2.3.1有理数的乘方讲义-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

第二章 有理数的运算 第五节 有理数的乘方 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1有理数的乘方的意义 2 知识点2乘方的符号法则 2 知识点3有理数的混合运算 4 知识点4 an、-an、（-a）n的区别与联系 6 题型精讲1有理数幂的概念理解 8 题型精讲2有理数的乘方运算 10 题型精讲3有理数乘方逆运算 12 题型精讲4乘方运算的符号规律 14 题型精讲5程序流程图与有理数计算 15 题型精讲6算“24”点 18 题型精讲7含乘方的有理数混合运算 20 题型精讲8计算器——有理数 23 03拓展培优 25 04课堂检测 36 知识思维导图 课程学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念及表示方法，能归纳出正、负、0的乘方运算规律。 2. 熟练进行有理数乘方运算，规避符号错误，提升数学运算核心素养。 3. 体会从特殊到一般、分类讨论的思想，能运用乘方解决简单问题，发展推理能力。 【新知学习】 知识点1 有理数的乘方的意义 1. 有理数的乘方的意义： 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作：，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作：的n次幂，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。 特别提示： （1） 当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。 知识点二 乘方的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是 正数 ； （2） 负数的奇次幂是 负数 ，负数的偶次幂是 正数 ； （3） 0的正整数次幂都是 0 。 【易错提醒】 （1） 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 （2） 与乘方有关的探求规律问题是一类重要类型题。 例题1：（2025·全国·专题练习）中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 6 4 1 5 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方的意义及运算，解题关键是掌握有理数的乘方的意义． 先根据有理数的乘方的意义求解，再计算结果． 【详解】解：中指数为6，底数为； 4的底数是4，指数是1； 的底数是，指数是5，结果是． 故答案为：6，，4，1，，5，． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 4 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的相关概念：底数、指数、乘方的结果等，乘方的运算；根据乘方的相关概念及运算法则即可解答． 【详解】解：的底数是，指数是4，结果是； 故答案为：，4，． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【知识点】相反数的定义、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查乘方的定义，掌握定义是解决问题的关键．利用乘方的定义判断即可． 【详解】解：是5个2相乘的相反数． 故选：B ． 【变式训练3】（2025·吉林长春·模拟预测）在中，底数是 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方的定义，明确乘方表达式中底数的概念来求解．本题主要考查乘方的定义，熟练掌握乘方表达式中底数、指数的概念是解题的关键． 【详解】解：在中，底数是． 故答案为： ． 知识点03 有理数的混合运算 先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 例题1：（2025·江西·模拟预测）下列各数中，是负数的是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方，负数的定义，先根据乘方运算得，再结合小于0的数为负数，大于0的数为正数，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 则在四个选项中，是负数的是， 故选：B 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查负数的指数运算，需注意括号的位置对结果符号的影响．解题步骤分为：1.判断底数是否包含负号；2.根据指数奇偶性确定符号；3.计算数值部分．根据运算步骤计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3）． 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）在有理数，，，，中，负数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、化简多重符号、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查相反数、有理数的乘方、负数的定义，熟练掌握相反数、有理数的乘方、负数的定义是解决本题的关键． 首先把每一个数化为最简，再判定即可． 【详解】解：，，，，， 故负数有，共2个， 故选：B． 【变式训练3]24-25九年级上·山东枣庄·期末）下列各数，，，，，，，中，正数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了正数的定义、乘方、绝对值的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 对每个数进行化简，根据正数的定义判断即可． 【详解】解：，是正数； 既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ∴正数有、、，共三个． 故选：C ． 知识点04 an、-an、（-a）n的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 n个a相乘的积 ，即 ，底数是 a 。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数 ，即 － ，底数是 a 。 表示的意义是 n个－a相乘的积 ，即 ，底数是 －a 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， － 和 相等，他们与互为 相反数 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。 例题1：（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我们来了，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方． 根据乘方的意义求解即可． 【详解】解：， 故选：． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，特别是负号的位置对结果的影响，以及运算顺序的理解. 分别计算各选项中两个数的值，比较是否相等. 【详解】选项A：；,，故A不相等. 选项B：；。，故B不相等. 选项C：；。，故C相等. 选项D：；。，故D不相等. 故选：C. 【变式训练2】（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了含乘方的有理数的乘法运算，先计算乘方，再进行乘法计算即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 题型精讲1有理数幂的概念理解 例题1：（25-26七年级上·全国·期中）如图为小明的答卷，每小题20分，他的得分应是（  ） ①绝对值最小的数是0 ② ③的相反数是6 ④的底数是 ⑤的倒数是 A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查绝对值，化简多重符号，相反数，有理数幂以及倒数，根据相关知识点逐一进行判断，求出正确的数量再乘以20，即可得出结果． 【详解】解：绝对值最小的数为0，故①正确； ，故②正确； 的相反数是6，故③正确； 的底数是，故④错误； 的倒数是，故⑤正确； 故小明的得分为（分）； 故选C． 【变式训练1】（2025·吉林长春·二模）对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数的乘方，中a为底数，b为指数，结果为幂，表示b个a相乘，由此逐项判断即可． 【详解】解：对于式子， 指数是2，故A选项错误； 底数是，故B选项错误； ，即幂是9，故C选项正确； 表示2个相乘，故D选项错误； 故选：C． 【变式训练2】（2025·吉林长春·二模）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和乘方，根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、可表示两个5相加，正确，故不符合题意； B、可表示五个2相加，正确，故不符合题意； C、可表示五个2相乘，原说法不正确，故符合题意； D、可表示五个2相乘，正确，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练3】（2025·河南郑州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，熟练掌握乘法和乘方的意义是解题的关键．根据乘法和乘方的意义求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 题型精讲2有理数的乘方运算 例题1：（25-26七年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据乘方运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算： ； ． 【答案】 / 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值性质，根据有理数乘方的运算法则，以及绝对值性质计算求解，即可解题． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【变式训练2】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． （1）先算乘除，再算减法； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （3）先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加法． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 【变式训练3】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）把下列各数填入到它所属的集合中． 正数：{                                    } 负数：{                                    } 正分数：{                                  }． 【答案】；； 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的分类． 先化简各数，再分别根据正数、负数、正分数的定义作答即可． 【详解】解： 正数：{} 负数：{} 正分数：{} 题型精讲3有理数乘方逆运算 例题1：（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东汕头·期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了新定义运算的含义，乘方的逆运算，理解乘方的逆运算是解题关键．根据题干乘方的逆运算法则列式解即可． 【详解】解：∵式子可以变形为，也可以变形为， ∴表示为， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，，且，求的值． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，求一个数的绝对值，有理数的加法计算，先计算乘方和绝对值得到，，再由得到或，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为． 题型精讲4乘方运算的符号规律 例题1：（2025·全国·专题练习）如果n是正整数，则 ． 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题主要考查数轴上点的分布与数的正负性，幂的符号法则．在数轴上，原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数，原点为0．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂是负数．熟练掌握幂的符号法则是解决本题的关键．确定题目中给出每个数的正负性即可回答此题． 【详解】解：，，， ∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的数是，共1个， 故选：A． 【变式训练3】（七年级下·内蒙古乌兰察布·开学考试）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、有理数的加法，根据“几个非负数的和等于，则每个非负数都等于”，求出、的值，再计算即可，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 题型精讲5程序流程图与有理数计算 例题1：（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，按照如下程序进行计算，当输入的时，输出的y的值为 ． 【答案】13 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了根据程序进行有理数的混合运算，熟练掌握运算规则是解题的关键．先判断输入的是奇数还是偶数，再根据程序对应的运算规则计算的值． 【详解】解：∵是偶数， ∴按照偶数的运算规则计算： 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【答案】5 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数计算；根据程序流程图的操作方法再结合有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：输入，， ∵，重复， 输入2，， ∵， ∴输出5． 故答案为：5． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则输出的值为 ． 【答案】34 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，输入，根据题意列式计算，直至结果不小于16即可． 【详解】解：若输入，则，返回继续运算； ，输出结果； 故答案为：34． 【变式训练3】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 题型精讲6算“24”点 例题1：（25-26七年级上·福建宁德·开学考试）下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的计算能得到24（每张牌都要用且只能用一次），可以列出综合算式是 ． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的四则运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键，通过所给的数字尝试调整，凑成得数是24的算式，即可完成解答，注意可以使用括号． 【详解】解：根据题意． 故答案为：． 【变式训练1】（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 【详解】根据题意得，． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 【变式训练3】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 运用有理数的混合运算进行计算使其等于即可． 【详解】解：四张牌的点数分别是3、4、1、7， ∴，， 故答案为：或（答案不唯一） ． 题型精讲7含乘方的有理数混合运算 例题1：（25-26七年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算绝对值和括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，涉及绝对值、乘方、乘除、加减运算，按照先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减的顺序计算． （）按照先算绝对值，再从左到右依次进行乘除运算的顺序求解， （）按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握知识是解题的关键． 根据有理数的乘方，乘除，加减运算，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．，该选项正确，符合题意； B． ，该选项错误，不符合题意； C． ，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项错误，不符合题意． 故选：A． 题型精讲8计算器——有理数 例题1：（2024·山东淄博·一模）用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如下，则计算结果为 ． 【答案】 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查了科学计算器的使用，根据计算顺序可求得结果，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 【变式训练1】（·全国·专题练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算器——有理数 【分析】直接利用计算器计算求解各数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式训练2】（2024·山东临沂·一模）用型号为“大雁牌”的计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查了计算器，解答本题的关键是明确计算器的按键顺序． 根据题意，写出正确的按键顺序，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意知，按键顺序正确的是， 故选：D． 【变式训练3】（23-24七年级上·全国·课后作业）利用计算器计算：一张纸的厚度大约是0.1毫米，将它对折30次后，将它的厚度与珠穆朗玛峰的高度比较一下（珠峰高8848米），看谁更高（是不是吓你一大跳，请注意单位换算）． 【答案】厚度为米，比珠穆朗玛峰还要高 【知识点】计算器——有理数、乘方的应用 【分析】利用计算器计算出，进而可求解． 【详解】解：根据题意可知（毫米）， ， ， 答：故厚度为米，比珠穆朗玛峰还要高． 【拓展培优】 【典例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【思维建模】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题． （2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【变式训练1】（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式训练2】（七年级上·河南焦作·期中）计算∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)17 (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确确定运算顺序是关键． （1）先化简，再分类计算即可； （2）先判定符号，再化为连乘计算； （3）利用乘法分配律简算； （4）先算乘方，再算括号里面的减法，再算乘法，最后算括号外面的减法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键； （1）先计算乘除，再计算加减即可求解； （2）按照有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【典例2】 （2024·北京顺义·一模）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究： 将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）． 【答案】 1 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】题目主要考查规律探索，理解题意，找出相应的规律是解题关键 8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8，按照规则依次即可得出结果；根据题意找出相应规律即可得出结果． 【详解】解：8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8， 前四轮去掉了2，4，6，8， 还剩下4张纸牌从上至下为1，3，5，7， 再经过2轮去掉3，7， 还利2张纸牌、从上至下为1，5， 再经过1轮，去掉5， 最终剩下的是原来的第1张纸牌； 由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌， 将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌， ∴； 故答案为：1；． 【变式训练1】（湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C 【变式训练2】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【知识点】有理数乘方逆运算、乘方的应用 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 【变式训练3】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？ 【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米 (2)汽车共耗油21.2升 (3)沈师傅在上午一共收入156元 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面； （2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以0.4，即可得答案； （3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米； （2）解： ， ∴（升）， ∴汽车共耗油21.2升． （3）解：∵共营运十批乘客， ∴起步费为：（元）， 超过3千米的收费总额为：（元）， ∴（元）， ∴沈师傅在上午一共收入156元 【典例3】（七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】利用拆项法将分数拆成整数和分数的和差形式，把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解： 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)26 (2) (3) (4)2 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数四则混合运算 【分析】(1)按照有理数四则混合运算法则计算即可． (2) 根据分配律，四则混合运算法则计算即可． (3)按照有理数的加减混合运算法则计算即可． (4)变除法运算为乘法运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练3】（七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式： ，，①，②， ，， (1)①________，②________； (2)求的个位数字． 【答案】(1)；； (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】（）根据乘方的定义计算即可求解； （）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解； 本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； ， 故答案为：； （2）解：∵，，，，，，， ∴个位数字按照的规律循环， 又∵， ∴的个位数字之和为： ， ∴为． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，利用有理数的乘方法则列式计算即可． 【详解】解：∵某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个， ∴经过1个小时，这种细菌分裂3次， ∴经过1个小时，这种细菌由1个分裂成个． 故选：D． 2．使用计算器时，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算器——有理数 【分析】根据计算器计算数据时，直接按照书写顺序按键即可． 【详解】解：根据计算器计算数据时，直接按照书写顺序按键即可． 故选A． 【点睛】本题考查计算器-有理数的应用，熟练掌握计算器的应用是解决问题的关键． 3．计算：（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，先计算乘方，再按照有理数运算顺序计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 4．计算的结果是（    ） A．27 B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】先算乘方，后从左往右依次计算． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟记运算法则和运算顺序． 5．小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算． 【详解】解：，， 故选：B 6．下列各式的运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】根据有理数的混合计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 二、填空题 7．负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；正数的任何次幂都是 ；0的任何正整数次幂都是 ． 【答案】 负数 正数 正数 0 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】根据有理数乘方的法则解答即可． 【详解】解：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0， 故答案为：负数；正数；正数；0． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 8．在玩过“24点游戏”之后，小妍尝试改变了一下游戏规则，如下：请你只在“加、减、乘、除、平方和括号”中选择使用（可以重复），将，2，6，四个数组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为32，你列出的算式是 ．（只写一种） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查的是有理数的计算法则的应用．理解计算法则是解决这个问题的关键．本题只要根据计算法则得出答案为32即可，答案可以不唯一． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：（答案不唯一）． 9．，则 ； 【答案】3 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查乘方，利用求解即可． 【详解】，， ∴， ． 故答案为：3． 10．按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方． 【详解】解：， ， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1)-1 (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）原式先计算乘法，再计算加法即可得到答案； （2）原式先计算乘方，再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1） （2） = 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 12．一批水果的标准质量是30千克，超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，现记录如下：＋9，－10，－5，＋6，－7，－6， ＋7，＋10 （1）这批水果总共有多少千克？ （2）若每千克的价格为2.5元，请计算该批水果一共可以卖多少钱？ 【答案】（1）这批水果总共有244千克；（2）该批水果一共可以卖610元钱． 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据有理数的加法运算，即可解答． （2）根据有理数的乘法运算，即可解答． 【详解】解：（1）因为9－10－5＋6－7－6＋7＋10＝4， 所以这批水果共有 ， 答：这批水果总共有244千克． （2）由题意得：（元）， 答：该批水果一共可以卖610元钱． 【点睛】本题考查了正数和负数在生活中的应用，弄清题意，正确列出算式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)-11 (2)-9 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数乘除法和减法依次进行计算即可； （2）根据乘法分配律、幂的乘方和有理数加减法依次进行计算即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式， ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、乘法分配律等知识点，解答本题的关键是熟练掌握有理数混合运算的方法． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)-1； (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）先计算除法，再计算加减即可； （2）先计算，再求其倒数即可； 【详解】（1）解：原式= =-1； （2）解： = = = = ∴ = 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 第五节 有理数的乘方 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1有理数的乘方的意义 2 知识点2乘方的符号法则 2 知识点3有理数的混合运算 3 知识点4 an、-an、（-a）n的区别与联系 4 题型精讲1有理数幂的概念理解 5 题型精讲2有理数的乘方运算 6 题型精讲3有理数乘方逆运算 7 题型精讲4乘方运算的符号规律 7 题型精讲5程序流程图与有理数计算 8 题型精讲6算“24”点 9 题型精讲7含乘方的有理数混合运算 11 题型精讲8计算器——有理数 12 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念及表示方法，能归纳出正、负、0的乘方运算规律。 2. 熟练进行有理数乘方运算，规避符号错误，提升数学运算核心素养。 3. 体会从特殊到一般、分类讨论的思想，能运用乘方解决简单问题，发展推理能力。 【新知学习】 知识点1 有理数的乘方的意义 1. 有理数的乘方的意义： 求几个相同因数的积的运算叫做 。一般地：（个）可以记作：，读作： 。当把看做的次方的结果时，也可读作：的n次 ，所以乘方的结果叫做 ，其中是 ，是 。 特别提示： （1） 当指数是 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 或 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3） 任何数都可以看做是它本身的 次方，一个数的2次方可以读作： ，一个数3次方可以读作： 。 知识点二 乘方的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是 ； （2） 负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ； （3） 0的正整数次幂都是 。 【易错提醒】 （1） 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 （2） 与乘方有关的探求规律问题是一类重要类型题。 例题1：（2025·全国·专题练习）中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【变式训练3】（2025·吉林长春·模拟预测）在中，底数是 ． 知识点03 有理数的混合运算 先算 ，再算 ，最后算 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 例题1：（2025·江西·模拟预测）下列各数中，是负数的是（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）在有理数，，，，中，负数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式训练3]24-25九年级上·山东枣庄·期末）下列各数，，，，，，，中，正数有（    ） A． 个 B．个 C．个 D．个 知识点04 an、-an、（-a）n的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， 和 相等，他们与互为 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 。 例题1：（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我们来了，则的结果是（    ） A． B． C． D． B． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，相等的一组是（   ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【变式训练2】（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式训练3】（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型精讲1有理数幂的概念理解 例题1：（25-26七年级上·全国·期中）如图为小明的答卷，每小题20分，他的得分应是（  ） ①绝对值最小的数是0 ② ③的相反数是6 ④的底数是 ⑤的倒数是 A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【变式训练1】（2025·吉林长春·二模）对于式子，下列说法正确的是（   ） A． 指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【变式训练2】（2025·吉林长春·二模）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 【变式训练3】（2025·河南郑州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型精讲2有理数的乘方运算 例题1：（25-26七年级上·广东广州·期中）计算： ． 【变式训练1】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算： ； ． 【变式训练2】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【变式训练3】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）把下列各数填入到它所属的集合中． 正数：{                                    } 负数：{                                    } 正分数：{                                  }． 题型精讲3有理数乘方逆运算 例题1：（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【变式训练1】（24-25七年级上·广东汕头·期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，，且，求的值． 题型精讲4乘方运算的符号规律 例题1：（2025·全国·专题练习）如果n是正整数，则 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】（七年级下·内蒙古乌兰察布·开学考试）若，则 ． 题型精讲5程序流程图与有理数计算 例题1：（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，按照如下程序进行计算，当输入的时，输出的y的值为 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则输出的值为 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 题型精讲6算“24”点 例题1：（25-26七年级上·福建宁德·开学考试）下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的计算能得到24（每张牌都要用且只能用一次），可以列出综合算式是 ． 【变式训练1】（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【变式训练2】（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2) 从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【变式训练3】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 题型精讲7含乘方的有理数混合运算 例题1：（25-26七年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型精讲8计算器——有理数 例题1：（2024·山东淄博·一模）用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如下，则计算结果为 ． 【变式训练1】（·全国·专题练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练2】（2024·山东临沂·一模）用型号为“大雁牌”的计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24七年级上·全国·课后作业）利用计算器计算：一张纸的厚度大约是0.1毫米，将它对折30次后，将它的厚度与珠穆朗玛峰的高度比较一下（珠峰高8848米），看谁更高（是不是吓你一大跳，请注意单位换算）． 【拓展培优】 【典例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【思维建模】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题． （2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【变式训练1】（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式训练2】（七年级上·河南焦作·期中）计算∶ (1) (2) (3) (4) 【变式训练3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 【典例2】 （2024·北京顺义·一模）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究： 将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）． 【变式训练1】（湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【变式训练2】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【变式训练3】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？ 【典例3】（七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式训练3】（七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式： ，，①，②， ，， (1)①________，②________； (2)求的个位数字． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 2．使用计算器时，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算：（    ） A． B．8 C． D．4 4．计算的结果是（    ） A．27 B． C． D． 5．小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 6．下列各式的运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；正数的任何次幂都是 ；0的任何正整数次幂都是 ． 8．在玩过“24点游戏”之后，小妍尝试改变了一下游戏规则，如下：请你只在“加、减、乘、除、平方和括号”中选择使用（可以重复），将，2，6，四个数组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为32，你列出的算式是 ．（只写一种） 9．，则 ； 10．按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 12．一批水果的标准质量是30千克，超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，现记录如下：＋9，－10，－5，＋6，－7，－6， ＋7，＋10 （1）这批水果总共有多少千克？ （2）若每千克的价格为2.5元，请计算该批水果一共可以卖多少钱？ 13．计算： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $