专题01 数学与我们同行（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

专题01 数学与我们同行（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 数字规律探究 能准确识别数列中数字的变化规律（如等差、等比、平方等），并运用此规律推断出后续的数字或通用表达式 易错点： 规律找不全、找错。例如，将双重规律（如先乘后加）误认为是单一规律。 考查趋势： 常与图形（点阵、棋子等）结合考查，规律更隐蔽。 图形规律探究 能观察分析点、线、面等图形的变化趋势，归纳出图形的数量（如点数）与序号之间的对应关系，并求解特定序号下的图形数量。 易错点： 分不清图形总数与新增数量之间的关系。找不到从“形”到“数”的转化方法。 考查趋势： 偏爱考查“不完整”的图形序列，需要先补全再找规律。  数学思想方法应用 能在解决实际生活问题（如购物付费、路线选择）时，能进行程序运算与定义新运算，有意识地运用分类讨论的方法，理解运算的每一步流程，并求解相关的未知数值 易错点： 分类标准不清晰，导致漏解或多解。理解题意有偏差。没看懂规则就盲目计算。对于含未知数的程序运算，逆推能力弱。 考查趋势：考查数学建模能力，与找规律结合，定义一种有规律的迭代运算 知识点01 规律探究 本章没有复杂的公式，核心是思想方法和观察归纳能力。从具体数字、图形的排列顺序中发现其共同特征或变化趋势，寻找规律进行推导和应用. ·示例：（1），，，，第5个式子是 　 　 ；第n个式子是 　 　 ； 【解答】解：（1）∵，，，， ∴第5个式子是：；第n个式子是； （2）找规律填一填： 依次摆下去，第10个图形需要　 　 根小棒，摆n个图形需要　 　 根小棒． 【解答】解：第1个图需要3根小棒3根；第2个图需要5根小棒5根；第3个图需要7根小棒7根；第4个图需要9根小棒9根；⋯，∴第n个图需要（2n+1）根小棒，当n＝10时，2n+1＝2×10+1＝21， ∴第10个图形需要21根小棒。 ·易错点：分不清图形总数与新增数量之间的关系。找不到从“形”到“数”的转化方法。 知识点02 数学思想方法 分类讨论：当问题存在多种情形时，需按统一标准逐一分析（如几何图形的不同位置）。 程序运算：按步骤执行操作（如输入→计算→输出），需严格遵循指令。 ·示例：若a ⊕ b＝2a－b，如：3⊕4＝2×3－4＝2，则5⊕2＝___________. 【解答】解：5⊕2＝2×5－2＝8 ·易错点：分类时标准混乱导致遗漏；程序运算中顺序错误。 题型一 数字规律探究 答｜题｜模｜板 ，，，， 从计算结果中找规律，利用规律计算：； ； 【典例1】，，，， 从计算结果中找规律，利用规律计算：； 【变式1】，，，， 计算：． 【分析】原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【解答】 ． 【变式2】，，，， 计算：． 【分析】原式变形为－，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【解答】． － － － ． 题型二 图形规律探究 解｜题｜技｜巧 （1）标序号：将图形编为第1、2、3...n个。 （2）列数据：记录每个图形的数量（如火柴棒根数、点的个数）。 （3）找关系：分析相邻图形的差值或比值，联想常见数列模型。 （4）验规律：用前几项验证关系式是否正确。 易｜错｜点｜拨 增量可能是常数（等差）、变量（二次关系）或与序号相关（如n+1）。 图形结构变化时（如共用边），需重新计算实际增量。 【典例1】摆一摆，找规律． （1）请画出第⑥个图形； （2）摆第7个图形需要用 　 　 根小棒； （3）摆第n个图形需要用 　 　 根小棒． 【分析】（1）根据所给图形，画出第⑥个图形即可． （2）根据所给图形，依次求出所需小棒的根数，发现规律即可解决问题． （3）根据（2）中发现的规律即可解决问题． 【解答】解：（1）第⑥个图形如图所示，． （2）由所给图形可知，摆第1个图形需要用的小棒根数为：3＝1×2+1；摆第2个图形需要用的小棒根数为：5＝2×2+1；摆第3个图形需要用的小棒根数为：7＝3×2+1；…，所以摆第n个图形需要用的小棒根数为（2n+1）根．当n＝7时，2n+1＝2×7+1＝15（根），即摆第7个图形需要用的小棒根数为15根． （3）由（2）知，摆第n个图形需要用的小棒根数为（2n+1）根． 【变式1】灯光组在舞台上做三角形投影．第一次投射1个小正三角形；第二次在这个小正三角形四周再投射3个小正三角形；第三次在第二次投射的图形四周再投射⋯投射效果如图，第20次投射后，该图形共有 　 　 个小正三角形． 【分析】求出前4次投射后的三角形个数，可得规律第n次投射后，有个小正三角形，据此规律求解即可． 【解答】解：第1个图中有1个小正三角形，第2个图中有1+3＝4个小正三角形，第3个图中有1+3+3×2＝10个小正三角形，第4个图中有1+3+3×2+3×3＝19个小正三角形，……，以此类推，可知，第n个图中有个小正三角形， ∴第20次投射后，图中应有个小正三角形. 题型三 程序运算与定义新运算 解｜题｜技｜巧 （1）读懂规则：理解新运算的定义 （2）分步计算：严格按照规则计算 （3）逆向思维：逆推时从结果倒推 易｜错｜点｜拨 （1）注意运算顺序 （2）区分新运算与常规运算 【典例1】定义新运算：a*b＝a2+b，已知4*x＝20，则x的值为（　　） A．12 B．16 C．4 D．6 【解答】解：由a*b＝a2+b，得 当a＝4，b＝x时，42+x＝20，∴x＝4，故选C. 【典例2】用“☆”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a☆b＝3a+b，例：7☆4＝7×3+4＝25，若m☆3＝12，那么m的值是　 　 ． 【解答】解：由题意得，m☆3＝3m+3＝12，∴m＝3 【变式1】定义新运算：若＝a+d+（－b）+（－c），则的值是　 　 ． 【解答】解：原式＝4+3+（－7）+（－6）＝7+（－7）+（－6）＝0+（－6）＝－6. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 数列1, 4, 9, 16, ...的第10个数是______。 【解答】观察前四个数易发现规律为n2，故第10个数是102＝100. 2. （2024七上·苏州期中）定义a*b=a²－b，则2*3=______。 【解答】根据a*b=a²－b可知，2*3=2²－3＝1. 3. 从A到B有3条路，B到C有2条路，则A到C有______种走法。 【解答】从A到B有三种走法，再到C每种走法又有两种走法，故一共有六种走法. 4.如图，由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形： （1）拼1个金鱼需要______根火柴； （2）拼3个金鱼需要______根火柴； （3）拼n个金鱼需要______根火柴； 【解答】（1）拼1个金鱼需要8根火柴； （2）拼3个金鱼需要20 根火柴； （3）拼n个金鱼需要（6n＋2）根火柴； 5. 小莫同学随手拿起一份月历，发现某一个月的所有的星期天的日期加起来是85， 请问最后一个星期天是几号？ 【解答】解：讨论两种情况：①当某月有4个星期天时，设第一个星期天x号，则x+x+7+x+14+x+21＝85，解得：x，不是整数，应该舍去．②当某月有5个星期天时，设第一个星期天x号，则x+x+7+x+14+x+21+x+28＝85，解得：x＝3，∴x+28＝31，即最后一天是31号． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. “※”定义新运算：a※b＝a×b－（a+b），3※（5※2）＝　 　 ． 【解答】解：3※（5※2）＝3※[5×2－（5+2）]＝3※3＝3×3－（3+3）＝3 2. 规定A⊙B＝5A﹣4B，若x⊙（5⊙2）＝14，那么x＝　 　 ． 【解答】解：根据题意，x⊙（5⊙2）＝x⊙（5×5﹣4×2）＝x⊙17，∴x⊙17＝14，即5x﹣4×17＝14，x＝16.4． 3.小明在学习找规律后，把1～100这100个自然数按如图所示的数阵排列，用形如“”的框架框住数阵中的五个数，并计算框架框住的五个数之和，探索其中规律完成下面问题： （1）能被框住的任意五个数之和能否被10整除，请说明理由； （2）现给出以下四个数：①250；②364；③475；④480．其中可能是这个框架框住的五个数之和的是 　 　 ．（填序号） 【分析】（1）设中间的数为x，则五个数分别为x﹣6、x﹣1、x、x+1、x+6，求出五个数的和为5x，再由即可得出结论； （2）分别列出一元一次方程，解方程逐项判断即可得出答案． 【解答】解：（1）设中间的数为x，则五个数分别为x﹣6、x﹣1、x、x+1、x+6， ∴这五个数的和是x+x﹣6+x+1+x﹣1+x+6＝5x，∵，∴当最中间的数为奇数时，能被框住的任意五个数之和不能被10整除，当最中间的数为偶数时，能被框住的任意五个数之和能被10整除； （2）当5x＝250时，解得x＝50，∴这五个数分别为44、49、50、51、56，从数阵中可以框出这五个数，故①符合题意；当5x＝364时，解得x＝72.8，x不为自然数，故②不符合题意；当5x＝475时，解得x＝95，∴这五个数分别为89、94、95、96、101，101不在数阵中，故③不符合题意；当5x＝480时，解得x＝96，∴这五个数分别为90、95、96、97、102，102不在数阵中，故④不符合题意；∴可能是这个框架框住的五个数之和的是①。 4.找规律：观察算式： 13＝1； 13+23＝9； 13+23+33＝36； 13+23+33+43＝100； …… （1）按规律填空： ①13+23+33+43+⋯⋯+103＝ 　 　 ． ②13+23+33+43+⋯⋯+n3＝ 　 　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+⋯⋯+203． 【解答】解：（1）①13+23+33+43+⋯⋯+103＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2＝552＝3025 ② （2）根据（1）的规律得113+123+133+143+⋯⋯+203＝（1+2+3+4+⋯⋯+20）2﹣（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2＝2102﹣552＝44100﹣3025＝41075． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.“等积变形”的数学思想方法是指图形或物体的形状改变．但是面积或体积不变．下面运用“等积变形”思想的是（　　） A． ①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【解答】利用“等积变形”思想的意义对每个选项进行逐一判断即得①②③④．故选：D． 2.对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为　 　 ． 【解答】解：∵x*y＝2，∴，即x﹣y＝2xy，∴． 3.观察下列各式：①22﹣21＝2×21﹣1×21＝21×（2﹣1）＝21； ②23﹣22＝2×22﹣1×22＝22×（2﹣1）＝22； ③24﹣23＝2×23﹣1×23＝23×（2﹣1）＝23； … （1）请你找规律，写出第n个等式为　 　 ； （2）计算：26﹣25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1； （3）计算：1+2+22+⋯+22018+22019﹣22020． 【解答】解：（1）由题意，得 ∵22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23＝23；…，∴第n个等式可表示为：2n+1﹣2n＝2n． （2）由（1）知， 26﹣25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1＝25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1＝24﹣23﹣22﹣2﹣1＝23﹣22﹣2﹣1＝22﹣2﹣1＝2﹣1＝1． （3）由（1）知，1+2+22+⋯+22018+22019+1＝22020，则1+2+22+⋯+22018+22019＝22020﹣1，∴原式＝22020﹣1﹣22020＝－1． 4.找规律填空． ①一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有 　 　 个顶点． ②下列各图中每个正方体的棱长都是a厘米．各图的表面积分别是多少？（按图形顺序依次将答案填在对应的横线内） （1）　 　 平方厘米；（2）　 　 平方厘米；（3）　 　 平方厘米；（4）　 　 平方厘米． ③观察下面的几个算式： 1+2+1＝4； 1+2+3+2+1＝9； 1+2+3+4+3+2+1＝16； 1+2+3+4+5+4+3+2+1＝25； … 根据你所发现的规律，直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝　 　 ． 【解答】解：①根据截去一个角后，所得的几何体的形状可得，一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有7或8或9或 10个顶点。②图（1）是正方形6个面的面积和为6a2，图（2）是2个正方形的组合体，其表面积为6a2×2﹣a2×2×1＝10a2，图（3）是3个正方形的组合体，其表面积为6a2×3﹣a2×2×2＝14a2，…图（4）是51个正方形的组合体，其表面积为6a2×51﹣a2×2×50＝206a2. ③由规律可得，1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝1002＝10000。 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数学与我们同行（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 数字规律探究 能准确识别数列中数字的变化规律（如等差、等比、平方等），并运用此规律推断出后续的数字或通用表达式 易错点： 规律找不全、找错。例如，将双重规律（如先乘后加）误认为是单一规律。 考查趋势： 常与图形（点阵、棋子等）结合考查，规律更隐蔽。 图形规律探究 能观察分析点、线、面等图形的变化趋势，归纳出图形的数量（如点数）与序号之间的对应关系，并求解特定序号下的图形数量。 易错点： 分不清图形总数与新增数量之间的关系。找不到从“形”到“数”的转化方法。 考查趋势： 偏爱考查“不完整”的图形序列，需要先补全再找规律。  数学思想方法应用 能在解决实际生活问题（如购物付费、路线选择）时，能进行程序运算与定义新运算，有意识地运用分类讨论的方法，理解运算的每一步流程，并求解相关的未知数值 易错点： 分类标准不清晰，导致漏解或多解。理解题意有偏差。没看懂规则就盲目计算。对于含未知数的程序运算，逆推能力弱。 考查趋势：考查数学建模能力，与找规律结合，定义一种有规律的迭代运算 知识点01 规律探究 本章没有复杂的公式，核心是思想方法和观察归纳能力。从具体数字、图形的排列顺序中发现其共同特征或变化趋势，寻找规律进行推导和应用. ·示例：（1），，，，第5个式子是 　 　 ；第n个式子是 　 　 ； （2）找规律填一填： 依次摆下去，第10个图形需要　 　 根小棒，摆n个图形需要　 　 根小棒． ·易错点：分不清图形总数与新增数量之间的关系。找不到从“形”到“数”的转化方法。 知识点02 数学思想方法 分类讨论：当问题存在多种情形时，需按统一标准逐一分析（如几何图形的不同位置）。 程序运算：按步骤执行操作（如输入→计算→输出），需严格遵循指令。 ·示例：若a ⊕ b＝2a－b，如：3⊕4＝2×3－4＝2，则5⊕2＝___________. ·易错点：分类时标准混乱导致遗漏；程序运算中顺序错误。 题型一 数字规律探究 答｜题｜模｜板 ，，，， 从计算结果中找规律，利用规律计算：； ； 【典例1】，，，， 从计算结果中找规律，利用规律计算：； 【变式1】，，，， 计算：． 【变式2】，，，， 计算：． 题型二 图形规律探究 解｜题｜技｜巧 （1）标序号：将图形编为第1、2、3...n个。 （2）列数据：记录每个图形的数量（如火柴棒根数、点的个数）。 （3）找关系：分析相邻图形的差值或比值，联想常见数列模型。 （4）验规律：用前几项验证关系式是否正确。 易｜错｜点｜拨 增量可能是常数（等差）、变量（二次关系）或与序号相关（如n+1）。 图形结构变化时（如共用边），需重新计算实际增量。 【典例1】摆一摆，找规律． （1）请画出第⑥个图形； （2）摆第7个图形需要用 　 　 根小棒； （3）摆第n个图形需要用 　 　 根小棒． 【变式1】灯光组在舞台上做三角形投影．第一次投射1个小正三角形；第二次在这个小正三角形四周再投射3个小正三角形；第三次在第二次投射的图形四周再投射⋯投射效果如图，第20次投射后，该图形共有 　 　 个小正三角形． 题型三 程序运算与定义新运算 解｜题｜技｜巧 （1）读懂规则：理解新运算的定义 （2）分步计算：严格按照规则计算 （3）逆向思维：逆推时从结果倒推 易｜错｜点｜拨 （1）注意运算顺序 （2）区分新运算与常规运算 【典例1】定义新运算：a*b＝a2+b，已知4*x＝20，则x的值为（　　） A．12 B．16 C．4 D．6 【典例2】用“☆”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a☆b＝3a+b，例：7☆4＝7×3+4＝25，若m☆3＝12，那么m的值是　 　 ． 【变式1】定义新运算：若＝a+d+（﹣b）+（﹣c），则的值是　 　 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.数列1, 4, 9, 16, ...的第10个数是______。 2.（2024七上·苏州期中）定义a*b=a²－b，则2*3=______。 3.从A到B有3条路，B到C有2条路，则A到C有______种走法。 4.如图，由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形： （1）拼1个金鱼需要______根火柴； （2）拼3个金鱼需要______根火柴； （3）拼n个金鱼需要______根火柴； 5. 小莫同学随手拿起一份月历，发现某一个月的所有的星期天的日期加起来是85， 请问最后一个星期天是几号？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.“※”定义新运算：a※b＝a×b－（a+b），3※（5※2）＝　 　 ． 2.规定A⊙B＝5A﹣4B，若x⊙（5⊙2）＝14，那么x＝　 　 ． 3.小明在学习找规律后，把1～100这100个自然数按如图所示的数阵排列，用形如“”的框架框住数阵中的五个数，并计算框架框住的五个数之和，探索其中规律完成下面问题： （1）能被框住的任意五个数之和能否被10整除，请说明理由； （2）现给出以下四个数：①250；②364；③475；④480．其中可能是这个框架框住的五个数之和的是 　 　 ．（填序号） 4.找规律：观察算式： 13＝1； 13+23＝9； 13+23+33＝36； 13+23+33+43＝100； …… （1）按规律填空： ①13+23+33+43+⋯⋯+103＝ 　 　 ． ②13+23+33+43+⋯⋯+n3＝ 　 　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+⋯⋯+203． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.“等积变形”的数学思想方法是指图形或物体的形状改变．但是面积或体积不变．下面运用“等积变形”思想的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2. 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为　 　 ． 3.观察下列各式：①22﹣21＝2×21﹣1×21＝21×（2﹣1）＝21； ②23﹣22＝2×22﹣1×22＝22×（2﹣1）＝22； ③24﹣23＝2×23﹣1×23＝23×（2﹣1）＝23； … （1）请你找规律，写出第n个等式为　 　 ； （2）计算：26﹣25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1； （3）计算：1+2+22+⋯+22018+22019﹣22020． 4.找规律填空． ①一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有 　 　 个顶点． ②下列各图中每个正方体的棱长都是a厘米．各图的表面积分别是多少？（按图形顺序依次将答案填在对应的横线内） （1）　 　 平方厘米；（2）　 　 平方厘米；（3）　 　 平方厘米；（4）　 　 平方厘米． ③观察下面的几个算式： 1+2+1＝4； 1+2+3+2+1＝9； 1+2+3+4+3+2+1＝16； 1+2+3+4+5+4+3+2+1＝25； … 根据你所发现的规律，直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝　 　 ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $