2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考数学试卷（无锡市专用）

2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 考试范围：苏科版九上第1章：一元二次方程-第2章：圆，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 3．已知是方程的根，则代数式的值为（    ）． A．6 B．9 C．14 D． 4．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 第6题 第8题 7．解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 9．如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且，已知，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 第9题 第10题 10．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）   A． B． C．5 D．6 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．方程的解为： ． 12．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 13．矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为 ． 14．某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是 . 15．如图，圆O通过五边形的四个顶点．若，，则的度数为 ． 第15题 第16题 16．如图，一铁球垂直于地面砸下一个球坑，球坑最大宽度为，最大深度为，则球体的半径为 ． 17．如图，四边形内接于，，，，则的半径长度是 ． 第17题 第18题 18．如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 19．（本题16分）解方程： (1) (2)； (3) (4)． 20．（本题10分）已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 21．（本题10分）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 22．（本题10分）如图，在中，． (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 23．（本题10分）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 24．（本题12分）白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 25．（本题14分）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 26．（本题14分）（1）如图（）已知是外一点．要求：仅用无刻度的直尺和圆规，过点作出的一条切线，保留痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图（），已知线段和．要求：仅用无刻度的直尺和圆规，在直线上作点，使点到的切线长为线段的长度．保留痕迹，写出必要的文字说明． （3）如图（），已知的半径是，点在线段及射线上运动，若，，记点到的切线长为，若满足条件的点的位置有个，则的取值范围是_______． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级上学期期中模拟 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11 . ___________ 1 2 ． _________ 1 3 ． __________ 1 4 ． ____________ 1 5 ． _________ 1 6 ． ________ 1 7 ． __________ 1 8 ． _____________ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 9 6 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 棸 。 19 ． （本题 16 分） 解方程： (1) (2) ； (3) (4) ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 10 分） (1) (2) ． 21 ． （ 10 分） 解下列方程： (1) (2) 22 ．（ 10 分） （ 1 ） （ 2 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（ 10 分） （ 1 ） （ 2 ） 2 4 ． （ 10 分） （ 1 ） （ 2 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（ 1 4 分） （1 ） ① ； ② ； （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26. （ 14 分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请 勿 在 此 区 域 答 题 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 考试范围：苏科版九上第1章：一元二次方程-第2章：圆，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一元一次方程，该选项不合题意； 、是代数式，不是方程，该选项不合题意； 、是一元二次方程，该选项符合题意； 、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键． 先求出的半径，再根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 点到圆心的距离为， 点在上． 故选：B． 3．已知是方程的根，则代数式的值为（    ）． A．6 B．9 C．14 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，注意“整体代入”数学思想的应用． 把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值． 【详解】解：因为是方程的根， 所以，即， 所以． 故选：B． 4．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 5．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， 则， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6．如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 7．解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 9．如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且，已知，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键，过作于，于，连接，可得四边形是矩形，进而证得四边形是正方形，再利用垂径定理求得，再利用勾股定理即可得到的半径． 【详解】解：过作于，于，连接，如图， 则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴的半径为， 故选：A． 10．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小． 【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2，   ，， ， ， ， ， 过作于点，， 在中，， 点B是上一点，则点是上一点，， 当点三点共线，即点在上时，最小， ， 故线段的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．方程的解为： ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：或． 故答案为：或． 12．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解的定义及根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，以及一元二次方程根的判别式，根据矩形的性质得出，再根据根的判别式得出，求解即可． 【详解】解：矩形两条对角线交于点， ， 、的长是关于的方程的根， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 14．某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【详解】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 15．如图，圆O通过五边形的四个顶点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键． 连接，，由半径相等得到三角形，三角形，三角形都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接、， ， 、、皆为等腰三角形， ，， ，， 的度数为， ， ， 则的度数为． 16．如图，一铁球垂直于地面砸下一个球坑，球坑最大宽度为，最大深度为，则球体的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理解应用题，涉及垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理与勾股定理综合求线段长的方法是解决问题的关键．读懂题意，连接，过点作于点，连接，如图所示，由垂径定理得到，设，则， 在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，连接，如图所示： 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， 故答案为：． 17．如图，四边形内接于，，，，则的半径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，等腰直角三角形，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，连接，，，通过证明为等腰直角三角形可得，通过证明为等腰直角三角形可得，即可求出的长，再利用勾股定理求解的长，进而可求出的长． 【详解】过点作，交的延长线于点，连接，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为 ． 【答案】或/或 【分析】先由正六边形得到，则判断出与相切于点，当与边相切时，记切点为点，连接，根据圆的切线的性质可得平分，则，解，即可求解；记与的左交点为点，连接，当点与点重合时，可得到点重合，再解即可． 【详解】∵正六边形， ∴， ∴， ∵，长为半径画圆， ∴与相切于点， 当与边相切时，记切点为点，连接，如图： 则，，而， ∴平分， ∵， ∴， ∴在中，； 记与的左交点为点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，如图： ∴， ∴点重合， ∴， ∴与相切于点，而与相切于点，故符合题意， ∴， 综上：当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 19．（本题16分）解方程： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)或． 【分析】本题考查解一元二次方程的方法，熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点，灵活选用解法是解答的关键． （1）通过移项、开平方求解； （2）通过配方法，将方程转化为完全平方式，再开平方求解； （3）通过因式分解，将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，再求解； （4）根据，则或进行求解即可． 【详解】（1）根据题意移项得， 化系数为1得， 开平方解得或． （2）移项得， 再配方得， 即， ， 解得， 即或． （3）移项， 即， 所以或， 解得或． （4）， 或， 移项得或， 解得或． 20.（本题10分）已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为3或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 21．（本题10分）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解； （2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． 22．（本题10分）如图，在中，． (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，是等腰三角形，作出边的中垂线，交点即为的外接圆圆心，连接圆心与的一个顶点，以这个线段长为半径作圆即可得到答案； （2）如图所示，由垂径定理可知于，且，再由勾股定理求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解：如图所示：   于，且，， ， 在中，，则， 在中，，则， 设，则，即，解得， （1）中所作外接圆的半径． 【点睛】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理与勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 23．（本题10分）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，，即可得证； （2）设的半径为x，则，求出，再证明出，最后结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为x，则， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，则, 解得，（舍去）， ∴的半径为． 24．（本题12分）白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【答案】(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克 (2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可． （2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克． （2）解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得， 解得，， 要保证销售量尽可能大， 每千克龙眼售价应定为14元． 25．（本题14分）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】(1)①②或3 (2)该方程的“关爱码”为或 (3)2 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 26．（本题14分）（1）如图（）已知是外一点．要求：仅用无刻度的直尺和圆规，过点作出的一条切线，保留痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图（），已知线段和．要求：仅用无刻度的直尺和圆规，在直线上作点，使点到的切线长为线段的长度．保留痕迹，写出必要的文字说明． （3）如图（），已知的半径是，点在线段及射线上运动，若，，记点到的切线长为，若满足条件的点的位置有个，则的取值范围是_______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，即为所求； （2）任意取半径，过点作于，在上取，连接，以为圆心，的长为半径作弧交直线于点，则点即为所求； （）过作于点，根据直角三角形的性质得，，进而得与以为圆心，以为半径的圆相切，此时与只有一个交点，与有一个交点，与以为圆心，以为半径的圆有两个交点，当作以大于，且小于的长为半径时，圆与线段及射线共三个交点，该个交点为点位置，（半径为的的圆与交于点，），进而根据切线的性质及勾股定理得，从而即可得解． 【详解】解：（1）如图，即为所求， 说明：如图，作所在的，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）如图，点即为所求， 说明：如图，连接，过作切线长，为切点， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点为所求， 同理可证点也为所求， 综上点即为所求； （3）过作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴与以为圆心，以为半径的圆相切，此时与只有一个交点，与有一个交点，与以为圆心，以为半径的圆有两个交点，如图， ∵点到的切线长为，满足条件的点的位置有个， ∴当作以大于，且小于的长为半径时，圆与线段及射线共三个交点，该个交点为点位置，（半径为的的圆与交于点，） 如图，过作半径为的的的切线，切点为，连接，则， ∴， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，全等三角形的判定及性质，圆周角定理的推论，切线的性质及判定，勾股定理，含30度锐角的直角三角形的性质，熟练掌握尺规作垂线及切线的判定及性质是解题的关键． 试卷第22页，共26页 试卷第23页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级上学期期中模拟 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==。=。=。。。-==。。。。。。 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1[/] 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][CD] 6[A][B][CI[D] 2[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][CD] 9[A][B][C][D] S[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 二、 填空题（每小题3分，共24分） 11 12. 13. 14 15 16 17. 18 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 19.(本题16分)解方程： (1)25x2-16=0 (2)x2-4x+2=0: (3)x(x-3)=x-3 (4(x-3)2=(5-2x)2. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) (1) (2). 21.(10分)解下列方程： (1) (2) 22.(10分) (1) B (2) 请在各题目的答题区域内作趣学熏色魅é返在限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) B D (1) (2) 24.(10分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答数攀第胃负强鹑赁哭定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) (1)① ② (2) (3) 请在各题目的答题区域羧详第颜)边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(14分) (1) Po 0 图(1) (2) M N 0 图(2) (3) D 图(3) 请在各题目的答题区域内作答数遛锦照医知共颀陬定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请 勿在此区域答题 请在各题目的答题区域内作答，数凿第死限区域的答案无效！