专题01 一元二次方程的相关概念及解法（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程的相关概念及解法 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 一元二次方程根与系数的关系 考点04 一元二次方程的解法 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校·期中)已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．(24-25九上·甘肃省兰州市外国语学校、兰州志成中学·期中)已知是方程的一个根，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 4．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)关于的方程是一元二次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·甘肃兰州教育局第四片区·期中)若是关于的一元二次方程的一个解．则的值是（    ） A．6 B．5 C．2 D． 6．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)将一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是5，则一次项的系数是（   ） A． B．2 C． D．1 7．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)若一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 8．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)一元二次方程的二次项系数 ，一次项系数 ． 9．(24-25九上·甘肃省平凉市第四中学·期中)若方程是关于的一元二次方程，则 ． 10．(24-25九上·甘肃平凉广成学校·期中)一元二次方程中，一次项系数是 ． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)一元二次方程化为一般形式是 ． 12．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)已知一元二次方程有一个根为，则k的值为 ． 13．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)若m是方程的根，则的值等于 ． 三、解答题 15．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 16．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)若一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 3．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A．3 B．0 C．1 D． 4．(24-25九上·甘肃白银市·期中)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 5．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 6．(24-25九上·甘肃天水第五中学·期中)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 二、填空题 7．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 8．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)写出一个的值，使得关于的一元二次方程有两个不相等的实数根： ． 9．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 10．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 11．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 12．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 三、解答题 13．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 15．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求k的取值范围； (2)方程的一个根可以为1吗？如果可以，求k的值；如果不可以，说明理由． 16．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 地 城 考点03 一元二次方程根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于(　　) A．5 B．6 C．－5 D．－6 2．(24-25九上·甘肃省陇南市徽县徽县第三中学·期中)如果一元二次方程的两根为、，则的值等于（    ） A．-6 B．6 C．-5 D．5 3．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县·期中)设一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A．﹣ B． C．﹣2 D．﹣1 4．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)若，是方程两个根，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ） A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2 二、填空题 6．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)若，为方程的两个实数根，则的值为 ． 7．(24-25九上·甘肃省兰州市第十九中学·期中)设是一元二次方程的两个根，且，则 ， ． 8．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)已知a、b是方程的两个实数根，则的值是 ． 9．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)已知，是方程的两根，则 ． 10．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)若一元二次方程的两根为，则 ． 11．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)已知，是方程的两个根，则的值 ． 12．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)若，是方程的两个根，则 ． 13．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区·期中)已知，是方程的两实数根，则的值为 ． 14．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则二次函数的对称轴为 ． 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)非零实数满足，，则的值是 ． 16．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为 ． 三、解答题 17．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 18．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 19．(24-25九上·甘肃省天水市第五中学·期中)已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 20．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 21．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)已知 ，是一元二次方程的两个实数根． (1)求实数的取值范围． (2)若，满足；求实数的值． (3)实数在（2）条件下，求代数式的值． 地 城 考点04 一元二次方程的解法 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)方程的解为（    ） A． B．或 C． D．或4 2．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)一元二次方程的解是（   ） A．2 B．0 C．2或0 D．2或 5．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)解方程最合适的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 6．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 7．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)一元二次方程的根是（  ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（    ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A．第①步 B．第2步 C．第③步 D．第④步 9．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)用配方法解方程时，下列变形正确的为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 11．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区·期中)已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（　　） A．12 B．14 C．15 D．12或14 二、填空题 13．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校·期中)用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 14．(24-25九上·甘肃酒泉第二中学·期中)代数式的最小值是 ． 15．(24-25九上·甘肃省陇南市徽县徽县第三中学·期中)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ． 三、解答题 16．(24-25九上·甘肃武威凉州区·期中)解方程： (1)． (2) 17．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)解方程： (1) (2) 18．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)解下列方程： (1)； (2)． 19．(24-25九上·甘肃平凉·期中)解方程： (1)； (2)   （配方法） 20．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)按要求解下列方程： (1)（用公式法） (2)（用因式分解法） 21．(24-25九上·甘肃武威·期中)用适当的方法解下列方程： (1)； (2) ； (3)． 22．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)解下列关于x的一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 23．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县城关初级中学·期中)用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 24．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 25．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根④ (1)嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的相关概念及解法 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 一元二次方程根与系数的关系 考点04 一元二次方程的解法 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程定义，理解题并掌握一元二次方程的定义是解题关键．形如（为常数，且），只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，当时，不是一元二次方程，故不符合题意； D. ，是二元二次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 2．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校·期中)已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入，得出，解出m的值，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是2， ∴把代入， 得， 解得 故选：C 3．(24-25九上·甘肃省兰州市外国语学校、兰州志成中学·期中)已知是方程的一个根，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先由是方程的一个根，得出，再计算式子，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 4．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)关于的方程是一元二次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义得出且即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故选：． 5．(24-25九上·甘肃兰州教育局第四片区·期中)若是关于的一元二次方程的一个解．则的值是（    ） A．6 B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先把代入一元二次方程得，解关于的方程即可得出答案． 【详解】解： 是关于的一元二次方程的一个解， ， ， 故选A． 6．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)将一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是5，则一次项的系数是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“一元二次方程，则二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c”进行求解即可． 【详解】解：把一元二次方程化成一般形式为，所以一次项系数为； 故选A． 7．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)若一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，由一元二次方程根的定义可得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 8．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)一元二次方程的二次项系数 ，一次项系数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，，根据定义即可得出答案，把握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为， 故答案为：，． 9．(24-25九上·甘肃省平凉市第四中学·期中)若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 10．(24-25九上·甘肃平凉广成学校·期中)一元二次方程中，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数、为一次项系数、为常数项，即可解答，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程中，一次项系数是， 故答案为：． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是‌，其中、、是常数且，由此计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 12．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)已知一元二次方程有一个根为，则k的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程得： ， ， ， 故答案为：． 13．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，解得，再根据二次项系数不为0得到，则． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)若m是方程的根，则的值等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值．解题的关键利用整体思想求解．根据题意得到，再将其整体代入到中求解，即可解题． 【详解】解： m是方程的根， ， 即， 则， 故答案为：8． 三、解答题 15．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 16．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 【答案】满足条件的一元二次方程为或 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 解得，，， ∴满足条件的一元二次方程为或． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】求出的值，然后根据的值判断即可. 本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键.当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根. 【详解】解：对于方程来说， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选：D. 2．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)若一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将原方程可化为一般式，再由方程有实数根时，即可得出答案． 【详解】原方程可化为， 该方程有实数根， ， 解得， ， m的值不可能是， 故选：A． 3．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A．3 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．由关于x的一元二次方程没有实数根，可得出，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 结合选项可知只有A符合题意． 故选A． 4．(24-25九上·甘肃白银市·期中)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】①当时，，解得： ②当时，关于x的方程有实数根 ∴ ∴且 综上所述，k的取值范围为：． 故选：B． 6．(24-25九上·甘肃天水第五中学·期中)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二次方程根的判别式及定义，当判别式且二次项系数不为0时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 解得：， 故选：C． 二、填空题 7．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为5． 8．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)写出一个的值，使得关于的一元二次方程有两个不相等的实数根： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意可得，即可求出的取值范围，进而可得的值，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 9．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 11．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】k＜2且k≠1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 12．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 三、解答题 13．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】见详解 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确记忆根的判别式是解题的关键． 【详解】证明： ， ∴， 无论取何值，方程总有两个实数根． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2)方程的另一个根是 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先将方程的根代入确定，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即：， 整理得：， ∴； （2）∵方程有一个根是， 将代入方程得：， ∴， 则原方程为， 解得：，， ∴方程的另一个根是． 15．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求k的取值范围； (2)方程的一个根可以为1吗？如果可以，求k的值；如果不可以，说明理由． 【答案】(1)； (2)可以，k的值为1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次该方程的解． （1）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． （2）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值． 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴k的取值范围为； （2）可以； 把代入原方程，得，解得， ∵， ∴方程的一个根可以为1，此时k的值为1． 16．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式可得关于m的不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，代入，结合（1）中m的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 整理，得， 解得，， ∵， ∴． 地 城 考点03 一元二次方程根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于(　　) A．5 B．6 C．－5 D．－6 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系即可求得两根的和． 【详解】解：∵一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1，x2， 故选A． 【点睛】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根分别是x1、x2，则： 2．(24-25九上·甘肃省陇南市徽县徽县第三中学·期中)如果一元二次方程的两根为、，则的值等于（    ） A．-6 B．6 C．-5 D．5 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2的值，再把它们的值代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝−3， ∴＝−3×2＝−6． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式的变形相结合是一种经常使用的解题方法． 3．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县·期中)设一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A．﹣ B． C．﹣2 D．﹣1 【答案】A 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是求解的关键． 4．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)若，是方程两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数关系求解． 【详解】解：∵是方程两个根， ∴． 故选：B 5．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ） A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根． 【详解】解：设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根，且m= 1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3； 故选：C． 二、填空题 6．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)若，为方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系（若，为方程的两个根，则，与系数的关系式为：，），熟练掌握这种关系是解题的关键． 由题意，为方程的两个实数根，可知，，利用整体代入的思想即可求解． 【详解】解：，为方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 7．(24-25九上·甘肃省兰州市第十九中学·期中)设是一元二次方程的两个根，且，则 ， ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得到，，代入，即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∵，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：，． 8．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)已知a、b是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．先将a代入原方程，再根据根与系数的关系得到a、b的关系，进而求解即可． 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 9．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)已知，是方程的两根，则 ． 【答案】11 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式变形计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：11． 10．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)若一元二次方程的两根为，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程根与系数的关系“”进行求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的两根为，可知：， ∴； 故答案为3． 11．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)已知，是方程的两个根，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)若，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．首先把方程转化为一元二次方程的一般形式：，然后再根据一元二次方程根与系数的关系、得到两根之和与两根之积，代入即可求解． 【详解】解：把移项， 得：， 、、， ，， ． 故答案为： ． 13．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区·期中)已知，是方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】根据根与系数的关系求出x1＋x2＝−6，x1x2＝3，把原式变形即可求解． 【详解】根据题意x1＋x2＝-=−6，x1x2==3， ∴=． 故答案为：−2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合是经常使用的一种解题方法． 14．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则二次函数的对称轴为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用． 根据两根之和公式可以求出对称轴公式． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴， ∴二次函数的对称轴为． 故答案为：． 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)非零实数满足，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解，根与系数的关系由题意可知是方程的两根，由根与系数的关系可得再由完全平方公式可得代入计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∴是方程的两根， ， 故答案为：． 16．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为 ． 【答案】6.5/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而得到，再利用勾股定理得到该三角形斜边长，最后根据直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解： ，， ， 方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长， 该三角形斜边长为， 该三角形斜边上的中线长为， 故答案为：6.5． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 三、解答题 17．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，． （1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解； （2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． 18．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 19．(24-25九上·甘肃省天水市第五中学·期中)已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1)k； (2)k=3 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 20．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． （1）根据两个实数根，，利用根的判别式即可解答； （2）提取公因式可得，最后利用根与系数的关系式，列出方程即可解答． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得； （2）解：可得， 根据一元二次方程可得， 可得， 解得． 21．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)已知 ，是一元二次方程的两个实数根． (1)求实数的取值范围． (2)若，满足；求实数的值． (3)实数在（2）条件下，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，代入数值求解即可． （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，而可化为，将其代入化简即可求解． （3）当时，可得，，，，，分别代入代数式中即可化简求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∴实数的取值范围． （2）解：由根与系数关系可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 上式可化为， 解得，， ∵实数的取值范围， ∴． （3）解：当时，原一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 故， ， ， ， ， ， ， 代入，，原式， ∴代数式的值为． 地 城 考点04 一元二次方程的解法 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)方程的解为（    ） A． B．或 C． D．或4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ， ， 即或， 故选B． 2．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是利用配方法求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选B． 3．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 4．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)一元二次方程的解是（   ） A．2 B．0 C．2或0 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键． 先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】∵， 移项得， 分解因式得， ∴， ∴， ∴一元二次方程的解是2或0． 故选：C． 5．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)解方程最合适的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】先移项，再提取公因式即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴最合适的方法是因式分解法， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 6．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 7．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)一元二次方程的根是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求根公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握求根公式． 8．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（    ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A．第①步 B．第2步 C．第③步 D．第④步 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．按照配方法的步骤逐步分析即可． 【详解】解：第③步出现错误，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上， 故选：C． 9．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)用配方法解方程时，下列变形正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．先把移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：D． 10．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求解方程即可 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：B 11．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式． 【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解． B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法． C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解． D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解． 综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解． 故选：B． 12．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区·期中)已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（　　） A．12 B．14 C．15 D．12或14 【答案】A 【详解】解方程， 得， 即第三边的边长为5或7， ∵1<第三边的边长<7， ∴第三边的边长为5， ∴这个三角形的周长是3+4+5=12. 故选：A. 【点睛】三角形的任意两边之和大于第三边，解一元二次方程 二、填空题 13．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校·期中)用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 【答案】16 【分析】根据一元二次方程的配方法可直接进行求解． 【详解】解：用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数16，使得方程左边配成一个完全平方式，即为； 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 14．(24-25九上·甘肃酒泉第二中学·期中)代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 15．(24-25九上·甘肃省陇南市徽县徽县第三中学·期中)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】7或8 【分析】求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解： （x－2）（x－3）=0 解得：x=2或x=3， 当等腰三角形的三边为2，2，3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为7； 当等腰三角形的三边为2，3，3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为8， 所以三角形的周长为7或8， 故填：7或8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 三、解答题 16．(24-25九上·甘肃武威凉州区·期中)解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：； （2）解：， ， 或， 解得：． 17．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再分解因式，可得到两个一元一次方程，再求解； （2）先去括号移项，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：移项得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （2）解：移项得， 因式分解得， ∴，， 解得，． 18．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19．(24-25九上·甘肃平凉·期中)解方程： (1)； (2)   （配方法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）先移项，再用因式分解法求解； （2）先变形、移项，得到，再通过配方求解． 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2）解： ， 方程变形得：， 配方得：， 即， ∴， 解得：，． 20．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)按要求解下列方程： (1)（用公式法） (2)（用因式分解法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解一元二次方程的方法． （1）利用公式法即可解答； （2）提取公因式，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，； （2）， ， ， ，， ，． 21．(24-25九上·甘肃武威·期中)用适当的方法解下列方程： (1)； (2) ； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程． （1）直接用因式分解法解方程即可． （2）直接用因式分解法解方程即可． （3）去括号整理，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ，． （2） ，． （3） ，． 22．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)解下列关于x的一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法，公式法，直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）将化成，再由直接开平方法解方程即可； （2）将因式分解成，在求解即可； （3）直接用公式法求解即可． 【详解】（1） ， ， ， 或， ，． （2） ， ， ， 或， ． （3） ， ， ， ， ． 23．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县城关初级中学·期中)用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 24．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，． (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 因式分解，得， 或， ∴，； （2）解：因式分解，得， 或， ∴，； （3）解：变形，得， 移项，得， 因式分解，得，即， 或， 解得，； （4）解：变形，得， 移项，得， 因式分解，得，即， 或， 解得，． 25．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根④ (1)嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)公式法，② (2)步骤见解析，， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键． （1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，求解过程中，，，他的表示系数时错误，所以，从第②步开始出现错误， 故答案为：公式法，②； （2）解：， ，，， ， ， ，． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $