1 探索勾股定理-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 贵州专版）

第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 冒名师导学。预习先知 ②基础过关⊙逐点击破 新知梳理 知识点1 勾股定理的认识 ①我国古代把直角三角形中较短的直1.在一个直角三角形中，如果一条直角边长是2，另一条直 角边称为 较长的直角边 角边长是3，那么斜边长的平方是 ( 称为 ,斜边称为 A.4 B.9 C.13 D.25 ②勾股定理：直角三角形两直角边的 2.(2024·黔西南期末)在Rt△ABC中，斜边BC=5,则AB+ 等于斜边的 ·如 AC+BC的值为 果用a,b和c分别表示直角三角形的两 A.15 B.25 C.50 D.无法计算 直角边和斜边，那么 3.情境题栅栏门如图，某农舍的大门是一个木制 例题引路 的长方形栅栏，它的高为2m,宽为1.5m,现 【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB 需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板 90°，CDLAB于点D,AC=5,BC=12,求 的长为 CD的长 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，a,b,c是△ABC的三边长. (1)已知a=5,b=12,求c的值； D (2)已知c=25,a=7,求b的值. 【名师点拨】由于△ABC为直角三角 形，就可先由勾股定理求出AB的长， 再根据面积求出CD的长. 【学生解答】 知识点2利用勾股定理求面积 5.(2024·贵阳期中)如图，若直角三角形的两条直角边长分 别为3,2，则图中阴影部分（正方形）的面积为 () A.9 B.13 C.1 D.5 (第5题图) (第6题图) 【例2】如果直角三角形的两边长是3,6.（救材P随童练习T,变式）(2024·六盘水期中)如图，图 4,那么第三边的平方是 中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形.若正方形 【学生解答】 A,C的面积分别为400,625，则正方形B的面积是( A.10 B.25 C.225 D.500 数学N八年级上册(BS)1 7.(教材P14习题T,变式)如图，以Rt△ABC12.(教材P,习题T6变式)如图，在△ABC中， 的直角边BC为一边作长方形BCDE,求阴 AB=25,BC=28,AC=17,求△ABC的 影部分的面积. 面积. 3 cm 8 cm 17 cm 习能力提升。整合运用 8.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点，PM1 OB于点M,N是射线OA上的一个动点.若 OM=4,OP=5,则PN的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 D A 思维拓展。学科素养 13.数学思想分类讨论在△ABC中，AB=20, M B (第8题图) (第9题图) AC=15,AD为BC边上的高，且AD=12, 9.如图，AB=BC=CD=DE=1,且BCAB,CD 求△ABC的周长. ⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为( A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 10.数学思想分类讨论若一个直角三角形的三边 长分别为a,b,c,已知a2=25,b2=144,则 c2= 11.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,BC 20,AC=15,AD=9. (1)求CD的长； (2)求AB的长. 2第一章勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 冒名师导学。预习先知 ②基础过关○逐点击破 方法指导 知识点1 勾股定理的验证 ①勾股定理的验证方法较多，但最简 1.用如图①所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼 单、最直接的方法是通过拼图，利用 拼、摆一摆，可以摆成如图②所示的正方形，下面我们利 面积不变构造等量关系进行验证. 用这个图形验证勾股定理， ②应用勾股定理解决实际问题的关键是 把实际问题转化为“直角三角形”这个 数学模型来求解。 例题引路 【例1】1876年，美国总统加菲尔德利用 6 如图所示的方法验证了勾股定理，其 图① 图② 中两个全等的直角三角形的边AE, (1)图②中大正方形的边长为 ,里面小正方形的边 EB在一条直线上，证明中用到的面积 长为 相等关系是 (2)大正方形面积可以表示为 ,也可以表示 为 (3)对比这两种表示方法，可得出 ,整理得 A.S△BDA=S△EB 知识点2勾股定理的实际应用 B.S△mA十S△cDE十S△EB=S四边形ABCD C.S△EDA十S△CEB=S△CDE 2.(教材Pg习题T3变式)如图，一棵高 D.S四边形ABCD=S四边形DEBC 为8m的大树被台风刮断.若树在离 【学生解答】 地面3m的点C处折断，则树顶端落 B 在离树底部 【例2】如图，某人从点A出发，想垂直 A.4m处 B.5m处 C.6m处 D.7m处 横渡到河对岸的点B处，由于水流的 3.跨学科语文(2024·吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的 影响，他实际上岸的地点C偏离了想 要到达的点B140m(即BC=140m), 描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②， 其结果是他在水中实际游了500m(即 其中AB=AB,ABLBC于点C,BC=0.5尺，BC=2尺.设 AC=500m),则该河流AB处的宽度 AC的长度为x尺，可列方程为 m 诗文：波平如镜一湖面， 半尺高处生红莲.亭亭多 姿湖中立，突遭狂风吹 一边.离开原处二尺远， 花贴湖面似睡莲， 【名师点拨】将实际问题转化为“直角 图① 图② m 三角形”.知道斜边AC,直角边BC,利 (第3题图) (第4题图) 用勾股定理就可求出AB了. 4.(2024·黔西南期末)如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一 【学生解答】 棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距 8m,则小鸟至少要飞 m. 数学N八年级上册(BS)3 可能力提升。整合运用 ⊙ 思维拓展。学科素养 5.(2024·毕节期末)如图，一架长度为xm的 8.等面积法用不同的方式表示同一个图形的 梯子若靠墙直立时，比窗户的下沿高1m;若 面积可以解决线段长度之间关系的有关问 斜靠在墙上，当梯子的下端离墙5m时，梯 题，这种方法称为等面积法，这是一种重要 子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则x的值 的数学方法.请你用等面积法来探究下列三 为 ) 个问题： (1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全 等的直角三角形拼成，请用它验证勾股 定理c2=a2+b2; (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,求 A.13 B.12 C.15 n号 CD的长度； 6.如图是某小区一健身中心的平面图，活动区 (3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方 是面积为200m的长方形，休息区是直角三 形的面积是1，求(a+b)的值(a<b). 角形且∠AED=90°，请你求出半圆形餐饮 区的面积. 6 m 20m 活动区 图① 图② 7.如图，某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉之 间的距离AB为125m.现要为喷泉铺设供 水管道AM,BM,供水点M在小路AC上， 供水点M到AB的距离MN为60m,喷泉 B到供水点M的距离BM为75m.求供水 点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长， 4第一章勾股定理参考答案 正文答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 新知梳理 0勾股弦②平方和平方a'十6=c 例题引路 【例1】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2十BC,即AB=5+12=169,AB =13.Sx=号AC·BC=AB·CD,即2×5X12=号×13CD,CD-g 【例2】25或7 弥 基础过关 1.C2.C3.2.5m4.解：(1)c2=a2+b=52+122=169,.c=13;(2)62=c2-a2=25 -7=576,.b=24.5.B6.C7.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB =172-82=225,.BC=15cm.∴.Sm=15×3=45(cm2). 能力提升 8.B9.B10.169或11911.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=AC-AD= 152-92=144,.CD=12;(2)在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC2-CD=202-12 =256,.BD=16,AB=AD十BD=9+16=25.12.解：过点A作AD⊥BC于点D.在 地 Rt△ABD中，由勾股定理，得AB一BD=AD,在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC CD2=AD...AB2-BD=AC-CD2,252-BD =172-(28-BD)2,..BD=20..'.AD =A-BD=25-20=25AD=15.Sam=号BC·AD=合×28X15=210. 思维拓展 13.解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB -AD=202-12=256,.BD=16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=AC-AD= 152-12=81,.CD=9,.BC=BD+CD=16十9=25，.△ABC的周长为BC+AB+AC =25十20十15=60.②当高AD在△ABC外部时，如答图②.同理可得BD=16,CD=9, ∴.BC=BD-CD=16-9=7,∴.△ABC的周长为BC+AB+AC=7+20+15=42.综上所 述，△ABC的周长为60或42. 答图① 答图② 第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 例题引路 【例1】B【例2】480 基础过关 1.(1)(a+b)c(2)(a+b)2 a6X4+e(3)a+b6=号a6X4+22=a+6 2.A3.x2+22=(x+0.5)24.10 能力提升 5.A6解：AD的长为=I0(m).在R△AED中，由勾股定理，得DE=AD-AE 10:-6=64DE=8m半圆形餐饮区的面积S=号x×(8÷2)2=8x(m).答：半圆形 餐饮区的面积为8πm2,7.解：根据题意，得MN=60m.在Rt△MNB中，BN=BM一 MN=75-602=2025,∴.BN=45m,.AV=AB-BN=125-45=80(m).在Rt△AMV 中，AM=AN2+MN2=802+602=10000,∴.AM=100m,∴.MA+BM=100+75=175(m. 答：供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为175m. 第1页（共54页） 思维拓展 8.解：(1)如图①，大正方形的面积可以表示为c,也可表示为4X号b+(b-a),“2=4 ×号ab6+6-a=a+6:(2)在R△ABC中，∠ACB=90,AC=4,BC=3AB= 3+4=25AB=5.:Sac=令AC,BC=AB·CD.CD=ACBC=3-是。 AB 5 5 (3)大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，.c2=13,(b-a)2=1,.a2十6一2ab= 1.a2+b2=c2=13,.13-2ab=1,.2ab=12,∴.(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=-25,即 (a十b)的值为25. 2一定是直角三角形吗 新知梳理 ①a2十b2=c2②正整数 例题引路 【例1】解：(1)△ABD是直角三角形.理由如下：，BC=24cm,AD为中线，∴.BD=CD= 12cm.又：AB=13cm,AD=5cm,∴.AD十BD=AB,∴.△ABD为直角三角形，∠ADB =90°：(2)：∠ADB=90°，·∠ADC=90°，△ADC为直角三角形.由勾股定理，可得AC =AD+CD2=52+122=169,.AC=13cm【例2】D 基础过关 1.A2.垂直3.解：(1)不是.理由如下：.4+52=41≠62，.△ABC不是直角三角形； (2)是.∠B是直角.理由如下：：92十40=41，即a2十c2=b,∴.△ABC是直角三角形， ∠B=90°；(3)是.∠C是直角.理由如下：：(8k)2十(15k)2=(17k),即a2十b=c2, .△ABC是直角三角形，∠C=90°.4.B5.170 能力提升 6.A7.1148.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AD2-AB=92一62=45.在 △BCD中，BC2十CD=32十62=45，.BC2十CD=BD,.∠BCD=90°..BC⊥CD.故该 车符合安全标准。 思维拓展 9.解：(1)由题中等式的规律可得(2一1)2十(2n)2=(2十1)2，理由如下：等式左边=n 2n2+1十42=n十2m2十1=(n2十1)2=等式右边；(2)它的三边长能为勾股数.·35=36 1=62-1,把n=6代入上式，得(62-1)2+(2×6)2=(62+1)2，即352+12=37，.它的三 边长能为勾股数，为35,12,37：(3)不是表达所有勾股数的关系式，如9,12,15,92+122= 15,9,12,15是勾股数，但并不满足上面规律的等式，故(1)中得出的表示上面规律的等式 不是表达所有勾股数的关系式 3勾股定理的应用 例题引路 【例】解：设OA=OB=x尺..EC=BD=5尺，AC=1尺，∴.EA=EC-AC=5-1=4(尺)， OE=OA-AE=(x-4)尺.在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺.根据勾 股定理，得x2=(x-4)2十102.解得x=14.5.则秋千绳索OB的长度为14.5尺 基础过关 1.B2.B3.解：(1)车速检测仪A处的正前方是C处，.AC⊥BC..AC=12m,AB= 20m,.BC=AB-AC=202-122=256,∴.BC=16m.答：BC的长为16m;(2)16÷1.5 =兰≈10.7(m/s.答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7m/s. 能力提升 4.C5.C6.解：(1)连接AC.,∠B=90°，AB=6m,BC=8m,.AC=AB2+BC=62十 82=100,AC=10m.CD=24m,AD=26m,102+242=26,.AC+CD=AD2, ÷△ACD是直角三角形，∠ACD=90,S题BD=SaM度十SAm=方AB·BC十 号ACCD=号×6X8十×10×24=14(m):即空地ABCD的面积为14m:(2)14 ×350=50400(元).答：总共需投入50400元. 第2页（共54页） 思维拓展 7.解：(1)村庄能听到宣传.理由如下：：村庄A到公路MN的距离AB为600m<1000m, .村庄能听到宣传：(2)如图， 假设当宣讲车行驶到点P时开始影响村 M P B ON 庄，行驶至点Q时结束对村庄的影响，则AP=AQ=1000m,AB=600m,在Rt△APB中， 由勾股定理，得PB2=AP2-AB2=10002-6002=640000,.BP=800m,.BP=BQ= 800m,则PQ=PB+BQ=800十800=1600(m),则1600÷200=8(min).答：村庄总共能听 到8min的宣传. 数学思想专题方程思想在勾股定理中的运用 1.(1)42(2)(x-4)2十(x-2)2=x22.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下：在 △ABC中，AB=12,AC=16,BC=20,:122+162=400=202,∴.AB+AC=BC. ∴.△ABC是直角三角形；(2)由(1)，得△ABC是直角三角形，∠A=90°.设AP=x,则BP= CP=16-x,在Rt△ABP中，AB2+AP2=BP2,.122+x2=(16-x)2,解得x=3.5. .AP的长为3.5,3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB-AC=5-32=16, ∴.BC=4cm.由题意，得BP=tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB为直角时，如答图①， 点P与点C重合，即BP=BC=4cm,∴.t=4;②当∠BAP为直角时，如答图②，BP=tcm, 则CP=(t-4)cm.在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP=AC+CP2=3十(t-4).在 R△ABP中，由勾股定理，得AB十AP=BP,即5十3十(1-4=，解得1=空综上 所述，当△ABP为直角三角形时，：的值为4或织 C(P) P 答图① 答图② 4.A5.66.解：设BN=x,由折叠的性质，可得DN=AN=AB-BN=9-x,,D是BC 的中点，BD=号BC=号×6=3.在R△BND中，由勾股定理，得BN十BD=ND,即 x2十32=(9-x)2,解得x=4.线段BN的长为4.7.解：在Rt△ABC中，AC=6cm,BC =8cm,由勾股定理，得AB2=AC+BC=62+82=100,.AB=10cm.:将纸片沿AD折 叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，∴.AE=AC=6cm,DE=CD,∠DEB=90°， ..BE=AB-AE=10-6=4(cm).设CD=DE=xcm,则BD=(8-x)cm.在Rt△DEB中， 由勾股定理，得BE+十DE=BD,即4十x2=(8-x)2,解得x=3,即DE=3cm,.△BDE 的面积为号×4X3=6(em).8.解：由折叠的性质可知：BN=AM=6cm,MN=AF=AB =10cm.在Rt△AMF中，由勾股定理，得MF2=AF-AM=10-6=64,.MF=8cm, .NF=MN-MF=10-8=2(cm).设BE=xcm,则EF=BE=xcm,EV=(6-x)cm.在 R△EFN中，由勾股定理，得EF=EN十FN,即=(6-)2十2，解得x=号.BE 10 的长为3cm. ☆问题解决策略：反思—利用勾股定理解决最短路径问题 60 1.13 2.解：如图， 作点A关于直线MN的对称点C,连接CB,交直线 MN于点P,连接AP,则此时由“两点之间线段最短”可知AP十PB的长度最短.·点C为 点A关于直线MN的对称点，.CP=AP.∴AP+PB=CP+PB=CB.过点B作BD⊥ CA,交CA的延长线于点D.:AA'=2km,BB=4km,A'B'=8km,A'C=2km,DB= 8km,则CD=6km.在Rt△CDB中，由勾股定理，得CB=CD十BD2=62十82=100， .CB=10km.即AP+PB=10km.故最短距离为10km.3.B4.255.解：如图①所 第3页（共54页）