第二十章 轴对称（知识清单）数学人教版五四制八年级上册

第二十章 轴对称 【知识点01】轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的 ．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是 ，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 ． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊 一个形状特殊的图形 图形个数 图形 图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 有 或 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连 ． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连 ． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段） ，对应角（对折后重合的角） ． （4）成轴对称的两个图形 ；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的 、 ． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴 ． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 6．用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为 ； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为 ． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 【知识点02】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 ．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点 在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点03】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角 （简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的 、 、 （简写成“ ”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的 、 分别 ． （2）等腰三角形两底 ． （3）等腰三角形底边上任意一点到 等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有 的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有 ，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3．等边三角形及其性质 等边三角形的概念： 的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的 ，并且 ． 【注意】 （1）等边三角形是 ，它有 对称轴； （2）等边三角形是 等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 4．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法： 的三角形是等边三角形． （2） 的三角形是等边三角形． （3）有一个角是 是等边三角形． 5．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点04】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 易错点1 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 例1．解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 易错点2 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 例2．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 易错点3 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 例3．如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 易错点4 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 易错点5 等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 一、单选题 1．在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 2．已知一个等腰三角形的一个外角等于，则它顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 4．等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（   ） A．4 B．6 C．4或6 D．10或12 5．等腰三角形一腰上的中线把周长分成和两部分，则腰长为（   ） A．8 B． C．8或 D． 6．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．18 B．25 C．29 D．25或29 二、填空题 7．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 9．已知三角形的一个内角，则当此三角形的另外两个角中有一个角等于 时，这个三角形是等腰三角形． 10．如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 11．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于 度． 12．如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 三、解答题 13．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为．求该等腰三角形顶角的度数． 14．如图，已知平分，点A、B分别是射线上的点，且于点A，点C是射线上的任意一点（点A、B、C都不与点O重合），连接交射线于点． (1)当时，在图1中，求作点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当，且是等腰三角形时，请直接写出的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 轴对称 【知识点01】轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 6．用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 【知识点02】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点03】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 4．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 5．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点04】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 易错点1 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论。例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15。 2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形。 例1．解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 易错点2 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角。例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180° - 70°)÷2 = 55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40° 。 2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误。 例2．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 易错点3 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 1. 边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角。 2. 图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况。 例3．如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 易错点4 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外。若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误。 2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解。 例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 易错点5 等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解。 2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解。 例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨论． 一、单选题 1．在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据与的度数之比是，设，，分为顶角和为底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵与的度数之比是， ∴设，， 当为顶角时，则：， ∴， ∴， ∴； 当为底角时，则：， ∴， ∴， ∴； 故或； 故选D． 2．已知一个等腰三角形的一个外角等于，则它顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质及外角定理的应用．解题关键是分析外角对应的是顶角还是底角的内角，并分类讨论两种情况． 【详解】解：外角为， 对应的内角为， 分情况讨论： 情况1：若外角位于顶角，则顶角的内角为， 此时底角为， 情况2：若外角位于底角，则底角的内角为，则顶角为， 综上所述，它的顶角是或， 故选：C． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①， 高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为， 所以该等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 4．等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（   ） A．4 B．6 C．4或6 D．10或12 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义，三角形的存在性解答即可． 本题考查了等腰三角形的定义，三角形的存在性问题，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为4，周长为16， ∴等腰三角形的三边长为4，4，8或6，6，4， 当三边为4，4，8时，，三角形不存在； 当三边为6，6，4时，，三角形存在， 故腰长为：6； 故选：B． 5．等腰三角形一腰上的中线把周长分成和两部分，则腰长为（   ） A．8 B． C．8或 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的运用能力，做题时注意分类讨论思想的运用． 由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成和两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为或两种情况进行分析，解一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示， 设等腰三角形的腰长， ，是腰上的中线， ． ①若的长为，则， 解得． 等腰三角形的腰长为， 等腰三角形的底长为． ②若的长为，则， 解得， 等腰三角形的腰长为， 等腰三角形的底长为． 经检验，均符合三角形三边关系． 故选： C． 6．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．18 B．25 C．29 D．25或29 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，再分a为底边长，a为腰长两种情况，判断是否能构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：，，， ，， ，， 当a为底边长时，三条边长分别为7，11，11，，能构成三角形，此时周长为：， 当a为腰长时，三条边长分别为7，7，11，，能构成三角形，此时周长为：， 因此周长是25或29， 故选D． 二、填空题 7．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角或者当等腰三角形的顶角是钝角，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 9．已知三角形的一个内角，则当此三角形的另外两个角中有一个角等于 时，这个三角形是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形内角和的知识，等腰三角形的性质．根据三角形有两个角相等，且其中的一个内角是可知，分两种情况，一种是有两个角都是，根据三角形内角和为，可以求得第三个角；一种是有一个角是，另外两个角相等，根据三角形内角和为，求出这两个角的大小． 【详解】解：∵三角形有两个角相等，且其中的一个内角是， ∴分两种情况： 第一种情况是：这两个相等的角是， ∵三角形内角和是， ∴第三个角是：； 第二种情况是：一个角是，另外两个角相等， ∵三角形内角和是， ∴另外两个角是：． 由上可得，当此三角形的另外两个角中有一个角等于或或时，这个三角形是等腰三角形． 故答案为：或或． 10．如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、动点问题及一元一次方程的应用．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的构成条件． （1）用t表示线段长度：分情况为确定；或定； （2）分二种情况讨论，排除时，、两种无解情况． 【详解】解：由题意，动点P速度为速度为运动时间为则． ∵A在延长线上， ∴当P在A到O之间时， 当P在O到B之间时，． 又，A在延长线上，故． 要使为等腰三角形，分以下二种情况： ①若，不可能与其它边相等,因是钝角，是三角形内的最大角，根据“大角对大边”可知最长. ∴，, ∴ 解得 ②若因，使为等腰三角形时，必构成等边三角形， ∴ 解得． 综上，t的值为或． 故答案为：或． 11．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于 度． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 本题需要分两种情况，并画图分析，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，然后进行计算，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时， 如图：，是的高，， ， ∵是的高， ∴， ； 当等腰三角形的高在三角形的外部时， 如图：，是△ABC的高，， ， ∵是的高， ∴， ∴， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故答案为：或． 分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 12．如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 【答案】，或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 先根据轴对称得，进而得，再证明，即可得，然后求出，接下来分三种情况讨论解答即可：当时，可求，再根据，可得答案；当时，可求，根据三角形内角和定理得出答案；当时，可求，再根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 当时， ∴. ∵， ∴， 解得； 当时， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， ∴， 解得. 当，或，为等腰三角形. 故答案为：，或. 三、解答题 13．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为．求该等腰三角形顶角的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，根据题意画出图形以及分类讨论是解题的关键． 分等腰三角形是锐角三角形或钝角三角形两种情况，分别根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图①， ，，为高，即， 此时， ，此时该等腰三角形顶角度数为． 若三角形为钝角三角形时，如图②， ，，为高，即， 此时． 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或． 14．如图，已知平分，点A、B分别是射线上的点，且于点A，点C是射线上的任意一点（点A、B、C都不与点O重合），连接交射线于点． (1)当时，在图1中，求作点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当，且是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了垂线的作法、等腰三角形的性质与判定、等腰三角形的存在性问题、掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）如图，过点A作的垂线，交点即C点； （2）根据等角的余角相等证明出，再根据等角对等边即可得到； （3）根据是等腰三角形，分类讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2）证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：当时，，此时； 如图2中当时，， ； 当时，， ； 综上所述，或或 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $