第1章 勾股定理 综合评价(100分卷)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 贵州专版）

第一章综合评价 4)m (时间：90分钟满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共30分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 2 A.6,8,10 B.2,3,4 C.4,6,7 D.5,11,12 氣 2.如图，在5×5的网格中，每一个小正方形的边长都为1，点A和点B是小正方形的格点，则点A,B之 间的距离的平方为 ( A.3 B.1 C.9 D.10 B. b (第2题图) (第3题图) (第5题图) 3.如图，台风过后某小学的旗杆从B处断裂，旗杆顶端A落在离旗杆底部C点8m处.已知旗杆长 16m,则旗杆断裂的地方距旗杆底端 A.4m B.5 m C.6m D.8 m 4.一个直角三角形的两条直角边边长分别为3和4，则斜边上的高为 A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 5.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 封 A.50 B.16 C.25 D.41 6.已知四个三角形分别满足下列条件，其中，不能判定它是直角三角形的是 A.一个内角等于另两个内角之和 B.三个内角度数之比为3：4：5 C.三边长分别为7,24,25 D.三边长之比为5：12：13 7.已知直角三角形的两条直角边边长分别是6和8，下列说法正确的是 A.该三角形的斜边长为100 B.该三角形的周长为25 C.该三角形的斜边长为10 D.该三角形的面积为48 线 8.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF, 则△ABE的面积为 A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 (第8题图) (第9题图) (第10题图) > 9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是 由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为，较 短直角边长为b.若ab=10.5,大正方形的面积为48，则小正方形的面积为 A.8 B.16 C.25 D.27 第1页（共4页） 10.将一支铅笔按如图所示的方式先后放入粗细相同的两个型号圆柱型笔筒，笔筒的高度分别是8cm和 12cm,两个铅笔露在笔筒外面的部分分别为3cm和1cm,则铅笔的长是 A.19 cm B.20 cm C.21 cm D.22 cm 二、填空题（每小题4分，共16分） 11.高为3，底边长为8的等腰三角形的腰长为 12.写出一组你喜欢的勾股数： 13.一艘小船早晨8：00出发，它以8 n mile/h的速度向东航行，1h后，另一艘小船从同一停泊点以 12 n mile/h的速度向南航行，则上午10：00时，两小船相距n mile.. 14.如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块.已知AD=6m,AB=4m, 该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块 到达C处需要走的最短路程是m. 三、解答题（本大题共7小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(6分)如图，正方形网格中有△ABC,若小方格的边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题： (1)求△ABC的面积； (2)判断△ABC是什么特殊三角形，并说明理由. 16.(7分)学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m,BC=15m,CD=7m,土地价格 为1000元/m,请你计算出学校征收这块土地需要多少元. 9D Bh 第2页（共4页） 17.(7分)如图，长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为5cm.若一只蚂蚁从点A开始经过四个侧 面爬行一圈到达点B,求蚂蚁爬行的最短路径有多长. 5cm 3 cm 18.(6分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DEBC,垂足为D,交AB于点E,且BE一AE=AC. 判断△ABC的形状，并说明理由. 19.(8分)近年来，我国近视发生率居高不下，近视已成为影响我国国民尤其是儿童青少年眼健康的重大 公共卫生问题.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的 实践探究活动.已知笔记本的宽度AC为25cm,当顶部边缘A处离桌面的高度AD为15cm时，此 时用眼舒适度不太理想.小组成员调整顶部边缘离桌面的高度，最后发现当顶部边缘离桌面的高度 A'E=24cm时，用眼舒适度较为理想.求调整前后顶部边缘移动的水平距离DE的长. B 第3页（共4页） 20.(8分)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一 个直角三角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”. M B (1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段 AB的“勾股分割点”吗？请说明理由； (2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直角边，若AB=24,AM=6,求BN的长 21.(12分)综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25的云梯AB,如图，云梯斜靠在一面 墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m,∠ACB=90°. (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A'位置上（云梯长度不改变），AA'= 4m,那么梯子的底端下滑的距离BB是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高24的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云 梯靠墙摆放时，若云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的三，则云梯和消防员相对安全.在相对安 全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的墙头去救援被困人员？ C为B八B' 第4页（共4页）综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.C4.C5.A6.B7.C8.C9.D10.D11.512.12,16,20(答案 不唯-）13.2014.1015，解：1)Sc=4×4-合×1×2-合×3×4-合×2×4= 16-1-6-4=5;(2)△ABC是直角三角形.理由如下：，AB2=12+2=5,AC=2十42= 20,BC=32+42=25,∴.AB2十AC2=BC,.△ABC是直角三角形，∠A=90°.16.解：连 接AC.在△ABC中，∠B=90°，AB=20m,BC=15m.由勾股定理，得AC=AB+BC= 202+152=625.在△ADC中，∠D=90°，CD=7m,由勾股定理，得AD2=AC-CD2= 625-7=576,AD=24m÷San=Sax十SAw=号AB·BC+号CD·AD 合×20×15+之×7X24=150+84=234(m).234X100=23400(元).答：学校征收这 块土地需要234000元.17.解：展开图如图所示： 在 5 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm Rt△ADB中，AD=12cm,BD=5cm,由勾股定理，得AB2=AD十BD=122+52=169 .AB=13cm.答：蚂蚁爬行的最短路径为13cm.18.解：△ABC是直角三角形.理由如 下：连接CE.:D是BC的中点，DE⊥BC,∴DE垂直平分BC,∴.BE=CE.BE-AE= AC,∴.CE-AE=AC,.AE十AC=CE,∴.△ACE是直角三角形，∠A=90°， .△ABC是直角三角形.19.解：在Rt△ADC中，AC=25cm,AD=15cm,∠ADC=90°， .CD2=AC-AD2=252-152=400,∴.CD=20cm.:AC=A'C=25cm,A'E=24cm,在 Rt△A'EC中，∠A'EC=90°，∴.CE=A'C2-A'E2=252-242=49,.CE=7cm,∴.DE= CD-CE=20-7=13(cm).答：调整前后顶部边缘移动的水平距离DE的长为13cm, 20.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：·AMP+BV=1.5十2=6.25， MN=2.5=6.25,.AM+NB=MN,.以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三 角形，∴点M,N是线段AB的“勾股分割点”：(2)设BN=x,则MN=24-AM-BN=18一 zx.①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM+NB,即(18-x)2=36+x,解得x= 8;②当BN为最长线段时，依题意，得BN=AM十MN2,即x2=36十(18-x)2,解得x= 10.综上所述，BN的长为8或10.21.解：(1)根据题意，得AC=AB-BC=252-7= 576,∴.AC=24m,∴.这架云梯顶端距地面的距离AC的高为24m:(2)A'B'=AB=25m, A'C=AC-AA'=24-4=20m,∴.B'C2=A'B2-A'C=252-202=225,.B'C=15m, .BB=B'C-BC=15-7=8(m).答：梯子的底端下滑的距离BB是8m:(3)能.理由如 下：云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，相对安全的距 离为不小于25×号=5m:高24m的墙头有求救声，云梯的长为25m,252-24=49= 72,7>5,∴.云梯的顶端能到达24m高的墙头去救援被困人员， 第二章综合评价 1.D2.D3.C4.D5.B6.C7.C8.C9.B10.B11.0.0414712.7 514.22-215.解：(1)原式=4√2-3√2+号=：(2)原主式 2 2 区×12= 2√2：(3)原式=3√2-6√5-3√2=-6√5；(4)原式=9-8-√54÷6=1-3=-2. 16.解：(1)(x十1)2=9.x十1=3，或x十1=-3.x=2,或x=-4:(2)x-2=3.x=5. 17.解：(1)根据题意，得5a十1十a-19=0,或5a十1=a-19,∴a=3,或a=-5,.m=(5× 3十1)2=162=256，或m=[5×(-5)+1]=(-24)2=576..m的值为256或576； (2)2a-1的平方根是士3，.2a-1=9,.a=5..3a十b-1的算术平方根是4，.3a十 b-1=16,.3×5+b-1=16,.b=2,.a十2b=5+2×2=9.18.解：(1)原式=√2× V瓜-26×√=45-2，后=25：(2)根据题意，得5：-2+1)=0，解得x=-4 第31页（共54页） 23.19.解：(1)由题意，得原来正方形区域的边长为√400=20(cm):(2)由(1)，得这根 铁丝长为20×4=80(cm).设长方形的长为5xcm,则宽为3xcm,其面积为300cm.由题 意，得5x·3x=300,即x2=20,解得x=√/20=2√5（负值已舍去），.长方形的周长为 16x=32√5=√5120.802=6400，而6400>5120，.√5120<80，.铁丝够用. 20.解：(1)4√17-4(2)2<5<3，.a=5-2.3<√/13<4，.b=3,∴a十b √5=5-2+3-√5=1；(3)1<3<4，.1<3<2，∴.11<10+3<12.：10+√3=x+y, 其中x是整数，且0<y<1,x=11,y=10十√3-11=5-1，∴.x-y=11-(W5-1)= 12-3,∴x-y的相反数是-12十√5.21.解：(1)原式=√/(W7-√6)=√7-√6；(2)原式 =√7-21ō=√W5-2)=5-,(3)原式= /8-4E-8-45-8-2厘 4 2 =W6-②=6-2 2 阶段综合评价（一） hD2.A3.B4.B5.A6.D7.B8.B9.C10.C11.±号2.13.4 14.-115.解：(1)①原式=3√5-√3+3=2√5+3；②原式=√6-3-2√6-3十√6=-6. Dx十2=±4，x+2=4,或x+2=二4，x=2,或x=-6:②(x-1)3=-68,x-1 -号，=-子16，解：1)由勾股定理，得AD=1+2=5,CD=父十=20,4C=5 =25.:AD十CD=25=AC,.△ADC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ADC=90°； (2)Sum=Sen十Sac=合X5X2+号X5X3=空17.解：原式=a+2ab++ 2a2-ab+2ab-b-3a2=3ab.当a=-2-√5，b=√5-2时，原式=3×(-2-5)×(5 2)=3×[(-2)2-(W5)2]=3×(4-5)=3×(-1)=-3.18.解：(1)10(2)设长方形纸 片的长为4xcm,宽为3xcm.根据题意，得4x·3x=96,则x2=8.:x>0,x=√⑧=2√2， .长为4×2√2=8√2.：8√2>10，∴.不能使裁出的长方形纸片的长、宽之比为4：3，且面 积为96cm2.19.解：(1)如图①，AB=2,BC=3,AC=√2+3=√13；（答案不唯一）(2)如 图@.Sg=含×2X4=4DF=2,DE=V2+-26,EF=V于T=4E.(答案不唯-） 图① 图② 20,解：①由题意，得Sum=之(AC+BD)·BC=之(a十)Xa=名d+合b,:两 个直角三角形全等，，∠CAB=∠DEB.又：∠CAB十∠EBO=90°，∴.∠DEB十∠EBO= 90,.∠BOB=90,AB⊥DE.由图可得SD=SaE十SED十SAED=子AC· CE+DE,A0+DE·OB=AC·CE+2DE(A0+BO)=AC·CE+ DEAB=a-0+=68+.+=+b, .a2十6=c2;(2):四边形AEBD的面积为200，AC=12,∴S四边形AED=S△ADE十S△DE 20,∴2DE·A0+号DE.0B=20,2DE·AB=20,=200c=20或c= -20(舍去)∴BC=VAB-AC-16.21.解：1)原式=5+m5-国 √5-4 =5-2: 2尼+1万-1万十龙-万i十方25万行6-2…以此类，可知 +后市-.原式=E-1+5-E+-5+…+V225-V22 ×(√2025+1)=（√/2025-1）×（√/2025+1）=2024. 第32页（共54页） 第三章综合评价 1.B2.B3.C4.A5.A6.D7.D8.B9.C10.D11.(0w7)12.(2,0) 13.二14.(9,12)15.解：(1)汽车站的坐标为(1,1)，消防站的坐标为(2，一2)；(2)家→游 乐场+公园→姥姥家→宠物店一→邮局→家.16.解：(1)建立平面直角坐标系如图；(2)体 育馆C(1,一3)，食堂D(2,0)如图； (3)Sa边影w=4X5-专X3X ζ TC体育馆 3-号×1×2-号×3X1-2×2×3=20-号-1-是-3=10.∴四边形ABCD的面积 为10.17.解：(1)：点P(2a-3,a十6)在x轴上，a十6=0，解得a=-6.∴.2a-3=2× (-6)-3=-15,∴.点P的坐标为（一15,0）：(2)·点Q的坐标为(3,3)，直线PQ∥y轴， .2a-3=3,解得a=3..a十6=3十6=9，点P的坐标为(3,9)；(3)点P在第二象限， 且它到x轴、y轴的距离相等，.(2a-3)十(a十6)=0，解得a=-1.∴a25十2026= (-1)225十2026=-1十2026=2025.18.解：由折叠及长方形的性质可知，AE=AO= 10,DE=DO,AB=OC=8,BC=OA=10.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=AE- AB=10-82=36..BE=6..CE=BC-BE=10-6=4.∴.点E的坐标为(4,8).在 Rt△DCE中，由勾股定理，得DC十CE=DE.:DE=OD,.(8-OD)2+4=OD..OD =5.∴点D的坐标为(0,5).19.解：(1)：点A(-2,4),B(W2+3W2-√3)，.[A]= |-2+|41=2+4=6,[B=2+√31+W2-√31=√2+√3+√3-√2=23；(2)：点M 在x轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M幻=3，当x=士1时，y=2;当x=士2时， y=1;当x=0时，y=3.点M的坐标为(-1,2)或(1,2)或(-2,1)或(2,1)或(0,3). 20.解：(1)：1a十21+√b-4=0,a十2|≥0，√b-4≥0，.|a十2|=0，√b-4=0,.a十 2=0,b-4=0,∴a=-2,b=4,.点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(4,0).又：点C的 坐标为(0,3).AB=-2-4到=6，C0=3,S△e=2AB·C0=号X6X3=9:(2)设点 M的坐标为(x,0).则AM=z-(-2=x+21.又Saaw=号Sax号AM:0C 子×9号x+21×8-8,z十2=2，即x十2=士2，解得x=0或-4.放点M的坐标 为(0,0)或(-4,0).21.解：(1)(4,6)(1,6)(2)由题意，得在移动过程中，当点P到x 轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况：①当点P在OC上时，点P移动的时间是4÷ 2=2(s):②当点P在BA上时，点P移动的时间是(6十4十2)÷2=6(s).故在移动过程中， 当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2s或6s;(3)当点P在OC上 时，20p.BC=10.0P=5,则1=5÷2=号(s:当点P在BC上时，2BP.0C=10. ∴BP-9则Cp=49-号，0C+Cp=6+号-号得=9÷2=9(s.综上所述，当 3 △0BP的面积是10时，点P移动的时间为号：或号、 第四章综合评价 1.D2.D3.D4.A5.B6.C7.B8.D9.D10.B11.x=212.a=1 13.y=3x十6或y=-3x-614.315.解：(1)函数图象如图所示； 当y=0时，即-3x十6=0，解得x=2,∴函数图象与x轴的交点坐 第33页（共54页）