精品解析：2025年湖北省技能高考文化综合试题数学部分(含参考答案)

2025年湖北省技能高考文化综合试题 数学部分 四、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，请将其选出，未选，错选或多选均不得分. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知向量，，若，则实数的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像（如图所示）与直线公共点个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 记表示不超过的最大整数，例如，，若函数的最小值为，则等于（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 武汉杨泗港长江大桥是目前世界跨度最大的双层悬索桥，其顶级的“中国质量”令外国人赞叹“中国人把悬索桥玩出了新高度”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程为（其中为常数），当时，该方程是双曲余弦函数，给出双曲正弦函数，则下列结论错误的是（　　） A. 双曲正弦函数是奇函数 B. 双曲余弦函数是偶函数 C. D. 五、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的或未选的得0分. 7. 已知函数，则（　　） A. B. 的最小正周期为2 C. 为增函数 D. 当时， 8. 某实验室开展从河流水质监测评估为主题的跨学科综合性活动，监测得到生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.若某河流治理前后生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度由变为，则（　　） A. 当时，有 B. 当时，有 C. 当时，有 D. 当时，有 六、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，若一题中两空只对一个得3分）把答案填在答题卡相应题号的横线上. 9. 若，则_________. 10. 计算_________. 11. “四大名著”是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产，按照成书先后依次为《水浒传》《三国演义》《西游记》和《红楼梦》，现从四本书中随机挑选3本，则《西游记》被抽中的概率是_________. 12. 如图所示：一个容器由棱锥和棱柱两部分组成，其中四棱锥的底面是一个边长为20的正方形，棱锥和棱柱的高均为9，则该几何体的体积为_________. 七、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 已知点，圆的方程为，直线过点与圆相交于两点. （1）求点与圆的位置关系； （2）求弦长的最大值和最小值，并写出最大、最小时直线的一般式方程. 14. 用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒了层. （1）第层垒了几个?求这层共垒乒乓球个数. （参考公式：） （2）当时，求的最小值. （3）若，当为整数时，求的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省技能高考文化综合试题 数学部分 四、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，请将其选出，未选，错选或多选均不得分. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集运算的方法求出，从而可得其中的元素个数． 【详解】∵集合，， ∴， ∴中元素的个数为1， 故选：A． 2. 已知向量，，若，则实数的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直内积为零，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 即，解得. 故选：B. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，即可求解. 【详解】由题意知， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 4. 函数的图像（如图所示）与直线公共点个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据t的取值范围以及函数的值域求解即可. 【详解】∵直线， ∴， 而函数的值域为， 结合图象，函数与直线的交点恒为2个， 故函数与直线公共点个数为2个. 故选：C. 5. 记表示不超过的最大整数，例如，，若函数的最小值为，则等于（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求解函数的最小值，再根据的定义求解即可. 【详解】∵函数， ∴该函数的最小值， 由题意可知，. 故选：A. 6. 武汉杨泗港长江大桥是目前世界跨度最大的双层悬索桥，其顶级的“中国质量”令外国人赞叹“中国人把悬索桥玩出了新高度”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程为（其中为常数），当时，该方程是双曲余弦函数，给出双曲正弦函数，则下列结论错误的是（　　） A. 双曲正弦函数是奇函数 B. 双曲余弦函数是偶函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断AB选项，再根据双曲正余弦函数的定义即可判断CD选项. 【详解】A选项，已知双曲正弦函数，其定义域为，关于原点对称， 则， ∴双曲正弦函数是奇函数，A选项正确； B选项，已知双曲余弦函数，其定义域为，关于原点对称， 则 ∴双曲余弦函数是偶函数，B选项正确； C选项，， 根据平方差公式可得，， 而， ∴，C选项正确； D选项，， 根据完全平方公式展开可得：， ∴， 而，不一定等于1， ∴，D选项错误. 故选：D. 五、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的或未选的得0分. 7. 已知函数，则（　　） A. B. 的最小正周期为2 C. 为增函数 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简，求的值可判断A；利用三角函数的周期公式可判断B；利用三角函数的单调性可判断C；利用正余弦齐次式的求法计算可判断D. 【详解】， ，故A正确； 的最小正周期为，故B错误； 由，得， 可知在上单调递增， 由，得， 可知在上单调递减，故C错误； 当时，，故D正确， 故选：AD. 8. 某实验室开展从河流水质监测评估为主题的跨学科综合性活动，监测得到生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.若某河流治理前后生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度由变为，则（　　） A. 当时，有 B. 当时，有 C. 当时，有 D. 当时，有 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合对数运算的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为， 选项，， 则，所以，故正确； 选项，， 则， 所以，故正确； 选项，时，，即， ，则当时，，故错误； 选项，时，，即， ，但不一定有，故错误. 故选：AB. 六、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，若一题中两空只对一个得3分）把答案填在答题卡相应题号的横线上. 9. 若，则_________. 【答案】0 【解析】 【分析】先将正切化为正余弦，再代入求解即可. 【详解】∵， ∴，即， ∴. 故答案为：0. 10. 计算_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据零指数幂的运算计算即可. 【详解】. 故答案为：. 11. “四大名著”是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产，按照成书先后依次为《水浒传》《三国演义》《西游记》和《红楼梦》，现从四本书中随机挑选3本，则《西游记》被抽中的概率是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据组合数和古典概型概率公式计算即可. 【详解】记事件A为《西游记》被抽中， 从四本书中随机挑选3本的方法数为（种）， 事件A的方法数为（种）， ∴， ∴《西游记》被抽中的概率是. 故答案为：. 12. 如图所示：一个容器由棱锥和棱柱两部分组成，其中四棱锥的底面是一个边长为20的正方形，棱锥和棱柱的高均为9，则该几何体的体积为_________. 【答案】4800 【解析】 【分析】根据题意结合棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】四棱锥的底面是一个边长为20的正方形，棱锥和棱柱的高均为9， 则四棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为， 故答案为：. 七、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 已知点，圆的方程为，直线过点与圆相交于两点. （1）求点与圆的位置关系； （2）求弦长的最大值和最小值，并写出最大、最小时直线的一般式方程. 【答案】（1）点在圆内. （2）弦长的最大值为，直线方程为； 弦长的最小值为，直线的方程为. 【解析】 【分析】（）根据圆的标准方程求出圆心坐标与半径，结合两点间距离公式求出点到圆心的距离即可得解. （）根据圆的性质得出直线过圆心时，弦长最大及时，弦长最小，结合两条直线垂直斜率的关系及直线的点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 圆：，圆心，半径， 计算点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内. 【小问2详解】 当直线过圆心时，弦长最大，最大值为圆的直径，即， 此时直线过和，斜率， 直线方程用点斜式：，整理得， 当时，弦长最小，， 由垂径定理， 又，则直线的斜率， 直线方程用点斜式：，整理得. 综上所述，弦长的最大值为，此时直线的一般式方程为； 弦长的最小值为，此时直线的一般式方程为. 14. 用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒了层. （1）第层垒了几个?求这层共垒乒乓球个数. （参考公式：） （2）当时，求的最小值. （3）若，当为整数时，求的取值. 【答案】（1）； （2）44 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，即可求得；结合公式，即可求得； （2）根据题意，结合的公式，先表示出，即可列出不等式，继而求解； （3）根据题意，结合等差数列的前n项和公式及，先化简公式，得到，当时等式成立，即可因式分解得到，继而求解. 【小问1详解】 观察规律，第层个数； 【小问2详解】 由，即，化简得， 即， 当时，； 当时，， 所以最小值为. 【小问3详解】 因为，，则， 已知，即， 所以，所以， 所以， 所以， 化简整理得， 当时，， 因式分解得， 二次方程，判别式， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $