专题01 有理数（9清单+14常考题型+6易错+3方法）（期中知识清单）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题01 有理数（9知识&14题型&6易错&3方法清单） 【清单01】有理数 1. 正数、负数的概念 定义 举例 摘要 正数 大于0的数 0.5，，+2 正数前面的“＋”号可以省略不写 负数 在正数前面加上“-”（负号）的数 -0.5，，-2，-（+1） 负数前面的“-”号不可以省略不写 【补充】 1）判断一个数是正数还是负数，不能简单理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，要看其本质是正还是负. 2. 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 3. 有理数分类： 【小结】两种分类方法有一个共同点：都是将有理数细分成五类，即正整数、正分数、0、负整数、负分数. 【清单02】数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 数轴的画法：画数轴时，关键是要体现出数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.如果用数轴表示数，那么步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数. 【清单03】相反数 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 【解读】 1）相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数，只能说一个数是另一分数的相反数. 2）0是唯一一个相反数等于本身的数，除0以外互为相反数的两个数一正一负. 3）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 相反数的性质： 1）任何一个数有且只有一个相反数. 2）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数仍是0. 多重符号化简：进行多重符号化简时，首先要注意， 1）一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉， 2）其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”， 当“-”的个数为奇数时，结果取“-”，简称“奇负偶正”. 【注意】“奇偶”是指数前面的“-”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号. 【清单04】绝对值 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【热考】绝对值的性质：1）绝对值具有非负性，即|a|≥0. 2）互为相反数的两个数的绝对值相等.如：若|a|=|b|，则a=b或a=-b. 3）任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，则这几个数都等于0，即|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性.离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小. 【清单05】有理数的加减法 1. 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0.即：若a＞0，b＜0，|a|=|b|，则a+b=0. 4）一个数与0相加，仍得这个数.即：a+0=a. 2. 有理数加法的运算步骤（“一判二定三加减"）： 第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则； 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 3.有理数加法运算率： 文字描述 字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变. 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 注意：运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换. 4. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即 【清单06】有理数的乘除法 1. 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 【补充】1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 2）运算时，一般把小数化为分数，带分数化为假分数，方便约分. 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.用式子表示为（其中a≠0） 2. 有理数乘法运算率： 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 3. 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 2）0不能作除数，0作除数时无意义； 3）有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值； 【清单07】有理数的乘方 1. 乘方的概念 概念 示例 乘方 求n个相同因式的积的运算，叫做乘方. 如n个a相乘： 幂 乘方的结果叫做幂. 底数 在中，a叫做底数. 指数 在中，n叫做指数. 【补充】 1）一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如：5就是，指数1通常省略不写. 2）指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方).例如，读作“n的平方”(或“n的二次方”)，读作“n的立方”(或“n的三次方”). 3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 4）书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.如：. 2. 有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算. 3. 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【清单08】科学记数法 概念：把一个绝对值大于10的数表示为（其中1≤|a|＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法． 科学记数法的表示步骤： 1）确定a，将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面即可得到a的取值. 2）确定n.有以下两种方法:①根据原数的整数位数来确定n，n等于原数的整数位数减1. ②按小数点移动的位数来确定n.小数点向左移动了几位，n就等于几. 示例： 【清单09】近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.例如3班共52人，男生29人，女生23人，数字“52”，“29”和“23”就是准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.例如π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一数位. 有效数字的概念：从一个数左边第一非0数字起，到末位数字为止，所有数字都是这个数的有效数字.例：0.0120有三个有效数字：1，2，0；3.6万有两个有效数字：3，6；有四个有效数字：4，3，6，0. 【题型一】相反意义的量 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）小明向北走记为，那么的意义是（   ） A．小明向东走 B．小明向西走 C．小明向南走 D．小明向北走 【答案】C 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的量，向北走记为正，则向南走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向北走记为， ∴的意义是小明向南走， 故选：C． 2．（24-25七年级上·北京·期中）下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【详解】解：A、前进米和后退米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； B、身高增加厘米和体重减少千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意； C、超过克和不足克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、节约吨水和浪费吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·广东梅州·期中）气温上升计作，则表示的意义是 ． 【答案】气温下降 【分析】此题主要考查了正负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：根据正负数表示的意义，温上升计作，则表示的意义是气温下降． 故答案为：气温下降． 4．（17-18七年级上·全国·课后作业）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“＋”表示进库，“－”表示出库） ，，，，，． (1)经过这6天，仓库里的货品________．（填“增多了”或“减少了”） (2)经过这6天，仓库管理员结算时发现仓库里还剩货品，那么6天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果货品进出仓库的装卸费都是每吨5元，那么这6天共需付多少元装卸费？ 【答案】(1)减少了 (2)吨 (3)元 【分析】（1）根据题意把各个数据相加，若得数为负，说明减少了，若得数为正，说明增加了； （2）剩下货品加上出的货品即为所求； （3）分别把这6天装卸的货物求出，再乘以装卸费用即为所求． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过这6天，仓库里的货品减少了， 故答案为：减少了； （2）（吨）， 答：6天前仓库里有货品吨； （3）（元） 答：这6天要付元装卸费． 【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，相反意义的量、有理数加法及应用，熟练掌握有理数的运算法则，理解题意是解此题的关键． 【题型二】用数轴上的点表示有理数 5．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最小的即可． 【详解】解：∵数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值， ∴由数轴可得四个数中，点离原点最近， ∴这四个数中，绝对值最小的数是， 故选：． 6．（24-25七年级上·河北邢台·期中）琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识，解题的关键是根据数轴确定被墨迹盖住部分数的取值范围，再据此判断选项中的数是否在该范围内． 先确定数轴上被墨迹盖住部分数的取值范围，然后逐一分析选项中的数是否在这个范围内． 从数轴上可以看出，被墨迹完全盖住部分的数的取值范围是大于且小于0． 【详解】A、，不在到0这个范围内，所以A选项错误； B、，在到0这个范围内，所以B选项正确； C、，不在到0这个范围内，所以C选项错误； D、，不在到0这个范围内，所以D选项错误． 故选：B． 7．（2024·北京西城·模拟预测）如图，数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c，且满足，，则原点在（    ） A．点A左侧 B．点A点B之间（不含点A点B） C．点B点C之间（不含点B点C） D．点C右侧 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法运算，乘法运算的含义，熟练掌握各自的性质是解题关键．由已知条件可得，，，，即可确定原点位置． 【详解】解：由数轴可知：， ，， ，，，， 原点在点A点B之间（不含点A点B）， 故选：B． 8．（24-25七年级上·四川德阳·期中）点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数互为相反数，若点B所表示的数为n，点A与点B之间的距离为2，则点D所表示的数为 ．（请用含有n的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离，根据给定点B和点与点之间距离求得点A，利用点、表示的数互为相反数即可求得点D． 【详解】解：∵点所表示的数为，点与点之间的距离为2， ∴点A所表示的数为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴点所表示的数为． 故答案为：． 【题型三】多重符号化简 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，相反数的定义．先化简各数，然后根据相反数的定义，即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】解：A、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；     B、和，则和互为相反数，故该选项符合题意；     C、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；        D、和，则0.6和不是互为相反数，故该选项不符合题意；         故选：B． 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的识别，化简多重符号，先根据化简多重符号的法则求出对应的数的结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ∴一定是正数的有，，由于m的符号未知，故的符号未知， 故选：B． 11．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）已知a是的相反数，b比最小的正整数大3，c是最大的负整数的相反数，求的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查相反数及有理数的加法运算，熟练掌握相反数及有理数的加法运算是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，最小的正整数是1，最大的负整数是， ∴， ∴． 12．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥； （2）当前面有2022负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【分析】本题考查的是相反数的概念和多重符号化简，掌握一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数是解题的关键． 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； （2）当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【题型四】相反数的应用 13．（22-23七年级上·陕西咸阳·期中）如图，在数轴上，点、分别表示数、，且．若、两点间的距离为，则点表示的数为(　　) A． B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】根据，结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵点、分别表示数、，且，、两点间的距离为， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了求数轴上两点距离，相反数的意义，数形结合是解题的关键． 14．（2021·河北·中考真题）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用加法与减法互为逆运算，将0减去即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可． 【详解】解：方法一：； 方法二：的相反数为； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变． 15．（18-19七年级上·全国·课后作业）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    16．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   【答案】3 【分析】本题考查了数轴、相反数的几何意义，解决本题的关键是判断出原点的位置． 先利用相反数的几何意义确定原点为线段的中点，再根据原点右边的数为正数进行判断解答即可． 【详解】解：点M，N表示的有理数互为相反数， ∴原点O在的中点处，如图， ∴图中在原点O右边的数为正数的点是P、N、Q三个点． 故答案为：3． 【题型五】绝对值的几何意义 17．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可直接进行求解． 【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是； 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键． 18．（23-24七年级上·广东梅州·期末）下列说法正确的个数是（　　） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 19．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·河南许昌·期中）已知的相反数是它本身，是最大的负整数，，则 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了相反数、绝对值、有理数的减法，熟练掌握相反数的定义，绝对值的性质，有理数的减法运算法则是解题的关键．根据相反数的定义和绝对值的性质分别求出a、b、c的值，再利用有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：的相反数是它本身， ， 是最大的负整数， ， ， ， 或． 故答案为：6或． 【题型六】绝对值/乘方的非负性求解 21．（24-25七年级上·山东济南·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性、有理数的乘方，根据非负数的性质求出，，然后代入代数式，根据有理数的乘方的运算法则计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·全国·期末）已知，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，根据，解得，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，且 解得 ∴ 故答案为：9． 23．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题关键． 根据非负数的性质列出方程，求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ， ，，解得：，， ． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·广东湛江·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值． （1）先根据非负数的性质求出，，然后代入计算即可； （2）先根据非负数的性质求出，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得，，， 则； （2）由题意得，，， 解得，，， 则． 【题型七】比较有理数的大小 25．（24-25七年级上·广东中山·期中）在有理数4，，，0中，最小的是（   ） A．4 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．2、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：B． 26．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）用“<”“=”或“>”填空： （1） （2） （3） （4） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． （1）根据相反数和绝对值的性质化简后，再根据正数大于负数判断即可； （2）两个负数比较大小，其绝对值大的反而小； （3）两个负数比较大小，其绝对值大的反而小； （4）两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：（1）， ； （2）， ； （3）， ． （4）， ． 故答案为：；；；． 27．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据正数都大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较出其大小并在数轴上表示出来即可； 本题考查了有理数大小的比较及在数轴上表示数，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【详解】解：， 在数轴上表示为： 28．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）用比较下列各组数的大小： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，多重符号化简，解题的关键是掌握有理数的大小比较． （1）先化简计算，再比较大小； （2）根据两个负数大小的比较方法进行解答即可； （3）先根据乘方运算法则进行计算，再比较大小即可； （4）先化简计算，再比较大小． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，， ∴． 【题型八】有理数的加减混合运算 29．（24-25七年级上·重庆·期中）把式子写成省略括号和加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．根据有理数的加减运算即可求出答案． 【详解】解：， 故选：D． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲： ； 乙： 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．由有理数的加减的运算法则进行判断，即可进行判断． 【详解】解：甲： ，故甲不正确； 乙： ，故乙正确 故选：D． 31．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 【答案】 【分析】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图象如何转化成常见运算的形式． 根据题意列式求解即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：2． 32．（24-25七年级上·四川眉山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： . 33．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)26 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则计算即可； （2）利用有理数的减法法则计算即可； （3）利用有理数的减法法则计算即可； （4）利用有理数的加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型九】有理数的乘法运算 34．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算以及乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键．根据有理数乘法运算、乘法运算律逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法交换律和结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，原运算不符合乘法分配律，错误，符合题意． 故选：D． 35．（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 36．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 37．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）计算每个括号，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， … ∴； 故答案为：． （2）解： ． 【题型十】有理数的乘方 38．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和乘方运算，根据绝对值和乘方运算的法则计算后即可比较得到答案． 【详解】A、∵ ∴故A选项不符合题意； B、∵ ∴ 故B选项不符合题意； C、∵， ∴故C选项符合题意； D、∵ ∴故D选项不符合题意． 故选：C． 39．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查负数的定义、有理数乘方、去括号、绝对值等知识点，熟记相关概念是解题的关键． 先运用有理数乘方、去括号、绝对值化简相关数据，然后再根据负数的定义解答即可． 【详解】解：，，，，， 所以在，、、、、、0中，负数有、、共3个． 故选B． 40．（24-25七年级上·河北保定·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：， 故选： D． 【题型十一】有理数四则混合运算 41．（24-25七年级上·四川巴中·期中）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟记有理数的混合运算的顺序，运算法则和运算定律． （1）根据混合运算的顺序和绝对值与运算法则进行计算便可； （2）根据乘法的分配律进行计算便可； （3）根据混合运算的顺序与运算法则进行计算便可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 42．（24-25七年级上·福建泉州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． (1)先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； (2)先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（24-25七年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循有理数混合运算顺序：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，能运用乘法分配律简便计算的可优先使用． （1）先判断括号内运算符号，利用乘法分配律计算括号内式子与的乘积，再计算括号内的减法并化简符号，最后进行加减运算； （2）先计算乘方和绝对值，再按从左到右顺序进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 44．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先利用乘法的分配律计算乘法并计算括号里的减法，最后算加减法即可； （2）先计算乘方，再算乘法和除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（24-25七年级上·天津·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先算乘法，再算加减即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型十二】有理数四则混合运算的实际应用 46．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米 (2)估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键； （1）用标准乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可； （2）求出油车和电车所需的费用，作差即可． 【详解】（1）解：； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （2）（元）； 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 47．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）出租车司机李师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接八位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？ (2)若汽车耗油量为每千米0.07升，这天上午李师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为10元，起步里程为（包括），超过部分每千米2元，求李师傅这天上午共获得车费多少元？ 【答案】(1)李师傅在起始的西的位置 (2)出租车共耗油升 (3)李师傅这天上午共得车费元 【分析】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，有理数四则运算的实际应用，正负数的实际应用是重点又是难点． （1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方； （2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案； （3）分别计算八位乘客的费用，相加即可． 【详解】（1）解：， 答：李师傅在起始的西的位置； （2）解： （升） 答：出租车共耗油升； （3）解：8位乘客中，有2位乘客里程小于或等于，车费为（元）； 有6位乘客里程大于， 这6位乘客的车费分别为： （元）； （元）； （元）； （元）； （元）； （元）； 李师傅这天上午共得车费（元） 答：李师傅这天上午共得车费元． 48．（24-25七年级上·福建泉州·期中）为积极响应保护环境的号召，某运输公司购置了一批新能源汽车，其中编号为的车辆连续7天的行驶路程如下表（单位：）（以30为标准，多于记为正，低于记为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 (1)这7天里路程最多的一天行驶了_________，行驶最多的一天比最少的一天多_________． (2)已知该新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.6元，求该新能源汽车这7天的充电费用． 【答案】(1)46，26 (2)该新能源汽车这7天的充电费用为26.16元 【分析】本题主要考查了正负的意义，绝对值的意义，有理数的运算， （1）先比较各数的大小，再计算得出答案； （2）先求出汽车行驶的总路程，再求出总耗电量，然后乘以耗电的单价即可. 【详解】（1）因为， 所以这7天里路程最多的一天行驶了. 所以行驶最多的一天比最少的一天多行驶了. 故答案为：46，26； （2） ， ， 所以这7天充电的费用为（元）. 【题型十三】用科学记数法表示较大的数 49．（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 50．（2024·河南·中考真题）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值是解题的关键． 用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：5784亿． 故选：C． 51．（2023·湖北武汉·中考真题）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是 （备注：1亿＝100000000）． 【答案】9 【分析】将13.6亿=写成（，n为整数）的形式即可． 【详解】解：13.6亿==． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键． 52．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可； （2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示． 【详解】（1） （2） 所以． 【点睛】本题考查了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学记数法表示出结果是解题的关键． 【题型十四】近似数 53．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 【答案】C 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：A．（精确到，正确，不符合题意； B．（精确到百分位），正确，不符合题意； C．（精确到十分位），原说法错误，符合题意； D．（精确到，正确，不符合题意； 故选C． 54．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数和精确度相同 B．（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．π取，身高约，其中和165都是近似数 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，精确度和求一个数的近似数，近似数的最后一位在什么位上，则精确到什么位，精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，据此求解判断即可． 【详解】解：A、近似数精确度十分位，精确度百分位，二者精确度不相同，原说法错误，不符合题意； B、（用四舍五入法精确到），原说法错误，不符合题意； C、由四舍五入得到的近似数，精确到百位，原说法错误，不符合题意； D、π取，身高约，其中和165都是近似数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 55．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）有 个有效数字． 【答案】 【分析】本题考查的是有效数字的定义，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，解答此题的关键是熟知一个近似数的有效数字是从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字． 【详解】解：有个有效数字，分别是：， 故答案为：． 【题型一】忽略分数的概念而导致有理数分类出错/未理解含非有理数的概念 1．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）在、、、、0、、中，有理数的个数是（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的定义，根据整数和分数统称为有理数进行求解即可． 【详解】解：有理数有、、、0、，共8个， 故选：A． 2．（贵州省遵义市新蒲新区滨湖中学2024-2025学年上学期七年级期中综合素养测评数学）在数，，中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知非负整数的定义是解题的关键．根据非负整数的定义求解即可． 【详解】解：，，，，， 在数，，中，非负整数有共2个， 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期中）下列各数中：，0，，，，，中，非正数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类．熟练掌握多重符号化简，绝对值的意义，是解题的关键．根据负数和零统称为非正数，进行判断即可． 【详解】解：， ∴，0，，，，，中，非正数有：、0、、、，共5个； 故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）把下列各数分别填在相应的大括号内∶，4.8，73， ，，，，0． 正数集合  ｛                      ｝    负数集合  ｛                         ｝ 正分数集合｛                      ｝    整数集合  ｛                         ｝ 非负数集合｛                      ｝    负分数集合｛                         ｝ 非正整数集合｛                    ｝   正有理数集合｛                         ｝ 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数的相关概念是解题关键．根据有理数的相关概念，即可获得答案． 【详解】解：正数集合  ｛4.8，73，，｝， 负数集合  ｛，，，｝， 正分数集合｛4.8，｝， 整数集合  ｛，73，0｝， 非负数集合｛4.8，73，，0｝， 负分数集合｛，，｝， 非正整数集合｛，4.8， ，，，，0｝， 正有理数集合｛4.8，73，｝． 【题型二】未正确理解有理数的相关概念 5．（24-25七年级上·福建三明·期中）以下叙述正确的是（   ） A．是一个负数 B．若，则 C．若一个数的平方是16，则这个数是4 D．在“0，，”三个数中，不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、绝对值、平方的定义、有理数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据相反数、绝对值、平方的定义、有理数的分类，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、当时，是一个正数，故此选项叙述错误，不符合题意； B、若，则或，故此选项叙述错误，不符合题意； C、若一个数的平方是16，则这个数是4或，故此选项叙述错误，不符合题意； D、在“0，，”三个数中，不是有理数，故此选项叙述正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）关于有理数说法正确的是（ ） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的分类，概念，掌握有理数的分类，概念是解题的关键．根据有理数的分类，概念即可求解． 【详解】解：A．是分数，故A不符合题意； B．0不带“−”号，但不是正数，故B不符合题意； C．0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D．整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示的点一定在原点的左边 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数． D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 【答案】D 【分析】题目主要考查绝对值的性质，有理数的乘法，结合绝对值、数轴及有理数乘法法则逐一分析各选项的正误即可 【详解】解：选项A：当时，，对应原点，不在左边，故A错误，不符合题意； 选项B：互为相反数的数绝对值相等（如与），但两数不相等，故B错误，不符合题意； 选项C：偶数个负因数相乘结果为正数，不是负数，故C错误，不符合题意； 选项D：设该数为，若，则必为负数（正数和零均满足），故D正确，符合题意； 故选：D 8．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（   ） 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4； 丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则是解题的关键．根据有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则逐个判断即可． 【详解】解：是5个2相乘，故甲的观点不正确； ，结果相同，故乙的观点不正确； 中底数是，指数是4，故丙的观点正确； 是4个n相乘，故丁的观点不正确； 所以观点正确的有1个． 故选：B． 【题型三】已知数轴上到已知点的距离，求这个点所表示的数 【解析】由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 9．（20-21七年级上·安徽阜阳·阶段练习）点在数轴上表示，点离的距离是3，那么点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，注意数轴上到一个点距离相等的点有两个，要考虑全面． 数轴上与 距离为3的点有两个，一个在左，一个在右，可得点表示的数． 【详解】解：， ， 故选：C． 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和点B距离相等，列式计算，即可作答．即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为6， ∴点B表示的数是：和6， ∵数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B， ∴或 ∴点A表示的数是2或， ∵点C到点A和点B距离相等， ∴或， ∴点C表示的数是或10 故选：B． 11．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于 ． 【答案】3或7/7或3 【分析】根据题意求出，分点C在点B的右侧和点C在点B的左侧两种情况计算． 【详解】∵点A、B表示的数分别为、1， ∴， 第一种情况：点C在外，如图，； 第二种情况：点C在内，如图，； 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键． 【题型四】对绝对值的意义理解不清 12．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，即可解答，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由选项可知A，B，C符合，D不符合， 故选：D． 13．（24-25七年级上·全国·期中）若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的代数意义判断即可． 【详解】∵ ∴，即a是非负数． 故选：C． 14．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 【题型五】解含绝对值方程时未分类讨论 15．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据题中提供的思路解方程，即：利用绝对值的意义将原方程化为两个一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ，且， 原方程可化为或， 由，解得：， 由，解得：， 原方程的解是或． 16．（24-25七年级上·四川雅安·期中）已知有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，原点为O． (1)试化简； (2)若数轴上有一点所表示的数为x，且，求x的值． 【答案】(1)0 (2)或 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是根据绝对值的意义化简绝对值． （1）根据点在数轴上的位置，得出，求出，根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据绝对值的意义，结合，得出或，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：根据数轴上点的位置得：， ∴，，， 则原式； （2）解：∵， ∴或， ∴或． 【题型六】解决含绝对值的不等式问题时漏解 17．（24-25七年级上·全国·期末）已知，且，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义得出，根据，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 18．（24-25七年级上·北京·期中）已知，当时，的值是 ． 【答案】5或11 【分析】本题主要考查绝对值，先根据绝对值的性质得出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：5或11． 19．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求代数式的值，有理数的减法，绝对值的性质，有理数的减法，熟记运算法则和性质是解题的关键，难点在于确定出a、b的值． 根据绝对值的性质和确定出a、b的值，然后分情况代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， 或，或， 解得或，或． ， ，或， ， 或． 综上所述，的值为或． 故答案为：或 【题型一】型绝对值化简问题 解题大招： 1）n个型式子相加，结果的所有可能的值的个数为n+1，其中最大值为n，最小值为 - n. 2）结果的所有可能的值按从大到小的顺序排列，依次减2. 3）当型式子的个数为奇数时，结果的所有可能的值为奇数，个数为偶数时，所有可能的值为偶数. 1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）若，则的值为（   ） A．或 B． C．或0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算，分类讨论是解答本题的关键．由得，代入，然后分两种情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式， 当时，原式． 故选B． 2．（24-25七年级上·北京·期中）若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有两种情况：①，，②，； ①当，时，； ②当，时，； 综上所述，的值为：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，，，则代数式的值为 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的应用，熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 由已知条件得出，，，再化简式子，再分四种情况讨论：当，，时，当、、中有一正两负时，当、、中有两正一负时，当，，时，分别化简即可． 【详解】解：，， ，，， 当，，时，原式 当、、中有一正两负时，不妨设，，， 原式 当、、中有两正一负时，不妨设，，， 原式 当，，时， 原式 综上，原式的值是或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)的值为1或； (3)的值为1或． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断，同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断，，全负或，，两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断，，两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，是有理数，当时， ∴，同号， 当，时， ， 当，时， ； 故答案为：2或； （2）解：∵ ∴，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ②当，，两正一负时， 不妨设，，，， 综上所述，的值为1或； （3）解：∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴，，两正一负， Ⅰ）当，，时，， Ⅱ）当，，时，， Ⅲ）当，，时， ∴的值为1或． 【题型二】利用奇点偶段求绝对值和的最小值 步骤: 求出每个绝对值等于0时x的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整个式子都能取到最小值. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 1．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）若为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2023 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，最小值为， 故答案是：2023． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论． 根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【详解】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ∴的最小值是8． 故答案为：8． 4．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1) (2)6 (3)8， (4)90 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可； （2）根据题意，得，得到时， 取得最小值，解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∵， ∴， ∴的最小整数值是， 故答案为：． （2）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：6． （3）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示0的两点在数轴上的距离的和， ∴， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：8，． （4）解：根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和， 即． 故答案为：90． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 【题型三】新定义运算问题 解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义.如果需要计算，那么将题目中定义的新运算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算;如果需要证明其性质，那么列出含有新定义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明. 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4 ； （2）解：由题意可得，※ ． 2．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算： （1）根据新定义得到，据此代值计算即可； （2）根据新定义得到，再根据，进行计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·河南漯河·期中）规定：如果，那么称a为b的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是a、b两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：______； (2)劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则，．根据运算性质，填空： ①______（b为正数）； ②若，则______，______；（答案精确到小数点后一位） ③当，，，写出a，b，c之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)①3；②1.5，；③ 【分析】本题考查了有理数的乘方，解答此题的关键是理解劳格数的定义与性质． （1）根据劳格数的定义解答即可； （2）根据劳格数的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：根据劳格数的定义，； （2）解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴； ③∵，，， ∴， ∴，即． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（9知识&14题型&6易错&3方法清单） 【清单01】有理数 1. 正数、负数的概念 定义 举例 摘要 正数 大于0的数 0.5，，+2 正数前面的“＋”号可以省略不写 负数 在正数前面加上“-”（负号）的数 -0.5，，-2，-（+1） 负数前面的“-”号不可以省略不写 【补充】 1）判断一个数是正数还是负数，不能简单理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，要看其本质是正还是负. 2. 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 3. 有理数分类： 【小结】两种分类方法有一个共同点：都是将有理数细分成五类，即正整数、正分数、0、负整数、负分数. 【清单02】数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 数轴的画法：画数轴时，关键是要体现出数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.如果用数轴表示数，那么步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数. 【清单03】相反数 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 【解读】 1）相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数，只能说一个数是另一分数的相反数. 2）0是唯一一个相反数等于本身的数，除0以外互为相反数的两个数一正一负. 3）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 相反数的性质： 1）任何一个数有且只有一个相反数. 2）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数仍是0. 多重符号化简：进行多重符号化简时，首先要注意， 1）一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉， 2）其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”， 当“-”的个数为奇数时，结果取“-”，简称“奇负偶正”. 【注意】“奇偶”是指数前面的“-”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号. 【清单04】绝对值 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【热考】绝对值的性质：1）绝对值具有非负性，即|a|≥0. 2）互为相反数的两个数的绝对值相等.如：若|a|=|b|，则a=b或a=-b. 3）任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，则这几个数都等于0，即|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性.离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大.离原点距离越近，这个数的绝对值就越小. 【清单05】有理数的加减法 1. 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0.即：若a＞0，b＜0，|a|=|b|，则a+b=0. 4）一个数与0相加，仍得这个数.即：a+0=a. 2. 有理数加法的运算步骤（“一判二定三加减"）： 第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则； 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 3.有理数加法运算率： 文字描述 字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变. 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 注意：运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换. 4. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即 【清单06】有理数的乘除法 1. 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 【补充】1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 2）运算时，一般把小数化为分数，带分数化为假分数，方便约分. 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.用式子表示为（其中a≠0） 2. 有理数乘法运算率： 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 3. 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 2）0不能作除数，0作除数时无意义； 3）有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值； 【清单07】有理数的乘方 1. 乘方的概念 概念 示例 乘方 求n个相同因式的积的运算，叫做乘方. 如n个a相乘： 幂 乘方的结果叫做幂. 底数 在中，a叫做底数. 指数 在中，n叫做指数. 【补充】 1）一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如：5就是，指数1通常省略不写. 2）指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方).例如，读作“n的平方”(或“n的二次方”)，读作“n的立方”(或“n的三次方”). 3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 4）书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.如：. 2. 有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算. 3. 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【清单08】科学记数法 概念：把一个绝对值大于10的数表示为（其中1≤|a|＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法． 科学记数法的表示步骤： 1）确定a，将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面即可得到a的取值. 2）确定n.有以下两种方法:①根据原数的整数位数来确定n，n等于原数的整数位数减1. ②按小数点移动的位数来确定n.小数点向左移动了几位，n就等于几. 示例： 【清单09】近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.例如3班共52人，男生29人，女生23人，数字“52”，“29”和“23”就是准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.例如π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一数位. 有效数字的概念：从一个数左边第一非0数字起，到末位数字为止，所有数字都是这个数的有效数字.例：0.0120有三个有效数字：1，2，0；3.6万有两个有效数字：3，6；有四个有效数字：4，3，6，0. 【题型一】相反意义的量 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）小明向北走记为，那么的意义是（   ） A．小明向东走 B．小明向西走 C．小明向南走 D．小明向北走 2．（24-25七年级上·北京·期中）下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 3．（24-25七年级上·广东梅州·期中）气温上升计作，则表示的意义是 ． 4．（17-18七年级上·全国·课后作业）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“＋”表示进库，“－”表示出库） ，，，，，． (1)经过这6天，仓库里的货品________．（填“增多了”或“减少了”） (2)经过这6天，仓库管理员结算时发现仓库里还剩货品，那么6天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果货品进出仓库的装卸费都是每吨5元，那么这6天共需付多少元装卸费？ 【题型二】用数轴上的点表示有理数 5．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河北邢台·期中）琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 7．（2024·北京西城·模拟预测）如图，数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c，且满足，，则原点在（    ） A．点A左侧 B．点A点B之间（不含点A点B） C．点B点C之间（不含点B点C） D．点C右侧 8．（24-25七年级上·四川德阳·期中）点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数互为相反数，若点B所表示的数为n，点A与点B之间的距离为2，则点D所表示的数为 ．（请用含有n的式子表示）． 【题型三】多重符号化简 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）已知a是的相反数，b比最小的正整数大3，c是最大的负整数的相反数，求的值． 12．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【题型四】相反数的应用 13．（22-23七年级上·陕西咸阳·期中）如图，在数轴上，点、分别表示数、，且．若、两点间的距离为，则点表示的数为(　　) A． B．6 C． D．3 14．（2021·河北·中考真题）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 15．（18-19七年级上·全国·课后作业）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 16．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   【题型五】绝对值的几何意义 17．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（    ）        A． B． C． D． 18．（23-24七年级上·广东梅州·期末）下列说法正确的个数是（　　） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 20．（24-25七年级上·河南许昌·期中）已知的相反数是它本身，是最大的负整数，，则 ． 【题型六】绝对值/乘方的非负性求解 21．（24-25七年级上·山东济南·期末）若，则 ． 22．（24-25七年级上·全国·期末）已知，则 ． 23．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果，那么代数式的值是 ． 24．（24-25七年级上·广东湛江·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【题型七】比较有理数的大小 25．（24-25七年级上·广东中山·期中）在有理数4，，，0中，最小的是（   ） A．4 B． C． D．0 26．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）用“<”“=”或“>”填空： （1） （2） （3） （4） 27．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 28．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）用比较下列各组数的大小： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型八】有理数的加减混合运算 29．（24-25七年级上·重庆·期中）把式子写成省略括号和加号的形式是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲： ； 乙： 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 31．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 32．（24-25七年级上·四川眉山·期末）计算：． 33．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型九】有理数的乘法运算 34．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 【题型十】有理数的乘方 38．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 39．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 40．（24-25七年级上·河北保定·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【题型十一】有理数四则混合运算 41．（24-25七年级上·四川巴中·期中）计算： (1)； (2)； (3)； 42．（24-25七年级上·福建泉州·期中）计算： (1)； (2)． 43．（24-25七年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 44．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 45．（24-25七年级上·天津·期末）计算： (1)； (2)． 【题型十二】有理数四则混合运算的实际应用 46．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 47．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）出租车司机李师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接八位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？ (2)若汽车耗油量为每千米0.07升，这天上午李师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为10元，起步里程为（包括），超过部分每千米2元，求李师傅这天上午共获得车费多少元？ 48．（24-25七年级上·福建泉州·期中）为积极响应保护环境的号召，某运输公司购置了一批新能源汽车，其中编号为的车辆连续7天的行驶路程如下表（单位：）（以30为标准，多于记为正，低于记为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 (1)这7天里路程最多的一天行驶了_________，行驶最多的一天比最少的一天多_________． (2)已知该新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.6元，求该新能源汽车这7天的充电费用． 【题型十三】用科学记数法表示较大的数 49．（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 50．（2024·河南·中考真题）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 51．（2023·湖北武汉·中考真题）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是 （备注：1亿＝100000000）． 52．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 【题型十四】近似数 53．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 54．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数和精确度相同 B．（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．π取，身高约，其中和165都是近似数 55．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）有 个有效数字． 【题型一】忽略分数的概念而导致有理数分类出错/未理解含非有理数的概念 1．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）在、、、、0、、中，有理数的个数是（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．7个 2．（贵州省遵义市新蒲新区滨湖中学2024-2025学年上学期七年级期中综合素养测评数学）在数，，中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·山东临沂·期中）下列各数中：，0，，，，，中，非正数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）把下列各数分别填在相应的大括号内∶，4.8，73， ，，，，0． 正数集合  ｛                      ｝    负数集合  ｛                         ｝ 正分数集合｛                      ｝    整数集合  ｛                         ｝ 非负数集合｛                      ｝    负分数集合｛                         ｝ 非正整数集合｛                    ｝   正有理数集合｛                         ｝ 【题型二】未正确理解有理数的相关概念 5．（24-25七年级上·福建三明·期中）以下叙述正确的是（   ） A．是一个负数 B．若，则 C．若一个数的平方是16，则这个数是4 D．在“0，，”三个数中，不是有理数 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）关于有理数说法正确的是（ ） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 7．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示的点一定在原点的左边 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数． D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 8．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（   ） 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4； 丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型三】已知数轴上到已知点的距离，求这个点所表示的数 【解析】由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 9．（20-21七年级上·安徽阜阳·阶段练习）点在数轴上表示，点离的距离是3，那么点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或1 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 11．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于 ． 【题型四】对绝对值的意义理解不清 12．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 13．（24-25七年级上·全国·期中）若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 14．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【题型五】解含绝对值方程时未分类讨论 15．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 16．（24-25七年级上·四川雅安·期中）已知有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，原点为O． (1)试化简； (2)若数轴上有一点所表示的数为x，且，求x的值． 【题型六】解决含绝对值的不等式问题时漏解 17．（24-25七年级上·全国·期末）已知，且，那么的值为 ． 18．（24-25七年级上·北京·期中）已知，当时，的值是 ． 19．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知，，且，则的值为 ． 【题型一】型绝对值化简问题 解题大招： 1）n个型式子相加，结果的所有可能的值的个数为n+1，其中最大值为n，最小值为 - n. 2）结果的所有可能的值按从大到小的顺序排列，依次减2. 3）当型式子的个数为奇数时，结果的所有可能的值为奇数，个数为偶数时，所有可能的值为偶数. 1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）若，则的值为（   ） A．或 B． C．或0 D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）若，那么 ． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，，，则代数式的值为 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【题型二】利用奇点偶段求绝对值和的最小值 步骤: 求出每个绝对值等于0时x的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整个式子都能取到最小值. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 1．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）若为有理数，则式子的最小值为 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 4．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 【题型三】新定义运算问题 解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义.如果需要计算，那么将题目中定义的新运算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算;如果需要证明其性质，那么列出含有新定义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明. 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 3．（24-25七年级上·河南漯河·期中）规定：如果，那么称a为b的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是a、b两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：______； (2)劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则，．根据运算性质，填空： ①______（b为正数）； ②若，则______，______；（答案精确到小数点后一位） ③当，，，写出a，b，c之间的等量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $