专题07 数轴中动点的七种考法-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题07数轴中动点的七种考法 【题型01单动点问题（分类讨论】 1 【题型02单动点问题（变化规律）】 3 【题型03双动点问题】 8 【题型04动点中的折叠问题】..................................................................................14 【题型05 利用数轴上动点解决年龄差问题】........................................................17 【题型06新定义问题】............................................................................................19 【题型07 多个动点问题】..........................................................................................21 【题型01单动点问题（分类讨论】 1．为数轴上表示的点，将点沿数轴平移个单位到点，则点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减运算，一般地：点在数轴上平移，向左平移几个单位，则用该点表示的数减几，即得平移后点表示的数；向右平移几个单位，则用该点表示的数加几，即得平移后点表示的数．分向左平移或向右平移两种情况讨论计算即可求解． 【详解】解：若点向左平移个单位，点表示的数是， 若点向右平移个单位，点表示的数是， 点表示的数为或． 故选：D． 2．数轴上，点表示，将点沿数轴平移1个单位长度后到点，则点所表示的数为（   ） A．3 B． C．1 D．或 【答案】D 【分析】向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为；当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为，解答即可. 本题考查了数轴上的平移，有理数加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【详解】解：向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为； 当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为. 故选：D. 3．点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B． C．或 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移规律，掌握规律是解题的关键．平移规律：向右加，向左减；据此即可求解． 【详解】解：∵点为数轴上表示的点， ∴将点在数轴上向右平移2个单位长度到，将点在数轴上向左平移2个单位长度到， ∴点所表示的数为或 故选：C． 4．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 【题型02单动点问题（变化规律）】 1．如图，圆的周长是4个单位长度，均匀分布0、1、2、3四个数字，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法以及圆周上数字与数轴上的数的对应关系是正确解答的关键．根据数轴表示的方法以及所呈现的规律进行解答即可． 【详解】解：起始时，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合， 顺时针旋转1周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转2周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转3周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转4周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 由于， 所以数轴上的数将与圆周上的数字2重合， 故选：C． 2．如图，边长为单位1的等边三角形，从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动，若等边三角形滚动1周到达点，则点表示的数是（    ） A．1 B．4 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意可知等边三角形滚动一周长度是3，然后根据点A的初始位置在原点可得答案． 【详解】解：由图可知， ∵等边三角形边长是1， ∴滚动一周长度是3， ∵初始位置时，等边三角形顶点A在原点， ∴滚动一周后顶点A表示的数是3． 故选：D． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，确定出点A的初始位置是解题关键． 3．边长为一个单位的正方形纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1．把正方形纸片绕着顶点A在数轴上向右滚动（无滑动），在滚动过程中经过数轴上的数2021的顶点是（    ） A．点 B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】正方形滚动一周时，点A对就的数为4，根据．．．．．．1可判断． 【详解】解：正方形滚动一周时，点A对就的数为4，且．．．．．．1， ∴当正方形滚动505周时，点A对应的数为2020， ∴数轴上的数2021对应的顶点为点B， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴，解决问题的关键是掌握数轴的概念，解题时注意：正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． 4．如图所示，直径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，圆的周长，先求出，即可求出，再根据点A在原点的左侧是负数得出答案． 【详解】∵圆的直径是1， ∴， ∴． ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 5．正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2025所对应的点是 ． 【答案】点B 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2025所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余1， 所以数轴上数2025所对应的点是点B， 故答案为：点B． 6．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 【答案】1009或1006 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：1009或1006． 7．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 【题型03双动点问题】 1．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没到达原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为；返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 2．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 3．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 4．如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 【答案】(1)1 (2) (3)5秒或7秒 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，中点公式，动点表示的数，是解题的关键． （1）运用中点公式计算即得；（2）写出运动后A、B表示的数，相等，建立方程，解方程即可；（3）包括A没超过B和A超过B两种情况，A、之间的距离等于2个单位长度，建立方程解答． 【详解】（1）解：的中点对应的数． （2）A对应的数是，对应的数是， ∵A、对应的数相同， ∴ 解得． 故当时A、对应的数相同． （3）∵A、之间的距离等于2个单位长度， ∴． 当点A在点左边时，，解得； 当点A在点右边时，，解得． 综上，当为5秒或7秒时，A、之间的距离等于2个单位长度． 5．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或-4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 【题型04 动点中的折叠问题】 1．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 2．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【答案】(1) (2)或1 (3)1009， 【分析】（1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，然后分A表示的数为5或两种情况分别求出B点表示的数即可； （3）依据M、N两点之间的距离为2022，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：因为数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数3表示的点与数-7表示的点重合． 答案： （2）解：由题意知：点A表示的数为5或， 因为A，两点经折叠后重合， 所以当点A表示时，点表示1；当点A表示5时，点表示， 所以点表示的数是或1． （3）解：∵，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合， ∴ ，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是1009，点表示的数是． 【点睛】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 【题型05 利用数轴上动点解决年龄差问题】 1．问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为． 问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说："我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为 岁． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴的应用，有理数的混合运算的应用；运用上边的模型把奶奶与丽丽的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】解：如图： 奶奶与妙妙的年龄差为：（岁）， 奶奶现在的年龄为（岁）． 故答案为： 2．（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】（）或；（），；（）表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【分析】（）分点向右或向左移动两种情况讨论； （）根据题意点到的距离，的距离，到的距离相等，即可求得答案； （）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄； 本题主要考查了有理数加减的应用，以及用数轴解决实际问题，解题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系． 【详解】解：（）当点向右移动时，；当点向左移动时，， 故答案为：或； （）由题意可知：点到的距离，的距离，到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （）如图， 小明与表姐的年龄差为：（岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 3．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，求这根木棒的长； (2)填空：图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)解决问题： 一天，甲同学去问他奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”求奶奶现在多少岁？甲同学现在多少岁？ 【答案】(1) (2)13，20 (3)奶奶现在的年龄为岁，甲同学的年龄为岁 【分析】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与甲同学的年龄差，进而求出奶奶的年龄和甲同学的年龄． （1）根据数轴可知3倍的长为，这样长就可以求出来了； （2）A点在6的右侧7单位长度，可以求出A点的数值为13，B点在A点右侧7个单位长度，也可以求出B点的数值； （3）运用上边的模型把奶奶与甲同学的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根木棒长为，则这根木棒的长为； 答：这根木棒的长为； （2）解：， ． 所以图中点所表示的数为13，点所表示的数为20． 故答案为：13，20． （3）解：当奶奶像甲同学这样大时，甲同学为岁， 所以奶奶与甲同学的年龄差为：（岁）， 所以奶奶现在的年龄为（岁），甲同学的年龄为：（岁）． 答：奶奶现在的年龄为岁，甲同学的年龄为岁． 4．综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）12，4；（2）9，13；（3）小华今年13岁，奶奶今年61岁，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可 【详解】解：（1）根据题意有， 5到点A的距离、点A到点B的距离、点B到17的距离相等，都等于木棒的长度a， ，， 12，的值为； 故答案为：12，4； （2）由（1）可知∶， 所表示的数是5， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：9，13； （3）如图∶点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109． 可知奶奶比小华大（岁）． ，． 点A对应的数为13，点B对应的数为61． 答：小华今年13岁，奶奶现在的年龄为61岁． 【题型06 多个动点问题】 1．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 2．综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题． 【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置； (2)【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动． 设移动时间为t秒（）． ①A，B两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点M表示的数为______，点N表示的数为______． 【答案】(1)见解析 (2)①3；②；； 【分析】本题考查了用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离、列代数式： （1）根据题意得点A表示的数为：，点B表示的数为：，点C表示的数为：6，再将其在数轴上表示出来即可； （2）①利用数轴上两点间距离公式即可求解；②结合数轴利用（1）中的方法解答即可． 熟练掌握数轴的基础知识是解题的关键． 【详解】（1）解：一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，则点A表示的数为：， 再向右移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为：， 然后再向右移动5个单位长度到达点C，则点C表示的数为：6， 则A、B、C三点的位置在数轴上表示如下： （2）①． 故答案为：3； ②如图，    由题意得：，，， ∴t秒时，点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为． 故答案为：；；． 【题型07新定义问题】. 1．数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 2．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)点表示的数为或，或 (4)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； （4）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07数轴中动点的七种考法 【题型01单动点问题（分类讨论】 1 【题型02单动点问题（变化规律）】 3 【题型03双动点问题】 8 【题型04动点中的折叠问题】..................................................................................14 【题型05 利用数轴上动点解决年龄差问题】........................................................17 【题型06新定义问题】............................................................................................19 【题型07 多个动点问题】..........................................................................................21 【题型01单动点问题（分类讨论】 1．为数轴上表示的点，将点沿数轴平移个单位到点，则点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 2．数轴上，点表示，将点沿数轴平移1个单位长度后到点，则点所表示的数为（   ） A．3 B． C．1 D．或 3．点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B． C．或 D．或7 4．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【题型02单动点问题（变化规律）】 1．如图，圆的周长是4个单位长度，均匀分布0、1、2、3四个数字，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，边长为单位1的等边三角形，从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动，若等边三角形滚动1周到达点，则点表示的数是（    ） A．1 B．4 C．2 D．3 3．边长为一个单位的正方形纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1．把正方形纸片绕着顶点A在数轴上向右滚动（无滑动），在滚动过程中经过数轴上的数2021的顶点是（    ） A．点 B．点B C．点C D．点D 4．如图所示，直径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是 ． 5．正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2025所对应的点是 ． 6．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 7．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【题型03双动点问题】 1．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 2．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 3．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 4．如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒． (1)求运动前的中点对应的数； (2)为何值时A、对应的数相同； (3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度． 5．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型04 动点中的折叠问题】 1．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 2．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【题型05 利用数轴上动点解决年龄差问题】 1．问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为． 问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说："我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为 岁． 2．（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 3．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，求这根木棒的长； (2)填空：图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)解决问题： 一天，甲同学去问他奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”求奶奶现在多少岁？甲同学现在多少岁？ 4．综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【题型06 多个动点问题】 1．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 2．综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题． 【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置； (2)【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动． 设移动时间为t秒（）． ①A，B两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点M表示的数为______，点N表示的数为______． 【题型07新定义问题】. 1．数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 2．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $