第1章 勾股定理 综合评价(150分卷)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 贵州专版）

第一章综合评价 (时间：120分钟满分：150分)》 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( A.6,8,10 B.2,3,4 C.4,6,7 D.5,11,12 刘 2.如图，在5×5的网格中，每一个小正方形的边长都为1，点A和点B是小正方形的格点，则点A,B之间的距离的 平方为 ) A.3 B.1 C.9 D.10 13 L-1--11--L- (第2题图) (第3题图) (第6题图) de i 批 3.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 A.50 B.16 C.25 D.41 4.深圳号帆船在深圳湾航行，由于风向的原因先向正东方向航行了3km,然后向正南方向航行了4k,这时它离 出发点的距离为 A.5 km B.5.2 km C.4.5 km D.6 km 5.一个直角三角形的两条直角边边长分别为3和4，则斜边上的高为 A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 6.如图，台风过后某小学的旗杆从B处断裂，旗杆顶端A落在离旗杆底部C点8m处.已知旗杆长16m,则旗杆断 封 裂的地方距旗杆底端 A.4 m B.5 m C.6m D.8 m 7.已知四个三角形分别满足下列条件，其中，不能判定它是直角三角形的是 A.一个内角等于另两个内角之和 B.三个内角度数之比为3：4：5 C.三边长分别为7,24,25 D.三边长之比为5：12：13 8.已知直角三角形的两条直角边长分别是6和8，下列说法正确的是 A.该三角形的斜边长为100 B.该三角形的周长为25 C.该三角形的斜边长为10 D.该三角形的面积为48 9.如图，在高为5m,坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 线 A.8 m B.13m C.17m D.18m A 敏 13m (第9题图) (第10题图) (第11题图) (第12题图) 10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若 5 ab=10.5,大正方形的面积为48，则小正方形的面积为 ( A.8 B.16 C.25 D.27 11.将一支铅笔按如图所示的方式先后放入粗细相同的两个型号圆柱型笔筒，笔筒的高度分别是8cm和12cm,两 个铅笔露在笔筒外面的部分分别为3cm和1cm,则铅笔的长是 ( ) A.19 cm B.20 cm C.21 cm D.22 cm 第1页（共4页） 12.如图，将长方形纸片ABCD对折，折痕为MN,然后展开，点E为AD上一点，再将△ABE沿BE折叠，使点A 落到MN上的点F处，若AB=6,则AE的长为 ( A.3√2 B.4 C.2√3 D.3 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13.写出一组你喜欢的勾股数： 14.高为3，底边长为8的等腰三角形的腰长为 15.如图，BC长为3cm,AB长为4cm,AF长为12cm,则正方形CDEF的面积为cm2. F B C D B (第15题图) (第16题图) 16.如图，在一个长方形草坪ABCD上放着一根长方体的木块.已知AD=6m,AB=4m,该木块的较长边与AD 平行，横截面是边长为2的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 m. 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分)如图，正方形网格中有△ABC,若小方格的边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题： (1)求△ABC的面积； (2)判断△ABC是什么特殊三角形，并说明理由. 18.(10分)如图是证明勾股定理的一种方法：用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，请你利用面积法证明勾 股定理. 6 b 19.(10分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9,求AB的长. 第2页（共4页） 20.(10分)学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m,BC=15m,CD=7m,土地价格为 1000元/m,请你计算出学校征收这块土地需要多少元. 21.(10分)如图，长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为5cm.若一只蚂蚁从点A开始经过四个侧面爬行一 圈到达点B,求蚂蚁爬行的最短路径有多长. 5 cm 3 cm 22.(10分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE-AE=AC.判断 △ABC的形状，并说明理由. B 23.(12分)近年来，我国近视发生率居高不下，近视已成为影响我国国民尤其是儿童青少年眼健康的重大公共卫生 问题.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.已知 笔记本的宽度AC为25cm,当顶部边缘A处离桌面的高度AD为15cm时，此时用眼舒适度不太理想.小组成 员调整顶部边缘离桌面的高度，最后发现当顶部边缘离桌面的高度A'E=24cm时，用眼舒适度较为理想.求调 整前后顶部边缘移动的水平距离DE的长. D B 第3页（共4页） 24.(12分)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三 角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点” M (1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的“勾 股分割点”吗？请说明理由； (2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直角边，若AB=24,AM=6,求BN的长. 25.(14分)综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25的云梯AB,如图，云梯斜靠在一面墙上，这时 云梯底端距墙脚的距离BC=7m,∠ACB=90°. (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A'位置上（云梯长度不改变），AA=4m,那么 梯子的底端下滑的距离BB是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆 放时，若云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的三，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云梯 的顶端能否到达24m高的墙头去救援被困人员？ \B B' 第4页（共4页）综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.A4.A5.C6.C7.B8.C9.C10.D11.D12.C13.12,16,20 (答案不唯-）14.515.16916,1017.解：1)Sac=4×4-号×1×2-之×3X4- 号×2X4=16-1-6-4=5:(2)△AC是直角三角形.理由如下：AB=1+2=5,AC =22十4=20，BC2=3十4=25，.AB十AC2=BC2,.△ABC是直角三角形，∠A=90 18.解：大正方形的面积可以表示为(a十)，也可以表示为2十4×分ab,(a十b)=C +4X号ab,即a2+8+2ah=+2ab,…a+6=.19.解：CD1AB于点D,AC=20, BC=15,DB=9,∴.在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD=CB2-DB=152-92=144.在 Rt△ACD中，AD2=AC-CD=202-144=256,.AD=16,,.AB=AD+DB=16+9= 25,20.解：连接AC.在△ABC中，∠B=90°，AB=20m,BC=15m.由勾股定理，得AC =AB2十BC=202十152=625.在△ADC中，∠D=90°，CD=7m,由勾股定理，得AD2= AC-CD2=625-7=576,∴.AD=24m..四边形ABCD的面积为S△A+SAD= 号AB.BC+号CD.AD=号×20X15+号×7X24=150+84=234(m),234X100 234000(元).答：学校征收这块土地需要234000元.21.解：展开图如图所示： 在Rt△ADB中，AD=12cm,BD=5cm,由勾股定理，得 3 cm 3cm 3 cm 3 cm AB2=AD十BD=12+5=169,∴.AB=13cm.答：蚂蚁爬行的最短路径为13cm 22.解：△ABC是直角三角形.理由如下：连接CE.D是BC的中点，DE⊥BC,∴.DE垂直 平分BC,.BE=CE.BE-AE=AC,.CE-AE=AC,.AE十AC=CE, .△ACE是直角三角形，∠A=90°，∴.△ABC是直角三角形.23.解：在Rt△ADC中，AC =25cm,AD=15cm,∠ADC=90°，∴.CD2=AC-AD2=25-152=400,∴.CD=20cm. AC=A'C=25cm,A'E=24cm,在Rt△A'EC中，∠A'EC=90°，.CE=A'C2-A'E2= 252-24=49,.CE=7cm,∴.DE=CD-CE=20-7=13(cm).答：调整前后顶部边缘移 动的水平距离DE的长为13cm.24.解：(1)点M,V是线段AB的勾股分割点.理由如 下：.A+BN2=1.52+22=6.25,MN=2.52=6.25,.AM+NB2=MN2,.以AM, MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，∴.点M,N是线段AB的“勾股分割点”；(2)设 BN=x,则MN=24-AM-BN=18-x.①当MN为最长线段时，依题意，得MN=AF +VB,即(18一x)2=36十x2,解得x=8:②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=A+ MN2,即x2=36十(18-x),解得x=10,综上所述，BV的长为8或10.25.解：(1)根据 题意，得AC2=AB2-BC2=252-72=576,∴.AC=24m,∴.这架云梯顶端距地面的距离AC 的高为24m;(2)A'B'=AB=25m,A'C=AC-AA'=24-4=20(m),.B'C2=A'B'2 A'C2=252-20=225,.B'C=15m,∴.BB=B'C-BC=15-7=8(m).答：梯子的底端下 滑的距离BB是8m;(3)能.理由如下：云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯 和消防员相对安全，相对安全的距离为不小于25×号=5(m.:高24m的墙头有求教 声，云梯的长为25m,252一24=49=7,7>5，.云梯的顶端能到达24m高的墙头去救援 被困人员. 第二章综合评价 1.D2.C3.D4.D5.B6.B7.B8.C9.B10.C11.C12.B13.1-2 14.4515.-号16,2厄-217.解：1D原式=100：(2)原式=-1.3：(3)原式=告： 40原式=±√厚-±号18解：1原式=4-3反+号-y,2原式-√层×12 第31页（共54页） =√10：(3)原式=3√2-6√5-3√2=-6√5：(4)原式=9-8-54÷6=1-3=-2. 19.解：(1)(x+1)2=9.x十1=3，或x十1=-3.x=2,或x=-4;(2)x-2=3.x=5. 20.解：根据题意，得a=3,b=√T-3,.(-a)3十(b十3)2=(-3)3十（√I-3十3）2 -27+11=-16,21.解：1)此长方形的周长为2(a+b)=2×(+②)=2×(2E +)=2X35=65:(2)此正方形的面积为()-华.2.解：1)原式=2×网 26×√=4v5-2-2,(2)根据题意，得5-2x十1)=0.解得=-4-2E 23.解：设截得的每个小正方体的棱长为.xcm.根据题意，得1000-8x3=488..8x3=512. ∴.x=4.答：截得的每个小正方体的棱长是4cm.24.解：(1)根据题意，得5a十1十a一19 =0,或5a十1=a-19,∴.a=3,或a=-5,.m=(5×3+1)2=162=256,或m=[5×(-5) +1]=(-24)2=576..m的值为256或576；(2)2a-1的平方根是士3，.2a-1=9, .a=5.3a十b-1的算术平方根是4，∴.3a十b-1=16,.3×5+b-1=16,.b=2,.a十 2b=5+2×2=9.25.解：(1)原式=√W7-√6)2=√7-√6；(2)原式=√7-2√10 √W5-2)=5-2,(3)原式=√4 8-4E-√8-4E=√8-2应=√W6-②) 2 2 2 6-√2 2 阶段综合评价（一） 1B2.C3D4A5B6.B7C8D9B10,D1.C12.C13.±号 14.515.13916.1+√317.解：(1)原式=6√2+4√2-3√2=7√2；(2)原式=√/8I-(2 -1)=9-1=8:(3)原式=4√2-(4十4√2+2)=4√2-4-4√2-2=-6.18.解：(1)x2 =子x=士号，(2x+2=士4，+2=4，或x+2=-4,x=2,或x=-6,(3)8=-27, =一x=一是19.解：由题意，得m-2=2,m-2n十3=3，解得m=4,n=2.A √2-4+3=1，B=/4+2×2=2.∴.B-A=2-1=1.1的平方根是士1，∴.B-A的平方 根是士1.20.解：(1)由勾股定理，得AD2=12+22=5,CD=22十42=20，AC=52=25, ∴.AD+CD=25=AC,.△ADC是以AC为斜边的直角三角形，∴.∠ADC=90°； (2)SaaD=Sam十Sa=号×5X2+号X5X3=空.21.解：原式=+2ab+6+ 2a2-ab+2ab-b2-3a2=3ab.当a=-2-√5，b=5-2时，原式=3×(-2-√5)×(w5- 2)=3×[(-2)2-(√5)2]=3×(4-5)=3×(-1)=-3.22.解：(1)正方形工料的边长为 √/36=6(dm;(2)设长方形工件的长为4adm,则宽为3adm.根据题意，得4a·3a=24.解 得a=√2（负值已舍去）.∴.长为4a≈4×1.414≈5.656<6，宽为3a≈3×1.414≈4.242<6. ∴这块正方形工料满足需要.23.解：(1)如图①，AB=2,BC=3,AC=√2+3=√3； (答案不唯-)(2)如图②，Sm=号×2X4=4DF=2,DE-√2+F=26,EF=V+T =4√2.（答案不唯一） B 图① 图② 24.解：(1)在Rt△OAB中，由勾股定理，得OB=√OA十AB=√22十3=13，∴.OC= OB=√I3,即点C表示数√13；(2)如图②， 在△ODE 6书-4-2可0个24”6 第32页（共54页） 中，∠EDO=90°，OD=5,DE=2,以点O为圆心，OE为半径画弧交数轴的负半轴于点F,则 0F=OE=√OD+DE=√+z=√29，即点F表示的数为-√2.25.解：(1)1 万+1 B+厄2+后5+2十后十后=5-1：2)原式=E-1+厅-万+2-+…十 1 十1十1十 1 √/100-√99=√100-1=10-1=9：(3)原式=2025. 第三章综合评价 1.B2.B3.B4.C5.D6.A7.A8.D9.D10.B1L.C12.D13.二 14.(2,0)15.二16.(9,12)17.解：(1)汽车站的坐标为(1,1)，消防站的坐标为(2， 一2)：(2)家+游乐场+公园→姥姥家→宠物店→邮局→家.18.解：以点B为原点，BC所 在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. .AB D =6,AD=5,BC=6,A(0,6),B(0,0),C(6,0),D(5,6).(答案不唯一)19.解：(1)如图 △A1BC1即为所求； (2)A1(-1,-4),B(-2,-2),C(0,-1). 20.解：(1)建立平面直角坐标系如图； (2)体育馆C(1,-3),食堂D(2, D食 B图串馆 TC体育馆 0)如图：(3)SaD=号×3X5十号×1X5=号+号=10.四边形ABCD的面积为 10.21.解：(1)(0,5)(2)根据题意，得2m一6十6=m十2，解得m=2..2m一6=2×2-6 =-2,m十2=2十2=4..点P的坐标为(-2,4)，.点P在第二象限.22.解：由折叠及 长方形的性质可知，AE=AO=10,DE=DO,AB=OC=8,BC=OA=10.在Rt△ABE中， 由勾股定理，得BE=AE-AB=102-82=36,∴.BE=6,.CE=BC-BE=10-6=4. ·点E的坐标为(4,8).在Rt△DCE中，由勾股定理，得DC十CE=DE.DE=OD,(8 -OD)2+4=OD..OD=5.∴.点D的坐标为(0,5).23.解：(1)设点C的坐标为(0，y). 根据题意，得号×2×1y=3,解得y=3,或y=-3.·点C的坐标为(0,3)或(0，-3)： (2)以点A,B,C为顶点，作长方形ABDC,如图 当C(0,3)时，该长 -L2 2- 4空2@2345 方形第四个顶点D的坐标为(2,3)；当C(0,一3)时，该长方形第四个顶点D的坐标为(2， -3).综上所述，点D的坐标为(2,3)或(2，-3).24.解：(1)：点A(-2,4),B(W2+√3，W2 √3)，.[A]=|-21+|4|=2+4=6,[B]=l√2+√31+|2-√31=2+√3+√5-√2- 2√3；(2)：点M在x轴的上方，其横、纵坐标均为整数，且[M]=3,.当x=士1时，y=2; 当x=士2时，y=1;当x=0时，y=3..点M的坐标为(-1,2)或(1,2)或(-2,1)或(2,1) 或(0,3).25.解：(1)：|a十21十√6-4=0，a十2|≥0，√6-4≥0，.|a+2|=0,√6-4 =0,∴a十2=0，b-4=0,解得a=-2,b=4..点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(4， 0).又：点C的坐标为(0,3)，AB=-2-4=6,C0=3,Sam=号AB·C0=号X6 第33页（共54页）