专题02 相交线与平行线（期中专项训练）（11种易错重难点与解题模型73题）七年级数学上学期新教材人教版五四制

专题02 相交线与平行线 （11种易错重难点与解题模型73题专项训练） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：根据平行线的性质探究角的关系 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 3．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 5．（23-24七年级下·辽宁·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 题型二：根据平行线的性质求角的度数 6．（22-23七年级下·甘肃白银·期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 8．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 10．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ． 11．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，点B、C在直线上，，平分，，求的度数． 12．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)当时，求的度数； (3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； 【拓广探究】 （3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； （5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”） 题型三：平行线的性质在生活中的应用 14．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．若，则应为（    ）度． A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·河南郑州·期中）一辆汽车在路上行驶，两次转弯后，行驶方向与原方向相同，那么转弯的角度有可能是（　　） A．先向左转，再向右转 B．先向左转，再向左转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 16．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    18．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 19．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    20．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 21．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 22．（23-24七年级下·山西晋城·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 题型四：根据平行线判定与性质求角度 23．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线分别与直线，相交于、，已知，平分交直线于点．则等于（   ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，，垂足为D，，垂足为E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 25．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与相交于点H，，，，求：的度数．（完成下列填空） 证明：∵（已知） 且（　　） ∴（等量代换） ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴___________，（等量代换） ∴（　　） ∴ ___________ （两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴___________ 26．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，解决下列问题（提示：，，）：    【问题解决】 (1)①若，则的度数为______度； ②若，则的度数为______度； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，三角板的一边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值；若不存在，请说明理由． 27．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 题型五：根据平行线判定与性质证明 28．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，已知：． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 29．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，，且，探索与的数量关系并说明理由． 30．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图1，在四边形中，，． (1)求证：； (2)如图2，点E在线段上，点G在线段的延长线上，连接，，与相等吗？说明理由． 31．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、 上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 33．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 34．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 题型六：利用平移解决实际问题 35．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图，在一块长为am，宽为bm的草地上有两条小路：路I路II．其中路I是弯曲的，路II是直的，且每条小路的右边线都是它的左边线向右平移1m得到的．记两条小路的面积分别为，，则下列判断正解的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 36．（23-24七年级下·河南周口·期中）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 37．（23-24七年级下·宁夏固原·期中）如图，在高为2.8米，宽为5.6米的楼梯表面铺设地毯，则需要地毯的总长度为 米． 38．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，现测得，则这个剪出的垫片图形的周长是 ． 39．（23-24七年级下·北京·期中）街心公园里有一块草坪，长米，宽米，草坪中间修有米宽的小路，将草坪分成两块（如图）则草坪面积（阴影部分）是 ． 40．（23-24七年级下·浙江·期中）如图（单位，），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），那么草坪（阴影部分）的面积是 ． 41．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，某校的草坪是一块长为5米、宽为3米的长方形草坪中间有条弯曲的小路，若小路的任何地方的水平宽度都是1米，则草坪的面积为 平方米． 42．（23-24七年级下·广东汕头·期中）已知：如图，有一块边长为的正方形的土地，上面修了横纵各两条路，宽度都是，空白部分种上各种花草，则种花草的面积 ．    43．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑宽度都为的道路，余下的部分种植花草，则种植花草部分的面积为    44．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，有一块长为，宽为的长方形地，中间的阴影部分是一条小路，空白部分为花圃.如果小路的宽度为，那么花圃的面积为 . 45．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米50元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要元． 46．如图，粗线①和细线②是泉州公交车从青少年宫A到侨乡体育馆B的两条行驶路线． （1）判断两条线的长短：粗线① 细线②．（填“>”“<”或“=”） （2）小丽坐出租车由侨乡体育馆B到青少年宫A，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米1.2元计费，用代数式表示出租车行驶千米时的费用． （3）如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的10元钱够不够小丽坐出租车由侨乡体育馆到青少年宫呢？请说明理由． 题型七：解题模型-猪蹄模型 47．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    48．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线，点E在上，点F在上，点P在，之间，和的角平分线相交于点M，的角平分线交的反向延长线于点N，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 49.已知，与两个角的角平分线相交于点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，，试求出与之间的数量关系． 50．（23-24七年级下·广东梅州·期中）综合运用 （1）如图1，，点在直线、之间，连接、．若，，求的大小； （2）如图2，、、交于点，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，求的度数． 51．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 52．（23-24七年级下·江西南昌·期中）【发现问题】 如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点．           【提出问题】 ，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究； 【解决问题】 (1)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由 (2)如图3，已知，点，分别在，上，点是，，之间，右侧任意一点，连接，，则，，的数量关系为________；（不需要写解答过程） (3)如图4，在（2）条件下，，之间，左侧再取一点，连接，，若使得，，求与的数量关系．（用表示） 53．（23-24七年级下·河南信阳·期中）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1，已知，点在直线AB、CD之间，探究与、之间的关系． 解：过点作． ∵，， ∴， ，， ， ． 【学以致用】 （1）如图1，若，时， °． （2）如图2，已知，若，，求出的度数． 【拓展运用】 （3）善于思考的南南同学猜想：将图1的部分与图2重合如图3，不变，当AF，CF分别平分和时，出与之间也存在着某种数量关系．请写出出与之间的数量关系，并说明理由． 54．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作与的角平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，平分平分，已知，则_____________（直接写出结果）． 55．（23-24七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 已知，E，F分别是，上的两点．点G在，之间．探究、与之间的数量关系． (1)当点G在如图1所示位置时，，，则____________． (2)当点G在如图2所示位置时，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，且与的延长线交于点M，作平分，平分相交于点N，当时，若，求的度数． 56．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）提出问题： （1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 类比探究： （2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是 ． 综合应用： （3）如图3，直线，，，，，则___． （4）如图4，直线，平分，平分，，则___．    题型八：解题模型-铅笔模型 57．（23-24七年级上·山东济南·期末）【问题情境】（1）如图1，，，求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你帮忙完成推理过程： 解：（1）过点P作（如图2）则 （ ） ∴ ∵， ∴（ ） ∴ 又∵ ∴ ∴ 【问题迁移】（2）如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，求的度数． 58．（1）如图1，，则 度． 如图2，，则 度． 如图3，，则 度． 请在图2中，证明你所填写结论的正确性． （2）如图4，，则 度． （3）利用上述结论解决问题：如图5，已知AB//CD．∠ABE和∠CDE平分线相交于F．∠E＝m°（0＜m＜180），用含m代数式表示∠BFD度数，并判断∠BFD是钝角、锐角还是直角？ 59.已知，点P在直线之间，连接． (1)探究发现：（填空） 如图1，过P作， ______ （已知） （____） _______； (2)解决问题： ①如图2，延长至点分别平分交于点Q，试判断与存在怎样的数量关系，并说明理由； ②如图3，若，分别作分别平分，求的度数（直接写出结果）． 60．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P在直线之间，连接． (1)如图1，若，直接写出的大小； (2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． 题型九：鸟头模型 61．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 62．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系． ①小红的做法是：如图2，过点作． ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图，直线，点在，之间，点在下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 图4 63．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    64．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 65.已知．    (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 66．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题： ，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系． （1）小红的做法是：如图2，过点作． （2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 【学以致用】 （3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数． 题型十：靴子模型 67．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 68.已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 69.已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数． 70．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 题型十一-角平分线模型 71．如图1，已知平分，平分，且 (1)求证：； (2)如图2，若，，试求的值； (3)如图3，若是直线上一动点（不与重合），平分，则与的数量关系为______． 72.如图1，已知AB//CD （1）若∠B=80°，∠C=150°，求∠E的大小； （2）如图2，∠BEC的平分线与∠ECD的平分线的反向延长线相交于点P，设∠B=，求∠P的大小（用含的式子表示）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AP、AC，若AP平分∠BAC且∠ACE=68°，直接写出∠APC的度数 73．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知，点P为直线AB上方一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC之间的关系，并说明理由： (3)在（2）的条件下，若CE经过点A，，点M是直线PC上一点，请直接写出和、的数量关系． $专题02 相交线与平行线 （11种易错重难点与解题模型73题专项训练） 2 / 109 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：根据平行线的性质探究角的关系 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系： （1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解； （2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，作， ，， ， ，， ， 故答案为：60； （2）如图，作交于点K， ， ， ， ， ， 同（1）可得， ， 即， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 3．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义； （1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）先证明，，，再进一步可得结论. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分交于点C、平分交于点D， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵BD平分， ∴， ∴． 5．（23-24七年级下·辽宁·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①，②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键． （1）结合题目条件，求出，继而得解； （2）①过点P作，则，由平行线的性质及角的关系得到； ②分和两种情况，画图求解即可； 【详解】（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）①过点P作，如图， 则 ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ． 故∠PNF的度数为或． 题型二：根据平行线的性质求角的度数 6．（22-23七年级下·甘肃白银·期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，则，再根据平行线的性质可以求出、，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作，   ， ， ，， ． ， ． ． ． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键． 7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和垂直的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．依题意得，再根据在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，因此有以下两种情况：①当为锐角时，②当为钝角时，依题意画出图形，根据平行线的性质及垂直的定义即可得出的度数． 【详解】解：比的3倍少， ， 在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直， 有以下两种情况： ①当为锐角时，如图1所示：，， ， ， ， 解得：， ②当为钝角时，如图2所示：，， ， ， ， ， 解得：． 综上所述：的度数为或． 故选：C 8．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义得到，，，设，表示出和，利用平角的定义列出方程解出，可判断①；由可判断②；根据角平分线的定义，结合题意可判断③和④，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 设，则，， ， ， 解得：，即，故①正确； ， ，故②正确； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故③不正确； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故④不正确； 综上所述，正确结论有①②，正确结论的个数是2． 故选：B． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，取直线上一点N，点N位于点A右侧， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 10．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是折叠的性质、角度的运算、平行线的性质，解题关键是熟练掌握折叠的性质． 先根据折叠性质得出，再计算出的角度，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：根据折叠性质可得：， ， ， 长方形中，， ． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，点B、C在直线上，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，先求解，，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 12．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)当时，求的度数； (3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值； 【分析】本题主要考查平行线的性质和余补角和， （1）根据题意得，则， （2）过点C作，则，当时，，则，利用角度和差有即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则，，根据平行线的性质得，结合垂直得，则有即可． 【详解】（1）解：根据题意得，则， 故答案为：； （2）解：过点C作，如图， 则， 当时， ∴， ∵， ∴； （3）解：设A灯转动时间为t秒，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的比值是一个定值，这个定值为． 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； 【拓广探究】 （3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）； （5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质、垂直的定义，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分，求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． （5）根据平行线的性质以及（4）的结论得出，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴ 又∵，即， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，即， ∴； （3），理由如下， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵，即， ∴， ∴； （4）∵， ∴ ∵平分 ∴， 又∵，即， ∴； （5）如图所示， ∵ ∴ ∵， ∴ 又∵，即， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 由（4）可得， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 题型三：平行线的性质在生活中的应用 14．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．若，则应为（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，直接根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴； 故选A． 15．（23-24七年级下·河南郑州·期中）一辆汽车在路上行驶，两次转弯后，行驶方向与原方向相同，那么转弯的角度有可能是（　　） A．先向左转，再向右转 B．先向左转，再向左转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据题目的已知条件画出图形进行分析，逐一判断即可解答 【详解】解：如图： A、  ，两次转弯后，行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、  ，两次转弯后，行驶方向与原方向不相同，故本选项不符合题意； C、  ，两次转弯后，行驶方向与原方向不相同，故本选项不符合题意； D、  ，两次转弯后，行驶方向与原方向不相同，故本选项不符合题意； 故选：A． 16．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 17．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴．    故答案为：． 18．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 【答案】150 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作，可得，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：过点B作，如图， ∵平行地面， ∴， ∵， ∴ ∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：150． 19．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 21．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 22．（23-24七年级下·山西晋城·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 题型四：根据平行线判定与性质求角度 23．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线分别与直线，相交于、，已知，平分交直线于点．则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据平行线的判定得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 24．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，，垂足为D，，垂足为E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）根据，，可得，得，进而得，可得结论； （2）根据，可以设，根据，可得，由得到，根据，求出x的值，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 设， ， ， ， ， ， ，即 ． 25．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与相交于点H，，，，求：的度数．（完成下列填空） 证明：∵（已知） 且（　　） ∴（等量代换） ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴___________，（等量代换） ∴（　　） ∴ ___________ （两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴___________ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．根据同位角相等两直线平行，可证，进而利用平行线的性质和判定证明． 【详解】证明：∵（已知）， 且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴，（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． 26．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，解决下列问题（提示：，，）：    【问题解决】 (1)①若，则的度数为______度； ②若，则的度数为______度； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，三角板的一边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)存在，的度数为：或，理由见详解 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，掌握角度的计算，分类讨论，图形结合分析是解题的关键． （1）根据三角板的性质，①先计算出的度数，再根据即可求解；②先计算出的度数，由此即可求解； （2）根据三角板各角的数量关系，同角的余角相等即可求解； （3）根据平行线的性质，分类讨论，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，中，，中，，， ①若时，， ∴， 故答案为：； ②若时，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴； （3）解：存在，的度数为：或，理由如下， 如图所示，当时，    ∵， ∴； 如图所示，当时，    ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时，    ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意； 如图所示，点在直线的下方，均不符合题意；    综上所述， 的度数的变化，存在三角板的一边是否能与三角板的一边平行，的度数为：或； 27．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 题型五：根据平行线判定与性质证明 28．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，已知：． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了平行线的判定与性质．熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据“同位角相等，两直线平行”即可求解； （2）根据条件可推出，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，，且，探索与的数量关系并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由，得到，则，再由平行线的性质得到，则． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴． 30．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图1，在四边形中，，． (1)求证：； (2)如图2，点E在线段上，点G在线段的延长线上，连接，，与相等吗？说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握相关定理内容即可求证. （1）由题意得，结合即可求证； （2）由题意得，，结合可得，进一步即可求证； 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ∴ （2）解：，理由如下： ∵， ，， ， ， ， ， 又 ． 31．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、 上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合“同角的补角相等”求得，即可推出； （2）根据平行线的判定与性质证明，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： （已知）， 又（邻补角定义）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 【答案】垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查利用平行线的判定与性质证明．掌握相关定理内容是解题关键．根据垂线的定义，平行线的判定与性质即可求证． 【详解】证明：连接 ∵， ∴，（垂线定义） ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵ ∴ 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 33．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 34．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论； （2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论； （3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点F作， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； （3）解：如图，作，， 由（1）知， ， 平分，平分， ，， ， 又， ， ， ； ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ； 由（2）知， ， 即， 又， ， 整理得， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换． 题型六：利用平移解决实际问题 35．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图，在一块长为am，宽为bm的草地上有两条小路：路I路II．其中路I是弯曲的，路II是直的，且每条小路的右边线都是它的左边线向右平移1m得到的．记两条小路的面积分别为，，则下列判断正解的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】B 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象．利用平移道路的方法计算小路的面积，通过比较可以得出答案． 【详解】解：小路I的面积为：； 小路II的面积为：． 所以． 故选：B． 36．（23-24七年级下·河南周口·期中）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样， 故选：． 37．（23-24七年级下·宁夏固原·期中）如图，在高为2.8米，宽为5.6米的楼梯表面铺设地毯，则需要地毯的总长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，直接利用平移的性质可得答案； 【详解】解：∵， 由平移可知楼梯表面的地毯长度等于线段的长度之和，即为； 故答案为． 38．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，现测得，则这个剪出的垫片图形的周长是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移的性质得出是解题关键．利用平移的性质将，，分别向左和上平移即可得出平移后图形，进而求出这块垫片的周长． 【详解】解：如图所示：这块垫片的周长为：， 故答案为：30． 39．（23-24七年级下·北京·期中）街心公园里有一块草坪，长米，宽米，草坪中间修有米宽的小路，将草坪分成两块（如图）则草坪面积（阴影部分）是 ． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，草坪的面积，由此计算即可． 【详解】解：依题意，草坪的面积， 故答案为：． 40．（23-24七年级下·浙江·期中）如图（单位，），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），那么草坪（阴影部分）的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键． 根据平移的性质将阴影部分转化为长为，宽为的长方形即可． 【详解】解：如图，将图中阴影部分①向右平移，阴影部分②向左平移，可以拼成长为，宽为的长方形， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：48． 41．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，某校的草坪是一块长为5米、宽为3米的长方形草坪中间有条弯曲的小路，若小路的任何地方的水平宽度都是1米，则草坪的面积为 平方米． 【答案】12 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是2米，高是3米的平行四边形，根据平行四边形的面积=底高，长方形的面积=长宽，用长方形的面积减去小路的面积即可． 【详解】解：由题可得，草地的面积是(平方米)． 故答案为：12． 42．（23-24七年级下·广东汕头·期中）已知：如图，有一块边长为的正方形的土地，上面修了横纵各两条路，宽度都是，空白部分种上各种花草，则种花草的面积 ．    【答案】 【分析】直接利用平移方法，将两条小路平移到图形的一侧，进而求出即可．本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错． 【详解】解：种花草的面积为：． 故答案为：． 43．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑宽度都为的道路，余下的部分种植花草，则种植花草部分的面积为    【答案】960 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，把中间修建的两条道路分别平移到长方形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把2条道路平移到长方形地块的一边，可得总种植花草的面积的形状为一个长方形，根据总种植花草的面积列出式子求解即可． 【详解】解：把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形， 那么，这个长方形的长是，宽是，于是种植花草部分的面积为． 所以，种植花草部分的面积为， 故答案为：960． 44．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，有一块长为，宽为的长方形地，中间的阴影部分是一条小路，空白部分为花圃.如果小路的宽度为，那么花圃的面积为 . 【答案】80 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，长方形的面积计算，根据被小路公开的两部分可以重新组合成一个长方形即花圃的面积，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：被小路公开的两部分可以重新组合成一个长方形， 花圃的面积， 故答案为： 80． 45．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米50元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要元． 【答案】元 【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键． 根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：解：地毯的长度至少为：（米）； （元）． 答：铺设梯子的红地毯至少需要米，花费至少元． 46．如图，粗线①和细线②是泉州公交车从青少年宫A到侨乡体育馆B的两条行驶路线． （1）判断两条线的长短：粗线① 细线②．（填“>”“<”或“=”） （2）小丽坐出租车由侨乡体育馆B到青少年宫A，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米1.2元计费，用代数式表示出租车行驶千米时的费用． （3）如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的10元钱够不够小丽坐出租车由侨乡体育馆到青少年宫呢？请说明理由． 【答案】（1）＝；（2）（1.2x+4.4）元；（3）小丽身上的钱不够坐出租车由体育馆到少年宫，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据收费=起步价8元+1.2×（行驶路程－3）列式整理即可； （3）把x=5代入（2）题的关系式计算，再用计算结果与10作比较即可． 【详解】解：（1）如图所示： ∵BH+GF+DE=AC，HG+FE+DA=BC， ∴粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B的长相等； 故答案为：＝； （2）根据题意得：出租车行驶x千米的费用=8+1.2(x﹣3)=（1.2x+4.4）元； （3）当x=5时，出租车行驶5千米的费用=1.2×5+4.4=10.4＞10， ∴小丽身上的钱不够坐出租车由体育馆到少年宫． 【点睛】本题考查了平移的性质和列出实际问题中的代数式和代数式求值，属于基本题型，熟练掌握平移的性质是解（1）题的关键，弄清题意、正确列出代数式是解（2）题的关键． 题型七：解题模型-猪蹄模型 47．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【答案】/32度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是根据题意，过点，，作，，，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，，，；根据角平分线的性质，则，推出，则，根据平行线的性质，等量代换，则，即可． 【详解】过点，，作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和分别是，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴．    48．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线，点E在上，点F在上，点P在，之间，和的角平分线相交于点M，的角平分线交的反向延长线于点N，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，作，证得，由平行线的性质即可判断①；同理可证，再根据角平分线的定义即可判断②；若，则，再由平行线的性质和角平分线的定义可得，由与不一定相等，即可判断③；由角平分线的定义得，即，即可判断④． 【详解】解：①：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设交于点H， 若，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 若，则， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故③不正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 49.已知，与两个角的角平分线相交于点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）作，，根据平行线的性质得出，，，，结合图形，利用各角之间的数量关系即可得出结果； （2）结合图形及角平分线进行计算即可得出两个角之间的关系． 【详解】（1）解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和的角平分线相交于F， ∴， ∴， （2）∵，， ∴，， ∵和两个角的角平分线相交于F， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，角平分线的运算，结合图形，找准各个角之间的关系是解题关键． 50．（23-24七年级下·广东梅州·期中）综合运用 （1）如图1，，点在直线、之间，连接、．若，，求的大小； （2）如图2，、、交于点，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算，平行公理及推论，平行线的性质． （1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）延长到N，利用（1）的结论可得：，再利用平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）延长交于点P，利用（2）的结论可得：，从而可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，最后根据对顶角相等可得，从而利用等量代换可得，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）， 理由：延长到N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴； （3）延长交于点P， 由（2）可得：， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为． 51．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质可求出，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用（1）的结论可得：，然后利用同角的余角相等可得：，即可解答； （3）利用（1）的结论可得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 由（1）可得：， ； （3）解：由（1）可得：，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 52．（23-24七年级下·江西南昌·期中）【发现问题】 如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点．           【提出问题】 ，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究； 【解决问题】 (1)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由 (2)如图3，已知，点，分别在，上，点是，，之间，右侧任意一点，连接，，则，，的数量关系为________；（不需要写解答过程） (3)如图4，在（2）条件下，，之间，左侧再取一点，连接，，若使得，，求与的数量关系．（用表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． （1）过点作，由平行线的传递性得，由平行线的性质得，，进而可得； （2）由（1）得，然后结合邻补角的定义可得； （3）由（1）（2）知，，结合，可证结论成立； 【详解】（1），理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， ． （2）， 理由如下： 如图3，由（1）得， ， ． 故答案为：； （3） 理由如下： 如图4，由（1）（2）知， ∴ ， 53．（23-24七年级下·河南信阳·期中）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1，已知，点在直线AB、CD之间，探究与、之间的关系． 解：过点作． ∵，， ∴， ，， ， ． 【学以致用】 （1）如图1，若，时， °． （2）如图2，已知，若，，求出的度数． 【拓展运用】 （3）善于思考的南南同学猜想：将图1的部分与图2重合如图3，不变，当AF，CF分别平分和时，出与之间也存在着某种数量关系．请写出出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）的度为；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． （1）由阅读理解可知：，从而代入数据求解即可； （2）过点作，得，从而得，，进而求得，从而即可得解； （3）由（1）、（2）的结论得出：，，再根据角平分线的定义得，，代入即可得解． 【详解】解：（1）由阅读理解可知：． ∵，， ∴ 故答案为：； （2）过点作，如图： ，， ， ，， 又，， ，， ， 答：的度为； （3） 理由如下：由（1）、（2）的结论得出： ，， 平分和， ，， ， ∴． 54．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作与的角平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，平分平分，已知，则_____________（直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）作，根据平行线的性质得到，再由，即可证明； （2）过B点作，过F点作，先证明，，再根据平行线的性质即可求解； （3）根据已知条件可导出，变形即可求得的值． 【详解】（1）证明：如图，作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过B点作，过F点作，    则， ∴，， ∵，是的角平分线， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴． 故答案为：． 55．（23-24七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 已知，E，F分别是，上的两点．点G在，之间．探究、与之间的数量关系． (1)当点G在如图1所示位置时，，，则____________． (2)当点G在如图2所示位置时，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，且与的延长线交于点M，作平分，平分相交于点N，当时，若，求的度数． 【答案】(1)105 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，正确识图并找出角角之间的关系是解题的关键． （1）过G作，利用平行线的传递性得出，利用平行线的性质得出，，然后代入，，求出，，即可求解； （2）过G作，利用平行线的传递性得出，利用平行线的性质得出，，即可得证； （3）设，则，利用邻补角定义求出，，利用角平分线定义求出，，，进而求出，由（2）知，利用平行线的性质得出，，则，求出x，即可求解． 【详解】（1）解∶过G作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为∶105； （2）证明：过G作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：设， 则， ∴，， ∵平分， 平分， ∴，， 又平分， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 又， ∴ 56．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）提出问题： （1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 类比探究： （2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是 ． 综合应用： （3）如图3，直线，，，，，则___． （4）如图4，直线，平分，平分，，则___．    【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是添加辅助线利用平行线的性质解决问题． （1）如图1中，结论，作，利用平行线的性质即可证明． （2）如图2中，作，，结论，利用平行线的性质即可证明． （3）如图3中，作，，，利用平行线的性质即可解决． （4）直接利用（1）的结论可以解决． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1中，作，    ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）如图2中，    如图2中，作，，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即． 故答案为：． （3）如图3中，作，，，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴． 故答案为：； （4）如图4中，    由（1）可知：，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 题型八：解题模型-铅笔模型 57．（23-24七年级上·山东济南·期末）【问题情境】（1）如图1，，，求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你帮忙完成推理过程： 解：（1）过点P作（如图2）则 （ ） ∴ ∵， ∴（ ） ∴ 又∵ ∴ ∴ 【问题迁移】（2）如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2），理由见解析； （3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可； （3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过点P作（如图2） 则：（两直线平行，同旁内角互补）， ∴． ∵，， ∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2），，之间的数量关系为：．理由： 过点P作，如图， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）过点P作，过点Q作，如图， 由（2）的结论可得：， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴， ∴ ． 58．（1）如图1，，则 度． 如图2，，则 度． 如图3，，则 度． 请在图2中，证明你所填写结论的正确性． （2）如图4，，则 度． （3）利用上述结论解决问题：如图5，已知AB//CD．∠ABE和∠CDE平分线相交于F．∠E＝m°（0＜m＜180），用含m代数式表示∠BFD度数，并判断∠BFD是钝角、锐角还是直角？ 【答案】（1）①180，②360，③540；（2）（n-1）180°；（3）180°-m°，∠BFD是钝角 【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论．根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论．在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论． （2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论． （3）运用上述结论和角平分线定义可得结论． 【详解】解：∵MA1∥NA2， ∴∠A1+∠A2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 过点A2 作A2B∥A1M， ∴∠MA1A2+∠A1A2B=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵MA1∥NA3， ∴A2B∥NA3（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴∠BA2A3+∠A2A3N=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠MA1A2+∠A1A2B+∠BA2A3+∠A2A3N=180°+180°=360° ， 即∠A1+∠A2+∠A3=360°； 分别过点A2、A3作A2B∥A1M、A3C∥A1M， 同上题可得180°+180°+180°=540°， 即∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°， 故答案为：180，360，540． （2）∵∠A1+∠A2=180°=1×180°， ∠A1+∠A2+∠A3=360°=2×180°， ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°=3×180°， ∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n-1）180°． 故答案为：（n-1）180°． （3）根据上述结论得： ∠BFD=∠ABF+∠CDF， ∠ABE+∠E+∠CDE=360°， 又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F， ∴2∠ABF+∠E+2∠CDF=360°， 即2（∠ABF+∠CDF）+∠E=360°， ∴2（∠ABF+∠CDF）=360°-∠E=360°-m°， ∴∠ABF+∠CDF=180°-m°， 即∠BFD=180°-m°， 又∵0＜m＜180， ∴0＜m＜90， ∴90°＜180°-m°＜180°， ∴∠BFD是钝角． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程． 59.已知，点P在直线之间，连接． (1)探究发现：（填空） 如图1，过P作， ______ （已知） （____） _______； (2)解决问题： ①如图2，延长至点分别平分交于点Q，试判断与存在怎样的数量关系，并说明理由； ②如图3，若，分别作分别平分，求的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)180，两直线平行，同旁内角互补，360 (2)①；②= 【分析】（1）读懂每步推理及推理的依据，即可完成填写； （2）①两角关系为：；由AB∥CD、角平分线的性质及三角形外角的性质可得，再由（1）的结论即可得到两角的关系； ②延长AM交CD于H，设∠BAM=β，∠MDN=α，由平行线的性质及（1）的结论可得∠B+2α=80゜，∠B+2β=180゜，从而可得β−α=40゜；再由AB∥CD及三角形外角的性质可得∠AMD=∠MHD+α=180−β+α，从而可求得结果． 【详解】（1）（1）如图1，过P作， 180 （已知） （两直线平行，同旁内角互补） 360； 故答案为：180；两直线平行，同旁内角互补；360 （2）① 分别平分 ∴， 由（1）知 ②如图3，延长AM交CD于H 设∠BAM=β，∠MDN=α ∵AM、DM分别平分∠PAB、∠CDN ∴∠PAM=∠BAM=β，∠MDH=∠MDN=α ∵BN∥AP，DN∥PC ∴∠B+2β=180゜，∠C+2α=180゜ ∴∠B+2β+∠C+2α=360゜ 由（1）结论及∠APC=100゜ ∴2β+∠C=360゜−∠APC=260゜ ∴∠B+2α=100゜ ∴∠B+2β−(∠B+2α)=80゜ 即β−α=40゜ ∵AB∥CD ∴∠MHD=180゜−β ∴∠AMD=∠MHD+α=180−β+α==180゜−(β−α)=140゜ 即的度数为 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质与角平分线的性质等知识，构造适当的辅助线是解决本题后两问的关键，也是本题的难点． 60．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P在直线之间，连接． (1)如图1，若，直接写出的大小； (2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论； （3）过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论. 【详解】（1）解： 过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解：过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加辅助线，理清各个相关角的关系是关键. 题型九：鸟头模型 61．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 62．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用，李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系． ①小红的做法是：如图2，过点作． ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图，直线，点在，之间，点在下方，连，．延长至，和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 图4 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）①过点作，根据平行线的性质得出； ②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解． 【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作． ∵ ∴ ∴ ∵； ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． ∴， ∵ ∴ ∴ （2）如图所示，过点作 ∵和的角平分线相交于点． ∴ ∵ ∴ ∴ 由（1）可得 ∴ 63．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 64．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105° 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）①如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 65.已知．    (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可； （2）①过F作，交于H点，过点作，则，，根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案； ②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过E作，    ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）①如图， 过F作，交于H点，过点作，则，，    ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②如图，过点F作，则，作，    设，则， ∵， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴ ∴，即 ∴，， 当K在上，， 同推出的道理可证： ∴， ∵平分， ∴，即， ∴； 当K在延长线上时，    同推出的道理可证： ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴，即， ∴； 综上所述，或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键． 66．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题： ，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系． （1）小红的做法是：如图2，过点作． （2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． 请你选择一名同学的做法，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答． 如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系； 【学以致用】 （3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．； （1）①过点作，根据平行线的性质得出； ②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解． （3）过点H作，利用（1）中结论，利用平行线的性质、角平分线定义、邻补角和为，角与角之间的基本运算、等量代换等得出，进而用等量代换得出．过点H作，由①的结论得．利用平行线性质得，由角平分线定义及邻补角可得．继续使用等量代换可得度数． 【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作． ∵ ∴ ∴ ∵； ②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作． ∴， ∵ ∴ ∴ （2）如图所示，过点作 ∵和的角平分线相交于点． ∴ ∵ ∴ ∴ 由（1）可得 ∴ （3）过点H作，如图， 由（1）可得， 由图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 即． ∵， ∴． ∴． 过点H作． ∵， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十：靴子模型 67．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； ②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ，， ， ， ， 即． 解：②，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， 即． （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， 由（1）可知，， 由材料的结论可知，， ． 68.已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后计算即可得证； （2）过点作于点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点， ，， ， ， 解得， 平分，平分， ， ， 由（1）已得：， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 69.已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先延长BA，再利用三角形外角性质和平行线性质证明即可； （2）由（1）中结论，结合三角形内角和证明即可； （3）设，根据（1）中的结论表示出，过G作GK∥AB，即可表示出，最后根据列方程求出x的值即可． 【详解】（1）延长BA交CE于H，则 ∵ ∴ ∴ （2），理由如下： ∵平分平分， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∴ （3）过G作GK∥AB，则GK∥AB∥CD 设， ∵平分平分， ∴ ∴ ∵GK∥AB∥CD ∴ ∴ 根据（1）中的结论可得： ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 70．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 题型十一-角平分线模型 71．如图1，已知平分，平分，且 (1)求证：； (2)如图2，若，，试求的值； (3)如图3，若是直线上一动点（不与重合），平分，则与的数量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)∠BHD=2∠EBI或∠EBI=90°-∠BHD 【分析】（1）延长BE交CD于点C，利用三角形外角的性质即可证明； （2）分别过点E、F作AB的平行线，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案； （3）分点H在点D的左侧，点H在点D的右侧，画出图形，利用平行线和角平分线的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长BE交CD于点C， 则∠BED=∠C+∠EDC． ∵∠BED=∠ABE+∠EDC， ∴∠ABE=∠C， ∴AB∥CD； （2）由（1）可知，AB∥CD， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC， ∴∠BED=（∠ABD+∠BDC）=90°， 由∠ABE=3∠EBF，设∠EBF=α，则∠ABE=3α， ∴∠ABF=4α， 过F作FM平行于AB，如图2， 则有∠ABF+∠CDF=∠BFD=120°， ∴∠CDF=120°-4α， 过E作EN平行于AB，则有∠ABE+∠CDE=∠BED， ∴∠CDE=90°-3α， ∴∠FDE=∠CDF-∠CDE=30°-α， ∴； （3）当点H在点D的左侧时，如图3所示，∠BHD=2∠EBI． 理由如下： ∵AB∥CD ∴∠ABH=∠BHD， ∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD， ∴∠ABE=∠EBD，∠HBI=∠IBD ∵∠ABH=∠ABE+∠EBH=∠EBD+∠EBH=2（∠EBH+∠HBI）， ∴∠BHD=2∠EBI． 当点H在点D的右侧时，如图4所示，∠EBI=90°-∠BHD． 理由如下： ∵AB∥CD ∴∠GBH=∠BHD， ∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD， ∴∠ABE=∠EBD，∠HBI=∠IBD ∵∠EBI=∠EBD+∠DBI=∠ABD+∠DBH=∠ABH=（180°-∠HBG） ∴∠EBI=90°-∠BHD． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、平行线和角平分线的性质，利用这些性质进行角之间的转化是解题的关键． 72.如图1，已知AB//CD （1）若∠B=80°，∠C=150°，求∠E的大小； （2）如图2，∠BEC的平分线与∠ECD的平分线的反向延长线相交于点P，设∠B=，求∠P的大小（用含的式子表示）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AP、AC，若AP平分∠BAC且∠ACE=68°，直接写出∠APC的度数 【答案】（1）50°；（2）；（3）124° 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠B、∠DCE、∠E三个角之间的关系，即可求出∠B的大小． （2）由（1）中∠B+∠DCE-∠BEC=180°，得出∠DCE-∠BEC=180°-α，再利用角平分线的性质和三角形的外角性质，得出∠P=； （3）在（1）、（2）的基础上，再利用外角知识求出∠APE大小，即可求出∠APC的大小． 【详解】解：（1）延长DC交BE于点M， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BMC=∠E+∠ECM=∠E+（180°-∠DCE）， ∴∠B+∠DCE-∠E=180°； ∵∠B=80°，∠C=150°， ∴∠E=50°． （2）由（1）得∠B+∠DCE-∠BEC=180°， ∵∠B=α， ∴∠DCE-∠BEC=180°-α， ∵EP平分∠BEC，CF平分∠ECD， ∴∠DCE=2∠ECF，∠BEC=2∠PEC， ∴2∠ECF-2∠PEC=180°-α， ∴∠ECF-∠PEC=，即∠P=； （3）∵AP平分∠BAC，EP平分∠BEC， ∴∠BAP=∠PAC，∠BEP=∠CEP， ∵∠ANE=∠B+∠BAP，∠ANE=∠APE+∠BEP， ∴∠B+∠BAP=∠APE+∠BEP， 同理，可得∠APE+∠CAP=∠ACE+∠CEP， ∴∠APE-∠B=∠ACE-∠APE． ∴∠APE=， ∴∠APC=∠APE+∠EPC==124°． 【点睛】本题的关键在于运用平行线的性质及三角形的外角的性质解决问题，体现了数学的类比思想、转化思想和模型化思想，考查了学生的推理能力，类比迁移的能力及几何直观想象． 73．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知，点P为直线AB上方一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC之间的关系，并说明理由： (3)在（2）的条件下，若CE经过点A，，点M是直线PC上一点，请直接写出和、的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)或或 【分析】（1）作，利用平行线的判定和性质即可证明； （2）过点P作，过点Q作，利用平行线的判定和性质得到①，②，③，④，计算即可得到； （3）求得，延长交于点G，则，分三种情况讨论，当点M在的延长线上时，当点M在线段上时，当点M在线段的延长线上时，利用三角形的外角性质，计算即可求解． 【详解】（1）解：； 过点P作， ∵， ∴， ∴， ，即， ∴，即； （2）解：；理由如下， 过点P作，过点Q作， ∵平分，平分，即平分， ∴，， ∵， ∴， ∴①， ②， ③， ④， 由①②得， 代入③得⑤， 由④⑤得； （3）解：∵，CE平分∠PCD， 设， ∴，即， 延长交于点G，则， 当点M在的延长线上时， 由（1）得， ∴，即； 当点M在线段上时， ， ∴； 当点M在线段的延长线上时， ， ∴，即， ∴； 综上，或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线，构造内错角以及同位角，依据三角形外角性质进行计算求解． $