倍数是， ∴根据等式的性质，方程两边同乘以可去分母， 故答案为：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）若与互为相反数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，相反数的定义，解决本题的关键是要根据题意列出方程． 根据两个数互为相反数可得两个数的和等于0，即可列出方程，解方程即可进行求解． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可． 【详解】解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 【题型六】利用去分母解一元一次方程的应用 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）整理一批图书，由1人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后再增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设每个人的工作效率相同，则计划先安排整理的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（工程问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设计划先安排整理的人数为，由题意可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：设计划先安排整理的人数为， 由题意可得：， 解得：， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知一艘船在静水中的速度为每小时26千米，船沿江从A港逆流行驶至B港用时，比从B港返回A港多用3个小时，已知水流的速度为每小时2千米，则A港到B港的距离是 千米． 【答案】504 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．设港和港之间的距离为千米，根据顺流比逆流少用3小时，列方程即可． 【详解】解：设港和港之间的距离为千米， 由题意可得：， 化简得， 解得：． 故港和港之间的距离为504千米． 故答案为：504． 【变式3】（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 【答案】新华书店新进这种畅销书600本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设新华书店新进这种畅销书x本，由总数减去两次销售的数量等于140，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． ， ， ， 答：新华书店新进这种畅销书600本． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江西南昌·期末）方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则对原方程去括号，然后逐一分析选项得出正确答案．本题主要考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴，即． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）解方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，把移动的项变号后从方程的一边移到另一边即可，掌握移项要变号是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 故选：． 3．（24-25七年级上·贵州·期末）下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．根据一元一次方程的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：A．由移项，得，故选项A错误； B．由去括号，得，故选项B错误； C．由系数化为1，得，故选项C错误； D．由去分母，得，故选项D正确； 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·期末）学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．根据工程关系列出方程是关键． 设徒弟和师傅合作x天，根据等量关系：师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量=1，列出方程即可求解． 【详解】解：设徒弟和师傅合作x天， 根据题意得，． 故选：C． 5．（24-25七年级上·全国·期末）某工厂有26名工人，每名工人每天可加工100个A部件或80个B部件，2个A部件和1个B部件配套，为使每天加工的A部件和B部件刚好配套．设安排x名工人加工A部件，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设安排x名工人加工A部件，则有个工人生产B部件，根据题意列式计算即可得出结果． 【详解】解：设安排x名工人加工A部件，则有个工人生产B部件， 根据题意得：， 故选：C． 二、填空题 6．（20-21七年级上·辽宁·期末）定义运算：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，解题的关键是理解题目中的新定义运算；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键． 分子分母同乘以10即可． 【详解】解： ∵ ∴， 即． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）某种商品进价为每千克元，按标价的八折销售时，利润率为，则这种商品每件的标价为 ． 【答案】每千克元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这种商品每件的标价为x元，利用利润=售价-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种商品每件的标价为每千克x元， 根据题意得：， 解得：， 这种商品每件的标价为每千克元． 故答案为：每千克300元． 9．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）汽车上坡时每小时走28千米，下坡时每小时走35千米，去时下坡比上坡路的2倍还少14千米，原路返回比去时多用12分钟，则去时下坡路程 千米． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 首先设去时上坡为千米，则下坡路为千米，根据所用时间得出方程进而求出即可． 【详解】解：设去时上坡为千米，则下坡路为千米， 根据题意得， 解得， ∴ ∴去时下坡路程为千米． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，设这只轮船在静水中的速度是千米/时，根据“（这只轮船在静水中的速度水速）从地顺流到地用的时间（这只轮船在静水中的速度水速）从地返回时用的时间”列出方程，求出这只轮船在静水中的速度是多少；然后根据“速度时间路程”求出两地之间的距离是多少；最后用两地之间的距离的倍除以这只轮船往返用的时间即可求出这只轮船往返的平均速度．理解题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这只轮船在静水中的速度是千米/时， 依题意，得：， 解得：， ∴、两地的距离为：， ∴（千米/时）， ∴这只轮船往返的平均速度是千米/时， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23七年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）移项、合并同类项即可求解； （2）去分母，然后去括号，最后移项、合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （4）利用乘法分配律，原方程变形为，即可求解． 【详解】（1）解： 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （4）解： 变形得：， 即， ∴， ∴， 解得：． 13．（24-25七年级上·四川自贡·期末）整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？ 【答案】4 【分析】设先安排做的人数是x人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：设先安排做的人数是x人， 根据题意，得， 解得． 答：先安排做的人数是4． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有90名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或80个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】安排40人制作盒身，50人制作盒底才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套 【分析】本题考查了一元一次方程在配套问题中的应用，解题的关键是根据＂一个盒身配两个盒底＂这一配套关系列出方程 设制作盒身的工人数为，则制作盒底的工人数为，根据盒底数量是盒身数量的2倍列出方程求解． 【详解】解：设安排人制作盒身，人制作盒底 才能使每小时制作的盒身与盒底恰如配套． ． 答：安排40人制作盒身，50人制作盒底才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 15．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，速度是，乙步行，速度为．若甲出发后在路上遇到熟人交谈了半小时后，仍以原速前进地，结果甲、乙两人同时到达地，问、两地的路程是多少？ 【答案】、两地的路程是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设、两地的路程是，根据题意列出一元一次方程，求解即可．理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设、两地的路程是， 由题意可得：， 解得：， 答：、两地的路程是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $