2.1等式性质与不等式性质专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 目录 知识点概要 0 考点1 用不等式表示不等关系 1 考点2 利用不等式的性质比较大小 3 考点3 作差或作商比较大小 5 考点4 利用不等式求范围 8 考点5 糖水不等式的应用 10 考点6 不等式的证明 12 知识点概要 1．不等式关系与不等式 ① 不等式的基本性质 （1）对称性： （2）传递性：； （3）可加性：； （4）可积性：； （5）同向可加性： （6）同向正数可乘性： （7）乘方法则： （8）倒数法则： ② 比较大小 （1）作差法（与的比较） （2）作商法（与比较） 2．糖水不等式 若，则一定有，或者 理解：通俗的理解就是克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜。 考点1 用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 【答案】答案见解析 【分析】由题意列不等式组即可． 【详解】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个， 由题意得 3．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 考点2 利用不等式的性质比较大小 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】A选项，利用立方根的性质可得A正确；BC选项，可根据不等式的性质进行推理，D选项可举出反例. 【详解】A选项，若，则，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以由倒数法则得， 因为，由不等式性质（同向同正可乘性）知，C正确； D选项，举反例：当时，满足，， 此时，则，D错误. 故选：ABC 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及不等式的性质判断大小关系即可. 【详解】因为，所以，则． 故选：C 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 5．（13-14高三上·福建·阶段练习）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质可判断A；举反列可判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，已知，取， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，已知，取， ，所以，故D错误. 故选：A. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质直接判断A，由作差法判断BC，举反例判断D. 【详解】对于A，若，则，否则，矛盾，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若，则， 因为当且仅当，所以显然不可能（因为）， 所以，所以，即，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：ABC. 考点3 作差或作商比较大小 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 2．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 3．（2025高三·全国·专题练习）设，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法判断与0的关系可得到不等关系，即可求得结果. 【详解】对于A，，无法判断，该选项错误； 对于B，，不成立，该选项错误； 对于C，，成立，该选项正确； 对于D，，不成立，该选项错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 6．（21-22高一·全国·课后作业）试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小； (2)通过作差法来比较的大小； (3) 通过作差法或作商法比较与的大小. 【详解】（1）解：，， 因为， 所以， 即； （2）解： ． 因为，，所以，， 所以， 即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以， 所以． 考点4 利用不等式求范围 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 2．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解. 【详解】法一：设 故且，所以，故， 由于，则， 所以， 整理得，故最小值为， 此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得． 故选：B 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 考点5 糖水不等式的应用 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖（假设全部溶解），这杯糖水变甜了．请根据这一事实提炼出一个不等式 ． 【答案】，时， 【分析】利用作差法即可证得所提炼的不等式. 【详解】由题意有，时，． 理由如下：，因为，， 所以，即. 故答案为：，时，． 2．（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）解：由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 4．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 考点6 不等式的证明 1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，当时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】证法：利用分子有理化，将转化为，然后放缩得证；证法2：分别以为三边，构造，利用两边之差小于第三边证明. 【详解】证法： ． 证法：构造法 如图，，，， 由三角形两边之差小于第三边得． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 5．（2025高三·全国·专题练习）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的基本性质和作差比较法即可证明. 【详解】因，则由 ， （当且仅当时等号成立）； 又因， 则；同理可证， 故可得（当且仅当时等号成立）. 故原不等式得证． 6．（22-23高一上·河南·阶段练习）（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】(1)利用不等式的性质证明即可； (2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明. 【详解】证明：（1）由，且， 所以，且 所以，所以， 即；所以，即． （2）要证， 只需证， 即证； 即证， 即证；即证，显然成立； 所以． 7．（20-21高一下·安徽·阶段练习）（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据作差法证明即可； （2）由于，故，再结合（1）的结论易证. 【详解】证明：（1）因为，，所以，。 所以， 故得证； （2）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 目录 知识点概要 0 考点1 用不等式表示不等关系 1 考点2 利用不等式的性质比较大小 3 考点3 作差或作商比较大小 5 考点4 利用不等式求范围 8 考点5 糖水不等式的应用 10 考点6 不等式的证明 12 知识点概要 1．不等式关系与不等式 ① 不等式的基本性质 （1）对称性： （2）传递性：； （3）可加性：； （4）可积性：； （5）同向可加性： （6）同向正数可乘性： （7）乘方法则： （8）倒数法则： ② 比较大小 （1）作差法（与的比较） （2）作商法（与比较） 2．糖水不等式 若，则一定有，或者 理解：通俗的理解就是克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜。 考点1 用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（25-26高一上·全国·课后作业）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 考点2 利用不等式的性质比较大小 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 5．（13-14高三上·福建·阶段练习）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点3 作差或作商比较大小 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 2．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 3．（2025高三·全国·专题练习）设，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 6．（21-22高一·全国·课后作业）试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 考点4 利用不等式求范围 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点5 糖水不等式的应用 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖（假设全部溶解），这杯糖水变甜了．请根据这一事实提炼出一个不等式 ． 2．（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 4．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 考点6 不等式的证明 1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，当时，求证：． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 5．（2025高三·全国·专题练习）若，求证：． 6．（22-23高一上·河南·阶段练习）（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 7．（20-21高一下·安徽·阶段练习）（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $