3 勾股定理的应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 贵州专版）

冒名师导学。预习先知 例题团路 【例】《西江月》中描述：平地秋千未起， 踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺 板高离地…翻译成现代文为：如图， 秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺 (AC=1尺)，将它往前推进两步(EB =10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD =5尺)，求秋千绳索OB的长度. C D 【名师点拨】本题考查了勾股定理的应 用，熟练掌握勾股定理、用含有一个未 知数的代数式表示直角三角形的边是 解本题的关键.设OA=OB=x尺，表 示出OE的长，在直角三角形OEB中， 利用勾股定理列出关于x的方程，求 出方程的解即可得到结果. 【学生解答】 3勾股定理的应用 基础过关⊙逐点击破 知识点应用勾股定理解决实际问题 1.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔 O的东南方向24m处有一建筑工地B,在A,B间建一条 直水管，则水管的长为 ) A.45m B.40m C.50m D.56m 北 西 南 图① 图② (第1题图) (第2题图) 2.情境题感应门铃如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离 地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A,如 图①所示.人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会 自动发出语音“欢迎光临”.如图②所示，一个身高1.5m的 学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为( A.3m B.4 m C.5 m D.7m 3.情境题车速检测)(2024·贵阳期中)如图，一辆小汽车在一 条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检 测仪A处的正前方12m的C处，过了1.5s,小汽车到达 B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20m. (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒？（结果精 确到0.1) 小汽车 小汽车 B- -9C A 检测仪 数学N八年级上册(BS)7 可能力提升。整合运用 4.(教材P4随堂练习T1变式)有五根小木棒 其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆 成两个直角三角形，其中正确的是( 25 5.如图，学校需要测量升旗杆的高度.同学们 发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多 出了一段，但这条绳子的长度未知.经测量， 绳子多出的部分长度为2m,将绳子沿地面拉 直，绳子底端距离旗杆底端6，则旗杆的高 度为 ( ) A.10m B.9 m C.8m D.7 m 6.我市某中学有一块四边形的空地ABCD,如 图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上 种植草皮，经测量∠B=90°，AB=6m,BC= 8 m,CD=24 m,AD=26 m. (1)求出空地ABCD的面积； (2)若每种植1m草皮需要350元，问总共 需投人多少元？ 8第一章勾股定理 思维拓展○学科素养 7.为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采 用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图， 笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄 A到公路MN的距离AB为600m.假设宣 讲车P周围1000m以内能听到广播宣传， 宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶， (1)请问村庄能否听到宣传，并说明理由； (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是 200m/min,那么村庄总共能听到多长 时间的宣传？ M P B参考答案 正文答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 新知梳理 0勾股弦②平方和平方a'十6=c 例题引路 【例1】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2十BC,即AB=5+12=169,AB =13.Sx=号AC·BC=AB·CD,即2×5X12=号×13CD,CD-g 【例2】25或7 弥 基础过关 1.C2.C3.2.5m4.解：(1)c2=a2+b=52+122=169,.c=13;(2)62=c2-a2=25 -7=576,.b=24.5.B6.C7.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB =172-82=225,.BC=15cm.∴.Sm=15×3=45(cm2). 能力提升 8.B9.B10.169或11911.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=AC-AD= 152-92=144,.CD=12;(2)在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC2-CD=202-12 =256,.BD=16,AB=AD十BD=9+16=25.12.解：过点A作AD⊥BC于点D.在 地 Rt△ABD中，由勾股定理，得AB一BD=AD,在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC CD2=AD...AB2-BD=AC-CD2,252-BD =172-(28-BD)2,..BD=20..'.AD =A-BD=25-20=25AD=15.Sam=号BC·AD=合×28X15=210. 思维拓展 13.解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB -AD=202-12=256,.BD=16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=AC-AD= 152-12=81,.CD=9,.BC=BD+CD=16十9=25，.△ABC的周长为BC+AB+AC =25十20十15=60.②当高AD在△ABC外部时，如答图②.同理可得BD=16,CD=9, ∴.BC=BD-CD=16-9=7,∴.△ABC的周长为BC+AB+AC=7+20+15=42.综上所 述，△ABC的周长为60或42. 答图① 答图② 第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 例题引路 【例1】B【例2】480 基础过关 1.(1)(a+b)c(2)(a+b)2 a6X4+e(3)a+b6=号a6X4+22=a+6 2.A3.x2+22=(x+0.5)24.10 能力提升 5.A6解：AD的长为=I0(m).在R△AED中，由勾股定理，得DE=AD-AE 10:-6=64DE=8m半圆形餐饮区的面积S=号x×(8÷2)2=8x(m).答：半圆形 餐饮区的面积为8πm2,7.解：根据题意，得MN=60m.在Rt△MNB中，BN=BM一 MN=75-602=2025,∴.BN=45m,.AV=AB-BN=125-45=80(m).在Rt△AMV 中，AM=AN2+MN2=802+602=10000,∴.AM=100m,∴.MA+BM=100+75=175(m. 答：供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为175m. 第1页（共54页） 思维拓展 8.解：(1)如图①，大正方形的面积可以表示为c,也可表示为4X号b+(b-a),“2=4 ×号ab6+6-a=a+6:(2)在R△ABC中，∠ACB=90,AC=4,BC=3AB= 3+4=25AB=5.:Sac=令AC,BC=AB·CD.CD=ACBC=3-是。 AB 5 5 (3)大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，.c2=13,(b-a)2=1,.a2十6一2ab= 1.a2+b2=c2=13,.13-2ab=1,.2ab=12,∴.(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=-25,即 (a十b)的值为25. 2一定是直角三角形吗 新知梳理 ①a2十b2=c2②正整数 例题引路 【例1】解：(1)△ABD是直角三角形.理由如下：，BC=24cm,AD为中线，∴.BD=CD= 12cm.又：AB=13cm,AD=5cm,∴.AD十BD=AB,∴.△ABD为直角三角形，∠ADB =90°：(2)：∠ADB=90°，·∠ADC=90°，△ADC为直角三角形.由勾股定理，可得AC =AD+CD2=52+122=169,.AC=13cm【例2】D 基础过关 1.A2.垂直3.解：(1)不是.理由如下：.4+52=41≠62，.△ABC不是直角三角形； (2)是.∠B是直角.理由如下：：92十40=41，即a2十c2=b,∴.△ABC是直角三角形， ∠B=90°；(3)是.∠C是直角.理由如下：：(8k)2十(15k)2=(17k),即a2十b=c2, .△ABC是直角三角形，∠C=90°.4.B5.170 能力提升 6.A7.1148.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AD2-AB=92一62=45.在 △BCD中，BC2十CD=32十62=45，.BC2十CD=BD,.∠BCD=90°..BC⊥CD.故该 车符合安全标准。 思维拓展 9.解：(1)由题中等式的规律可得(2一1)2十(2n)2=(2十1)2，理由如下：等式左边=n 2n2+1十42=n十2m2十1=(n2十1)2=等式右边；(2)它的三边长能为勾股数.·35=36 1=62-1,把n=6代入上式，得(62-1)2+(2×6)2=(62+1)2，即352+12=37，.它的三 边长能为勾股数，为35,12,37：(3)不是表达所有勾股数的关系式，如9,12,15,92+122= 15,9,12,15是勾股数，但并不满足上面规律的等式，故(1)中得出的表示上面规律的等式 不是表达所有勾股数的关系式 3勾股定理的应用 例题引路 【例】解：设OA=OB=x尺..EC=BD=5尺，AC=1尺，∴.EA=EC-AC=5-1=4(尺)， OE=OA-AE=(x-4)尺.在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺.根据勾 股定理，得x2=(x-4)2十102.解得x=14.5.则秋千绳索OB的长度为14.5尺 基础过关 1.B2.B3.解：(1)车速检测仪A处的正前方是C处，.AC⊥BC..AC=12m,AB= 20m,.BC=AB-AC=202-122=256,∴.BC=16m.答：BC的长为16m;(2)16÷1.5 =兰≈10.7(m/s.答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7m/s. 能力提升 4.C5.C6.解：(1)连接AC.,∠B=90°，AB=6m,BC=8m,.AC=AB2+BC=62十 82=100,AC=10m.CD=24m,AD=26m,102+242=26,.AC+CD=AD2, ÷△ACD是直角三角形，∠ACD=90,S题BD=SaM度十SAm=方AB·BC十 号ACCD=号×6X8十×10×24=14(m):即空地ABCD的面积为14m:(2)14 ×350=50400(元).答：总共需投入50400元. 第2页（共54页） 思维拓展 7.解：(1)村庄能听到宣传.理由如下：：村庄A到公路MN的距离AB为600m<1000m, .村庄能听到宣传：(2)如图， 假设当宣讲车行驶到点P时开始影响村 M P B ON 庄，行驶至点Q时结束对村庄的影响，则AP=AQ=1000m,AB=600m,在Rt△APB中， 由勾股定理，得PB2=AP2-AB2=10002-6002=640000,.BP=800m,.BP=BQ= 800m,则PQ=PB+BQ=800十800=1600(m),则1600÷200=8(min).答：村庄总共能听 到8min的宣传. 数学思想专题方程思想在勾股定理中的运用 1.(1)42(2)(x-4)2十(x-2)2=x22.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下：在 △ABC中，AB=12,AC=16,BC=20,:122+162=400=202,∴.AB+AC=BC. ∴.△ABC是直角三角形；(2)由(1)，得△ABC是直角三角形，∠A=90°.设AP=x,则BP= CP=16-x,在Rt△ABP中，AB2+AP2=BP2,.122+x2=(16-x)2,解得x=3.5. .AP的长为3.5,3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB-AC=5-32=16, ∴.BC=4cm.由题意，得BP=tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB为直角时，如答图①， 点P与点C重合，即BP=BC=4cm,∴.t=4;②当∠BAP为直角时，如答图②，BP=tcm, 则CP=(t-4)cm.在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP=AC+CP2=3十(t-4).在 R△ABP中，由勾股定理，得AB十AP=BP,即5十3十(1-4=，解得1=空综上 所述，当△ABP为直角三角形时，：的值为4或织 C(P) P 答图① 答图② 4.A5.66.解：设BN=x,由折叠的性质，可得DN=AN=AB-BN=9-x,,D是BC 的中点，BD=号BC=号×6=3.在R△BND中，由勾股定理，得BN十BD=ND,即 x2十32=(9-x)2,解得x=4.线段BN的长为4.7.解：在Rt△ABC中，AC=6cm,BC =8cm,由勾股定理，得AB2=AC+BC=62+82=100,.AB=10cm.:将纸片沿AD折 叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，∴.AE=AC=6cm,DE=CD,∠DEB=90°， ..BE=AB-AE=10-6=4(cm).设CD=DE=xcm,则BD=(8-x)cm.在Rt△DEB中， 由勾股定理，得BE+十DE=BD,即4十x2=(8-x)2,解得x=3,即DE=3cm,.△BDE 的面积为号×4X3=6(em).8.解：由折叠的性质可知：BN=AM=6cm,MN=AF=AB =10cm.在Rt△AMF中，由勾股定理，得MF2=AF-AM=10-6=64,.MF=8cm, .NF=MN-MF=10-8=2(cm).设BE=xcm,则EF=BE=xcm,EV=(6-x)cm.在 R△EFN中，由勾股定理，得EF=EN十FN,即=(6-)2十2，解得x=号.BE 10 的长为3cm. ☆问题解决策略：反思—利用勾股定理解决最短路径问题 60 1.13 2.解：如图， 作点A关于直线MN的对称点C,连接CB,交直线 MN于点P,连接AP,则此时由“两点之间线段最短”可知AP十PB的长度最短.·点C为 点A关于直线MN的对称点，.CP=AP.∴AP+PB=CP+PB=CB.过点B作BD⊥ CA,交CA的延长线于点D.:AA'=2km,BB=4km,A'B'=8km,A'C=2km,DB= 8km,则CD=6km.在Rt△CDB中，由勾股定理，得CB=CD十BD2=62十82=100， .CB=10km.即AP+PB=10km.故最短距离为10km.3.B4.255.解：如图①所 第3页（共54页）