专题1.2.1有理数的概念（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课　 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

1.2.1有理数的概念 【题型1】有理数的识别与判断 1. 知识点 有理数的定义：整数和分数统称为有理数，任何有理数都可以表示为（、为整数且）的形式。 有理数的范围：包括正整数、0、负整数（整数部分）和正分数、负分数（分数部分），其中有限小数和无限循环小数属于分数，因此也属于有理数；无限不循环小数（如、）不属于有理数。 2. 考点 判断单个或多个数是否为有理数（如给定、、等，选出有理数）。 区分有理数与非有理数（核心是排除无限不循环小数）。 3. 易错点 误将无限不循环小数（如、）归为有理数，忽略其无法表示为的本质。 漏判有限小数（如）和无限循环小数（如） ，错误认为它们不属于分数（进而不属于有理数）。 混淆“0”的归属：误将0排除在有理数外，或认为0是正数/负数。 4. 解题技巧 第一步：先筛选出明显的非有理数（即无限不循环小数），直接排除。 第二步：对剩余数分类判断：若为整数（正整数、0、负整数），直接归为有理数；若为小数，判断是否为有限小数或无限循环小数，是则归为有理数。 第三步：特殊验证“0”，确认其属于整数且为有理数。 【例题1】．（2024-2025•隆阳区期末）下列各数：﹣0.1，0.121121112…，π，，3.14，﹣13%，0，其中有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式题1-1】．（2024-2025•静海区校级期末）下列7个数：，1.010010001，，0，﹣2π，﹣3.141441444…（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题1-2】．（2024-2025•马边县期末）下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数； ②0是非负有理数； ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-3】．（2024-2025•北林区校级月考）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数分正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正有理数、零、分数 【题型2】有理数的分类 1. 知识点 有理数按定义分类：核心是分为整数和分数，两类无重叠且覆盖所有有理数；其中整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数（有限小数和无限循环小数均属于分数）。 有理数按正负分类：核心是分为正有理数、0、负有理数，0单独成类（既不是正数也不是负数）；其中正有理数包括正整数、正分数，负有理数包括负整数、负分数。 分类三原则：不重合（各类别无交叉，如一个数不能同时是整数和分数）、无遗漏（所有有理数均需归类，如不能漏掉0）、标准统一（同一分类过程中仅用一种标准，不可同时按“定义”和“正负”分类）。 2. 考点 给定一组数（如、、、、），按“定义”（整数/分数）或“正负”（正有理数/0/负有理数）标准分类。 补全不完整的分类表（如按定义分类时，整数集合漏填0，分数集合漏填负分数，补全空缺）。 识别错误的分类方式（如将有理数分为“正有理数、负有理数”，遗漏0；或同时按定义和正负分类，如“整数、正分数、负有理数”），并改正。 3. 易错点 分类时漏填“0”：按定义分类时将0排除在整数外，按正负分类时将0归入正有理数或负有理数。 混淆分类标准：同一分类中混用“定义”和“正负”（如将“正整数”直接归为“正有理数”，未先按定义归入“整数”）。 误判分数范围：漏将有限小数（如）、无限循环小数（如） 归入分数，仅认为“形式的数才是分数”；或误将整数（如）归入分数。 补全/纠错时漏数：补全分类表时漏填某类数（如负分数），纠错时未发现“分类无遗漏”原则（如漏掉0）。 4. 解题技巧 分类步骤：①先确定分类标准（定义或正负）；②按标准拆解类别（如按定义拆为“整数→ 正整数、0、负整数”“分数→ 正分数、负分数”）；③逐一将数归入对应类别，避免交叉。 补全技巧：①先检查类别是否完整（如按正负分类，是否有“正有理数、0、负有理数”三类）；②再检查每类是否漏数（如整数类是否有0，分数类是否有负分数）；③最后补充空缺（如整数类漏0则补0，分数类漏则补）。 纠错技巧：①先查“标准是否统一”（如是否同时出现“整数”和“正分数”，标准混乱则需统一为定义或正负）；②再查“是否重合/遗漏”（如无0则补0，类别交叉则拆分）；③最后按正确标准重新分类，验证是否符合三原则。 【例题2】．（2024-2025•大武口区期末）把下列各数分别填在相应的集合内． 2024，﹣1，﹣2.3，，3.1415926，0，，5%，﹣90， （1）正有理数集合：{ 　 　 …}； （2）负分数集合：{ 　 　 …}； （3）整数集合：{ 　 　 …}． 【变式题2-1】．（2024-2025•灵宝市期末）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，，，﹣0.75，0，30%，π． 负数集合：{ 　 　 …}； 整数集合；{ 　 　 …}； 正有理数集合：（ 　 　 …）． 【变式题2-2】．（2024-2025•黔东南州期末）把下列各数填在相应的大括号内： 5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159，，0.1010010001……（每两个1之间逐次增加一个0）． 正数集：{　 　 …}； 非负整数集：{　 　 …}； 负分数集：{　 　 …}； 有理数集：{　 　 …}． 【变式题2-3】．（2024-2025•永川区校级月考）把下列各数填入相应的大括号里： ． 整数集合：{ 　 　 }； 正数集合：{ 　 　 }； 负分数集合：{ 　 　 }； 非负有理数集合：{ 　 　 }． 【题型3】0的意义与属性辨析 1. 知识点 0的数学属性：0是整数、有理数、自然数（人教版定义中，自然数包括0和正整数） ，但0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。 0的实际意义：可表示“没有”（如“0个苹果”），也可表示“基准”（如“0 {}^\circ C ”表示温度基准，“海拔0米”表示高度基准）。 2. 考点 判断关于0的说法是否正确（如“0是正数”“0是自然数”“0不是有理数”）。 结合实际情境理解0的意义（如数轴上0的位置、记账中0的含义）。 3. 易错点 错误认为“0是正数或负数”，忽略0的非正非负属性。 混淆自然数的定义：旧教材中自然数不包括0，新人教版中自然数包括0，易沿用旧概念导致错误。 误将“0归为分数”或“0不是有理数”，忽略0是整数（整数属于有理数）的本质。 4. 解题技巧 牢记0的核心属性：“三是三非”——是整数、是有理数、是自然数；非正数、非负数、非分数。 遇到关于0的说法时，逐一对照“三是三非”，不符合的直接判定为错误。 结合实际情境时，明确0表示“基准”而非“没有”（如“0℃不是没有温度”）。 【例题3】．（2024-2025•汉阳区期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【变式题3-1】．（2024-2025•徐水区期末）关于“0”的说法，正确的是（　　） A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数 C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数 【变式题3-2】．（2024-2025•梁溪区校级期中）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．既不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【变式题3-3】．（2024-2025•平昌县校级月考）下列关于“0”的说法正确的有（　　） ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型4】有理数与集合图结合（提升） 1. 知识点 集合图的含义：用圆圈表示集合，重叠部分表示两集合的交集（同时属于两个集合的元素），整个图形表示两集合的并集（属于任意一个集合的元素）。 常见集合组合：如“整数集合”与“负数集合”的交集是“负整数集合”，并集是“负整数、正整数、0”；“正数集合”与“分数集合”的交集是“正分数集合”。 2. 考点 给定集合图（如整数集合与负数集合的重叠区域标注为K），选出可填入K区域的数（如、等负整数）。 根据集合图，描述某区域表示的集合（如两集合交集的含义）。 3. 易错点 混淆“交集”与“并集”：误将两集合的并集当作交集（如将“整数集合或负数集合”的元素填入交集区域）。 忽略集合的定义范围：如“正数集合”与“整数集合”的交集是“正整数”，易误填入正分数（如）。 漏判0的归属：如“整数集合”与“非负集合”的交集包括0和正整数，易漏掉0。 4. 解题技巧 明确集合图中各区域的含义：重叠部分→ 交集（同时满足两集合条件），非重叠部分→ 仅满足单个集合条件。 列条件：将两个集合的条件列出（如“整数集合”：正整数、0、负整数；“负数集合”：负整数、负分数），找交集即找“同时满足两个条件的数”（如负整数）。 验证：将候选数代入两集合条件，均满足则属于交集，否则不属于。 【例题4】．（2024-2025•肇源县月考）把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 ，0.618，﹣3.14，260，﹣2001，，﹣1，﹣53%，0． 【变式题4-1】．（2024-2025•内乡县校级月考）将下列各数填入相应的集合圈内： ，﹣7，+2.6，﹣100，，9.2，0，1，0.． 【变式题4-2】．（2024-2025•江安县期中）下面两个圈分别表示正数集和整数集，那么这两个圈的重叠部分表示 　 　 数的集合．请写出9个数填入这两个圈中，使其中每个圈中各有6个数． 【变式题4-3】．（2024-2025•杞县期中）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里； 2016，﹣15%，﹣0.618，7，﹣9，，0，3.14，﹣72 （2）图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ （3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和． 【题型5】带“非”字的有理数识别 （提升） 1. 知识点 “非”的含义：在数学中表示“不”，因此“非X数”即“不满足X属性的数”，需明确其包含的范围： 非负整数：正整数和0（不小于0的整数）； 非正整数：负整数和0（不大于0的整数）； 非负有理数：正有理数和0（不小于0的有理数）； 非正有理数：负有理数和0（不大于0的有理数）。 2. 考点 给定一组数（如、、、、），选出其中的非负整数、非正有理数等。 判断某类“非”字有理数的构成（如“非负整数是否包括0”）。 3. 易错点 漏将“0”归入“非”字有理数集合（如非负整数中漏掉0，仅认为是正整数）。 混淆“非负”与“正”、“非正”与“负”：如将非负有理数等同于正有理数，忽略0的存在。 错误扩大范围：如将非负整数归入非负有理数时，误将正分数也纳入非负整数（如认为是非负整数）。 4. 解题技巧 拆解“非”字概念：先确定“X数”的范围，再补充“0”（若0不满足X属性），得到“非X数”的范围（如“负整数”是小于0的整数，“非负整数”即“不是负整数的整数”，包括正整数和0）。 分两步判断：第一步判断是否满足“非X”的大范围（如非负），第二步判断是否满足“数的类型”（如整数），两步均满足才符合要求。 举例验证：如判断“0是否是非负整数”，先看0非负（是），再看0是整数（是），因此0属于非负整数。 【例题5】．（2024-2025•永川区校级月考）下列各数：5，，﹣0.2，0，其中是非负数的有（　　） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式题5-2】．（2024-2025•伍家岗区月考）在﹣8，2014，，0，﹣5，+13，，﹣7.2中，非负整数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题5-2】．（2024-2025•官渡区校级期中）下列有理数中：﹣4，2.6，，﹣3.5，10，﹣1，0，，非正数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题5-3】．（2024-2025•陵城区期末）请在〇中填入最小的正整数，在△中填入最小的非负数，在□中填入大于﹣5且小于﹣3的整数，并将结果填在横线上．〇+（△+□）＝（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．4 【题型6】有理数规律探究之数的排列（提升） 1. 知识点 有理数排列的常见规律： 正负规律：如“正、负、正、负…”（周期为2）；“正、正、负、负…”（周期为4）。 数值规律：如“1、-2、3、-4、5、-6…”（绝对值依次加1，正负交替）；“、、、…”（分母依次加1，正负交替）。 规律探究步骤：先找“周期”（正负周期、数值周期），再根据周期判断某位置的数的属性（正负、类别）。 2. 考点 给定有理数排列（如“2、-3、4、-5、6、… ”），判断第n个数（如第2024个数）是正数还是负数，属于哪类有理数（如负整数、正整数）。 补充排列中的空缺数（如“1、-、___、-、”，补充“”）。 3. 易错点 找不到规律的“周期”：如排列“1、-2、-3、4、-5、-6、7、… ”，正负周期为3（正、负、负），易误判为周期2。 忽略“起始位置”：如第1个数为正数，周期为2，则奇数位置为正，偶数位置为负，易颠倒奇偶对应的正负。 混淆“数值规律”与“正负规律”：如仅关注数值依次加1，忽略正负交替，导致判断错误。 4. 解题技巧 列表找周期：将前10个数的“位置、数值、正负、类别”列成表格，观察正负和数值的重复规律，确定周期（如周期为2、3、4等）。 用周期计算：若周期为k，用“位置数n÷ k”，根据余数判断（如余数为1→ 周期内第1个规律，余数为0→ 周期内最后1个规律）。 验证：用前几个已知数验证规律（如第3个数按规律计算是否与实际一致），正确后再判断第n个数。 【例题6】．（2024-2025•梁溪区校级月考）有一组数为：﹣1，，，…找规律得到第7个数是（　　） A． B． C．﹣7 D．7 【变式题6-1】．（2024-2025•岐山县校级期中）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数， ；；；；　 　 ；　 　 ；…；第2008个数是　 　 ． 【变式题6-2】．（2024-2025•金堂县校级期中）观察下列数的规律，填上合适的数：1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36，49，　 　 ． 24．（2024-2025•黄石期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是　 　 ；数﹣201是第　 　 行从左边数第　 　 个数． 【题型7】含参数的有理数判断（培优） 1. 知识点 参数的含义：题目中未明确给出的数（如“a为整数”“为有理数”），需根据有理数的定义（整数和分数统称有理数）确定参数的取值范围。 常见参数条件：如“a为整数，且为负分数”→ a为负整数且a不能被3整除（否则为负整数，不是分数）；“a为有理数，且a+1为正整数”→ a为正整数减1（即a为非负整数）。 2. 考点 给定参数条件（如“a为整数，且-3<a≤ 2”），求a的所有可能值。 给定含参数的表达式（如“为正分数”），求整数m的可能值。 3. 易错点 忽略参数的“整数/分数”限制：如“为分数”，易认为a为任意整数，忽略a需为奇数（若a为偶数，为整数，不是分数）。 范围边界判断错误：如“-3<a≤ 2”，易漏掉“a=2”或多算“a=-3”，忽略“<”与“≤ ”的区别。 混淆“正分数”与“正整数”：如“为正分数”，易认为“m-1为正整数”，忽略“m-1需为正分数对应的分子（即正整数且不能被2整除）”。 4. 解题技巧 列条件：将参数的所有限制条件列出（如“a为整数”“为负分数”→ ①a为整数；②；③不是整数）。 解条件：逐一解每个条件（如②→ a<0；③→ a不能被2整除），再求所有条件的交集（如a为负奇数）。 验证：将求得的参数值代入原表达式，验证是否符合要求（如a=-1，，是负分数，符合条件）。 【例题7】．（2024-2025•广水市校级模拟）如果m是一个有理数，那么﹣m是（　　） A．正数 B．0 C．负数 D．以上三者情况都有可能 【变式7-1】．（2024-2025•顺义区期末）若a是有理数，则下列叙述正确的是（　　） A．a一定是正数 B．a一定是负数 C．a可能是正数、负数、0 D．﹣a一定是负数 【变式题7-2】．（2024-2025•海安市月考）若a为正整数，在﹣a与a之间有2019个整数（不包括﹣a与a），问a的值是 　 　 ． 【变式题7-33】．如果m为有理数且﹣m＞m，那么m为（　　） A．0到1之间的数 B．﹣1到0之间的数 C．所有负数 D．小于﹣1的负数 【题型8】与有理数相关的新定义（培优） 【例题8】．（2024-2025•新洲区校级期末）定义：若有理数a，b满足等式a+b＝ab+2，则称a，b是“准对称有理数对”，记作（a，b）．如：数对（2，0），都是“准对称有理数对”． （1）判断数对是否为“准对称有理数对”，并说明理由； （2）是否存在a，b均为负数，使（a，b）是“准对称有理数对”的情况，若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 【变式题8-1】．（2024-2025•西城区校级期中）观察下列两个等式： ，给出定义如下： 我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b）． 如：数对，，都是“同心有理数对” （1）数对（﹣2，1），是“同心有理数对”的有 　 　 ． （2）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　 　 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）． 【变式题8-2】．（2024-2025•榕江县校级期中）观察下列两个等式：．给出如下定义：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对是否“为共生有理数对”，并说明理由． （2）若是“共生有理数对”，则（2n，﹣2m），是“共生有理数对”吗？请说明理由． 【变式题8-3】．（2024-2025•东海县期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a、b为“差积连续有理数对”，记为（a，b），如数对，，都是“差积连续有理数对”． （1）判断数对（﹣2，3）是否为“差积连续有理数对”，并说明理由； （2）若（m，﹣n）是“差积连续有理数对”，则当时，（3n，﹣3m）是“差积连续有理数对”吗？请说明理由． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数； ②0是非负有理数； ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各数：﹣0.1，0.121121112…，π，，3.14，﹣13%，0，其中有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列说法正确的是（　　） ①在+3和+4之间没有正数； ②在0与﹣1之间没有负数； ③在+1和+2之间有很多个正分数； ④在0.1和0.2之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 4．下列各数中不是有理数的是（　　） A．0 B．﹣1 C．π D． 5．在﹣1，，10%，﹣2.45，中，分数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共5小题） 6．在中，有理数是 　 　 ． 7．最大的负整数是　 　 ． 8．把下列各数分别填入相应的集合：7，﹣5，﹣0.3，，0，，8.6，，151，﹣32． 负数集合：{　 　 …}； 正整数集合：{　 　 …}； 分数集合：{　 　 …}． 9．把下列各数填在相应的括号内：，0，﹣30，，+20，π，0.3，正有理数集合：{ 　 　 …}． 10．将下列各数分别填在相应的横线上：﹣6，+3，﹣0.2，，0，，﹣11，2.4，72．负分数：　 　 ；非负整数：　 　 ． 三．解答题（共4小题） 11．将下列各数填入相应的集合圈内： ，﹣7，+2.6，﹣100，，9.2，0，1，0.． 12．“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（只填序号）： ①；②+0.007；③3；④0；⑤0.；⑥10；⑦﹣44；⑧+101． 运动会检录窗口 非负整数 正分数 负整数 负分数 　 　 　 　 　 　 　 　 13．把下列各数填入对应的括号内 ﹣12，． 负数：{　 　 }； 整数：{　 　 }； 分数：{　 　 }． 14．我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；例如，所以数对为“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如，所以数对为“差积等数对”． （1）下列数对中，“和积等数对”的是 　 　 ；“差积等数对”的是 　 　 ．（填序号即可） ①，②，③． （2）若数对（2（x+1），﹣3）是“差积等数对”，求x的值． （3）是否存在非零有理数m，n，使数对（3m，2）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1有理数的概念 【题型1】有理数的识别与判断 1. 知识点 有理数的定义：整数和分数统称为有理数，任何有理数都可以表示为（、为整数且）的形式。 有理数的范围：包括正整数、0、负整数（整数部分）和正分数、负分数（分数部分），其中有限小数和无限循环小数属于分数，因此也属于有理数；无限不循环小数（如、）不属于有理数。 2. 考点 判断单个或多个数是否为有理数（如给定、、等，选出有理数）。 区分有理数与非有理数（核心是排除无限不循环小数）。 3. 易错点 误将无限不循环小数（如、）归为有理数，忽略其无法表示为的本质。 漏判有限小数（如）和无限循环小数（如） ，错误认为它们不属于分数（进而不属于有理数）。 混淆“0”的归属：误将0排除在有理数外，或认为0是正数/负数。 4. 解题技巧 第一步：先筛选出明显的非有理数（即无限不循环小数），直接排除。 第二步：对剩余数分类判断：若为整数（正整数、0、负整数），直接归为有理数；若为小数，判断是否为有限小数或无限循环小数，是则归为有理数。 第三步：特殊验证“0”，确认其属于整数且为有理数。 【例题1】．（2024-2025•隆阳区期末）下列各数：﹣0.1，0.121121112…，π，，3.14，﹣13%，0，其中有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据整数和分数统称为有理数，判定每个数是否是有理数即可． 【解答】解：﹣0.1，0.121121112…，π，，3.14，﹣13%，0，其中有理数有﹣0.1，，，﹣13%，0共5个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•静海区校级期末）下列7个数：，1.010010001，，0，﹣2π，﹣3.141441444…（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，对各个数逐一判断即可． 【解答】解：，1.010010001，，0，都是有理数，共5个， 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数，解题的关键是掌握有理数和无理数的概念． 【变式题1-2】．（2024-2025•马边县期末）下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数； ②0是非负有理数； ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义和分类进行解答即可． 【解答】解：①有限小数和循环小数都是有理数，正确； ②0是非负有理数，正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，故错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，正确． 所以正确的个数是3个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数，熟练掌握有理数的定义和分类是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•北林区校级月考）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数分正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正有理数、零、分数 【答案】C 【分析】利用有理数的分类和概念解答． 【解答】解：∵有理数分正有理数，负有理数，0；整数分为正整数，负整数，0；有理数是可以写成分数形式的数； ∴选项ABD错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义和分类． 【题型2】有理数的分类 1. 知识点 有理数按定义分类：核心是分为整数和分数，两类无重叠且覆盖所有有理数；其中整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数（有限小数和无限循环小数均属于分数）。 有理数按正负分类：核心是分为正有理数、0、负有理数，0单独成类（既不是正数也不是负数）；其中正有理数包括正整数、正分数，负有理数包括负整数、负分数。 分类三原则：不重合（各类别无交叉，如一个数不能同时是整数和分数）、无遗漏（所有有理数均需归类，如不能漏掉0）、标准统一（同一分类过程中仅用一种标准，不可同时按“定义”和“正负”分类）。 2. 考点 给定一组数（如、、、、），按“定义”（整数/分数）或“正负”（正有理数/0/负有理数）标准分类。 补全不完整的分类表（如按定义分类时，整数集合漏填0，分数集合漏填负分数，补全空缺）。 识别错误的分类方式（如将有理数分为“正有理数、负有理数”，遗漏0；或同时按定义和正负分类，如“整数、正分数、负有理数”），并改正。 3. 易错点 分类时漏填“0”：按定义分类时将0排除在整数外，按正负分类时将0归入正有理数或负有理数。 混淆分类标准：同一分类中混用“定义”和“正负”（如将“正整数”直接归为“正有理数”，未先按定义归入“整数”）。 误判分数范围：漏将有限小数（如）、无限循环小数（如） 归入分数，仅认为“形式的数才是分数”；或误将整数（如）归入分数。 补全/纠错时漏数：补全分类表时漏填某类数（如负分数），纠错时未发现“分类无遗漏”原则（如漏掉0）。 4. 解题技巧 分类步骤：①先确定分类标准（定义或正负）；②按标准拆解类别（如按定义拆为“整数→ 正整数、0、负整数”“分数→ 正分数、负分数”）；③逐一将数归入对应类别，避免交叉。 补全技巧：①先检查类别是否完整（如按正负分类，是否有“正有理数、0、负有理数”三类）；②再检查每类是否漏数（如整数类是否有0，分数类是否有负分数）；③最后补充空缺（如整数类漏0则补0，分数类漏则补）。 纠错技巧：①先查“标准是否统一”（如是否同时出现“整数”和“正分数”，标准混乱则需统一为定义或正负）；②再查“是否重合/遗漏”（如无0则补0，类别交叉则拆分）；③最后按正确标准重新分类，验证是否符合三原则。 【例题2】．（2024-2025•大武口区期末）把下列各数分别填在相应的集合内． 2024，﹣1，﹣2.3，，3.1415926，0，，5%，﹣90， （1）正有理数集合：{ 　2024，，3.1415926，5%　 …}； （2）负分数集合：{ 　　 …}； （3）整数集合：{ 　2024，﹣1，0，﹣90　 …}． 【答案】（1）2024，，3.1415926，5%； （2）； （3）2024，﹣1，0，﹣90． 【分析】根据有理数的分类即可求解． 【解答】解：2024，﹣1，﹣2.3，，3.1415926，0，，5%，﹣90，． （1）正有理数：2024，，3.1415926，5%， 故答案为：2024，，3.1415926，5%； （2）负分数：， 故答案为：； （3）整数：2024，﹣1，0，﹣90． 故答案为：2024，﹣1，0，﹣90． 【点评】本题主要考查了有理数的分类，有理数包括整数和分数，也可分为正有理数、负有理数和0．熟练掌握有理数的各种分类依据是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•灵宝市期末）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，，，﹣0.75，0，30%，π． 负数集合：{ 　﹣1，，﹣0.75　 …}； 整数集合；{ 　3，﹣1，0　 …}； 正有理数集合：（ 　3，，30%　 …）． 【答案】﹣1，，﹣0.75；3，﹣1，0；3，，30%． 【分析】根据负数、整数、正有理数的定义判断即可． 【解答】解：负数集合：{﹣1，，﹣0.75…}； 整数集合；{3，﹣1，0…}； 正有理数集合：（3，，30%…）． 故答案为：﹣1，，﹣0.75；3，﹣1，0；3，，30%． 【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•黔东南州期末）把下列各数填在相应的大括号内： 5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159，，0.1010010001……（每两个1之间逐次增加一个0）． 正数集：{　5，1.4，，0.1010010001　 …}； 非负整数集：{　5，0　 …}； 负分数集：{　﹣3.14159，，　 …}； 有理数集：{　5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159　 …}． 【答案】5，1.4，，0.1010010001；5，0；﹣3.14159，，；5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159． 【分析】根据正数，非负整数，负分数，有理数的概念逐一填空即可． 【解答】解：正数集：{5，1.4，，0.1010010001………}； 非负整数集：{5，0…}； 负分数集：{﹣3.14159，，}； 有理数集：{ 5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159…}． 故答案为：5，1.4，，0.1010010001；5，0；﹣3.14159，，；5，﹣2，1.4，，，0，﹣3.14159． 【点评】本题考查了有理数，熟悉有理数的分类是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•永川区校级月考）把下列各数填入相应的大括号里： ． 整数集合：{ 　﹣2，0，2022　 }； 正数集合：{ 　5.2，，，2022　 }； 负分数集合：{ 　，，﹣0.3　 }； 非负有理数集合：{ 　5.2，0，，，2022　 }． 【答案】﹣2，0，2022； 5.2，，，2022； ，，﹣0.3； 5.2，0，，，2022． 【分析】根据有理数的分类方法进行解答即可． 【解答】解：整数集合：{﹣2，0，2022}； 正数集合：{5.2，，，2022}； 负分数集合：{，，﹣0.3}； 非负有理数集合：{5.2，0，，，2022}； 故答案为：﹣2，0，2022； 5.2，，，2022； ，，﹣0.3； 5.2，0，，，2022． 【点评】此题考查了有理数的分类．熟练掌握有理数的分类是关键． 【题型3】0的意义与属性辨析 1. 知识点 0的数学属性：0是整数、有理数、自然数（人教版定义中，自然数包括0和正整数） ，但0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。 0的实际意义：可表示“没有”（如“0个苹果”），也可表示“基准”（如“0 {}^\circ C ”表示温度基准，“海拔0米”表示高度基准）。 2. 考点 判断关于0的说法是否正确（如“0是正数”“0是自然数”“0不是有理数”）。 结合实际情境理解0的意义（如数轴上0的位置、记账中0的含义）。 3. 易错点 错误认为“0是正数或负数”，忽略0的非正非负属性。 混淆自然数的定义：旧教材中自然数不包括0，新人教版中自然数包括0，易沿用旧概念导致错误。 误将“0归为分数”或“0不是有理数”，忽略0是整数（整数属于有理数）的本质。 4. 解题技巧 牢记0的核心属性：“三是三非”——是整数、是有理数、是自然数；非正数、非负数、非分数。 遇到关于0的说法时，逐一对照“三是三非”，不符合的直接判定为错误。 结合实际情境时，明确0表示“基准”而非“没有”（如“0℃不是没有温度”）。 【例题3】．（2024-2025•汉阳区期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D 【分析】根据正数负数有理数的含义逐个判断即可求解， 【解答】解：A.0不止表示没有的意思，它还常用来表示某些量的基准数，是“正数”与“负数”的分界，正确，不符合题意； B.0既不是正数，也不是负数，这个说法正确，不符合题意； C.0是整数，也是最小的自然数，这个说法正确，不符合题意； D.0是整数，能写成分数的形式，是有理数，这个说法错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正数负数有理数的含义． 【变式题3-1】．（2024-2025•徐水区期末）关于“0”的说法，正确的是（　　） A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数 C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数 【答案】B 【分析】利用0的性质解答即可． 【解答】解：0是整数，属于有理数，但0既不是正数，也不是负数，故选项B符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数的意义，正确掌握0的属性是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•梁溪区校级期中）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．既不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【答案】B 【分析】根据正数负数有理数的含义逐个判断即可求解， 【解答】解：（1）0既不是正数，也不是负数，这个说法正确， （2）0不是有理数，是整数，这个说法不正确，0是有理数， （3）0是整数，也是有理数，这个说法正确， （4）0不是负数，是有理数，这个说法正确， 故选：B． 【点评】本题考查了正数负数有理数的含义． 【变式题3-3】．（2024-2025•平昌县校级月考）下列关于“0”的说法正确的有（　　） ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据0的意义解答． 【解答】解：0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故选：C． 【点评】此题考查0的意义，正确理解0的意义是解题的关键． 【题型4】有理数与集合图结合（提升） 1. 知识点 集合图的含义：用圆圈表示集合，重叠部分表示两集合的交集（同时属于两个集合的元素），整个图形表示两集合的并集（属于任意一个集合的元素）。 常见集合组合：如“整数集合”与“负数集合”的交集是“负整数集合”，并集是“负整数、正整数、0”；“正数集合”与“分数集合”的交集是“正分数集合”。 2. 考点 给定集合图（如整数集合与负数集合的重叠区域标注为K），选出可填入K区域的数（如、等负整数）。 根据集合图，描述某区域表示的集合（如两集合交集的含义）。 3. 易错点 混淆“交集”与“并集”：误将两集合的并集当作交集（如将“整数集合或负数集合”的元素填入交集区域）。 忽略集合的定义范围：如“正数集合”与“整数集合”的交集是“正整数”，易误填入正分数（如）。 漏判0的归属：如“整数集合”与“非负集合”的交集包括0和正整数，易漏掉0。 4. 解题技巧 明确集合图中各区域的含义：重叠部分→ 交集（同时满足两集合条件），非重叠部分→ 仅满足单个集合条件。 列条件：将两个集合的条件列出（如“整数集合”：正整数、0、负整数；“负数集合”：负整数、负分数），找交集即找“同时满足两个条件的数”（如负整数）。 验证：将候选数代入两集合条件，均满足则属于交集，否则不属于。 【例题4】．（2024-2025•肇源县月考）把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 ，0.618，﹣3.14，260，﹣2001，，﹣1，﹣53%，0． 【答案】见解析． 【分析】根据正数，负数，整数以及分数的定义进行判断即可． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查的知识点是有理数的分类，解题关键是熟练掌握有理数的分类． 【变式题4-1】．（2024-2025•内乡县校级月考）将下列各数填入相应的集合圈内： ，﹣7，+2.6，﹣100，，9.2，0，1，0.． 【答案】见解答． 【分析】根据负数、整数、整数的概念，即可获得答案． 【解答】解：如图所示，即为所求． 【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•江安县期中）下面两个圈分别表示正数集和整数集，那么这两个圈的重叠部分表示 　正整　 数的集合．请写出9个数填入这两个圈中，使其中每个圈中各有6个数． 【答案】正整；图见解析． 【分析】正数集包括正分数和正整数，整数集包括负整数和正整数，根据正数和整数的概念即可求得答案． 【解答】解：∵正数集包括正分数和正整数，整数集包括负整数和正整数；它们的公共集是正整数， 故答案为：正整； ∴正数集如：，… 整数集如：﹣3，﹣5，﹣7，1，2，3，… 它们的相交部分就是正整数集：1，2，3 … 下图： 【点评】本题考查了正数集、整数集，熟练掌握正数集、整数集的概念是解本题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•杞县期中）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里； 2016，﹣15%，﹣0.618，7，﹣9，，0，3.14，﹣72 （2）图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ （3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据负数集和整数集填表即可， （2）根据负分数的定义即可得出答案； （3）先找出这组数据中的最大数和最小数，再把这两个数进行相加即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意如图： （2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合； （3）∵最大数是2016，最小数是﹣72， ∴最大的数与最小的数之和2016+（﹣72）＝1944． 【点评】此题考查了有理数的分类、大小比较、有理数的加法计算，认真掌握负数、分数、负整数的定义与特点是解题的关键． 【题型5】带“非”字的有理数识别 （提升） 1. 知识点 “非”的含义：在数学中表示“不”，因此“非X数”即“不满足X属性的数”，需明确其包含的范围： 非负整数：正整数和0（不小于0的整数）； 非正整数：负整数和0（不大于0的整数）； 非负有理数：正有理数和0（不小于0的有理数）； 非正有理数：负有理数和0（不大于0的有理数）。 2. 考点 给定一组数（如、、、、），选出其中的非负整数、非正有理数等。 判断某类“非”字有理数的构成（如“非负整数是否包括0”）。 3. 易错点 漏将“0”归入“非”字有理数集合（如非负整数中漏掉0，仅认为是正整数）。 混淆“非负”与“正”、“非正”与“负”：如将非负有理数等同于正有理数，忽略0的存在。 错误扩大范围：如将非负整数归入非负有理数时，误将正分数也纳入非负整数（如认为是非负整数）。 4. 解题技巧 拆解“非”字概念：先确定“X数”的范围，再补充“0”（若0不满足X属性），得到“非X数”的范围（如“负整数”是小于0的整数，“非负整数”即“不是负整数的整数”，包括正整数和0）。 分两步判断：第一步判断是否满足“非X”的大范围（如非负），第二步判断是否满足“数的类型”（如整数），两步均满足才符合要求。 举例验证：如判断“0是否是非负整数”，先看0非负（是），再看0是整数（是），因此0属于非负整数。 【例题5】．（2024-2025•永川区校级月考）下列各数：5，，﹣0.2，0，其中是非负数的有（　　） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】根据非负数包括0和正数解答即可． 【解答】解：在5，，﹣0.2，0中，非负数的有5，0.56，，+3，0，共5个． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是了解正数和0是非负数． 【变式题5-1】．（2024-2025•伍家岗区月考）在﹣8，2014，，0，﹣5，+13，，﹣7.2中，非负整数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据非负整数的定义判断即可． 【解答】解：在﹣8，2014，，0，﹣5，+13，，﹣7.2中，非负整数有2014，0，+13，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的知识，掌握非负整数的定义是解答本题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•官渡区校级期中）下列有理数中：﹣4，2.6，，﹣3.5，10，﹣1，0，，非正数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据非正数的定义找到符合题意的数，即可得出结果． 【解答】解：根据非正数的定义可知： 非正数有：﹣4，﹣3.5，﹣1，0，，共5个数， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握该知识点是关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•陵城区期末）请在〇中填入最小的正整数，在△中填入最小的非负数，在□中填入大于﹣5且小于﹣3的整数，并将结果填在横线上．〇+（△+□）＝（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：原式＝1+（0﹣4）＝﹣3， 故选：C． 【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 【题型6】有理数规律探究之数的排列（提升） 1. 知识点 有理数排列的常见规律： 正负规律：如“正、负、正、负…”（周期为2）；“正、正、负、负…”（周期为4）。 数值规律：如“1、-2、3、-4、5、-6…”（绝对值依次加1，正负交替）；“、、、…”（分母依次加1，正负交替）。 规律探究步骤：先找“周期”（正负周期、数值周期），再根据周期判断某位置的数的属性（正负、类别）。 2. 考点 给定有理数排列（如“2、-3、4、-5、6、… ”），判断第n个数（如第2024个数）是正数还是负数，属于哪类有理数（如负整数、正整数）。 补充排列中的空缺数（如“1、-、___、-、”，补充“”）。 3. 易错点 找不到规律的“周期”：如排列“1、-2、-3、4、-5、-6、7、… ”，正负周期为3（正、负、负），易误判为周期2。 忽略“起始位置”：如第1个数为正数，周期为2，则奇数位置为正，偶数位置为负，易颠倒奇偶对应的正负。 混淆“数值规律”与“正负规律”：如仅关注数值依次加1，忽略正负交替，导致判断错误。 4. 解题技巧 列表找周期：将前10个数的“位置、数值、正负、类别”列成表格，观察正负和数值的重复规律，确定周期（如周期为2、3、4等）。 用周期计算：若周期为k，用“位置数n÷ k”，根据余数判断（如余数为1→ 周期内第1个规律，余数为0→ 周期内最后1个规律）。 验证：用前几个已知数验证规律（如第3个数按规律计算是否与实际一致），正确后再判断第n个数。 【例题6】．（2024-2025•梁溪区校级月考）有一组数为：﹣1，，，…找规律得到第7个数是（　　） A． B． C．﹣7 D．7 【答案】A 【分析】通过观察，按照排列顺序，第奇数个都是负数，偶数个都是正数，分母就是它们的序数，分子都是1． 【解答】解：因为第7个数，7是奇数，所以应该是负数，即．故选A． 【点评】本题是信息给予题，认清规律是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•岐山县校级期中）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数， ；；；；　　 ；　　 ；…；第2008个数是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先观察总结规律，然后代入规律求解即可． 【解答】解：根据题意，分母是从大到小的自然数，分子都是1；奇数个是负数，偶数个是正数； 所以第5个为；第6个为；第2008个为． 故应填，，． 【点评】能从题中信息正确总结出规律，是解决此类题目的关键，也是对学生的考查重点． 【变式题6-2】．（2024-2025•金堂县校级期中）观察下列数的规律，填上合适的数：1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36，49，　﹣64　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先观察总结规律，再根据规律求解． 【解答】解：根据题意，第几个数的绝对值就是序数几的平方，且序数是奇数时是正数，序数是偶数时是负数；要填的是第八个，所以应该是﹣82＝﹣64；故应填﹣64． 【点评】解此类问题要注意观察总结规律，提高综合归纳的能力． 【变式题6-3】．（2024-2025•黄石期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是　90　 ；数﹣201是第　15　 行从左边数第　5　 个数． 【答案】见试题解答内容 【分析】先从排列中总结规律，再利用规律代入求解． 【解答】解：根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号； 如第四行最末的数字是42＝16，第9行最后的数字是﹣81， ∴第10行从左边数第9个数是81+9＝90， ∵﹣201＝﹣（142+5）， ∴是第15行从左边数第5个数． 故应填：90；15；5． 【点评】主要考查了学生的综合数学素质，要求能从所给数据中找到规律并总结规律，会利用所找到的规律进行解题． 【题型7】含参数的有理数判断（培优） 1. 知识点 参数的含义：题目中未明确给出的数（如“a为整数”“为有理数”），需根据有理数的定义（整数和分数统称有理数）确定参数的取值范围。 常见参数条件：如“a为整数，且为负分数”→ a为负整数且a不能被3整除（否则为负整数，不是分数）；“a为有理数，且a+1为正整数”→ a为正整数减1（即a为非负整数）。 2. 考点 给定参数条件（如“a为整数，且-3<a≤ 2”），求a的所有可能值。 给定含参数的表达式（如“为正分数”），求整数m的可能值。 3. 易错点 忽略参数的“整数/分数”限制：如“为分数”，易认为a为任意整数，忽略a需为奇数（若a为偶数，为整数，不是分数）。 范围边界判断错误：如“-3<a≤ 2”，易漏掉“a=2”或多算“a=-3”，忽略“<”与“≤ ”的区别。 混淆“正分数”与“正整数”：如“为正分数”，易认为“m-1为正整数”，忽略“m-1需为正分数对应的分子（即正整数且不能被2整除）”。 4. 解题技巧 列条件：将参数的所有限制条件列出（如“a为整数”“为负分数”→ ①a为整数；②；③不是整数）。 解条件：逐一解每个条件（如②→ a<0；③→ a不能被2整除），再求所有条件的交集（如a为负奇数）。 验证：将求得的参数值代入原表达式，验证是否符合要求（如a=-1，，是负分数，符合条件）。 【例题7】．（2024-2025•广水市校级模拟）如果m是一个有理数，那么﹣m是（　　） A．正数 B．0 C．负数 D．以上三者情况都有可能 【答案】D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：如果m是一个有理数，那么﹣m是正数、零、负数， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数，利用了相反数的定义． 【变式题7-1】．（2024-2025•顺义区期末）若a是有理数，则下列叙述正确的是（　　） A．a一定是正数 B．a一定是负数 C．a可能是正数、负数、0 D．﹣a一定是负数 【答案】C 【分析】根据字母表示数的任意性即可求解． 【解答】解：若a是有理数，则a可能是正数、负数、0． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数，注意若a是有理数时，a不一定是正数，﹣a不一定是负数． 【变式题7-2】．（2024-2025•海安市月考）若a为正整数，在﹣a与a之间有2019个整数（不包括﹣a与a），问a的值是 　1010　 ． 【答案】1010． 【分析】若a为正整数，在﹣a和a之间（不包括﹣a与a）的整数有2a﹣1个，代入2019即可求出a的值． 【解答】解：若a为正整数，在﹣a和a之间（不包括﹣a与a）的整数有2a﹣1个， ∴2a﹣1＝2019， 解得a＝1010， 故答案为：1010． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度不大，关键是求出在﹣a与a之间（不包括﹣a和a）的整数有2a﹣1个． 【变式题7-3】．如果m为有理数且﹣m＞m，那么m为（　　） A．0到1之间的数 B．﹣1到0之间的数 C．所有负数 D．小于﹣1的负数 【答案】C 【分析】根据正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，可选得结果为C． 【解答】解：设m是正数， ∵正数的相反数是负数， ∴此时m＞﹣m； 设m＝0， ∵0的相反数是0， ∴此时﹣m＝m； 设m是负数， ∵负数的相反数是正数， ∴此时﹣m＞m， 故选：C． 【点评】此题考查了相反数的性质应用，关键是明确正负数及0的相反数． 【题型8】与有理数相关的新定义（培优） 【例题8】．（2024-2025•新洲区校级期末）定义：若有理数a，b满足等式a+b＝ab+2，则称a，b是“准对称有理数对”，记作（a，b）．如：数对（2，0），都是“准对称有理数对”． （1）判断数对是否为“准对称有理数对”，并说明理由； （2）是否存在a，b均为负数，使（a，b）是“准对称有理数对”的情况，若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）是，见解析； （2）不存在，见解析． 【分析】（1）根据“准对称有理数对”的定义即可判断； （2）由a，b均为负数可得ab＞0，ab+2＞0．又由a+b＜0，可得a+b＜0＜ab+2，再进行判断即可． 【解答】解：（1）∵，，， ∴是“准对称有理数对”． （2）∵a，b均为负数， ∴ab＞0，ab+2＞0． ∵a+b＜0， ∴a+b＜0＜ab+2， 故不存在a，b均为负数，使（a，b）是“准对称有理数对”的情况． 【点评】本题考查有理数的混合运算、整式的加减求值、“准对称有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用新定义解决问题． 【变式题8-1】．（2024-2025•西城区校级期中）观察下列两个等式： ，给出定义如下： 我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b）． 如：数对，，都是“同心有理数对” （1）数对（﹣2，1），是“同心有理数对”的有 　（3，）　 ． （2）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　是　 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）． 【答案】（1）（3，）； （2）是． 【分析】（1）根据：使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，判断出数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是哪个即可；（2）根据（m，n）是“同心有理数对”，可得：m﹣n＝2mn﹣1，据此判断出（﹣n，﹣m）是不是同心有理数对即可． 【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，2×（﹣2）×1﹣1＝﹣5，﹣3≠﹣5， ∴数对（﹣2，1）不是“同心有理数对”； ∵3，2×31， ∴32×31， ∴（3，）是“同心有理数对”； 故答案为：（3，）； （2）∵（m，n）是“同心有理数对”， ∴m﹣n＝2mn﹣1， ∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝m﹣n＝2mn﹣1， ∴（﹣n，﹣m）是“同心有理数对”． 故答案为：是． 【点评】此题主要考查了同心有理数对的含义和判断，掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•榕江县校级期中）观察下列两个等式：．给出如下定义：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对是否“为共生有理数对”，并说明理由． （2）若是“共生有理数对”，则（2n，﹣2m），是“共生有理数对”吗？请说明理由． 【答案】（1）是“共生有理数对”．理由见解析； （2）（2n，﹣2m）不是“共生有理数对”，理由见解析． 【分析】（1）由，可得，进而可知是“共生有理数对”； （2）由是“共生有理数对”，可得m﹣（﹣n）＝﹣mn+1，即m+n＝﹣mn+1，依题意，得2n﹣（﹣2m）＝2n+2m＝2（m+n），2n×（﹣2m）+1＝﹣4mn+1，则2（m+n）＝2（﹣mn+1）＝﹣2mn+2，由，可得﹣2mn+2≠﹣4mn+1，进而可知（2n，﹣2m）不是“共生有理数对”． 【解答】解：（1）是．理由如下： ∵， ∴， ∴是“共生有理数对”； （2）不是，理由如下： ∵是“共生有理数对”， ∴m﹣（﹣n）＝﹣mn+1，即m+n＝﹣mn+1， 依题意，得2n﹣（﹣2m）＝2n+2m＝2（m+n），2n×（﹣2m）+1＝﹣4mn+1， ∴2（m+n）＝2（﹣mn+1）＝﹣2mn+2， ∵， ∴﹣2mn+2≠﹣4mn+1， ∴（2n，﹣2m）不是“共生有理数对”． 【点评】本题考查了有理数的加减法，有理数的乘法，整式的加减运算等知识．理解题意，熟练掌握有理数的加减法，有理数的乘法，整式的加减运算是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•东海县期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a、b为“差积连续有理数对”，记为（a，b），如数对，，都是“差积连续有理数对”． （1）判断数对（﹣2，3）是否为“差积连续有理数对”，并说明理由； （2）若（m，﹣n）是“差积连续有理数对”，则当时，（3n，﹣3m）是“差积连续有理数对”吗？请说明理由． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析． 【分析】（1）根据定义使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a、b为“差积连续有理数对”，代入即可． （2）首先根据条件算出m+n＝﹣mn+1，再根据定义算出左边和右边，让他们相等，得出mn，，和已知产生矛盾，所以不成立． 【解答】（1）解：是， 理由如下： ∵﹣2﹣3＝﹣5，﹣2×3+1＝﹣5， ∴满足a﹣b＝ab+1， ∴数对（﹣2，3）是“差积连续有理数对”． （2）解：不是， 理由如下： ∵（m，﹣n）是“差积连续有理数对”， ∴m﹣（﹣n）＝﹣mn+1， 即：m+n＝﹣mn+1， ∵3n﹣（﹣3m）＝3n+3m＝3（﹣mn+1）＝﹣3mn+3， 3n×（﹣3m）+1）＝﹣9mn+3， 若﹣3mn+3＝﹣9mn+3，则mn， ∵mn， ∴（3n，﹣3m）不是“差积连续有理数对”． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C C A C A 一．选择题（共5小题） 1．下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数； ②0是非负有理数； ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义和分类进行解答即可． 【解答】解：①有限小数和循环小数都是有理数，正确； ②0是非负有理数，正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，故错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，正确． 所以正确的个数是3个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数，熟练掌握有理数的定义和分类是解题的关键． 2．下列各数：﹣0.1，0.121121112…，π，，3.14，﹣13%，0，其中有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据整数和分数统称为有理数，判定每个数是否是有理数即可． 【解答】解：﹣0.1，0.121121112…，π，，3.14，﹣13%，0，其中有理数有﹣0.1，，，﹣13%，0共5个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是关键． 3．下列说法正确的是（　　） ①在+3和+4之间没有正数； ②在0与﹣1之间没有负数； ③在+1和+2之间有很多个正分数； ④在0.1和0.2之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【分析】根据题意利用正负数及正分数定义逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【解答】解：∵在+3和+4之间有正数，例如+3.5，+3.6，3.7…， ∴①不正确，不符合题意， ∵在0与﹣1之间有负数，例如﹣0.5， ∴②不正确，不符合题意， ∵在+1和+2之间有很多个正分数， ∴③正确，符合题意， ∵在0.1和0.2之间有正分数，例如0.15， ∴④不正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查正数负数定义，正分数定义等，解题的关键是熟练运用课本知识点． 4．下列各数中不是有理数的是（　　） A．0 B．﹣1 C．π D． 【答案】C 【分析】有理数：有理数是整数和分数的统称，据此进行判断即可． 【解答】解：0和﹣1是整数，是分数，都是有理数， π不是有理数， 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．在﹣1，，10%，﹣2.45，中，分数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据分数的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 所给各数中的分数有：，10%，﹣2.45，，共4个． 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数，熟知分数的定义是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．在中，有理数是 　　 ． 【答案】． 【分析】根据有理数包括整数和分数解答即可． 【解答】解：在中，有理数是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的定义，掌握整数和分数统称有理数是解题的关键． 7．最大的负整数是　﹣1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的性质去做即可． 【解答】解：最大的负整数是﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了有理数，最大的负整数是﹣1． 8．把下列各数分别填入相应的集合：7，﹣5，﹣0.3，，0，，8.6，，151，﹣32． 负数集合：{　　 …}； 正整数集合：{　7，151　 …}； 分数集合：{　　 …}． 【答案】；7，151；． 【分析】根据负数、正整数及分数的定义进行分类即可． 【解答】解：由题知， 因为负数小于0， 所以负数集合为：； 因为正整数大于0，且为整数， 所以正整数集合为：{7，151•••}； 因为小数和百分数都是分数， 所以分数集合为：； 故答案为：；7，151；． 【点评】本题主要考查了有理数，熟知负数、正整数及分数的定义是解题的关键． 9．把下列各数填在相应的括号内：，0，﹣30，，+20，π，0.3，正有理数集合：{ 　，+20，0.3　 …}． 【答案】，+20，0.3． 【分析】根据正有理数的意义，即可解答． 【解答】解：正有理数集合：{，+20，0.3…}， 故答案为：，+20，0.3． 【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 10．将下列各数分别填在相应的横线上：﹣6，+3，﹣0.2，，0，，﹣11，2.4，72．负分数：　﹣0.2，　 ；非负整数：　+3，0，72　 ． 【答案】﹣0.2，；+3，0，72． 【分析】根据有理数的分类及定义即可求得答案． 【解答】解：负分数：﹣0.2，；非负整数：+3，0，72． 故答案为：﹣0.2，；+3，0，72． 【点评】本题考查有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 11．将下列各数填入相应的集合圈内： ，﹣7，+2.6，﹣100，，9.2，0，1，0.． 【答案】见解答． 【分析】根据负数、整数、整数的概念，即可获得答案． 【解答】解：如图所示，即为所求． 【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 12．“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（只填序号）： ①；②+0.007；③3；④0；⑤0.；⑥10；⑦﹣44；⑧+101． 运动会检录窗口 非负整数 正分数 负整数 负分数 　④⑥⑧　 　②③⑤　 　⑦　 　①　 【答案】①②③④⑤⑥⑧； ②③⑤； ⑦； ①． 【分析】根据非负整数、正分数、负整数和负分数的概念区分即可． 【解答】解：非负整数：①；②+0.007；③3；④0；⑤0.；⑥10；⑧+101． 正分数：②+0.007；③3；⑤0.； 负整数：⑦﹣44； 负分数：①． 故答案为： ①②③④⑤⑥⑧； ②③⑤； ⑦； ①． 【点评】本题考查有理数，准确掌握有理数的分类是关键． 13．把下列各数填入对应的括号内 ﹣12，． 负数：{　﹣12，﹣10.5，　 }； 整数：{　﹣12，26，0　 }； 分数：{　，﹣10.5，，　 }． 【答案】﹣12，﹣10.5，；﹣12，26，0；，﹣10.5，，． 【分析】根据负数、整数、分数的定义求解即可． 【解答】解：负数：{﹣12，﹣10.5， }； 整数：{﹣12，26，0 }； 分数：{，﹣10.5，，}． 故答案为：﹣12，﹣10.5，；﹣12，26，0；，﹣10.5，，． 【点评】本题主要考查了有理数分类，理解并掌握相关概念是解题关键． 14．我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；例如，所以数对为“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如，所以数对为“差积等数对”． （1）下列数对中，“和积等数对”的是 　②　 ；“差积等数对”的是 　①　 ．（填序号即可） ①，②，③． （2）若数对（2（x+1），﹣3）是“差积等数对”，求x的值． （3）是否存在非零有理数m，n，使数对（3m，2）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）②，①； （2）； （3）存在，m，n＝1． 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）列出关于x的方程求解； （3）列出关于m，n的方程组求解． 【解答】解：（1）①∵2，（﹣2），（﹣2）， ∴（﹣2）（﹣2）， ∴①是“差积等数对”． ②∵（﹣2），（﹣2），（﹣2）， ∴（﹣2）（﹣2）， ∴②“和积等数对”． ∵2，2，2， ∴③两者都不是； 故答案为：②，①； （2）由题意得：2（x+1）﹣（﹣3）＝2（x+1）×（﹣3）， 解得x； （3）存在， 假设存在，由题意得：3m+2＝6m，2n﹣m＝2mn， 解得m，n＝1， 所以存在． 【点评】本题考查新定义数对的计算与判断，掌握新定义是求解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $