专题04 函数的基本性质（期中真题汇编，广西专用）高一数学上学期人教A版

专题04 函数的基本性质 高频考点概览 考点01 函数的单调性与最值 考点02 函数的奇偶性 考点03综合应用 考点04 解答题 地 城 考点01 函数的单调性与最值 一、单选题 1．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·广西县域高中·)已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．方程有2个解 D．若，则 6．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)函数的单调递减区间是 . 8．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 9．(24-25高一上·广西容县七校·期中)用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 ． 地 城 考点02 函数的奇偶性 一、单选题 1．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广西桂林·调研)下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广西防城港·期中)对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高一上·广西县域高中·)已知函数，若，则（   ） A．4 B． C．14 D． 5．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)设函数在上的最小值为7，则在上的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知是R上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·广西玉林·期中)已知函数是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 12．(24-25高一上·广西容县七校·期中)若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 13．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·广西县域高中·)若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知定义在上的奇函数，则 . 16．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是 ． 18．(24-25高一上·广西玉林·)已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是 . 19．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)若函数是定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为 . 20．(24-25高一上·广西县域高中·)已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解为 地 城 考点03 函数基本性质综合应用 一、单选题 1．(24-25高一上·广西防城港·期中)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广西县域高中·)函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   3．(24-25高一上·广西玉林·期中)在同一直角坐标系中，函数与（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数与的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．     5．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·广西玉林·期中)下列说法正确的是（   ） A．函数与是同一函数 B．函数的值域为 C．设集合，，则对应关系：是集合M到集合N的函数 D．已知是上的奇函数，当时，，则时， 7．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．方程有2个解 D．若，则 8．(24-25高一上·广西桂林·调研)对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 9．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”下列结论正确的是（    ） A．是函数的“完美区间” B．若为的“完美区间”，则 C．二次函数存在“倍美好区间” D．函数存在“完美区间”，则实数的取值范围为 10．(24-25高一上·广西柳州高级中学·期中)对于，表示不超过的最大整数，如，记，从而有，以下是真命题的有（    ） A． B．，若，则 C．不等式的解集为 D．设，则对有 地 城 考点04 解答题 一、解答题 1．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知定义在R上的奇函数，当时，． (1)在给出的坐标系中画出的图象（网格小正方形的边长为1）； (2)求函数在R上的解析式，并写出函数的值域及单调区间. 2．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 3．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 4．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 5．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)函数f（x）是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为 (1)求f（-1）的值； (2)用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数； (3)求当x<0时，函数的解析式. 6．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 7．(24-25高一上·广西柳州柳城县中学·期中)已知函数，且 . (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明. 8．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)已知，. (1)当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围. 9．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若，求t的取值范围． 10．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)已知函数是定义域为上的奇函数，且. (1)求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数； (2)若对，都有，求实数的范围. 11．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求使成立的实数m的取值范围. 12．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 13．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知函数． (1)若函数为偶函数，写出的值，并说明理由； (2)函数为定义在上的奇函数，在（1）的结论下，若当时，，求的表达式，并解不等式． 14．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 15．(24-25高一上·广西贵港·期中)给出下列两个结论：①，；②函数在上单调. (1)若结论①正确，求的取值范围； (2)若结论①②都正确，求的取值范围. 16．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知函数的定义域为，对任意，都有，且． (1)求证：； (2)求证：函数为偶函数； (3)若，且在上单调递增，解关于x的不等式． 17．(24-25高一上·广西玉林·)已知函数 的定义域是，对任意实数，均有，且时，． （1）求的值；   （2）证明：在上是增函数；     （3）若．求不等式的解集． 18．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知是定义在上的函数，，，，且当时，. (1)求的值. (2)证明：是上的减函数. (3)若，求不等式的解集. 19．(24-25高一上·广西部分名校·)已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 20．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数满足对一切实数、都有成立，且，当时有. (1)求、； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 试卷第1页，共3页 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 高频考点概览 考点01 函数的单调性与最值 考点02 函数的奇偶性 考点03综合应用 考点04 解答题 地 城 考点01 函数的单调性与最值 一、单选题 1．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的对称轴为：，由题意可得，解得.故选：D 2．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，因为函数任意且，都有，所以函数在定义域上为单调递减函数，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选D. 3．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对任意的实数都有，，即， ，，函数是上的单调函数，函数是上的单调增函数，，即，解得，即不等式的解集为． 故选：. 二、多选题 4．(24-25高一上·广西县域高中·)已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，而，故A不正确；对于B，因为为减函数，，所以，故B正确；对于C，因为为增函数，，所以，故C正确；对于D，，而，故D不正确.故选：BC. 5．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．方程有2个解 D．若，则 【答案】AB 【详解】，画出的图象如下图所示，由于可知，在上单调递增，A选项正确.方程有个解，C选项错误.不妨设这个解，则，所以若，则可能，D选项错误.若，则，，所以，所以B选项正确.故选：AB 6．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得，则，整理得．令函数，则由，得，从而在R上单调递增，则，即，，即，A正确，B不正确．因为，所以，则，即，C正确．因为单调性不确定，而，即，所以与的大小关系不确定，D不正确．故选：AC 三、填空题 7．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)函数的单调递减区间是 . 【答案】/ 【详解】，所以函数的单调递减区间是.故答案为： 8．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以在上严格增函数，所以，．故答案为： 9．(24-25高一上·广西容县七校·期中)用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 ． 【答案】3 【详解】因为，由，得或，则， 当时，当时，单调递减，则，综上，时，， 则恒成立，即，解得，则的最大值是3.故答案为：3 地 城 考点02 函数的奇偶性 一、单选题 1．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，定义域为R，=， 不是偶函数，不符合题意；对于B，，定义域为R，，是偶函数，符合题意；对于C， ，定义域为R，， 是奇函数，不符合题意；对于D，，定义域为，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不符合题意；故选：B. 2．(24-25高一上·广西桂林·调研)下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项：为偶函数，不符合题意，故A不正确； B选项：为奇函数，且在区间上单调递增，故B正确； C选项：为对勾函数，且在区间上单调递减，不合题意，故C不正确； D选项：令，则，所以不是奇函数，故D不正确； 故选：B 3．(24-25高一上·广西防城港·期中)对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】函数是偶函数，则，此时，，因此的图象关于轴对称，但当的图象关于轴对称时，未必推出是偶函数，如，的图象也关于轴对称，但并非偶函数，故“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的必要不充分条件．故选：B. 4．(24-25高一上·广西县域高中·)已知函数，若，则（   ） A．4 B． C．14 D． 【答案】A 【详解】设，则，又的定义域为，从而是奇函数，即，故，即.因为，所以，解得，则，故.故选A 5．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)设函数在上的最小值为7，则在上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，其中为奇函数．由条件知上有，故在上有，所以在上有，故选：D． 6．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数，则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数，又，函数的对称轴为，且在上为减函数，则有，即.故选：D. 7．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据奇函数的性质可知在和上单调递减，且， 所以的解集为.故选：B 8．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知是R上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，因为在上有单调性，且，所以在上单调递增，在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，所以，B选项正确，故选：B. 9．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是上的增函数，且，所以当时，；当时，．因为是定义在上的奇函数，所以的图象关于原点对称，所以当时，；当时，．故不等式等价于或，解得或．故选：C. 10．(24-25高一上·广西玉林·期中)已知函数是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，所以，且在上单调递增，所以当时，；当时，；当时，；当时，，所以不等式的解集为.故选：D. 11．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】偶函数在上单调递增，故函数在上单调递减，， ，当时，，故；当时，不成立；当时，，. 综上所述：或.故选：B 12．(24-25高一上·广西容县七校·期中)若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题设，偶函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，故或，解集为或.故选：B 13．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数是上的偶函数，则，又函数在上单调递增，因此，解，得或，解，得，于是，所以实数m的取值范围为.故选：B. 14．(24-25高一上·广西县域高中·)若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为上的奇函数，且在单调递减，，，，且在上单调递减，所以或，或，可得，或，即或，即，故选：B. 二、填空题 15．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知定义在上的奇函数，则 . 【答案】 【详解】由题意，，所以，而，是奇函数．故答案为：． 16．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，且在上是严格增函数，所以.故答案为：. 18．(24-25高一上·广西玉林·)已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数，，解得.又，当时，，函数在上单调递减，，，解得，故答案为：. 19．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)若函数是定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】奇函数在内是增函数,所以函数在内是增函数,，由可得或，当时,,所以，此时；当时,,所以，此时，所以的解集为. 故答案为： 20．(24-25高一上·广西县域高中·)已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解为 【答案】 【详解】设，则，，由，得，，即.设，则在上单调递增，又为定义域为的偶函数，所以，得，则为上的奇函数，所以在上也单调递增.由，得，由，得，当时，由，得，即，解得；当时，由，得，即，解得，所以的解集为. 故答案为： 地 城 考点03 函数基本性质综合应用 一、单选题 1．(24-25高一上·广西防城港·期中)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，排除B，又不是偶函数，排除C， 当时，，排除D.故选：A. 2．(24-25高一上·广西县域高中·)函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】因为，，，故排除D； 又因为，，故排除C； 又因为，， 所以，即，符合题意的只有A，故排除B. 故选：A. 3．(24-25高一上·广西玉林·期中)在同一直角坐标系中，函数与（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数在上单调递减，函数的对称轴为，且函数与轴交点的纵坐标为，D不符合，C符合.当时，函数在上单调递增，函数的对称轴为，B不符合，且函数与轴交点的纵坐标为，A不符合.故选：C. 二、多选题 4．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数与的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】AC 【详解】对于A，当时，单调递增，与轴交于正半轴，在上单调递增，故选项A符合题意．对于B选项，由指数函数的图象可知，由一次函数的图象可知，则，故选项不符合题意．对于C，当时，单调递减，与轴交于正半轴，在上单调递减，C选项符合题意．对于D选项，由一次函数图象可知，解得，则D选项不符合题意．故选：AC. 5．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得，则，整理得．令函数，则由，得，从而在R上单调递增，则，即，，即，A正确，B不正确．因为，所以，则，即，C正确．因为单调性不确定，而，即，所以与的大小关系不确定，D不正确．故选：AC 6．(24-25高一上·广西玉林·期中)下列说法正确的是（   ） A．函数与是同一函数 B．函数的值域为 C．设集合，，则对应关系：是集合M到集合N的函数 D．已知是上的奇函数，当时，，则时， 【答案】BD 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A错误；对于B，因为函数在上单调递减，且，所以函数的值域为，故B正确；对于C，当时，，即，所以对应关系：不是集合M到集合N的函数，故C错误；对于D，因为函数是上的奇函数，所以，当时，，则时，，，即，故D正确.故选：BD. 7．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．方程有2个解 D．若，则 【答案】AB 【详解】，画出的图象如下图所示， 由于可知，在上单调递增，A选项正确.方程有个解，C选项错误. 不妨设这个解，则，所以若，则可能，D选项错误.若，则，，所以，所以B选项正确.故选：AB 8．(24-25高一上·广西桂林·调研)对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】BCD 【详解】若是奇函数，即它的图象关于原点对称，把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得的图象，因此的图象关于点对称，所以，，是偶函数，即它的图象关于轴对称，的图象向右平移一个单位得的图象，因此的图象关于直线对称，从而，，B正确；所以，即，，所以，A错；，C正确；在上递减，它关于直线对称，则在上递增，又它的图象关于点对称，则在上递增，再由它关于直线对称得它在上递减，D正确，故选：BCD． 9．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”下列结论正确的是（    ） A．是函数的“完美区间” B．若为的“完美区间”，则 C．二次函数存在“倍美好区间” D．函数存在“完美区间”，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【详解】对于A，函数在单调递减，所以值域也是，故A正确；对于B，因为函数的对称轴为，图象开口向上，故函数在上单调递增，所以其值域为，又因为为的完美区间，所以，解得或，因为，所以，B错误；对于C，若存在“倍美好区间”，则设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递减，，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确；对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”，若，由函数在内单调递减，则，解得；若，由函数在内单调递增，则即在有两解，，得，故实数的取值范围为，D正确．故选：ACD. 10．(24-25高一上·广西柳州高级中学·期中)对于，表示不超过的最大整数，如，记，从而有，以下是真命题的有（    ） A． B．，若，则 C．不等式的解集为 D．设，则对有 【答案】BCD 【详解】根据可得，因此，可得A错误；由表示不超过的最大整数可得当，则，因此可得，即B正确；易知不等式可分解为，解得或；结合的定义可得，即C正确；由可得，则， 即，两边同时并取整可得，由于，可得，；所以，即，即D正确.故选：BCD 地 城 考点04 解答题 一、解答题 1．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知定义在R上的奇函数，当时，． (1)在给出的坐标系中画出的图象（网格小正方形的边长为1）； (2)求函数在R上的解析式，并写出函数的值域及单调区间. 【详解】（1）作出函数图象如图： （2）由题意知定义在R上的奇函数，当时，， 则时，； 当时，，则，故； 函数的值域为R；单调递增区间为：；递减区间为：. 2．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 3．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即，所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减，又，， 所以，即在区间上的值域为. 4．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 【详解】（1）因为恒成立，所以的定义域为， ，令，，则， 故的解析式为，. （2）证明：任取，令， 则， 因为，所以，， 从而，即，故在上单调递减. 5．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)函数f（x）是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为 (1)求f（-1）的值； (2)用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数； (3)求当x<0时，函数的解析式. 【详解】（1）； （2）证明：任取，则 ，所以 ，即，所以在上是减函数； （3）任取，则，故，即时，函数的解析式为. 6．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 【详解】（1）设，则，于是， 又为奇函数，即，所以当时，. （2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 作出在上的图象，再作出所作图象关于原点对称的图形， 如图为函数的图象， （3）观察图象知，函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则，于是，解得，所以的取值范围是. 7．(24-25高一上·广西柳州柳城县中学·期中)已知函数，且 . (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明. （2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以， 因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增. 8．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)已知，. (1)当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； 【详解】（1）当时，任取，且，则 ，，，即，， ，即，是上的增函数， 当时，取得最小值，且最小值为. （2）对任意恒成立，，只需恒成立， 设，，因为的对称轴为，所以在单调递增， 只需即可，，解得，实数的取值范围是. 9．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若，求t的取值范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得， 则，又因为，则，解得， 经检验时，是奇函数，所以． （2），函数在上单调递增， 证明：任取，所以， 因为，所以，则， 所以，即，故函数在上单调递增． （3）函数是定义在上的奇函数，且，则， 因为函数在上单调递增．所以，则 解得，所以t的取值范围是． 10．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)已知函数是定义域为上的奇函数，且. (1)求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数； (2)若对，都有，求实数的范围. 【详解】（1）根据题意，函数是定义域在上的奇函数， 则，即有，解可得，则， 则，则此时为奇函数， 设，则， 又，，则，，则，， 故在上是增函数. （2）根据题意，是定义在上的奇函数，且在上单调递增， ， 则有对，恒成立，则有，则， 即的取值范围为． 11．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求使成立的实数m的取值范围. 【详解】（1）根据题意，是奇函数，则有， 则有，解得；. ，，解得，； （2）在上为增函数；证明如下：设， 则， ，，，，， 则有，即.在上为增函数； （3），， 又是定义在上的奇函数，，则有， 解得，即实数的取值范围为 12．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）函数，因为，所以，则. （2）函数在上单调递增，由（1）知，， 下面证明单调区间，设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 13．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知函数． (1)若函数为偶函数，写出的值，并说明理由； (2)函数为定义在上的奇函数，在（1）的结论下，若当时，，求的表达式，并解不等式． 【详解】（1），理由：的定义域为，为偶函数，关于轴对称， ∴，∴，即，∴的值为0． （2）由（1）可得，当时，；当时，，． 因为为定义在上的奇函数，所以． 当时，．所以的表达式为 当时，令，解得；，符合； 当时，令，解得． 综上，不等式的解集为或． 14．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，得，解得， 验证：当时，.由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有，所以是奇函数，满足题意. 故. （2）在上是增函数.由（1）知，，. 证明：设，且，则， ，，， ，，在上是增函数. （3）， 因为是定义在上的奇函数，所以，则， 由（2）知在上是增函数，所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 15．(24-25高一上·广西贵港·期中)给出下列两个结论：①，；②函数在上单调. (1)若结论①正确，求的取值范围； (2)若结论①②都正确，求的取值范围. 【详解】（1）中，当时，，满足要求， 当时，需满足，解得或， 综上，的取值范围为. （2）若在上单调递增，则，解得. 若在上单调递减，则，解得. 故当结论②正确时，的取值范围为. 综上所述，当结论①②都正确时，的取值范围为与的交集，即. 16．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知函数的定义域为，对任意，都有，且． (1)求证：； (2)求证：函数为偶函数； (3)若，且在上单调递增，解关于x的不等式． 【详解】（1）由已知，且， 令，则； （2）令，则，所以函数为偶函数； （3）由，令得， 由（2）得函数为偶函数，且在上单调递增，，所以， 解得，所以不等式的解集为. 17．(24-25高一上·广西玉林·)已知函数 的定义域是，对任意实数，均有，且 时，． （1）求的值；   （2）证明：在上是增函数；     （3）若．求不等式的解集． 【详解】（1）令，则， （2）设， 则，当时， 即，则函数在上是增函数 （3）令，则，即，则是奇函数， ∵．∴． 即不等式 的等价为． ∵函数在R上是增函数；∴．即． 解得， 即不等式的解集为 18．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知是定义在上的函数，，，，且当时，. (1)求的值. (2)证明：是上的减函数. (3)若，求不等式的解集. 【详解】（1）令，得，则. （2）证明：设，，且，则. 因为，所以. 当时，，所以，所以，则是上的减函数. （3）令，得. 令，，得. 因为，所以， 所以，则不等式等价于不等式. 由（2）可知是上的减函数，则解得， 即不等式的解集为. 19．(24-25高一上·广西部分名校·)已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 【详解】（1）由，可得. 令，得， 令，，得，得， 令，得； 令，得. （2）由（1）知， 令，得，所以，则是奇函数. 任取，，且，则，则. 因为当时，，所以，即， 所以在上为增函数. （3）由（2）可知，， 即，所以. 因为在上为增函数，则，即， 因式分解得. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式变为，不等式无解； 当时，不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数满足对一切实数、都有成立，且，当时有. (1)求、； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 【详解】（1）因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. （2）函数为上的减函数，证明如下： 设，则，所以，，可得， 所以，当时，， 令，由， 可得，则， 令，可得，则，所以，函数为奇函数， 任取、且，则，， 且，即，因此，函数在上为单调递减函数. （3）由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 则函数在上也为单调递减函数， 因为 ， 由得， 可得， 因为，则， 所以，不等式等价于， 因为函数在上为单调递减函数，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $