重难点03：突破导数构造瓶颈：含原函数与导函数混合题型的解题 讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点03：突破导数构造瓶颈：含原函数与导函数混合题型的解题“杀手锏” （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、“和差型”构造原函数 3 题型二、“乘积型”构造原函数 4 题型三、“商型”构造原函数 5 题型精析・方法突破提能力 6 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 在解决含原函数与导函数的问题时，构造辅助函数是核心思路。其本质是通过 “凑导” 的方式，将待解的等式不等式转化为某个新函数的导函数 ，再利用导数的几何意义、单调性、极值、最值求解。 无论题目是求解析式、证明不等式，还是判断零点，都可遵循 “定结构→构函数→析导数→用性质” 四步流程，具体如下： 步骤 1：定结构 —— 题目中会给出含与的等式或不等式，首先忽略无关信息（如定义域、初始值），聚焦含和的核心项，判断其属于哪类模型（参考下文 “和差型”，“乘积型”，“商型”）。 步骤 2：构函数 —— 根据步骤 1 匹配的模型，直接调用固定辅助函数（无需推导，记熟即可），若模型类似，则调整辅助函数的形式。 步骤 3：析导数 —— 将题目中含的等式不等式，代入的表达式，转化为关于的等式不等式，明确的符号（判断单调性）、解析式（求原函数）或零点（判断极值）。 步骤 4：用性质 —— 根据题目要求（求解析式、证明不等式、判断零点），结合得出的性质（单调性、最值、解析式），完成解题。 二、构造技巧 构造函数：“和差型” 模型1：对于不等式 模型2：对于不等式 模型3：对于不等式 构造函数：“乘积型” 模型4：对于不等式 模型5：对于不等式 模型6：对于不等式 模型7：对于不等式 模型8：对于不等式 模型9：对于不等式 模型10：对于不等式 模型11：对于不等式 模型12：对于不等式 特殊模型1：对于不等式 特殊模型2：对于不等式 构造函数：“商型” 模型13：对于不等式 模型14：对于不等式 模型15：对于不等式 模型16：对于不等式 模型17：对于不等式 模型18：对于不等式 模型19：对于不等式 模型20：对于不等式 模型21：对于不等式 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、“和差型”构造原函数 典例探究 【典型例题】已知定义在，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】 C 【分析】 观察题干条件，对应模型2，构造，利用单调性求解。 【详解】令。 因为上为增函数。 不等式。 由 故选： 举一反三 【1-1】已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【1-2】已知函数的定义域为，，为导函数，且对任意，均有，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【1-3】已知的导数，且，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 题型二、“乘积型”构造原函数 典例探究 【典型例题】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系. 【详解】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 举一反三 【2-1】（22-23高三上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 【2-2】是定义在R上的可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（  ） A． B． B． C． D． 【2-3】（24-25高二下·河南南阳·期末）定义在上的偶函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【2-4】已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【2-5】设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型三、“商型”构造原函数 典例探究 【典型例题】（21-22高二下·河南商丘·阶段练习）若定义域为R的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合各选项的信息构造函数，利用导数探讨函数单调性即可判断作答. 【详解】令函数，求导得，因此函数在R上单调递增， 于是得，即，整理得，B正确. 故选：B 举一反三 【3-1】已知函数，对任意的，满足，是的导数，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【3-2】若对可导函数f(x)，g(x)，当x∈[0,1]时恒有f′(x)·g(x)<f(x)·g′(x)，若已知α，β是一个锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F(x)＝ (g(x)≠0)，则下列不等式正确的是( ) A． F(cosα)>F(cosβ) B．F(cosα)<F(cosβ) B． C．F(sinα)<F(cosβ) D．F(sinα)>F(sinβ) 【3-3】已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【3-4】已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【3-5】已知定义在上的函数满足：函数为奇函数，且对，恒成立（是函数的导函数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知函数y＝f（x）为定义在实数集R上的奇函数，且当x时，xf′（x）＜（其中f′（x）时f（x）的导函数，若af（），b＝（lg3）f（lg3），c＝（log2）f（log2），则（    ） A．c＜b＜a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【突破提升训练・2】已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・3】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・4】已知定义在上的函数的导函数为，且，设，，则，的大小关系为 A． B． C． D．无法确定 【突破提升训练・5】已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・6】已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・7】已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・8】设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【突破提升训练・9】已知函数及其导函数的定义域的解集是均为R，且，则（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・10】已知函数满足，且的导函数，则的解集为 A． B． C．或 D． 【突破提升训练・11】已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是（） A． B． C． D． 【突破提升训练・12】已知是定义在上的可导函数，且满足，则（） A． B． C．为减函数 D．为增函数 【突破提升训练・13】定义在上的函数导函数为，且对恒成立，则 A． B． C． D． 【突破提升训练・14】已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是 A．恒成立 B． C．当且仅当， D．当且仅当， 【突破提升训练・15】已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・16】函数，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03：突破导数构造瓶颈：含原函数与导函数混合题型的解题“杀手锏” （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、“和差型”构造原函数 3 题型二、“乘积型”构造原函数 4 题型三、“商型”构造原函数 6 题型精析・方法突破提能力 10 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 在解决含原函数与导函数的问题时，构造辅助函数是核心思路。其本质是通过 “凑导” 的方式，将待解的等式不等式转化为某个新函数的导函数 ，再利用导数的几何意义、单调性、极值、最值求解。 无论题目是求解析式、证明不等式，还是判断零点，都可遵循 “定结构→构函数→析导数→用性质” 四步流程，具体如下： 步骤 1：定结构 —— 题目中会给出含与的等式或不等式，首先忽略无关信息（如定义域、初始值），聚焦含和的核心项，判断其属于哪类模型（参考下文 “和差型”，“乘积型”，“商型”）。 步骤 2：构函数 —— 根据步骤 1 匹配的模型，直接调用固定辅助函数（无需推导，记熟即可），若模型类似，则调整辅助函数的形式。 步骤 3：析导数 —— 将题目中含的等式不等式，代入的表达式，转化为关于的等式不等式，明确的符号（判断单调性）、解析式（求原函数）或零点（判断极值）。 步骤 4：用性质 —— 根据题目要求（求解析式、证明不等式、判断零点），结合得出的性质（单调性、最值、解析式），完成解题。 二、构造技巧 构造函数：“和差型” 模型1：对于不等式 模型2：对于不等式 模型3：对于不等式 构造函数：“乘积型” 模型4：对于不等式 模型5：对于不等式 模型6：对于不等式 模型7：对于不等式 模型8：对于不等式 模型9：对于不等式 模型10：对于不等式 模型11：对于不等式 模型12：对于不等式 特殊模型1：对于不等式 特殊模型2：对于不等式 构造函数：“商型” 模型13：对于不等式 模型14：对于不等式 模型15：对于不等式 模型16：对于不等式 模型17：对于不等式 模型18：对于不等式 模型19：对于不等式 模型20：对于不等式 模型21：对于不等式 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、“和差型”构造原函数 典例探究 【典型例题】已知定义在，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】 C 【分析】 观察题干条件，对应模型2，构造，利用单调性求解。 【详解】令。 因为上为增函数。 不等式。 由 故选： 举一反三 【1-1】已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，然后利用导数解不等式. 【详解】设，因为， 所以，所以单调递增， 又，所以的解集为， 即的解集为， 故选：D. 【1-2】已知函数的定义域为，，为导函数，且对任意，均有，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用单调性得到关于的不等式，求出的取值范围即可. 【详解】令，因为，且， 所以0，则在单调递增，则 由得，即 所以，即， 解得. 故选：A. 【1-3】已知的导数，且，，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】令，利用单调性得求出的取值范围即可. 【详解】令，因为，且， 所以0，则在单调递增，则 由得，即 所以 故选：D. 题型二、“乘积型”构造原函数 典例探究 【典型例题】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系. 【详解】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 举一反三 【2-1】（22-23高三上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，再求导分析函数的单调性，进而结合判断大小关系即可. 【详解】由，化简，令，则，所以函数在上单调递增，，所以. 故选：D 【2-2】是定义在R上的可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（  ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数，然后对其求导，根据题意，判断其单调性，即可得出结果. 【详解】令，则，因为恒成立， 所以恒成立，所以函数在R上单调递增； 因为，所以即. 故选B 【2-3】（24-25高二下·河南南阳·期末）定义在上的偶函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目已知条件，构造函数，说明构造函数单调性，判断函数值大小，列出不等式，求出解集. 【详解】构造函数，则， 当时，恒有，即在上单调递增. 是偶函数，是偶函数，为偶函数， 在上单调递减. 又，即， ，解得或. 故选：C. 【2-4】已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得函数关于直线对称，，进而构造函数，易得其关于点对称，在上单调递增，再分时和时两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为定义在上的函数满足为偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 因为当，有，即， 故令，则在上单调递增， 因为， 所以关于点对称， 所以在上单调递增， 因为，所以 所以，当时，，所以. 当时，，所以且，即无解. 所以，不等式的解集是 故选：A 【2-5】设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先构造函数，再利用函数单调性解不等式． 【分析】令，因为函数在上是可导的偶函数， 所以，所以， 所以在上也是偶函数, ， 又当时，，， ，在上是增函数 由得 ，，． 故选：C． 题型三、“商型”构造原函数 典例探究 【典型例题】（21-22高二下·河南商丘·阶段练习）若定义域为R的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合各选项的信息构造函数，利用导数探讨函数单调性即可判断作答. 【详解】令函数，求导得，因此函数在R上单调递增， 于是得，即，整理得，B正确. 故选：B 举一反三 【3-1】已知函数，对任意的，满足，是的导数，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数研究单调性，利用单调性逐个选项比较大小即可. 【详解】令，则， 由得，当时，， 即在上单调递增， 对于A，由，则，所以， 即，可知A正确； 对于B，由，则，所以， 即，可知B错误； 对于C，由，则，所以，即，可知C错误； 对于D，由，则，所以，即，可知D错误. 故选：A 【3-2】若对可导函数f(x)，g(x)，当x∈[0,1]时恒有f′(x)·g(x)<f(x)·g′(x)，若已知α，β是一个锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F(x)＝ (g(x)≠0)，则下列不等式正确的是( ) A． F(cosα)>F(cosβ) B．F(cosα)<F(cosβ) B． C．F(sinα)<F(cosβ) D．F(sinα)>F(sinβ) 【答案】C 【分析】令F(x)＝，利用导数研究单调性，利用单调性逐个选项比较大小即可. 【详解】∵F(x)＝，∴，∴函数F(x)为单调减函数，又α，β是锐角且，∴，∴，∴F(sinα)<F(cosβ)， 故选C 【3-3】已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据给定条件确定函数的奇偶性及单调性，再逐项判断即可. 【详解】令函数，由函数是奇函数， 得，函数是偶函数， 求导得，由任意，， 得任意，，函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，由，得，化简得，A错误； 对于B，由，得，化简得，B错误； 对于C，由，得，化简得，C正确； 对于D，由，得，化简得，D错误. 故选：C 【3-4】已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，构造函数，利用导数判断其在上单调递减，把不等式的解集等价转化为，进一步得到答案. 【详解】因为，所以的图像关于直线对称，所以， 设，则 ，因为，所以,所以在上为减函数， 又 ，因为，所以 ，所以. 故选：. 【3-5】已知定义在上的函数满足：函数为奇函数，且对，恒成立（是函数的导函数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据对，恒成立，得到在上单调递减，再根据函数为奇函数，得到，然后将转化为，利用单调性定义求解. 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 令， 则， 因为对，恒成立， 所以， 所以，对单调递减， 又不等式即， 即， 所以， 故选：A 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知函数y＝f（x）为定义在实数集R上的奇函数，且当x时，xf′（x）＜（其中f′（x）时f（x）的导函数，若af（），b＝（lg3）f（lg3），c＝（log2）f（log2），则（    ） A．c＜b＜a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，研究该函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】当时，xf′（x）＜f（﹣x）， 因为函数为奇函数，故上式等价于 构造函数， 故可得函数在区间上单调递减， 又，则为偶函数. 综上所述：是偶函数，在区间上单调递减，在单调递增. 因为 故， 即. 故选：B. 【突破提升训练・2】已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据已知条件，利用导数得到为增函数，由可推出A正确；由可推出B不正确；由可推出C不正确；由可推出D不正确. 【详解】因为对于任意的有．又，， 所以， 设，，则， 因为当时，，所以， 所以在上为增函数， 因为，所以，所以，所以，所以，故A正确； 因为，所以，所以，所以，所以，故B不正确； 因为，所以，所以，所以，所以，故C不正确； 因为，所以，所以，所以，所以，故D不正确； 故选：A 【突破提升训练・3】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据当时，，构造，借助新函数的单调性比较大小. 【详解】设，则， 又当时，， ∴， ∴在上单调递减， ∵，∴即，故A错误； ∵，∴即，故B错误； ∵，∴， 又是定义在上的奇函数， ∴，故C正确； ∵，∴，即，故D错误. 故选：C 【突破提升训练・4】已知定义在上的函数的导函数为，且，设，，则，的大小关系为 A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】构造，利用单调性求解即可. 【详解】令，则. 即在上为增函数. 所以，即，整理得：，即. 故选A. 【突破提升训练・5】已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【详解】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 【突破提升训练・6】已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得函数关于直线对称，，进而构造函数，易得其关于点对称，在上单调递增，再分时和时两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为定义在上的函数满足为偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 因为当，有，即， 故令，则在上单调递增， 因为， 所以关于点对称， 所以在上单调递增， 因为，所以 所以，当时，，所以. 当时，，所以且，即无解. 所以，不等式的解集是 故选：A 【突破提升训练・7】已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造新函数，利用导数确定的单调性，从而可得时的正负，利用奇函数性质得出时的正负，然后分类讨论解不等式． 【详解】设，则，所以在上递增， 又，所以时，，此时，所以， 时，，此时，，所以， 所以时，， 因为是奇函数，所以时，， 由得或，所以或． 故选：B． 【突破提升训练・8】设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意构造函数，结合函数的解析式和导函数的符号可确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定题中所给的不等式是否正确. 【详解】是函数定义在（0，+∞）上的导函数，满足， 可得， 令，则， ∴函数在（0，+∞）上单调递增． ∴， ∴． 故选B． 【突破提升训练・9】已知函数及其导函数的定义域的解集是均为R，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设导函数的原函数为，利用导数判断单调性即可借助单调性得到答案. 【详解】，即， 由的原函数为， 从而可构造函数， 则， 所以在R上单调递增， 故，即， 整理得. 故选：C 【突破提升训练・10】已知函数满足，且的导函数，则的解集为 A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过求导分析函数单调性结合条件即可得解. 【详解】令，则， 所以在R上单调递减. 又，所以. 则即为，可得. 故选B. 【突破提升训练・11】已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据当时，有，令，，得到在上递增，再根据在上的偶函数，得到在上是奇函数，则在上递增，然后由，得到求解. 【详解】因为当时，有， 令， 所以， 所以在上递增， 又因为在上的偶函数 所以， 所以在上是奇函数 所以在上递增， 又因为， 所以， 当，时，，此时，， 当 ， 时，，此时，， 所以成立的的取值范围是. 故选：A 【突破提升训练・12】已知是定义在上的可导函数，且满足，则（） A． B． C．为减函数 D．为增函数 【答案】A 【详解】令，则. ∵ ∴当时，，当时， ∴在上为减函数，在上为增函数 ∴ ①当时，，则； ②当时，，则. 综上， 故选A. 【突破提升训练・13】定义在上的函数导函数为，且对恒成立，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，再利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解. 【详解】设， 因为， 所以， 所以函数g(x)在R上是减函数， 所以g(2)＜g(1), , 故选A 【突破提升训练・14】已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是 A．恒成立 B． C．当且仅当， D．当且仅当， 【答案】A 【详解】由题意恒成立,由可得:,令x=1得,又为减函数,故x<1时,,而当x>1时,由可得:,从而,综上可知, 恒成立,故选A. 【突破提升训练・15】已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据已知条件利用导数求得的单调性，借助的单调性，将目标不等式进行转化，求解即可. 【详解】构造函数，则， ，， 故函数在上单调递减. 由，故， 解不等式， 当时，得，则， 因为函数在上单调递减，所以； 当时，得，则， 因为函数在上单调递减，所以，不合题意，舍去. 所以不等式的解集为. 故选：. 【突破提升训练・16】函数，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】构造函数，根据已知条件利用导数求得的单调性，借助的单调性求解即可. 【详解】令。 因为上单调递减。 又，即，整理得 所以的解集为。 故选：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $