第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：三角形+实数的初步认识）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形+实数的初步认识全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）若有平方根，则可能为(   ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如果一个数的平方为64，那么这个数的立方根为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025八年级上·江苏徐州·专题练习）如图是梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形的底是（    ）． A．16 B．12 C．6 D．3 6．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在实数，，，0，π，中是无理数的有 个． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）用四舍五入法取近似数： ．(精确到千分位) 11．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为 ． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）已知的三边长分别为3，4，x，则x的值可以是 ．（只需写出一个满足条件的x即可） 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在和中，，若要利用“”证明，则需要添加条件 （答案不唯一）． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，AD为的平分线，，则点D到AC的距离为 ． 15．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）如图，在中，点为边的中点，过点作，过点作直线交于点，交直线于点，若，，的面积为30，则的面积为 ． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长是的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形． （1）若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大为原来的 倍． （2）若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长是 ，边长扩大为原来的 倍． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)； 18．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 19．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 20．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 21．（2025·江苏无锡·模拟预测）阅读下面的文字，解答问题， 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，根据这一原则，求解下列各题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a，b的值； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 22．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 23．（2025八年级上·江苏宿迁·模拟预测）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 24．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）甲、乙两名学生为了测量一池塘两端、的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点A 与点C重合（如图②） (1)在图①中画出折痕所在的直线 l（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设直线 l与分别相交于点 M， N， 连接，若的周长是，，求的长． 26．（25-26八年级上·江苏镇江·开学考试）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 27．（24-25八年级上·连云港·期末）如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形+实数的初步认识全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A错误； B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B正确； C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C错误； D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D错误． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）若有平方根，则可能为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义可知，只有非负数有平方根，所以可得：，解不等式可得：，所以可能为． 【详解】解：有平方根， ， 解得：， 可能为． 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如果一个数的平方为64，那么这个数的立方根为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 首先利用平方根的定义求出这个数，然后根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵一个数的平方为， ∴这个数为， 所以的立方根为， 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的取值范围，解题的关键是掌握无理数取值范围的方法． 先求出的取值范围，再求的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴ 即， 故选：C． 5．（2025八年级上·江苏徐州·专题练习）如图是梯形转化成三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形的底是（    ）． A．16 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，梯形面积的计算，理解图示中两个图形面积的关系，面积公式是解题的关键． 根据题意，三角形的面积和梯形的面积相等，根据三角形的面积公式，梯形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，梯形的面积是，高是，那么转化后的三角形面积是，高是， ∴， 解得，三角形底， 故选：B ． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即， 又， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图. 根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；由等边三角形的性质可得，，根据平角的定义得出，即可判断⑤，进而证明，即可判断①，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断④；进而证明，，即可判断②和③． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，故⑤正确， 在 ∴故①正确； ∴，即 ∵,， ∴故④正确 在中， ∴故②正确； ∴， 在中， ∴故③正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在实数，，，0，π，中是无理数的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽的才是无理数，无限不循环小数为无理数． 根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在实数，，，0，π，中，无理数有：，，π，共有3个， 故答案为：3． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）用四舍五入法取近似数： ．(精确到千分位) 【答案】 【分析】本题考查求一个数的近似数，精确到千分位，就对千分位的下一位利用四舍五入法进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和数轴上两点间的距离，明确实数与数轴的关系、求出是关键． 先根据数轴上两点间的距离得到，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：因为、对应的实数分别为和1， 所以， 因为， 所以， 所以，即点所对应的数为； 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）已知的三边长分别为3，4，x，则x的值可以是 ．（只需写出一个满足条件的x即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：三角形的三边长分别为3，4，x， ， 即． 故答案为：5(答案不唯一) 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在和中，，若要利用“”证明，则需要添加条件 （答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据，且要利用“”证明，则添加，即可作答． 【详解】解：∵，且要利用“”证明， ∴需要添加条件， 故答案为：（答案不唯一） 14．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，AD为的平分线，，则点D到AC的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，即可作答． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵为的平分线，，， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）如图，在中，点为边的中点，过点作，过点作直线交于点，交直线于点，若，，的面积为30，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、平行线的性质．本题可先证明三角形全等，得出线段关系，再通过中点与三角形面积公式求解． 【详解】解：点为边的中点，， ，，， ， ， ，； 点为边的中点， ， 的高为2， ， 的面积为6． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长是的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形． （1）若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大为原来的 倍． （2）若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长是 ，边长扩大为原来的 倍． 【答案】 3 20 2 【分析】此题考查了算术平方根，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键． （1）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案； （2）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案． 【详解】解：（1）原绿化带的面积为， 面积扩大为原来的9倍为， ∴边长为，即长扩大为原来的倍， 故答案为：； （2）面积扩大为原来的4倍为， ∴边长为，即长扩大为原来的倍， 故答案为：，． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0． （1）先移项，再系数化为1，再开平方法进行解答； （2）先系数化为1，再开立方法进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 【答案】(1)5个 (2)的边：，角： (3)是的边，是的角 【分析】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义． （1）根据三角形的定义，观察图形可得； （2）根据三角形的边、角的定义，即可求解； （3）根据三角形的边、角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：图中有：，共5个； （2）解：的边：，角：； （3）解：是的边， 是的角． 19．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，右侧． 【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在数轴上表示点即可； （）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解； （）根据数轴特点即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴点即为所求； （2）解：点表示的数为，其绝对值， 故答案为：，； （3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧， 故答案为：，右侧． 20．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 【答案】(1)丙 (2)甲 (3)乙 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形中线的定义求解即可； （2）根据三角形高的定义求解即可； （3）根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠得，甲和乙中，丙中， ∴折出的是边上的中线的是丙； （2）解：根据折叠得，甲中，乙和丙中， ∴折出的是边上的高的是甲； （3）解：根据折叠得，乙中，甲和丙中， ∴折出的是边上的平分线的是乙． 21．（2025·江苏无锡·模拟预测）阅读下面的文字，解答问题， 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，根据这一原则，求解下列各题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a，b的值； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． （1）先估计的近似值，然后判断的小数部分a，的整数部分b，即可得到a、b的值； （2）先估计的近似值，然后判断的近似值，并求得x、y的值，最后求的相反数． 【详解】（1）解：， ． 的小数部分． ， ． ， 的整数部分． （2）解：， ．且x是整数，， ，， ∴， 的相反数为． 22．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；4 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，三角形的面积，三角形的高，解决本题的关键是准确利用网格作图． （1）取格点M，N，使点M，N为边的三等分点，即可解答； （2）在线段的延长线上取格点H，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，即为所求． 根据题意得：， ∴． 23．（2025八年级上·江苏宿迁·模拟预测）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)拼成的正方形的面积为5，边长为 (2)边长为 (3)面积为10，边长为 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及算术平方根的应用，正确利用算术得出边长是解题关键． （1）根据五个边长为1的小正方形组成的图形直接得出图形面积和边长即可； （2）利用勾股定理直接得出即可； （3）仿照图1的做法得出边长和面积即可． 【详解】（1）解：5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是：， 边长； （2）解：如图所示；边长为； （3）解：能，如图所示：边长为：． 24．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）甲、乙两名学生为了测量一池塘两端、的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 甲同学：利用全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得结论； 乙同学：利用全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得结论． 【详解】证明：甲同学：在和中， ∵， ∴， ∴； 乙同学：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点A 与点C重合（如图②） (1)在图①中画出折痕所在的直线 l（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设直线 l与分别相交于点 M， N， 连接，若的周长是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；根据翻折变换的性质准确找出图形中隐含的数量关系是解题的关键． （1）如图，分别以点A、点C为圆心，以大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可解决问题． （2）由题意得：，进而得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作． （2）解：由题意得：， ∴， ∵的周长是， ∴． 26．（25-26八年级上·江苏镇江·开学考试）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 27．（24-25八年级上·连云港·期末）如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $