21.2 解一元二次方程【九大考点+九大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

21.2 解一元二次方程 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一 直接开平方法 （1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤： ①将方程转化为（或）的形式； ②分三种情况降次求解： （ⅰ）当时，，； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，方程无实数根． 知识点二 配方法 （1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边． 二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为． 三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式． 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程： ①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解． ②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根． ③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况． 知识点三 公式法 （1）一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即． ①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． ②当=0时，方程有两个相等的实数根，即． ③当<0时，方程没有实数根． （2）求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式； ②确定、、的值； ③计算的值； ④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根． 知识点四 因式分解法 （1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式． （2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解． 知识点五 选择合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接降次法 平方根的意义 形如或的一元二次方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若，则或 一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 ⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法． ⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法． 【题型探究】 题型一：直接开平方法解一元二次方程 【例1】．（25-26九年级上·全国）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． （1）直接利用开平方解方程得出答案； （2）方程两边同时开平方，进而得出答案． 【详解】（1），则，解得：，； （2）． ， 解得：，． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 题型二、配方法解一元二次方程 【例2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； （3）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； （4）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （2）先把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （3）将等式左边的式子展开，移项，合并同类项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （4）先把二次项的系数化为1，再把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； ∴； （2）， ， ， ， ∴， ∴； （3）， ， ， ， ， ， ∴； （4）， ， ， ， ， ， ∴． 【跟踪训练2】．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． （1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； （2）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ，； （3）解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． 题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例3】．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式．根据方程的系数与根的判别式，得到，再由根的判别式的意义判断方程根的情况，即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选C． 【跟踪训练1】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 【跟踪训练2】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程，有两个不相等的实数根： (1)求k的取值范围； (2)若这个方程有一个根为2，求k的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出是解题关键： （1 ）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解不等式得出即可； （2 ）将代入，进而求出k的值，进而得出方程的解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程的一个根是2， ∴代入方程得： 即， 解得：或， ∵， ∴． 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 【例4】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 利用一元二次方程根的判别式列不等式求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，当时， ， 解得，且； 当时，原方程为一元一次方程， 解得，有实数根； 综上，当时，原方程有实数根． 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据关于x的一元二次方程有实数根，得，且，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得， ∴a的取值范围是且， 故选：C． 题型五、公式法解一元二次方程 【例5】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ； （2）， ，，， ， ， ； （3）， ，，， ∴， ， ，． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)方程没有实数解； (3)，． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 【跟踪训练2】．（22-23九年级上·全国·期中）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)此方程无实数根 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是先将方程化为一般形式（），计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定、、，计算，因，代入求根公式得两个相等实数根； （2）先将方程展开整理为一般形式，确定、、，计算，代入求根公式得两个不相等实数根； （3）先将方程整理为一般形式（或化简为），确定、、，计算，判断方程无实数根． 【详解】（1）解：方程为一般形式，，，，， 代入求根公式：， 故方程的根为：． （2）解：展开整理为一般形式：， 即，，，，， 代入求根公式：， 故方程的根为：，． （3）解：整理为一般形式：（化简：），，，，， ∵判别式小于0， ∴此方程无实数根． 题型六、因式分解法解一元二次方程 【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）解一元二次方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键． （1）用因式分解法计算即可． （2）用因式分解法计算即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴， 解得． （2）∵ ∴， ∴， 解得． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解来解一元二次方程： （1）利用十字相乘法分解因式即可求解； （2）利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法—因式分解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法； （1）根据因式分解中的提公因式法解题即可； （2）运用十字相乘法分解因式即可； 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴． 题型七、换元法解一元二次方程 【例7】．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)这四个连续的正整数为，，，； (2)的值为． 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”． （1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可； （2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数， 根据题意可得， ∴， 设，，则， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴，，， 答：这四个连续的正整数为，，，． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的值为． 【跟踪训练1】．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 【跟踪训练2】．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 题型八：用合适的方法解一元二次方程 【例8】．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)； (4) ． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法和配方法． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （3）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （4）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴或， 解得：，； （4）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)，； (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等． （1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解； （2）方程，尝试用因式分解法求解； （3）方程，用公式法求解； （4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：（1），即， 或， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， 设，则方程变形为， ， 即， 或， 或， 则或， 解得． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解； （3）先化为一般形式，再用公式法求解； （4）用换元法求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， ，，， ， ， 即，； （2）， 两边同除以2，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得，； （3）， 去括号，得, 移项，得， 合并同类项，得， ，，， , 所以，； （4）设， 则原方程可化为， 去括号，得， 即， 所以， 所以或， 解得：或， 所以，， 解得：，． 【跟踪训练3】．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)原方程无实数根 (3)； (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握相关运算方法为解题的关键． （1）利用因式分解法求该方程的解即可； （2）利用公式法求该方程的解即可； （3）先整理方程，再利用配方法求该方程的解即可； （4）利用因式分解法求该方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）， ， ， 原方程无实数根； （3）， 整理得：， ， ， ， ； （4）， ， ， 或， ． 题型九：解一元二次方程的综合问题 【例9】．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【阅读感知】 我们知道，解如的方程可以通过因式分解将其转化为：，这样就可以得到：或从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为：，从而得到或，再解方程就可以得到 【理解应用】 （1）将因式分解得______ （2）解方程： 【知识拓展】 （3）试求方程组的解 【答案】（1）（2）（3）或 【分析】本题考查解方程和方程组，熟练掌握因式分解法解方程（组），是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用平方差公式法将进行因式分解，将方程组化为两个二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：（1）， ∴； （2）， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴可化为：或， 解得或． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“时，方程有实数根”；根与系数的关系，若是方程的根，则，利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2）由是方程的根， ， ， 解得． （3）， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 【跟踪训练2】．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生） 已知关于的方程． (1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； (2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 【答案】(1) (2)等腰三角形的周长为或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出，，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，得出，即可求解； （2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；当边长为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长，注意根据三角形的三边关系定理判断是否成立． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵两根异号，且正根的绝对值较大， ∴， ∴整数的值为； （2）解：①当为底边长时，， ， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为； ②当为腰长时，将代入原方程，得：， 解得：， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为或． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，． 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故选：． 4．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为的形式，然后用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 在方程两边同时除以，得：，即， 配方，得：， 即． 故选：D． 5．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　） A．10 B．4 C．4或 D．4或或10 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，， 故选：B． 6．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 7．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法（因式分解法、公式法、配方法），解题关键是熟练掌握各方法的规则：因式分解法需保证因式分解的准确性，避免除以含未知数的式子；公式法需准确识别a、b、c的值；配方法需遵循“配方后等式两边加一次项系数一半的平方”的规则．本题需逐一分析甲、乙、丙、丁四位同学的解法，判断其是否符合一元二次方程的解题规则（如因式分解时不能随意除以含未知数的式子、公式法中系数对应准确、配方法步骤正确等），从而确定完全正确的解法． 【详解】解：甲的解法是“两边同时除以得到”，由于当时，，而0不能作为除数，这种操作会丢失方程的根（也是原方程的解），因此甲的解法错误； 原方程移项应为，而非，因此乙的解法错误； 原方程整理为， ， ，而非28；且代入求根公式后结果也不匹配，因此丙的解法错误； 原方程整理得，配方得， ， ， ， 丁的解法正确。 综上，只有丁的解法完全正确， 故选：D． 8．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当，即时，， 解得：， ∴且． 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 10．（22-23九年级上·江苏·期中）已知三角形的两边长分别是4和 7，第三边长是方程的根，则第三边的边长是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系确定第三边的值是解题的关键， 利用因式分解的方法得到，推出，，解得，，再根据三角形的三边关系得出第三边只能是9． 【详解】解：， ， ，， 解得：；， ， 由于三角形两边之和大于第三边， 只能取． 故答案为：9． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴，， ∴， ∴为， ∴， 配方，得，即， 故答案为： ． 12．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】，/， 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解． 【详解】解：， 整理得：， 方程的解是，， 方程的解是，， 解得：，． 故答案为：， ． 13．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）为方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴ ． 故答案为： ． 14．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象及性质，一元二次方程根的情况，解题的关键是根据题意列出不等式，算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x的增大而增大， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； ∴， ∵为整数， ∴可取1，2，3； ∴满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：6． 三、解答题 15．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）解方程： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)或． 【分析】本题考查解一元二次方程的方法，熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点，灵活选用解法是解答的关键． （1）通过移项、开平方求解； （2）通过配方法，将方程转化为完全平方式，再开平方求解； （3）通过因式分解，将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，再求解； （4）根据，则或进行求解即可． 【详解】（1）根据题意移项得， 化系数为1得， 开平方解得或． （2）移项得， 再配方得， 即， ， 解得， 即或． （3）移项， 即， 所以或， 解得或． （4）， 或， 移项得或， 解得或． 16．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，解题的关键是熟悉去分母解分式方程，配方法、因式分解及公式法解一元二次方程． （1）方程两边同乘以，转化为整式方程，求解并检验即可； （2）采用配方法解一元二次方程； （3）利用因式分解法解一元二次方程的解法； （4）通过变形，再因式分解求解即可． 【详解】（1）解： 两边同乘以， 得到， 化简得， 解得, 检验：当时，, 故方程的解为． （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开平方得， 解得． （3）解：， 因式分解得， 则或， 解得． （4）解：， 变形得， 因式分解得， 则或， 解得． 17．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)试判断方程是不是“勾系一元二次方程”； (2)求关于x的“勾系一元二次方程”的实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 【答案】(1)是 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）解： 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴方程是“勾系一元二次方程”； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴ ∴； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是12， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2 解一元二次方程 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一 直接开平方法 （1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤： ①将方程转化为（或）的形式； ②分三种情况降次求解： （ⅰ）当时，，； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，方程无实数根． 知识点二 配方法 （1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边． 二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为． 三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式． 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程： ①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解． ②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根． ③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况． 知识点三 公式法 （1）一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即． ①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． ②当=0时，方程有两个相等的实数根，即． ③当<0时，方程没有实数根． （2）求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式； ②确定、、的值； ③计算的值； ④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根． 知识点四 因式分解法 （1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式． （2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解． 知识点五 选择合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接降次法 平方根的意义 形如或的一元二次方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若，则或 一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 ⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法． ⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法． 【题型探究】 题型一：直接开平方法解一元二次方程 【例1】．（25-26九年级上·全国）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 题型二、配方法解一元二次方程 【例2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练2】．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例3】．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【跟踪训练1】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【跟踪训练2】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程，有两个不相等的实数根： (1)求k的取值范围； (2)若这个方程有一个根为2，求k的值． 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 【例4】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．或 题型五、公式法解一元二次方程 【例5】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练2】．（22-23九年级上·全国·期中）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 题型六、因式分解法解一元二次方程 【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）解一元二次方程： (1) (2)． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 题型七、换元法解一元二次方程 【例7】．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 【跟踪训练1】．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【跟踪训练2】．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 题型八：用合适的方法解一元二次方程 【例8】．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)； (4) ． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·四川成都）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练3】．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九：解一元二次方程的综合问题 【例9】．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【阅读感知】 我们知道，解如的方程可以通过因式分解将其转化为：，这样就可以得到：或从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为：，从而得到或，再解方程就可以得到 【理解应用】 （1）将因式分解得______ （2）解方程： 【知识拓展】 （3）试求方程组的解 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【跟踪训练2】．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生） 已知关于的方程． (1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； (2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A． B． C．，且 D．，且 4．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　） A．10 B．4 C．4或 D．4或或10 6．（24-25八年级下·安徽淮北）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 二、填空题 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 10．（22-23九年级上·江苏·期中）已知三角形的两边长分别是4和 7，第三边长是方程的根，则第三边的边长是 ． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 12．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 13．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）为方程的两个根，则代数式的值为 ． 14．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 三、解答题 15．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）解方程： (1) (2)； (3) (4)． 16．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)试判断方程是不是“勾系一元二次方程”； (2)求关于x的“勾系一元二次方程”的实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $