专题1.2.4绝对值（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）　-2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

1.2.4绝对值 【题型1】求一个数的绝对值 1. 知识点 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即： 当时，； 当时，； 当时，。 常见数的绝对值：整数（如）、分数（如）、小数（如）的绝对值均遵循上述定义。 2. 考点 直接计算具体数的绝对值（包括正负数、0、整数、分数、小数）； 区分绝对值与原数的关系（如判断“的绝对值是否等于3”）。 3. 易错点 混淆负分数/负小数的绝对值，如误将计算为； 忽略“0的绝对值是0”，如认为“绝对值一定是正数”。 4. 解题技巧 第一步：判断原数的正负性（正数、负数或0）； 第二步：根据绝对值定义直接求解（正数/0不变，负数变相反数）。 【例题1】．（2024-2025•天河区校级期末）||＝　 　 ． 【变式题1-1】．（2024-2025•大庆）﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【变式题1-2】．（2024-2025•盐城）小明从小区﹣2楼出发，实数﹣2的绝对值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【变式题1-3】．（2024-2025•利津县期末）|﹣2025|的相反数（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【题型2】已知绝对值求原数 1. 知识点 绝对值的核心性质： 若（），则或（两个解，互为相反数）； 若，则（唯一解）； 不存在（）的情况（绝对值非负）。 2. 考点 已知（）求的所有可能值； 结合“绝对值非负”判断方程是否有解（如判断是否有解）。 3. 易错点 忽略负数解，如已知，仅回答“”，漏写“”； 误将“”的解写成“或”（，无需重复）。 4. 解题技巧 先判断的取值范围： 若，则原数为“和”； 若，则原数为“0”； 若，则“无解”。 【例题2】．（2024-2025•山亭区期末）若|x|＝2，则x＝　 　 ． 【变式题2-1】．（2024-2025•平舆县校级期末）若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或﹣4 D． 【变式题2-2】．（2024-2025•丹江口市期末）如果|a|＝a，那么a是（　　） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【变式题2-3】．（2024-2025•和平区期末）已知|x|＜π（x是整数），则符合条件的x的值有（　　） A．7个 B．6个 C．4个 D．2个 【题型3】利用绝对值的非负性求值 1. 知识点 绝对值的非负性：对任意有理数，都有（绝对值不可能为负数）； 非负数和为0的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都必须为0（如，则且）。 2. 考点 已知“”求、的值； 结合绝对值非负性判断代数式的取值范围（如求的最小值）。 3. 易错点 忽略“非负数和为0”的条件，如已知，仅令，漏算； 误将“非负”等同于“正数”，如认为“无解”（实际是解）。 4. 解题技巧 第一步：识别式子中的非负项（仅绝对值项，或结合平方、算术平方根等非负项）； 第二步：令每个非负项分别等于0，列方程求解字母（如得，得）； 第三步：代入所求字母的值计算代数式（如求的值）。 【例题3】．（2024-2025•枣强县模拟）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【变式题3-1】．（2024-2025•肇源县期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【变式题3-2】．（2024-2025•定州市期末）．若|a|+|b|＝0，则a与b的大小关系是（　　） A．a＝b＝0 B．a，b异号 C．a＞b D．a＜b 【变式题3-3】．（2024-2025•洪雅县期末）．若|x﹣3|+|y﹣4|＝0，x＝　 　 ，y＝　 　 ． 【题型4】绝对值与数轴结合的综合化简（提升） 1. 知识点 数轴与数的关系：数轴上右边的数大于左边的数，正数在原点右侧，负数在原点左侧； 绝对值化简与数轴的结合：根据数轴上点的位置（如），判断绝对值内式子（如、）的正负，再化简。 2. 考点 已知数轴上、、的位置（如），化简； 结合数轴判断绝对值式子的取值（如已知，判断与的大小）。 3. 易错点 根据数轴判断式子正负错误，如已知，误将判断为正数（实际）； 化简时符号处理错误，如时，，但误写成。 4. 解题技巧 第一步：在数轴上标出所有字母的位置，明确字母的正负性及大小关系（如）； 第二步：对每个绝对值内的式子，根据“大数减小数为正，小数减大数为负”判断正负（如，）； 第三步：按“正不变，负变反”去绝对值符号，再合并同类项（如，）。 【例题4】．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图1所示，化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b+c|． 【变式题4-1】．（2024-2025•安宁区校级期中）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+2b． 【变式题4-2】．（2024-2025•西岗区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）填空：a+c 　 　 0；a+b 　 　 0；c﹣b 　 　 0． （2）化简：|a+c|+|a+b|+|c﹣b|． 【变式题4-3】．（2024-2025•深圳校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　 0，a+b 　 　 0，c﹣a 　 　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【题型5】绝对值的几何意义应用（数轴上两点距离）（提升） 1. 知识点 绝对值的几何定义：表示数轴上表示数的点与原点（0） 的距离； 两点距离公式：表示数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离（如表示5和2的距离为3）。 2. 考点 根据数轴上点的位置计算两点距离（如已知点A表示、点B表示4，求的长度）； 已知两点距离求未知数（如已知，求的值）。 3. 易错点 混淆与的几何意义，如误将理解为“到3的距离”（实际是到的距离，因）； 计算距离时忽略“距离为非负数”，如误将算为。 4. 解题技巧 若求“数到某点的距离”，先将绝对值式子转化为的形式（如）； 若已知距离求，结合“距离是两点间的长度”，分“在定点左侧”和“在定点右侧”两种情况讨论。 【例题5】．（2024-2025•冷水滩区校级开学）在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的　 　 ，记作　 　 ． 【变式题5-1】．（2024-2025•天河区校级期中）|a+3|表示　 　 到　 　 的距离． 【变式题5-2】．（2024-2025•东坡区期中）若数轴上的点A，B，C，D表示的数分别是﹣2.7，﹣1.9，0.1，2，则距离原点最近的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式题5-3】．（2024-2025•孝南区期中）数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 【题型6】根据字母取值范围化简绝对值（提升） 1. 知识点 绝对值化简的核心：先判断绝对值内式子的正负性，再根据“正不变，负变反”去掉绝对值符号（即：若式子为正，去掉绝对值后等于式子本身；若式子为负，去掉绝对值后等于式子的相反数）。 2. 考点 已知字母的取值范围（如），化简含绝对值的式子（如）； 结合数轴上点的位置化简绝对值（如已知，化简）。 3. 易错点 符号判断错误，如已知，误将化简为（实际应为）； 忽略“绝对值内式子等于0”的情况，如已知，化简时漏考虑（此时）。 4. 解题技巧 第一步：根据已知条件（如）判断“绝对值内式子（如）”的正负； 第二步：按规则去绝对值符号（正→ 本身，负→ 相反数，0→ 0）； 第三步：合并同类项（如化简，当时，得）。 【例题6】．（2024-2025•韩城市月考）将|﹣6﹣4|中的绝对值符号去掉后，下列结果正确的是（　　） A．﹣6﹣4 B．﹣6+4 C．6﹣4 D．6+4 【变式题6-1】．（2024-2025•江汉区期中）已知|a﹣b|＝|a|﹣|b|，且a+b＜0，化简|a﹣b|﹣|ab|（去掉绝对值符号）为　 　 ． 【变式题6-2】．（2024-2025•邗江区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： |6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7； 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）|7﹣21|＝　 　 ； （2）|0.8|＝　 　 ； （3）||＝　 　 ； （4）用合理的方法计算：||+||﹣||． 【变式题6-3】．（2024-2025•建邺区期中）阅读下列材料并解决相关问题． 化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以分为x＜﹣5与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x，x进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”． （1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝ （2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？ （3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|． 【题型7】绝对值的最值问题（培优） 1. 知识点 绝对值和的几何意义：（）表示数轴上“数到的距离”与“数到的距离”之和； 最值规律：当在和之间（含端点，即）时，距离和最小，最小值为（即）；当在左侧或右侧时，距离和随远离而增大。 2. 考点 求的最小值及取得最小值时的范围； 求多个绝对值和的最值（如的最小值）。 3. 易错点 无法将代数式子转化为几何意义，如硬算的最小值时，漏考虑在1和3之间的情况； 多个绝对值和的最值判断错误，如认为的最小值在中间点左侧（实际在中间点处）。 4. 解题技巧 对于两个绝对值和（，）： 几何法：最小值为，的范围是； 对于三个绝对值和（，）： 最小值在中间点处取得，最小值为； 总结：奇数个绝对值和的最小值在中间定点处，偶数个绝对值和的最小值在中间两个定点之间。 【例题7】．（2024-2025•湛江校级期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 【变式题7-1】．（2024-2025•洪雅县期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 　 　 ；表示﹣2和1两点之间的距离是 　 　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝ 　 　 ； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　 　 ，最小距离是 　 　 ． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ 　 　 ． （5）当a＝ 　 　 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•利川市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　 ． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　 ． （4）当a＝　 　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•历下区期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾•反思】 数学兴趣小组在研究|x+4|+|x﹣7|的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现|x+4|就是x和﹣4所对应的两个点之间的距离，|x﹣7|就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用﹣4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到﹣4与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在﹣4的左侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在﹣4与7之间，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ④若x＝﹣4，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ⑤若x＝7，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，|x+4|+|x﹣7|的最小值为11． 【操作•思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究|x+2|﹣|x﹣3|的最大值问题． |x+2|就是x和　 　 所对应的两个点之间的距离，|x﹣3|就是x和　 　 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出|x+2|﹣|x﹣3|的最大值为　 　 ． 【尝试•思考】 当x＝a或b时（a≠b），代数式|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|的值为相等的正数，则a+b＝　 　 ． 【题型8】绝对值的新定义问题（培优） 1. 知识点 新定义问题的核心：以绝对值为基础，通过题干给出新运算规则（如定义“”）或新概念（如定义“关于a的美好关联数：若，则t为x、y关于a的美好关联数”）； 解题本质：不依赖已有公式，严格遵循题干给出的新规则，将绝对值运算与新定义结合，转化为可计算的问题。 2. 考点 新定义运算的直接计算（如已知“”，求的值）； 根据新定义求字母的值或取值范围（如已知“x和2关于3的美好关联数为4”，求x的值）； 新定义下的简单推理（如判断“若，则a与b的关系”）。 3. 易错点 误解新定义规则：如将“”误等同于“”，符号颠倒； 忽略新定义的限制条件：如题干明确“”时，仍代入或计算； 混淆新定义与常规绝对值运算：如用常规“表示两点距离”的意义，替代新定义的运算规则。 4. 解题技巧 第一步：精读新定义，用波浪线或括号标注核心规则（如“”中，运算符号“※”的规则是“两数差的绝对值加两数和的绝对值”）； 第二步：代入已知条件，将具体数值或字母代入新规则，转化为含绝对值的常规计算（如计算，代入得）； 第三步：结合绝对值性质求解（如需解方程，按绝对值方程解法处理；如需判断关系，利用绝对值非负性等性质推理）； 第四步：验证结果（确保结果符合新定义的限制条件，如“”则排除或的情况）。【例题8】．（2024-2025•广东校级期中）若定义：v[m，n]＝（﹣m，﹣|n|），例如v[3，4]＝（﹣3，﹣4），则ν[﹣5，﹣6]　 　 ． 【例题8-1】．（2024-2025•祁东县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a﹣b|﹣|a+b|，当a，b在数轴上的位置如图所示时，则a⊙b＝　 　 ． 【变式题8-2】．对数m，n给出定义：若||＝2，则称m是n的“正比数”；若|mn|＝2，则称m是n的“反比数”．举例：因为||＝2，所以3是1.5的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．现有数a，b（a≠b且ab≠0）． （1）若a是b的“正比数”，a＝4，则b的值为多少？ （2）若a是b的“反比数”，a＝4，则b的值为多少？ 【变式题8-3】．（2024-2025•新洲区期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b﹣1）2＝0，A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|． （1）求线段AB的长|AB|； （2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值； （3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时，下列两个结论： ①|PM|+|PN|的值不变；②|PN|﹣|PM|的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值． 【题型9】绝对值的规律总结问题（培优） 1. 知识点 规律总结的核心：通过特殊值代入（如取x=1、2、3…）计算绝对值式子的结果，观察结果的共性，推导适用于所有情况的一般规律； 常见规律类型： 多个绝对值和的最小值规律（如的最小值在x=2时取得）； 绝对值式子的结果循环规律（如在x取不同范围时的结果变化）； 绝对值与数的运算结合的规律（如的结果）。 2. 考点 根据特殊值总结绝对值式子的规律（如计算时的值，总结最小值）； 应用总结的规律解决问题（如已知“的最小值在中间点取得”，求的最小值）； 证明总结的规律（如证明“当时，的最小值为”）。 3. 易错点 特殊值选取不足或片面：如仅取1-2个特殊值（如x=1、2）就总结规律，忽略x在其他范围（如x<1或x>2）的情况，导致规律错误； 4. 解题技巧 第一步：选取足够多的特殊值，覆盖字母的不同取值范围（如研究，取x=1、2、3、4、5，计算对应结果：3、2、2、2、3）； 第二步：分析结果共性，寻找不变量或变化趋势（如上述结果中，x在2-4之间时，结果恒为2，且为最小值）； 第三步：推广到一般情况，用字母表示规律（如“对于（），当时，最小值为”）； 第四步：验证规律，选取新的特殊值（如x=2.5，代入得0.5 + 1.5 = 2，符合规律），确保规律的普遍性。 【例题9】．（2024-2025•鞍山校级月考）观察下面的等式： 1＝﹣||+3； 3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； 1﹣1＝﹣|1+2|+3； （）﹣1＝﹣||+3； （﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3． 回答下列问题： （1）填空：　 　 ﹣1＝﹣|6+2|+3； （2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是 　 　 ； （3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，则y的最大值是 　 　 ． 【变式题9-1】．（2024-2025•睢宁县期中）【观察与归纳】 （1）观察下列各式的大小关系： |﹣2|+|3|＞|﹣2+3| |﹣8|+|3|＞|﹣8+3| |﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3| |0|+|﹣6|＝|0﹣6| 归纳：|a|+|b|　 　 |a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空） 【理解与应用】 （2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，求m的值． 【变式题9-2】．（2024-2025•项城市月考）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如： |7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|6﹣9|＝　 　 ； ②|3﹣π|＝　 　 ． （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝　 　 ； （3）请利用你探究的结论计算：． 【变式题9-3】．完成下列填空，并思考有什么规律？ ①如果|m|＝0，那么m＝　 　 ； ②如果|m|+|n|＝0，那么m＝　 　 ，n＝　 　 ； ③如果|m﹣2|+|n﹣5|＝0，那么m＝　 　 ，n＝　 　 ； 结论：　 　 ． 尝试应用： ①已知|x﹣2|+|4﹣y|＝0，则x＝　 　 ，y＝　 　 ． ②若数a、b满足|3a﹣1|+|b﹣2|＝0，求（a+b）的值． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或﹣4 D． 2．若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．1 3．小明从小区﹣2楼出发，实数﹣2的绝对值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　） A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c 5．﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 二．填空题（共5小题） 6．如果的相反数恰好是有理数a的绝对值，那么a的值是　 　 ． 7．若|a﹣2|+|b+4|＝0，则ba的值为 　 　 ． 8．若ab≠0，则的值为　 　 ． 9．如果x、y都是不为0的有理数，则代数的最大值和最小值的和是 　 　 ． 10．已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝　 　 ． 三．解答题（共5小题） 11．对于有理数a，小风学习了绝对值符号|a|之后，自己创造了一个新符号【a】．新符号【a】的含义为：若a≥0，则【a】＝a﹣1；若a＜0，则【a】＝a+1． 例如：因为2＞0，所以【a】＝2﹣1＝1；因为﹣3＜0，所以【﹣3】＝﹣3+1＝﹣2． （1）【1】＝　 　 ；【0】＝　 　 ；【】＝　 　 ． （2）解方程：【2x】+3＝4． （3）如果一个有理数m与【m】互为相反数，直接写出m的值． 12．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n]． （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，则A、B两点间的最大距离是　 　 ；最小距离是　 　 ． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|为　 　 ． （5）|m+5|+|n﹣6|的最小值是　 　 ． 13．化简下列各式： （1）﹣|﹣8|； （2）﹣（﹣0.78）； （3）； （4）+[﹣（﹣3.5）]． 14．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）填空：a+c 　 　 0；a+b 　 　 0；c﹣b 　 　 0． （2）化简：|a+c|+|a+b|+|c﹣b|． 15．若|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0，计算： （1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|+|z|的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4绝对值 【题型1】求一个数的绝对值 1. 知识点 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即： 当时，； 当时，； 当时，。 常见数的绝对值：整数（如）、分数（如）、小数（如）的绝对值均遵循上述定义。 2. 考点 直接计算具体数的绝对值（包括正负数、0、整数、分数、小数）； 区分绝对值与原数的关系（如判断“的绝对值是否等于3”）。 3. 易错点 混淆负分数/负小数的绝对值，如误将计算为； 忽略“0的绝对值是0”，如认为“绝对值一定是正数”。 4. 解题技巧 第一步：判断原数的正负性（正数、负数或0）； 第二步：根据绝对值定义直接求解（正数/0不变，负数变相反数）。 【例题1】．（2024-2025•天河区校级期末）||＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值，即可解答． 【解答】解：， 故答案为： 【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记的定义． 【变式题1-1】．（2024-2025•大庆）﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， ﹣2025的绝对值是2025． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•盐城）小明从小区﹣2楼出发，实数﹣2的绝对值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义运算即可． 【解答】解：﹣2的绝对值为2， 故选：A． 【点评】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•利津县期末）|﹣2025|的相反数（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【答案】B． 【分析】根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 【解答】解：|﹣2025|＝2025， 2025的相反数是﹣2025． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键． 【题型2】已知绝对值求原数 1. 知识点 绝对值的核心性质： 若（），则或（两个解，互为相反数）； 若，则（唯一解）； 不存在（）的情况（绝对值非负）。 2. 考点 已知（）求的所有可能值； 结合“绝对值非负”判断方程是否有解（如判断是否有解）。 3. 易错点 忽略负数解，如已知，仅回答“”，漏写“”； 误将“”的解写成“或”（，无需重复）。 4. 解题技巧 先判断的取值范围： 若，则原数为“和”； 若，则原数为“0”； 若，则“无解”。 【例题2】．（2024-2025•山亭区期末）若|x|＝2，则x＝　±2　 ． 【答案】±2． 【分析】利用绝对值的定义：“绝对值代表与原点的距离”可知答案． 【解答】解：因为|x|＝2代表与原点的距离为2， 而与原点距离为2的点有两个：2与﹣2， 所以x＝±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查了绝对值的定义，关键在于熟记知识完成问题． 【变式题2-1】．（2024-2025•平舆县校级期末）若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或﹣4 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求得答案． 【解答】解：若一个数的绝对值是4， 则这个数是4或﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•丹江口市期末）如果|a|＝a，那么a是（　　） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【分析】根据若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a进行解答即可． 【解答】解：∵|a|＝a， ∴a≥0， 即a为非负数， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•和平区期末）已知|x|＜π（x是整数），则符合条件的x的值有（　　） A．7个 B．6个 C．4个 D．2个 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义可得﹣π＜x＜π，然后求得此范围内的整数即可． 【解答】解：∵|x|＜π， ∴﹣π＜x＜π， ∵x是整数， ∴x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，共7个， 故选：A． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握其意义是解题的关键． 【题型3】利用绝对值的非负性求值 1. 知识点 绝对值的非负性：对任意有理数，都有（绝对值不可能为负数）； 非负数和为0的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都必须为0（如，则且）。 2. 考点 已知“”求、的值； 结合绝对值非负性判断代数式的取值范围（如求的最小值）。 3. 易错点 忽略“非负数和为0”的条件，如已知，仅令，漏算； 误将“非负”等同于“正数”，如认为“无解”（实际是解）。 4. 解题技巧 第一步：识别式子中的非负项（仅绝对值项，或结合平方、算术平方根等非负项）； 第二步：令每个非负项分别等于0，列方程求解字母（如得，得）； 第三步：代入所求字母的值计算代数式（如求的值）。 【例题3】．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A 【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数， ∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0， 又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝1，b＝2， a+b＝1+2＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零0是解题关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•肇源县期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质得出x的值． 【解答】解：∵式子|x+1|+2取最小值时， ∴x+1＝0， 解得：x＝﹣1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•定州市期末）若|a|+|b|＝0，则a与b的大小关系是（　　） A．a＝b＝0 B．a，b异号 C．a＞b D．a＜b 【答案】A 【分析】根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值即可． 【解答】解：因为|a|+|b|＝0，|a|≥0，|b|≥0，所以|a|＝0，|b|＝0， 所以a＝0，b＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 【变式题3-3】．（2024-2025•洪雅县期末）若|x﹣3|+|y﹣4|＝0，x＝　3　 ，y＝　4　 ． 【答案】3，4． 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值即可． 【解答】解：∵|x﹣3|+|y﹣4|＝0， ∴x﹣3＝0，y﹣4＝0， 解得：x＝3，y＝4． 故答案为：3，4． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出关于x，y的等式是解题关键． 【题型4】绝对值与数轴结合的综合化简（提升） 1. 知识点 数轴与数的关系：数轴上右边的数大于左边的数，正数在原点右侧，负数在原点左侧； 绝对值化简与数轴的结合：根据数轴上点的位置（如），判断绝对值内式子（如、）的正负，再化简。 2. 考点 已知数轴上、、的位置（如），化简； 结合数轴判断绝对值式子的取值（如已知，判断与的大小）。 3. 易错点 根据数轴判断式子正负错误，如已知，误将判断为正数（实际）； 化简时符号处理错误，如时，，但误写成。 4. 解题技巧 第一步：在数轴上标出所有字母的位置，明确字母的正负性及大小关系（如）； 第二步：对每个绝对值内的式子，根据“大数减小数为正，小数减大数为负”判断正负（如，）； 第三步：按“正不变，负变反”去绝对值符号，再合并同类项（如，）。 【例题4】．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图1所示，化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b+c|． 【答案】3a﹣c． 【分析】利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：由数轴图可知，b＜c＜0＜a， ∴a﹣b＞0，a+b＜0，b+c＜0， ∴|a﹣b|﹣2|a+b|+|b+c| ＝a﹣b﹣2[﹣（a+b）]﹣（b+c） ＝a﹣b+2a+2b﹣b﹣c ＝3a﹣c． 【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 【变式题4-1】．（2024-2025•安宁区校级期中）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+2b． 【答案】2b+2c． 【分析】直接利用绝对值的性质化简，进而得出答案． 【解答】解：由数轴可得：a+c＞0，b﹣c＜0，a﹣b＞0， 则原式＝a+c﹣（b﹣c）﹣（a﹣b）+2b ＝a+c﹣b+c﹣a+b+2b ＝2b+2c． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确化简绝对值是解题关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•西岗区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）填空：a+c 　＝　 0；a+b 　＜　 0；c﹣b 　＞　 0． （2）化简：|a+c|+|a+b|+|c﹣b|． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴上a、b、c三点的位置即可得出结论； （2）根据（1）中的结论去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）∵a、c两点在原点的异侧，|a|＝|c|， ∴a、c互为相反数， ∴a+c＝0； ∵a＜b＜0， ∴a+b＜0； ∵c＞0，b＜0， ∴c﹣b＞0． 故答案为：＝，＜，＞； （2）∵a+c＝0，a+b＜0，c﹣b＞0， ∴原式＝0﹣a﹣b+c﹣b＝﹣a﹣2b+c． 【点评】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•深圳校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　＜　 0，a+b 　＜　 0，c﹣a 　＞　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a| ＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a） ＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键． 【题型5】绝对值的几何意义应用（数轴上两点距离）（提升） 1. 知识点 绝对值的几何定义：表示数轴上表示数的点与原点（0） 的距离； 两点距离公式：表示数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离（如表示5和2的距离为3）。 2. 考点 根据数轴上点的位置计算两点距离（如已知点A表示、点B表示4，求的长度）； 已知两点距离求未知数（如已知，求的值）。 3. 易错点 混淆与的几何意义，如误将理解为“到3的距离”（实际是到的距离，因）； 计算距离时忽略“距离为非负数”，如误将算为。 4. 解题技巧 若求“数到某点的距离”，先将绝对值式子转化为的形式（如）； 若已知距离求，结合“距离是两点间的长度”，分“在定点左侧”和“在定点右侧”两种情况讨论。 【例题5】．（2024-2025•冷水滩区校级开学）在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的　绝对值　 ，记作　|a|　 ． 【答案】绝对值；|a|． 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义进行作答即可． 【解答】解：∵在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作：|a|． ∴在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作：|a|． 故答案为：绝对值，|a|． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义和表示方法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•天河区校级期中）|a+3|表示　a　 到　﹣3　 的距离． 【答案】a；﹣3． 【分析】根据|a+3|＝|a﹣（﹣3）|，以及绝对值意义得到|a+3|在数轴上的几何意义，即可解题． 【解答】解：根据题意可知，|a+3|＝|a﹣（﹣3）|， ∴式子表示a到﹣3的距离． 故答案为：a，﹣3． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值意义是关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•东坡区期中）若数轴上的点A，B，C，D表示的数分别是﹣2.7，﹣1.9，0.1，2，则距离原点最近的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】求出个数的绝对值，并比较大小，绝对值最小的数离原点最近． 【解答】解：根据题意可得： ∵|﹣2.7|＝2.7，|﹣1.9|＝1.9，|0.1|＝0.1，|2|＝2， ∴|0.1|＜|﹣1.9|＜|2|＜|﹣2.7|， ∴0.1离原点最近，即点C离原点最近， 故选：C． 【点评】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值表示数轴上的点到原点的距离． 【变式题5-3】．（2024-2025•孝南区期中）数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 【答案】C 【分析】数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5． 【解答】解：数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5，则M表示5或﹣5． 故选：C． 【点评】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【题型6】根据字母取值范围化简绝对值（提升） 1. 知识点 绝对值化简的核心：先判断绝对值内式子的正负性，再根据“正不变，负变反”去掉绝对值符号（即：若式子为正，去掉绝对值后等于式子本身；若式子为负，去掉绝对值后等于式子的相反数）。 2. 考点 已知字母的取值范围（如），化简含绝对值的式子（如）； 结合数轴上点的位置化简绝对值（如已知，化简）。 3. 易错点 符号判断错误，如已知，误将化简为（实际应为）； 忽略“绝对值内式子等于0”的情况，如已知，化简时漏考虑（此时）。 4. 解题技巧 第一步：根据已知条件（如）判断“绝对值内式子（如）”的正负； 第二步：按规则去绝对值符号（正→ 本身，负→ 相反数，0→ 0）； 第三步：合并同类项（如化简，当时，得）。 【例题6】．（2024-2025•韩城市月考）将|﹣6﹣4|中的绝对值符号去掉后，下列结果正确的是（　　） A．﹣6﹣4 B．﹣6+4 C．6﹣4 D．6+4 【答案】D 【分析】由“负数的绝对值等于它的相反数”可得﹣（﹣6﹣4），再根据相反数的意义进行计算即可． 【解答】解：|﹣6﹣4|＝﹣（﹣6﹣4）＝6+4， 故选：D． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提． 【变式题6-1】．（2024-2025•江汉区期中）已知|a﹣b|＝|a|﹣|b|，且a+b＜0，化简|a﹣b|﹣|ab|（去掉绝对值符号）为　b﹣a﹣ab　 ． 【答案】b﹣a﹣ab． 【分析】由|a﹣b|＝|a|﹣|b|，且a+b＜0，可得a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【解答】解：∵|a﹣b|＝|a|﹣|b|，且a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴|a﹣b|﹣|ab|＝b﹣a﹣ab． 故答案为：b﹣a﹣ab． 【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解本题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•邗江区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： |6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7； 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）|7﹣21|＝　21﹣7　 ； （2）|0.8|＝　0.8　 ； （3）||＝　　 ； （4）用合理的方法计算：||+||﹣||． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值的性质：正数绝对值等于它本身，负数绝对值等于它的相反数，进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意得：|7﹣21|＝21﹣7， 故答案为：21﹣7； （2）|0.8|， 故答案为：0.8； （3）||， 故答案为：； （4）原式． 【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质． 【变式题6-3】．（2024-2025•建邺区期中）阅读下列材料并解决相关问题． 化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以分为x＜﹣5与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x，x进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”． （1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝ （2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？ （3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分三个区间，分别化简即可； （2）根据零点的定义，求出x的值即可； （3）分四个区间，分别化简即可； 【解答】解：（1）|x+5|+|2x﹣3|． （2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有： x﹣1＝0，x＝1， x+1＝0，x＝﹣1， |x﹣1|﹣2＝0，x＝3或﹣1， 综上所述，代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有：x＝±1或3． （3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|． 【点评】本题考查绝对值的化简、解题的关键是理解零点的应用，学会分区间化简绝对值，属于中考常考题型． 【题型7】绝对值的最值问题（培优） 1. 知识点 绝对值和的几何意义：（）表示数轴上“数到的距离”与“数到的距离”之和； 最值规律：当在和之间（含端点，即）时，距离和最小，最小值为（即）；当在左侧或右侧时，距离和随远离而增大。 2. 考点 求的最小值及取得最小值时的范围； 求多个绝对值和的最值（如的最小值）。 3. 易错点 无法将代数式子转化为几何意义，如硬算的最小值时，漏考虑在1和3之间的情况； 多个绝对值和的最值判断错误，如认为的最小值在中间点左侧（实际在中间点处）。 4. 解题技巧 对于两个绝对值和（，）： 几何法：最小值为，的范围是； 对于三个绝对值和（，）： 最小值在中间点处取得，最小值为； 总结：奇数个绝对值和的最小值在中间定点处，偶数个绝对值和的最小值在中间两个定点之间。 【例题7】．（2024-2025•湛江校级期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　3　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：|（﹣2）﹣（﹣5）|＝3． （2）①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1，可得表示A、B两点之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，据此求出x的值是多少即可． （3）根据题意，可得代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和，所以当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是表示4的点与表示﹣1的点之间的距离，即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5． 【解答】解：根据分析，可得 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3； 数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： |（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3． （2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2， 则|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得x＝1或x＝﹣3． （3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和， ∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5， 即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4． 故答案为：5，﹣1≤x≤4． 【点评】（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零． （2）解答此题的关键是要明确：|x﹣a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【变式题7-1】．（2024-2025•洪雅县期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 　1　 ；表示﹣2和1两点之间的距离是 　3　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝ 　1或﹣3　 ； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　12　 ，最小距离是 　2　 ． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ 　8　 ． （5）当a＝ 　1　 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 　9　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答； （3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据|a+3|+|a﹣5|表示数a的点到﹣3与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【解答】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3﹣2＝1；表示﹣2和1两点之间的距离是：1﹣（﹣2）＝3； （2）|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， x＝1或x＝﹣3． （3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3， ∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5， 当a＝7，b＝﹣5时，则A、B两点间的最大距离是12， 当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2； （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间， |a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8． （5）当a≥4时，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，这时的最小值为3×4＝12 当1≤a＜4时，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，这时的最小值为1+8＝9 当﹣5≤a＜1时，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，这时的最小值接近为1+8＝9 当a≤﹣5时，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，这时的最小值为﹣3×（﹣5）＝15 综上可得当a＝1时，式子的最小值为9 故答案为： （1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9． 【点评】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． 【变式题7-2】．（2024-2025•利川市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　﹣4或2　 ． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　6　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　12　 ． （4）当a＝　1　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　7　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可； （2）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解； 根据两点间的距离的表示列式计算即可得解； （3）找到﹣2和5之间的整数点，再相加即可求解； （4）判断出a＝1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）|1﹣4|＝3， |﹣3﹣2|＝5， |a﹣（﹣1）|＝3， 所以，a+1＝3或a+1＝﹣3， 解得a＝﹣4或a＝2； （2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间， ∴a+4＞0，a﹣2＜0， ∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6； （3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5， ﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12． 故这些点表示的数的和是12； （4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7． 故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7． 【点评】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•历下区期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾•反思】 数学兴趣小组在研究|x+4|+|x﹣7|的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现|x+4|就是x和﹣4所对应的两个点之间的距离，|x﹣7|就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用﹣4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到﹣4与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在﹣4的左侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在﹣4与7之间，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ④若x＝﹣4，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ⑤若x＝7，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，|x+4|+|x﹣7|的最小值为11． 【操作•思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究|x+2|﹣|x﹣3|的最大值问题． |x+2|就是x和　﹣2　 所对应的两个点之间的距离，|x﹣3|就是x和　3　 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出|x+2|﹣|x﹣3|的最大值为　5　 ． 【尝试•思考】 当x＝a或b时（a≠b），代数式|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|的值为相等的正数，则a+b＝　12　 ． 【答案】【操作•思考】﹣2，3，5． 【尝试•思考】12． 【分析】【操作•思考】根据题干可知前两空为﹣2和3，在画出数轴，根据范围分类讨论即可得解； 【尝试•思考】根据题干和第一问可知一定会利用数形结合，所以先画出数轴，然后分类讨论观察结果为正还是负，所以，当x在2到6和6到10这两段时其值为正数，最后在根据等式建立方程求解即可． 【解答】解：【操作•思考】根据题干可知|x+2|是x和﹣2所对应的两个点的距离，|x﹣3|是x是3两个点所对应的距离， 如图所示， ①x＜﹣2时， |x+2|﹣|x﹣3|＝﹣x﹣2+x﹣3＝﹣5， ②当﹣2≤x≤3时， |x+2|﹣|x﹣3|＝x+2+x﹣3＝2x﹣1，在此范围内，当x＝3时，|x+2|﹣|x﹣3|＝5最大， ③当x＞3时， |x+2|﹣|x﹣3|＝x+2﹣x+3＝5， 综上，|x+2|﹣|x﹣3|最大值为5； 故答案为：﹣2，3，5． 【尝试•思考】 ①当x＜﹣2时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝﹣x﹣2+x﹣2+x﹣6＝x﹣10＜0，为负数，不合题意； ②当﹣2≤x≤2时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2+x﹣2+x﹣6＝3x﹣6＜0，为负数，不合题意； ③当2＜x≤6时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+2+x﹣6＝x﹣2＞0，为正数，符合题意； ④当x＞6时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+2﹣x+6＝10﹣x， 此时要想满足其值为正数，则x还要小于10， 所以，当x在2到6和6到10这两段时其值为正数， 即a可以在﹣2和6之间，则b在6和10之间， 当a在﹣2和6之间时，|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x﹣2＝a﹣2， 当b在6和10之间时，|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝10﹣x＝10﹣b， 所以a﹣2＝10﹣b， 所以a+b＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了数轴、绝对值等内容，数形结合和分类讨论是解决本题得关键． 【题型8】绝对值的新定义问题（培优） 1. 知识点 新定义问题的核心：以绝对值为基础，通过题干给出新运算规则（如定义“”）或新概念（如定义“关于a的美好关联数：若，则t为x、y关于a的美好关联数”）； 解题本质：不依赖已有公式，严格遵循题干给出的新规则，将绝对值运算与新定义结合，转化为可计算的问题。 2. 考点 新定义运算的直接计算（如已知“”，求的值）； 根据新定义求字母的值或取值范围（如已知“x和2关于3的美好关联数为4”，求x的值）； 新定义下的简单推理（如判断“若，则a与b的关系”）。 3. 易错点 误解新定义规则：如将“”误等同于“”，符号颠倒； 忽略新定义的限制条件：如题干明确“”时，仍代入或计算； 混淆新定义与常规绝对值运算：如用常规“表示两点距离”的意义，替代新定义的运算规则。 4. 解题技巧 第一步：精读新定义，用波浪线或括号标注核心规则（如“”中，运算符号“※”的规则是“两数差的绝对值加两数和的绝对值”）； 第二步：代入已知条件，将具体数值或字母代入新规则，转化为含绝对值的常规计算（如计算，代入得）； 第三步：结合绝对值性质求解（如需解方程，按绝对值方程解法处理；如需判断关系，利用绝对值非负性等性质推理）； 第四步：验证结果（确保结果符合新定义的限制条件，如“”则排除或的情况）。【例题8】．（2024-2025•广东校级期中）若定义：v[m，n]＝（﹣m，﹣|n|），例如v[3，4]＝（﹣3，﹣4），则ν[﹣5，﹣6]　（5，﹣6）　 ． 【答案】（5，﹣6）． 【分析】根据v的定义解答即可． 【解答】解：∵：v[m，n]＝（﹣m，﹣|n|）， ∴v[﹣5，﹣6]＝（﹣（﹣5），﹣|﹣6|）＝（5，﹣6）． 故答案为：（5，﹣6）． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•祁东县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a﹣b|﹣|a+b|，当a，b在数轴上的位置如图所示时，则a⊙b＝　2a　 ． 【答案】2a． 【分析】根据有理数a，b在数轴位置，去掉绝对值符号即可． 【解答】解：∵b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a﹣b＞0，a+b＜0， ∴a⊙b＝|a﹣b|﹣|a+b|， ＝a﹣b﹣[﹣（a+b）]， ＝a﹣b+a+b， ＝2a， 故答案为：2a． 【点评】本题考查了绝对值的定义与性质，数形结合思想，熟练掌握绝对值的相关知识是解决问题的关键． 【变式题8-2】．对数m，n给出定义：若||＝2，则称m是n的“正比数”；若|mn|＝2，则称m是n的“反比数”．举例：因为||＝2，所以3是1.5的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．现有数a，b（a≠b且ab≠0）． （1）若a是b的“正比数”，a＝4，则b的值为多少？ （2）若a是b的“反比数”，a＝4，则b的值为多少？ 【答案】（1）b的值为±2； （2）b的值为． 【分析】（1）根据题中所给定义，得出关于b的等式，再结合绝对值的性质即可解决问题． （2）根据题中所给定义，得出关于b的等式，再结合绝对值的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）因为a是b的“正比数”， 所以， 又因为a＝4， 所以， 解得b＝±2， 故b的值为±2． （2）因为a是b的“反比数”， 所以|ab|＝2， 又因为a＝4， 所以|4b|＝2， 解得b， 故b的值为． 【点评】本题主要考查了绝对值，理解题中所给定义及熟知绝对值的性质是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•新洲区期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b﹣1）2＝0，A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|． （1）求线段AB的长|AB|； （2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值； （3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时，下列两个结论： ①|PM|+|PN|的值不变；②|PN|﹣|PM|的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据非负数的和为0，各项都为0； （2）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题； （3）利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出． 【解答】解：（1）∵|a+4|+（b﹣1）2＝0， ∴a＝﹣4，b＝1， ∴|AB|＝|a﹣b|＝5； （2）当P在点A左侧时， |PA|﹣|PB|＝﹣（|PB|﹣|PA|）＝﹣|AB|＝﹣5≠2． 当P在点B右侧时， |PA|﹣|PB|＝|AB|＝5≠2． ∴上述两种情况的点P不存在． 当P在A、B之间时，|PA|＝|x﹣（﹣4）|＝x+4，|PB|＝|x﹣1|＝1﹣x， ∵|PA|﹣|PB|＝2，∴x+4﹣（1﹣x）＝2． ∴x，即x的值为； （3）|PN|﹣|PM|的值不变，值为． ∵|PN|﹣|PM||PB||PA|（|PB|﹣|PA|）|AB|， ∴|PN|﹣|PM|． 【点评】本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 【题型9】绝对值的规律总结问题（培优） 1. 知识点 规律总结的核心：通过特殊值代入（如取x=1、2、3…）计算绝对值式子的结果，观察结果的共性，推导适用于所有情况的一般规律； 常见规律类型： 多个绝对值和的最小值规律（如的最小值在x=2时取得）； 绝对值式子的结果循环规律（如在x取不同范围时的结果变化）； 绝对值与数的运算结合的规律（如的结果）。 2. 考点 根据特殊值总结绝对值式子的规律（如计算时的值，总结最小值）； 应用总结的规律解决问题（如已知“的最小值在中间点取得”，求的最小值）； 证明总结的规律（如证明“当时，的最小值为”）。 3. 易错点 特殊值选取不足或片面：如仅取1-2个特殊值（如x=1、2）就总结规律，忽略x在其他范围（如x<1或x>2）的情况，导致规律错误； 4. 解题技巧 第一步：选取足够多的特殊值，覆盖字母的不同取值范围（如研究，取x=1、2、3、4、5，计算对应结果：3、2、2、2、3）； 第二步：分析结果共性，寻找不变量或变化趋势（如上述结果中，x在2-4之间时，结果恒为2，且为最小值）； 第三步：推广到一般情况，用字母表示规律（如“对于（），当时，最小值为”）； 第四步：验证规律，选取新的特殊值（如x=2.5，代入得0.5 + 1.5 = 2，符合规律），确保规律的普遍性。 【例题9】．（2024-2025•鞍山校级月考）观察下面的等式： 1＝﹣||+3； 3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； 1﹣1＝﹣|1+2|+3； （）﹣1＝﹣||+3； （﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3． 回答下列问题： （1）填空：　﹣4　 ﹣1＝﹣|6+2|+3； （2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是 　0或﹣4　 ； （3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，则y的最大值是 　4　 ． 【答案】（1）﹣4； （2）0或﹣4； （3）4． 【分析】（1）根据a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3即可求解； （2）由所给式子可知，|x+2|＝2，则x＝0或﹣4； （3）由所给规律得到y﹣1＝﹣|2﹣y+2|+3，即y＝﹣|y﹣4|+4，当y≥4时，y＝﹣y+8，y＝4；当y＜4时，式子恒成立，即可求解． 【解答】解：（1）观察可知：a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3， 则﹣4﹣1＝﹣|6+2|+3； 故答案为：﹣4； （2）由所给式子可知，|x+2|＝2， ∴x＝0或﹣4， 故答案为：0或﹣4； （3）∵y﹣1＝﹣|2﹣y+2|+3， ∴y＝﹣|y﹣4|+4， 当y≥4时，y＝﹣y+8， ∴y＝4； 当y＜4时，式子恒成立， ∴y＝4时最大，此时4﹣1＝﹣|﹣2+2|+3， 故答案为：4． 【点评】本题考查绝对值、探索规律．能够通过所给的式子，找到规律，再由绝对值的性质转化为一元一次方程解题是关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•睢宁县期中）【观察与归纳】 （1）观察下列各式的大小关系： |﹣2|+|3|＞|﹣2+3| |﹣8|+|3|＞|﹣8+3| |﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3| |0|+|﹣6|＝|0﹣6| 归纳：|a|+|b|　≥　 |a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空） 【理解与应用】 （2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据提供的关系式得到规律即可； （2）根据（1）中的结论分当m为正数，n为负数时和当m为负数，n为正数时两种情况分类讨论即可确定答案． 【解答】解：（1）根据题意得：|a|+|b|≥|a+b|， 故答案为：≥； （2）由上题结论可知，因为|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，|m|+|n|≠|m+n|，所以m、n 异号． 当m为正数，n为负数时，m﹣n＝9，则n＝m﹣9，|m+m﹣9|＝1，m＝5或4； 当m为负数，n为正数时，﹣m+n＝9，则n＝m+9，|m+m+9|＝1，m＝﹣4或﹣5； 综上所述，m为±4或±5． 【点评】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大． 【变式题9-2】．（2024-2025•项城市月考）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如： |7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|6﹣9|＝　9﹣6　 ； ②|3﹣π|＝　π﹣3　 ． （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝　b﹣a　 ； （3）请利用你探究的结论计算：． 【答案】（1）①9﹣6，②π﹣3； （2）b﹣a； （3）． 【分析】（1）根据题干中的例子，通过判断绝对值内数的正负，从而得到结果； （2）因为3﹣π＜0，从而得到结果； （3）根据示例，去掉绝对值符号后，对相邻各项进行相消运算，从而得到结果． 【解答】解：（1）①∵6﹣9＜0， ∴|6﹣9|＝9﹣6， 故答案为：9﹣6； ②∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|＝π﹣3， 故答案为：π﹣3； （2）∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a， 故答案为：b﹣a； （3）原式 ． 【点评】本题考查了绝对值，有理数混合运算，关键要理解绝对值的意义，解决问题． 【变式题9-3】．完成下列填空，并思考有什么规律？ ①如果|m|＝0，那么m＝　0　 ； ②如果|m|+|n|＝0，那么m＝　0　 ，n＝　0　 ； ③如果|m﹣2|+|n﹣5|＝0，那么m＝　2　 ，n＝　5　 ； 结论：　几个非负数的和为0，它们同时为0　 ． 尝试应用： ①已知|x﹣2|+|4﹣y|＝0，则x＝　2　 ，y＝　4　 ． ②若数a、b满足|3a﹣1|+|b﹣2|＝0，求（a+b）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：①如果|m|＝0，那么m＝0； ②如果|m|+|n|＝0，那么m＝0，n＝0； ③如果|m﹣2|+|n﹣5|＝0，那么m＝2，n＝5； 结论：几个非负数的和为0，它们同时为0． 尝试应用： ①已知|x﹣2|+|4﹣y|＝0，则x＝2，y＝4． ②∵|3a﹣1|+|b﹣2|＝0， ∴3a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得，b＝2， ∴（a+b）． 故答案为：0；0；0；2；5；几个非负数的和为0，它们同时为0；2；4 【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C B A D A 一．选择题（共5小题） 1．若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或﹣4 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求得答案． 【解答】解：若一个数的绝对值是4， 则这个数是4或﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先由数轴得a＜0，b＜0，c＞0，再化简，进行计算，即可作答． 【解答】解：先由数轴得a＜0，b＜0，c＞0， ∴ ＝﹣1+（﹣1）﹣1 ＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数以及化简绝对值，正确的计算是解题的关键． 3．小明从小区﹣2楼出发，实数﹣2的绝对值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义运算即可． 【解答】解：﹣2的绝对值为2， 故选：A． 【点评】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　） A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c 【答案】D 【分析】由数轴可得a＜b＜0＜c，即得a﹣b＜0，a﹣c＜0，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴得到a﹣b、a﹣c、c的符号是解题的关键． 【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|， ∴a﹣b＜0，a﹣c＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|＝c﹣a， ∴原式＝b﹣a﹣（c﹣a）+（﹣b） ＝b﹣a﹣c+a﹣b ＝﹣c， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数与数轴，绝对值的性质，整式的加减，由数轴得到a﹣b、a﹣c、c的符号是解题的关键． 5．﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， ﹣2025的绝对值是2025． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．如果的相反数恰好是有理数a的绝对值，那么a的值是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相反数和绝对值的有关概念解答即可． 【解答】解：的相反数是， 所以|a|， 解得：a， 故答案为： 【点评】此题考查绝对值问题，关键是根据相反数和绝对值的有关概念解答． 7．若|a﹣2|+|b+4|＝0，则ba的值为 　16　 ． 【答案】16． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣2|+|b+4|＝0， ∴a﹣2＝0，b+4＝0， ∴a＝2，b＝﹣4， ∴ba＝（﹣4）2＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 8．若ab≠0，则的值为　±2或0　 ． 【答案】±2或0． 【分析】分四种情况：a＞0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0；a＜0，b＜0，化简绝对值，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，分四种情况：当a＞0，b＞0时，原式1+1＝2； 当a＞0，b＜0时，； 当a＜0，b＞0时，； 当a＜0，b＜0时，； 综上可知，若ab≠0，则的值为±2或0． 故答案为：±2或0． 【点评】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 9．如果x、y都是不为0的有理数，则代数的最大值和最小值的和是 　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算． 【解答】解：①当x、y中有二正， 1+1﹣1＝1； ②当x、y中有一负一正， 1﹣1+1＝1； ③当x、y中有二负， 1﹣1﹣1＝﹣3． 故代数式的最大值是1，最小值是﹣3，最大值和最小值的和是﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算． 10．已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝　﹣2a+b　 ． 【答案】﹣2a+b． 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：由数轴图可知，a＜0＜b＜c，|a|＜b＜c， ∴a﹣c＜0，c﹣b＞0， ∴|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b| ＝﹣a+[﹣（a﹣c）]﹣（c﹣b） ＝﹣a﹣a+c﹣c+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 三．解答题（共5小题） 11．对于有理数a，小风学习了绝对值符号|a|之后，自己创造了一个新符号【a】．新符号【a】的含义为：若a≥0，则【a】＝a﹣1；若a＜0，则【a】＝a+1． 例如：因为2＞0，所以【a】＝2﹣1＝1；因为﹣3＜0，所以【﹣3】＝﹣3+1＝﹣2． （1）【1】＝　0　 ；【0】＝　﹣1　 ；【】＝　　 ． （2）解方程：【2x】+3＝4． （3）如果一个有理数m与【m】互为相反数，直接写出m的值． 【答案】（1）0，﹣1，； （2）x＝1； （3）或． 【分析】（1）根据新符号【a】的定义求解； （2）分2x≥0和2x＜0两种情况，分别解一元一次方程即可； （3）分m≥0和m＜0两种情况，结合相反数的定义求解． 【解答】解：（1）由新符号【a】的定义可知，【1】＝1﹣1＝0， 【0】＝0﹣1＝﹣1， ， 故答案为：0，﹣1，； （2）【2x】+3＝4， 当2x≥0，即x≥0时，【2x】＝2x﹣1， 原方程变形为2x﹣1+3＝4， 解得x＝1，满足x≥0，符合题意； 当2x＜0时，即x＜0时，【2x】＝2x+1， 原方程变形为2x+1+3＝4， 解得x＝0，不满足x＜0，不合题意； 因此原方程的解为x＝1； （3）∵有理数m与【m】互为相反数， ∴【m】+m＝0， 当m≥0时，m﹣1+m＝0， 解得， 当m＜0时，m+1+m＝0， 解得， 综上可知，m的值为或． 【点评】本题考查新定义运算，解一元一次方程，相反数的定义等，理解新符号【a】的含义是解题的关键． 12．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n]． （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　2或﹣4　 ． （3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，则A、B两点间的最大距离是　8　 ；最小距离是　2　 ． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|为　6　 ． （5）|m+5|+|n﹣6|的最小值是　0　 ． 【答案】（1）3，5； （2）2或﹣4； （3）8，2； （4）6； （5）0． 【分析】（1）直接利用两点之间距离的计算方法求解； （2）分析出|x+1|＝3的意义，结合数轴计算； （3）同理求出a，b的值，找到最大距离和最小距离的情况，列式计算； （4）分析出|a+4|+|a﹣2|的意义，再根据a的位置求解； （5）同样分析出式子的意义，结合数轴找到相应位置即可得解． 【解答】解：（1）|4﹣1|＝3； |2﹣（﹣3）|＝5； 故答案为：3，5； （2）∵|x+1|＝3， 表示数x的点与表示﹣1的点之间的距离为3， ∴x＝﹣1+3＝2或x＝﹣1﹣3＝﹣4； 故答案为：2或﹣4； （3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1， 同（2）可求a＝1或a＝5；b＝﹣1或b＝﹣3； ∴A、B两点间的最大距离是|5﹣（﹣3）|＝8，最小距离是|1﹣（﹣1）|＝2； 故答案为：8；2； （4）∵数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间， |a+4|+|a﹣2|表示a与﹣4的距离和a与2的距离之和， 即为2﹣（﹣4）＝6； 故答案为：6； （5）|m+5|+|n﹣6|表示m与﹣5的距离及n与6的距离之和， ∴当m表示﹣5，n表示6时， |m+5|+|n﹣6|的值最小，且为0， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式． 13．化简下列各式： （1）﹣|﹣8|； （2）﹣（﹣0.78）； （3）； （4）+[﹣（﹣3.5）]． 【答案】（1）﹣8；（2）0.78；（3）；（4）3.5． 【分析】（1）根据绝对值的概念直接进行化简即可； （2）根据相反数的概念直接进行化简即可； （3）根据相反数的概念直接进行化简即可； （4）根据相反数的概念直接进行化简即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣8； （2）原式＝0.78； （3）原式； （4）原式＝3.5． 【点评】本题考查了绝对值，相反数，掌握绝对值，相反数的定义是关键． 14．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）填空：a+c 　＝　 0；a+b 　＜　 0；c﹣b 　＞　 0． （2）化简：|a+c|+|a+b|+|c﹣b|． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴上a、b、c三点的位置即可得出结论； （2）根据（1）中的结论去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）∵a、c两点在原点的异侧，|a|＝|c|， ∴a、c互为相反数， ∴a+c＝0； ∵a＜b＜0， ∴a+b＜0； ∵c＞0，b＜0， ∴c﹣b＞0． 故答案为：＝，＜，＞； （2）∵a+c＝0，a+b＜0，c﹣b＞0， ∴原式＝0﹣a﹣b+c﹣b＝﹣a﹣2b+c． 【点评】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 15．若|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0，计算： （1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|+|z|的值． 【答案】（1）x＝2，y＝﹣7，z＝9； （2）18． 【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出方程，即可解出x、y、z的值； （2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0， 解得x＝2，y＝﹣7，z＝9； （2）当x＝2，y＝﹣7，z＝9时， 原式＝|2|+|﹣7|+|9| ＝2+7+9 ＝18． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，有理数加法运算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 学科网（北京）股份有限公司 $