专题01 实数及其运算（山东专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题01 实数及其运算 考点01 正负数的意义 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 考点02 相反数、绝对值 1．（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）的相反数为（   ） A． B．6 C． D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）的相反数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·山东·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 5．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东菏泽·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 8．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 9．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 考点03 数轴 1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 考点04 科学记数法 1．（2025·山东济南·中考真题）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东·中考真题）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2024·山东烟台·中考真题）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 5．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 6．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东日照·中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ． 9．（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 10．（2023·山东东营·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为 ． 考点05 无理数的涵义 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．（2024·山东日照·中考真题）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 3．（2024·山东烟台·中考真题）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 4．（ 2023·山东·中考真题）写出一个比大且比小的整数是 ． 5．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 6．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 考点06 实数的大小比较 1．（2024·山东威海·中考真题）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东枣庄·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 3．（2023·山东潍坊·中考真题）在实数1，－1，0，中，最大的数是（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 4．（2023·山东临沂·中考真题）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点07 实数的运算 1．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 2．（2024·山东日照·中考真题）计算： 3．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 4．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数及其运算 考点01 正负数的意义 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 2．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A． 3．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 考点02 相反数、绝对值 1．（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 2．（2025·山东青岛·中考真题）的相反数为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义．直接根据“只有符号不同的两个数是相反数”判断即可． 【详解】解：的相反数为． 故选：B． 3．（2024·山东泰安·中考真题）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键． 4．（2023·山东·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 【详解】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 5．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 6．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 7．（2023·山东菏泽·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 8．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握a，b在数轴上对应点的位置得出a距离原点的距离比b距离原点的距离小是关键． 根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离小，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 9．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 考点03 数轴 1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 考点04 科学记数法 1．（2025·山东济南·中考真题）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选:C． 2．（2025·山东·中考真题）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“9亿”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“9亿”． 故选C． 3．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， 【详解】解：万， 则， 故选：B． 4．（2024·山东烟台·中考真题）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米纳米； 故选B． 5．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 6．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：百万分之一 ． 故选：B． 7．（2023·山东日照·中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键． 8．（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：4.6万； 故答案为：． 9．（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可完成作答． 【详解】解：957.2亿， 故答案为：． 10．（2023·山东东营·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 考点05 无理数的涵义 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 2．（2024·山东日照·中考真题）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：都是有理数，是无理数． 故选：C 3．（2024·山东烟台·中考真题）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选C． 4．（ 2023·山东·中考真题）写出一个比大且比小的整数是 ． 【答案】2或3 【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2或3 【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 5．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，判断即可． 【详解】解：因为和大于0，小于0， 所以最小， 故选：C． 6．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 考点06 实数的大小比较 1．（2024·山东威海·中考真题）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 2．（2024·山东枣庄·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 3．（2023·山东潍坊·中考真题）在实数1，－1，0，中，最大的数是（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 【答案】D 【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根． 【详解】解：，∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键． 4．（2023·山东临沂·中考真题）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出，即可判断②③，根据，代入已知条件得出，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，故①错误， ∵ ∴， 又 ∴，故②③错误， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确 或借助数轴，如图所示，    故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键． 考点07 实数的运算 1．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 2．（2024·山东日照·中考真题）计算： 【答案】1 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解：原式， ． 故答案为：1 3．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 【答案】AC 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题； B、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题； C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题； D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题． 故选：AC． 4．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故选：B． 5．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)1；2； (2)， 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可． 【详解】（1）， ， ； 故答案为：1；2； （2）若时，即时，则 ， 解得：， 若时，即时，则 ， 解得：，不合题意，舍去， ， 【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $