专题02 分式（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材湘教版

专题02 分式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与性质 能识别分式并确定定义域（分母≠0） 高频易错：忽略隐含条件（如需同时满足且） 幂的运算法则 熟练运用幂的运算公式进行分式化简（新增内容） 命题趋势：与分式乘除、科学记数法结合考查（如） 分式的约分与通分 能结合因式分解和幂的运算进行化简 易错点：约分时漏掉负指数（如） 分式的四则运算 能熟练进行分式的加减乘除及混合运算，规范书写步骤 易错点：运算顺序错误（如先乘除后加减）、通分时漏乘分子（如通分错误） 分式方程的解法与应用 会解分式方程并验根，能建立分式方程解决实际问题（工程、行程等） 跨学科题型：与物理、化学中的浓度问题结合考查（如溶液混合问题） 知识点01 分式的概念及其基本性质 分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. 分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. 分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 示例：判断是否为分式： 是分式（分母含字母且不为零） 不是分式（π为常数，分母不含字母） 易错点：误认为所有含分母的式子都是分式（如是整式） 忽略取值范围：需同时满足且 知识点02 分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 示例：计算： 需通分： 易错点： 异分母加减时直接相加分母（如） 漏乘分子：通分时未对分子整体乘因式（如漏乘或） 知识点03 分式的乘法和除法 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再 约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后， 再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果 符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 示例：计算： 转化为乘法： 易错点：未颠倒除式直接相乘（如误为） 约分不彻底：应化为而非 知识点04 分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后 加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号 的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 示例： 计算： 通分括号内： 除法转乘法： 易错点： 运算顺序错误：先算加减后乘除（如误先算加法） 符号错误：提取负号时未变号（如） 知识点05 整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者 缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 示例： 计算： 幂的运算： 易错点： 混淆公式：误为 负指数变形错误：误为 知识点06 可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上扩号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程， 则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 示例： 解方程： 去分母得 解得（验根为增根，无解） 易错点： 漏乘无分母项（如方程两边同乘时漏乘“3”） 未验根：解分式方程必须检验分母是否为零 题型一 分式有意义的条件与值为零 解｜题｜技｜巧 双条件判断：分式值为零需同时满足分子=0且分母≠0 隐含条件：分母≠0在化简过程中始终成立（如解分式方程时） 易｜错｜点｜拨 漏验分母：如求分式值为零时，易忽略的条件 混淆概念：误认为分式无意义时值为零 【典例1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·期中）要使分式有意义，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）请写一个分式，使它满足当时，分式无意义，当时，它的值为0，这个分式可以是 ． 【变式3】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 题型二 分式化简中的符号处理 解｜题｜技｜巧 统一负号：将分母最高次项系数化为正数 变号法则：，但 分子添括号：多项式分子在约分时需保持整体性 易｜错｜点｜拨 约分丢负号：如误为 通分漏乘： 【典例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）下列各式中，从左向右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）时，分式的值为 ． 题型三 整数指数幂的运算 解｜题｜技｜巧 负指数转化：（注意） 科学记数法：（指数为小数点移动位数） 易｜错｜点｜拨 混淆法则：误为 符号错误：误为 【典例1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列计算中，正确的是（　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广西桂林·期中）计算： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) 题型四 分式方程增根问题 解｜题｜技｜巧 解方程步骤：去分母→解整式方程→验根 增根判定：使最简公分母=0的根必为增根 易｜错｜点｜拨 漏乘项：如解时，易漏乘常数项 未检验：直接写出整式方程的解 【典例1】（24-25八年级下·四川内江·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】（24-25八年级下·河南开封·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0 B．8 C．4 D．0或8 【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）若关于x的方程有增根，则m的值是 ． 【变式3】（24-25八年级下·四川巴中·期中）如果关于x分式方程 有增根，则增根 ，若分式方程无解，则 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则代数式（　　） A． B． C． D． 2．若式子有意义，则x满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 3．若，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 5．若分式方程无解，则的值为 6．计算： (1)； (2)． 7．解方程：． 8．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．如果写成下列各式，正确的共有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 3．对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算： ． 4．乘方之美：当多个相同数相乘时，可以使用“幂次方”来表示．例如，（4个8相乘）；（6个7相乘）． (1)基于上述规则，判断下面说法的正误． ①比大8倍．（    ） ②比8大10倍．（    ） (2)计算． (3)至的数值如下： 个位上的数字是（    ）． 5．先化简，然后从，0，1中选择一个合适的值代入求值． 6．元宵节是我国的传统节日，人们素有吃汤圆的习俗．某商场在元宵节来临之际用3000元购进A，B两种汤圆550袋，购买A种汤圆与购买B种汤圆的费用相同．已知A种汤圆的单价是B种汤圆单价的倍． (1)求购进A，B两种汤圆的单价各是多少? (2)商场按进价提高标价销售，销售一段时间后，A种汤圆全部售完，B种汤圆剩余一半，商场决定B种汤圆按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批汤圆商场共获利多少元？ 7．（1）化简：；     （2）解方程： 8．已知关于x的分式方程 (1)若，求分式方程的解 (2)若分式方程无解，求a的值 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 3．已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 4．已知x，y，z，a，b，c均为实数，且（其中），求的值． 5．当取何值时，式子的值为正数？ 6．某汽车从地驶向地，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时距离地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时已超过地30千米，求两地距离． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与性质 能识别分式并确定定义域（分母≠0） 高频易错：忽略隐含条件（如需同时满足且） 幂的运算法则 熟练运用幂的运算公式进行分式化简（新增内容） 命题趋势：与分式乘除、科学记数法结合考查（如） 分式的约分与通分 能结合因式分解和幂的运算进行化简 易错点：约分时漏掉负指数（如） 分式的四则运算 能熟练进行分式的加减乘除及混合运算，规范书写步骤 易错点：运算顺序错误（如先乘除后加减）、通分时漏乘分子（如通分错误） 分式方程的解法与应用 会解分式方程并验根，能建立分式方程解决实际问题（工程、行程等） 跨学科题型：与物理、化学中的浓度问题结合考查（如溶液混合问题） 知识点01 分式的概念及其基本性质 分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. 分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. 分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 示例：判断是否为分式： 是分式（分母含字母且不为零） 不是分式（π为常数，分母不含字母） 易错点：误认为所有含分母的式子都是分式（如是整式） 忽略取值范围：需同时满足且 知识点02 分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 示例：计算： 需通分： 易错点： 异分母加减时直接相加分母（如） 漏乘分子：通分时未对分子整体乘因式（如漏乘或） 知识点03 分式的乘法和除法 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再 约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后， 再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果 符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 示例：计算： 转化为乘法： 易错点：未颠倒除式直接相乘（如误为） 约分不彻底：应化为而非 知识点04 分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后 加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号 的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 示例： 计算： 通分括号内： 除法转乘法： 易错点： 运算顺序错误：先算加减后乘除（如误先算加法） 符号错误：提取负号时未变号（如） 知识点05 整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者 缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 示例： 计算： 幂的运算： 易错点： 混淆公式：误为 负指数变形错误：误为 知识点06 可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上扩号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程， 则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 示例： 解方程： 去分母得 解得（验根为增根，无解） 易错点： 漏乘无分母项（如方程两边同乘时漏乘“3”） 未验根：解分式方程必须检验分母是否为零 题型一 分式有意义的条件与值为零 解｜题｜技｜巧 双条件判断：分式值为零需同时满足分子=0且分母≠0 隐含条件：分母≠0在化简过程中始终成立（如解分式方程时） 易｜错｜点｜拨 漏验分母：如求分式值为零时，易忽略的条件 混淆概念：误认为分式无意义时值为零 【典例1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·期中）要使分式有意义，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0，即可求解． 【详解】解：由分式的分母不能为0，得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）请写一个分式，使它满足当时，分式无意义，当时，它的值为0，这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件为分母等于零，分式的值为零，分子为零．根据分式有意义的条件和分式的值为零的条件进行解答即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0，则分式分子等于0，且分母不等于0是解题的关键． 根据分式值为0的条件得到，且，求解即可． 【详解】解：∵的值为0， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 题型二 分式化简中的符号处理 解｜题｜技｜巧 统一负号：将分母最高次项系数化为正数 变号法则：，但 分子添括号：多项式分子在约分时需保持整体性 易｜错｜点｜拨 约分丢负号：如误为 通分漏乘： 【典例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是判断分式变形是否正确，依据分式的基本性质对分式进行适当变形是解题的关键．依据分式的基本性质对分式进行变形即可． 【详解】解：． 故选：D 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）下列各式中，从左向右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变，逐一验证各选项是否符合该性质即可. 【详解】解：选项A：，分子分母均减去2，不符合分式基本性质（需乘除非零整式），故错误， 选项B：，分子分母均除以（时），化简后等式成立，故正确； 选项C：，左边可拆分为，与右边明显不等，故错误； 选项D：，若等式成立，需分子分母同时除以3，但常数项无法满足此操作，故错误， 综上，正确答案为B， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）时，分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先将分式约分化简，然后将a的值代入化简后的结果进行计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 题型三 整数指数幂的运算 解｜题｜技｜巧 负指数转化：（注意） 科学记数法：（指数为小数点移动位数） 易｜错｜点｜拨 混淆法则：误为 符号错误：误为 【典例1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列计算中，正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整数指数幂的相关运算法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，写法正确，符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·广西桂林·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含负整数指数幂的运算，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂和乘方，再尽心加减计算； （2）分别计算负整数指数幂，幂的、积的乘方运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整数指数幂的运算，积的乘方运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则，同底数幂除法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型四 分式方程增根问题 解｜题｜技｜巧 解方程步骤：去分母→解整式方程→验根 增根判定：使最简公分母=0的根必为增根 易｜错｜点｜拨 漏乘项：如解时，易漏乘常数项 未检验：直接写出整式方程的解 【典例1】（24-25八年级下·四川内江·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的概念是解题的关键．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为． 当分母为零时，增根为． 将方程变形：，合并分式得． 两边乘以，得，化简为． 整理得，即． 将增根代入，得，解得． 故的值是． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·河南开封·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0 B．8 C．4 D．0或8 【答案】D 【分析】先去分母，分式方程化为整式方程，再由增根的定义，则整式方程根为，代入，进行求解，即可作答．本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∵关于的分式方程有增根， ∴ 把代入； 把代入； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）若关于x的方程有增根，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母为0，所以增根是，把增根代入化为整式方程的解，即可求出m的值． 【详解】解：， 方程两边都乘得：， 解得：， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【变式3】（24-25八年级下·四川巴中·期中）如果关于x分式方程 有增根，则增根 ，若分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】先明确增根的定义（使分式方程分母为的根 ），求出增根；再将分式方程化为整式方程，结合增根情况或整式方程无解的情况，确定的值．本题主要考查了分式方程的增根及无解的情况，熟练掌握“增根是使分式方程分母为的根，分式方程无解包括产生增根和整式方程本身无解（本题整式方程恒有解，主要考虑增根情况 ）”是解题的关键． 【详解】解：对于分式方程，其分母为． 根据增根定义，令， 解得， ∴增根 ． 先将分式方程两边同乘（ ）， 化为整式方程：，即 ． 因为分式方程无解，产生增根，即，把代入， 得， 解得 ． ∴时，分式方程无解 ， 故答案为：，． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则代数式（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质和代数式求值．先根据设比例常数，将x和y用k表示，即，，再将含k的式子代入到分式中计算，最后化简分式可得到答案． 【详解】解：设， 则，， 将，代入式子中， 可得， 即的值为5． 故选：A． 2．若式子有意义，则x满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的除法，分式有意义的条件，正确理解定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ， 且且， 故选：D． 3．若，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂，平方差公式，积的乘方的逆运算，先根据若，，分别计算出a，b，c的值，再比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 4．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值．先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 5．若分式方程无解，则的值为 【答案】9 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解与方程增根的关系是解题的关键．先解分式方程得，再由方程无解可知，解出m即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 移项，得， 合并同类项，得， ∵方程无解， ∴， ∴， 故答案为：9． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解： 整理得 去分母 解得 经检验：当时， 故原分式方程无解 8．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 【答案】(1)A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模型的单价为900元 (2)有3种购买方案：①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架；②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架；③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，根据用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架，根据购买费用18000元，列出方程，得出答案即可． 【详解】（1）解：设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，由题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：A款无人机模型的单价为1 500元，B款无人机模型的单价为900元． （2）解：设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架．由题意得： ， 整理得：， ∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架； ②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架； ③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 2．如果写成下列各式，正确的共有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法和乘法，分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法和乘法的运算法则计算各式，找出等于的个数． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 结果为的有②④⑥⑦，一共4个． 故选：D． 3．对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算： ． 【答案】​​​​​​​ 【分析】本题考查分式化简求值及规律，根据，得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：； 4．乘方之美：当多个相同数相乘时，可以使用“幂次方”来表示．例如，（4个8相乘）；（6个7相乘）． (1)基于上述规则，判断下面说法的正误． ①比大8倍．（    ） ②比8大10倍．（    ） (2)计算． (3)至的数值如下： 个位上的数字是（    ）． 【答案】(1)①×；②× (2) (3)9 【分析】本题主要考查了乘方，乘方的运算，数字类的规律探索，解题的关键掌握乘方的意义和运算法则． （1）利用乘方的除法进行判断即可； （2）利用乘方的运算法则进行求解即可； （3）根据给出的结果，找出规律，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：①，故①错误； ②，故②错误； （2）解：， 故答案为：； （3）解：根据给出的结果的个位数可得出，个位数呈循环规律，循环周期为4， ∴， ∴个位上的数字是9， 故答案为：9． 5．先化简，然后从，0，1中选择一个合适的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题主要考查分式的化简求值，利用分式的运算法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，选取合适的数代入运算即可． 【详解】解： ； 当或1时，分式无意义， 所以，取时，原式 6．元宵节是我国的传统节日，人们素有吃汤圆的习俗．某商场在元宵节来临之际用3000元购进A，B两种汤圆550袋，购买A种汤圆与购买B种汤圆的费用相同．已知A种汤圆的单价是B种汤圆单价的倍． (1)求购进A，B两种汤圆的单价各是多少? (2)商场按进价提高标价销售，销售一段时间后，A种汤圆全部售完，B种汤圆剩余一半，商场决定B种汤圆按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批汤圆商场共获利多少元？ 【答案】(1)A种汤圆6元，B种汤圆5元 (2)1200元 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键； （1）设种汤圆单价是元，则种汤圆单价是元，根据购买种汤圆与购买种汤圆的费用相同，可知购买两种汤圆各花费1500元，再根据两种汤圆共购进550袋，列出分式方程即可求解； （2）由（1）可计算出购买两种汤圆的袋数及B种汤圆的标价，根据利润等于一袋的利润与数量的积即可求解． 【详解】（1）解：设B种汤圆单价是x元，则A种汤圆单价是元， 根据题意，得： 解得． 经检验，是方程的解，且符合题意． ∴ A种汤圆单价是：（元）． （2）解：A种汤圆购买了（袋），B种汤圆购买了（袋）， B种汤圆的标价为（元）， 共获利：（元）， 答：共获利1200元． 7．（1）化简：；     （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，解分式方程，熟练掌握整式的混合运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先根据平方差公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行加减计算； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验是否有增根即可． 【详解】解：(1)原式 (2)方程两边同乘 得， 解得 ， 检验：当 时， 是分式方程的解． 8．已知关于x的分式方程 (1)若，求分式方程的解 (2)若分式方程无解，求a的值 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）将代入分式方程中，求出分式方程的解； （2）先去分母，根据分式方程无解，再分3种情况，分别求得a的值． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得， 解得：， 经检验是原分式方程的解； （2）， 去分母，得， 整理方程，得 解得：， ∵分式方程无解， ∴，或或 ， ①当时，， 所以， 解得：， ②当时，， 此时， 解得：， ③当时，方程也无解，此时， 综上所述，a的值为或或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简、平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先将分式化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 由，且， ，， ，， ， ，， 原式， 故选：B． 2．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 3．已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】4053 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果． 【详解】解： ． ∵，，， ∴，， ∴， 原式． 故答案为：4053． 4．已知x，y，z，a，b，c均为实数，且（其中），求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，进而得到，，，再把所求式子变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 同理可得， 当时，， ∴无意义， ∴， ∴ ． 5．当取何值时，式子的值为正数？ 【答案】且 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，分式的值，先根据乘除混合运算法则，进行化简，再根据分式的值为正数，则分子分母同号，且要保证分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：原式． 因为式子的值为正数，所以，即． 又因为式子中，需满足， 所以当，且时，式子的值为正数． 6．某汽车从地驶向地，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时距离地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时已超过地30千米，求两地距离． 【答案】54千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用. 设两地距离为千米，根据题意得到，整理后求出即可. 【详解】解：设两地距离为千米， 若每分钟行驶千米，则从地驶向地共需分钟，若每分钟行驶千米，则从地驶向地共需分钟，距离地还有10千米时共需分钟， 根据若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则时距离地还有10千米可得： 同理可得 ∴， 整理得 解得． 经检验是原方程组的解． 答：两地距离为54千米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $