1.2　矩形的性质与判定 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章　特殊平行四边形 1.2　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 【学习目标】 1.掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系. 2.理解并掌握矩形的性质定理，会用矩形的性质定理进行有关推导证明及计算. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 问题引入探究 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 1.下面图片中都含有一些特殊的平行四边形，观察这些特殊的平行四边形，它们有什么样的共同特征？ 【答案】有一个角是直角.(合理即可) 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 矩形的定义及符号表示　 (1)矩形定义：有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形； (2)几何语言： ∵∠A=90 °，四边形ABCD是平行 四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 有一个角是直角 平行 90 平行 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 课堂高效融合 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 2.如图，矩形ABCD，对角线AC，BD相交于点O. (1)矩形是特殊的平行四边形，具有一般平行四边形的性质，请列出来. 答：AB􀱀CD，AD􀱀BC， AO=CO，BO=DO，∠BAD=∠DCB，  ∠ABC=∠CDA. (2)矩形是否是轴对称图形？ 答：是 . (3)你发现矩形具有哪些特殊的性质？ AB CD，AD BC， AO=CO，BO=DO ∠BAD=∠DCB，  ∠ABC=∠CDA. 是 【答案】四个内角都是直角，对角线相等 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 3.(教材P11母题)已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.求证： (1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC. ∵∠ABC=90°，∴∠BCD=180°-∠ABC=90°，∠DAB=180°-∠ABC=90°. ∴∠CDA=180°-∠BCD=90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 (2)AC=BD. (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC， 由(1)得∠ABC=∠DCB=90°， 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 【自我归纳】矩形的性质及符号表示 （1）矩形性质：矩形的两条对角线互相平分且_______，四个角都是 _________，是________对称图形. （2）几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴_________________________________________. 相等 直角 轴 AC=BD∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 4.(教材P13母题)如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=BD.∴OA=OB. ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=180°-∠AOD=60°. ∴△AOB是等边三角形.∴OA=OB=AB=2.5. ∴AC=2OA=5，即矩形对角线长为5. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 5.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，那么OB是Rt△ABC中的一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？ 解：∵矩形对角线相等且平分， ∴AC=BD，BO=DO. ∴BO=AC. 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 【自我归纳】 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半.　 几何语言：∵BE是Rt△ABC斜边AC的中线，∴BE= AC.。。 . 斜边的一半 BE=AC 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 核心知识精练 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，若AB=4，则CD的长是( ) A.1 B.2 C.2 D.4 B 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 7.如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠1=38°，则∠2的度数为( ) A.38° B.42° C.52° D.76° C 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为　 .  9.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点.若AB=8，AD=15，则四边形ABOM的周长为________. 4 28 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 10.如图，在矩形ABCO中，延长AO到点D，使DO=AO，延长CO到点E，使EO=CO，连接AE，ED，DC，AC. (1)求证：四边形AEDC是菱形； (1)证明：∵四边形ABCO是矩形， ∴∠AOC=90°. ∴AO⊥OC，即AD⊥EC. ∵DO=AO，EO=CO， ∴四边形AEDC是平行四边形. ∴平行四边形AEDC是菱形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 (2)连接EB，若AE=4，∠AED=60°，求EB的长. (2)解：如图，连接EB. ∵四边形AEDC是菱形，∠AED=60°， ∴∠AEO=30°. ∵∠AOE=90°，AE=4， ∴OA=AE=2. ∴EO=.∴CE=2EO=4. ∵四边形ABCO是矩形，∴BC=OA=2，∠BCE=90°. ∴EB=. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 思维拓展提能 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 11.“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形ABCD是矩形，F是DA延长线上一点，连接AC，CF，CF与AB相交于点E，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F.试证明：∠ACB=3∠ECB. 证明：在△AGF中，∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F. ∵∠ACG=∠AGC，∴∠ACG=2∠F. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠ECB=∠F. ∴∠ACB=∠ACG+∠BCE=3∠F. ∴∠ACB=3∠ECB. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 温馨提示：请完成课后分层作业本·B本(P311) 第一章　特殊平行四边形 $ 第一章　特殊平行四边形 1.2　矩形的性质与判定 第3课时　矩形的性质与判定综合应用 【学习目标】 能够熟练地运用矩形性质定理与判定定理解决相关问题. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 问题引入探究 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 1.矩形的性质有哪些？ 2.判定一个(平行)四边形是矩形的方法有哪些？ 【答案】对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等. 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 课堂高效融合 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 3.(教材P16母题)如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长. 解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，AO=BO=DO=BD. ∵ED=3BE，∴BE=OE.∵AE⊥BD，∴AB=AO.∴AB=AO=BO. ∴△ABO是等边三角形. ∴∠ABO=60°.∴∠ADB=30°. 在Rt△AED中，∵∠ADB=30°， ∴AE=AD=3. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 4.(教材P19母题)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E.已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数. 解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，OA=OB. ∵∠EAD=3∠BAE，∴4∠BAE=90°. ∴∠BAE=22.5°. ∵AE⊥BD，∴∠ABE=90°-∠BAE=67.5°. ∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABE=67.5°. ∴∠EAO=∠BAO-∠BAE=67.5°-22.5°=45°. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 5.(教材P17母题改编)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. (1)求证：四边形ADCE是矩形. (1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.∴∠ADC=90°. ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN.∴∠DAE=90°. ∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°.∴四边形ADCE为矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 (2)连接DE，交AC于点F，①试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；②线段DF与AB有怎样的关系？直接写出你的结论. (2)解：①四边形ABDE是平行四边形.证明如下： 由(1)知四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE. 又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD. ∴四边形ABDE是平行四边形. ②DF∥AB，DF=AB.理由如下： ∵四边形ADCE为矩形，∴AF=CF.∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，DF=AB. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 6.(教材P18母题)如图，四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和等边三角形CBD组成，M，N分别是BC和AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形. 证明：∵△ABD和△BCD是两个全等的等边三角形， ∴AD=BD=AB=BC，∠ADB=∠DBC=60°.∴ND∥BM. 又∵N为AD中点，∴ND=AD，NB⊥AD.∴∠DNB=90°. 同理BM=BC，∴ND=BM.∴四边形BMDN是平行四边形.又∵∠DNB=90°，∴平行四边形BMDN是矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 核心知识精练 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有( ) A.AC=BD B.AB=6，BC=8，AC=10 C.∠1=∠2 D.AC⊥BD D 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 8.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC=12，BD=16，则OE的长为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 C 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 9.(教材P19母题)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD. ∵D为BC中点，∴CD=BD.∴CD∥AE，CD=AE. ∴四边形ADCE是平行四边形.∵AB=AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 思维拓展提能 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 10.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，现将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F. (1)尺规作图，画出折痕EF； 解：(1)如图，EF即为所求. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 (2)判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明； (2)四边形AFCE是菱形.证明如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠AEF=∠CFE，∠EAC=∠FCA. 设AC与EF交于点O，由题意可得AO=CO， ∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形. 由折叠可知AE=CE，∴四边形AFCE是菱形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 (3)求折痕EF的长度. (3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°. ∴AC==10(cm). ∴OC=AC=5 cm. 设CF=x cm，则BF=(8-x)cm，AF=CF=x cm， 在Rt△ABF中，由勾股定理得AF2=BF2+AB2， 即x2=(8-x)2+62，解得x= cm. 由(2)知四边形AFCE是菱形，∴∠COF=90°，OE=OF. ∴OF=(cm). ∴EF=2OF= cm. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 温馨提示：请完成课后分层作业本·B本(P313) 第一章　特殊平行四边形 $ 第一章　特殊平行四边形 1.2　矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 【学习目标】 1.理解矩形的两个判定定理. 2.能运用矩形的判定定理解决相关的问题. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 问题引入探究 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 1.(1)矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. (2)几何语言： ∵∠A=90 °，∴▱ABCD是矩 形. 有一个角是直角 平行四边 90° 矩 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 2.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？ 当两条对角线的长度相等时，平行四边形的∠α=90° ，即此时的平行四边形是矩 形. 90° 矩形 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 课堂高效融合 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 3.(教材P14母题)已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD.∴∠ABC+∠DCB=180°. 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(SSS). ∴∠ABC=∠DCB.又∵∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠ABC=90°. ∴▱ABCD是矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 【自我归纳】矩形判定定理1：对角线 的平行四边形是矩形. 几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC= ，∴平行四边形ABCD是矩形. 相等 BD 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A=∠B=90°， ∴∠A+∠B=180°.∴AD∥BC. 又∵∠B=∠C=90°， ∴∠B+∠C=180°.∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠B=90°， ∴▱ABCD是矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 【自我归纳】矩形判定定理2：有三个角是 的四边形是矩形. 几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C= °，∴四边形ABCD是矩形. 直角 90 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 核心知识精练 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 5.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( ) A.∠ABD=∠CBD B.∠ABC=90° C.AC⊥BD D.AB=BC B 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 6.要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个初拟的方案中，可行的是( ) A.测量对角线是否互相平分　 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角 D 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 7.(教材P15母题改编)如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (1)证明：∵△AOB为等边三角形，∴OA=OB. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD. ∴OA=OB=OC=OD.∴BD=AC. ∴平行四边形ABCD为矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 (2)求四边形ABCD的面积. (2)解：由(1)知Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4，∴AC=2AB=8. ∴BC=. ∴矩形ABCD的面积=AB·BC=4×4. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 8.(教材P16母题)已知：如图，在▱ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC.求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD. ∴∠A+∠D=180°. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SSS). ∴∠A=∠D=90°. ∴平行四边形ABCD是矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 思维拓展提能 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 9.(教材P16母题)如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论. 解：四边形ACBD是矩形.证明如下： ∵CD∥MN，∴∠OCB=∠CBM. ∵BC平分∠ABM，∴∠OBC=∠CBM. ∴∠OCB=∠OBC.∴OC=OB.同理可证OB=OD，∴OB=OC=OD. ∵O是AB的中点，∴OA=OB. ∴四边形ACBD是平行四边形. ∵CD=OC+OD，AB=OA+OB，∴AB=CD. ∴四边形ACBD是矩形. 第一章　特殊平行四边形 问题引入探究 课堂高效融合 核心知识精练 思维拓展提能 温馨提示：请完成课后分层作业本·A本(P257) 第一章　特殊平行四边形 $