第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：三角形+实数的初步认识全部内容）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形+实数的初步认识全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）下列各组图形中，是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）四个实数0；；；2中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D．2 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）一个正数的两个平方根分别为和，则的算术平方根的值为（    ） A．9 B． C．3或 D．3 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，则正方形的边长可能是（   ） A．1 B． C．2 D．6 6．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（    ） A． B． C．1 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）若，则 ；若，则 ． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）用四舍五入法取近似值： （精确到；0.23精确到 位；精确到 位 11．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 13．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 14．（2025八年级上·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，若平分，，，则点D到的距离为 ． 15．（2025八年级上·江苏常州·模拟预测）如图，在等边中，，点在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，点为线段的中点，连接、，若的面积等于，则阴影部分的面积等于 ． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知：如图所示和都是等腰直角三角形，，连接，．求证：． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 20．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，． (1)请用尺规作图，作的平分线交于点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 21．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，为的中线，为中线，为的中线． (1)若的面积为，求的面积； (2)比较和面积的大小，并说明理由． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求AF的长． 23．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 24．（2025八年级上·江苏无锡·模拟预测）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 25．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 26．（24-25八年级上·江苏徐州·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形+实数的初步认识全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）下列各组图形中，是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，根据两个图形的形状、大小均一样的图形是全等图形解答即可． 【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形， 故答案为：C． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）四个实数0；；；2中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于负实数，两个负实数比较绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得， ， 所以最小的数是， 故选C． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：线段是的高的是选项 A中的图形； 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）一个正数的两个平方根分别为和，则的算术平方根的值为（    ） A．9 B． C．3或 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和算术平方根．根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数求出a，从而可求m，，及最后的答案． 【详解】解：由题可知， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以的算术平方根为， 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，则正方形的边长可能是（   ） A．1 B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，设正方形的边长为，先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，从而可得，估算出，即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴正方形的边长可能是， 故选：B． 6．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④． 【详解】解： ， 在和中， ， ， ，故正确； 且， 平分，故正确； ∵， ， 又， ， 而， 结论错误； 在和中， ， ， ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：B． 7．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查七巧板相关的计算，利用算术平方根解方程，设宽为x，则长为，列方程求解即可，解题的关键是根据图形得出矩形的长是宽的2倍． 【详解】解：∵图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4， ∴图2中由七巧板拼成的矩形的面积为4， 由图2可知，矩形的长是宽的2倍， 设宽为x，则长为， 可得， ∴（负值舍去） 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，立方根．根据平方根和立方根的定义计算即可． 【详解】解：若，则， 若，则， 故答案为：，． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）用四舍五入法取近似值： （精确到；0.23精确到 位；精确到 位 【答案】 1.895 百分位 百位 【分析】本题考查的是按照精确度确定近似数，掌握“按照四舍五入的方法根据精确度确定近似数”是解本题的关键.取近似数，精确到哪一位，就是对下一位进行四舍五入． ①精确到0，001，就把万分位上的数字进行四舍五入即可； ②小数保留两位小数，就是精确到百分位； ③用科学记数法表示的数，是确定精确到哪位，首先要把这个数还原成一般的数，然后看其中的最后一个数字在还原的数中是什么位，则用科学记数法表示的数就精确到哪位． 【详解】解：， 0.23精确到了百分位， ∵， ∴精确到了百位． 故答案为：①1.895；②百分位；③百位． 11．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 14．（2025八年级上·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，若平分，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线，找出点到的距离的线段是解题的关键． 过点作，垂足为，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即点到的距离为3． 故答案为：3． 15．（2025八年级上·江苏常州·模拟预测）如图，在等边中，，点在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算出，根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，根据三角形内角和和平角定义得，进而证明，则． 【详解】解：，， ， 为等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，点为线段的中点，连接、，若的面积等于，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个小三角形得出，，，根据的面积即可求出的面积，从而求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵点E为线段的中点， ∴，， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∵点F为线段CE的中点， ∴， 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据算术平方根，立方根，有理数的乘方运算法则进行计算即可； （2）利用立方根求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知：如图所示和都是等腰直角三角形，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，由和都是等腰直角三角形可得，，则可证，利用可证得，由此即可得证． 【详解】证明：和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中 ， ． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 20．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，． (1)请用尺规作图，作的平分线交于点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线作图，角平分线的性质，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的基本作图． （1）①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交､于点､；②分别以点､为圆心，大于为半径作弧，相交于点D；③作射线，交于点P，即为所求的的角平分线； （2）过点P作于点E，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，过点P作于点E，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，为的中线，为中线，为的中线． (1)若的面积为，求的面积； (2)比较和面积的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)和面积相等，理由见解析 【分析】本题考查了三角形面积的应用，关键利用等底等高的三角形面积相等来解决． （1）根据两个三角形在等底等高的情况下面积相等，分别求出每个三角形的面积． （2）根据两个三角形在等底等高的情况下面积相等，对两个三角形加以比较． 【详解】（1）解：为的中线， ， 又为中线， ． （2）和面积相等，理由如下， 为的中线． ， ， 即：和面积相等． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求AF的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由可得和都是直角三角形，已经给出一条直角边和斜边对应相等，直接用“HL”证明全等即可； （2）由可得对应边相等，通过勾股定理求出BD，进而求出AF的长． 【详解】（1）证明：∵于点， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于利用全等三角形的性质将相等的边进行转化． 23．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)2 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 对于（1），根据的范围可得答案； 对于（2），仿照小李同学的探索过程解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以的整数部分是2． 故答案为：2； （2）解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图2），根据示意图可得图中大正方形的面积， ． 又， ． 当时，可略去，得方程． 解得． ． 24．（2025八年级上·江苏无锡·模拟预测）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，线段，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由速度和时间求得，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （）分两种情况讨论：时， ， 和 时，，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 25．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可； （2）根据（1）的结论，进而可得； （3）方法同（1）证明，进而可得 （4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2） 解：∵， ∴，． 又∵， ∴． （3） 解：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴ （4） 解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 26．（24-25八年级上·江苏徐州·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）如图2，延长至点F，使，连接，同理得，则，证明，即可得结论； （4）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $