1.4.1 图形面积问题与变化率问题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版)> 1.4用一元二次方程解决问题 第1课时图形面积问题与变化率问题 课堂演练 1.【新情境】（教材习题变式）受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快 递业务迅猛发展，2022年公司快递业务量为100万件，2024年快递业务量达到144万件.若 设快递量平均每年增长率为x,则下列方程中，正确的是 () A.100(1十2x)=144 B.100(1+x)2=144 C.100(1+x2)=144 D.100(1+2x)2=144 2.【新情境】(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料 组成)，则BC的长为 () LpE222222222224 B A.5m或6m B.2.5m或3m C.5m D.3m 3.(2024·重庆)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万 元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是 4.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则参加酒会的人数为 5.刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利6400元.4月份的盈利达到8100元，且从2月份到 4月份每个月盈利的增长率相同. (1)求每个月盈利的增长率 (2)按照这个增长率，请你估计这家商店5月份盈利多少元. 6.某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩 形冰场.如图所示，已知空地长27m、宽12m,矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰 场的面积是原空地面积的号，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中，右通道的宽度相等， 求预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度. 冰场 冰场 28》 第章一元二次方程 课后拓展 7.如图，在宽为20m、长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部 分作为草坪.要使草坪的面积为540m,求道路的宽.如果设道路的宽为xm,根据题意，所 列方程正确的是 () A.(20-x)(38-x)=540 B.(20-x)(38-x)=38×20-540 C.(20-2x)(38-2x)=540 D.(20-2x)(38-2x)=38×20-540 底面 12 cm -10cm- (第7题) (第9题) 8.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均 一个人传染的人数为 () A.14 B.11 C.10 D.9 9.上图是一张长为12cm、宽为10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的 矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24c的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形 的边长为 cm. 10.某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划，活动区的长和宽分别 为20m和16m,同时要在它四周外围修建宽度相等的小路.已知活动区和小路的总面积 为480m2. (1)求小路的宽度. (2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最 终以32万元达成一致.若两次降价的百分比相同，求每次降价的百分比. 活动区 11.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度 为10m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积比为1：2的矩形，已知 栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm(如图). (1)若矩形养殖场的总面积为36m,求此时x的值. (2)该农场想要建一个50m的矩形养殖场，这个想法能实现吗？请说明理由 -10m A 292a8=12一2X(一1)=3.(2)猜想：5n=5m-1+5m-2.证明如 下：根据根的定义，得a2一α一1=0，两边都乘a-2,得a”一 a-1-a-2=0①，同理，g-g1-g-8=0②，①十②，得 (a”十g)-(a-1+B-1)-(a-2+B-2)=0.sn=a+g, 5n-1=a1十B1,5n2=a2+B-2,∴.5n-sm1-5m-2=0,即 sm=5m-1十sm-2.15.(1)证明：：a=1,b=-(m+3),c= 2(m+1),∴.-4ac=[-(m+3)]2-4×1×2(m+1)=m2- 2m+1=(m-1)2.(m-1)2≥0，即-4ac≥0，∴.不论m为 何值，方程总有实数根.(2)由根与系数的关系，得x1十x2 m+3,x1x2=2(m+1).x+x号=5，.（十x2)2-2x1x2= 5,即(m十3)2-2×2(m十+1)=5，整理，得m2+2m=0,解得 m=0,2=-2,∴.m的值为0或-2.16.(1)根据题意，得 [-(2a+1D]3-4X1×a2=4a+1>≥0，a>-是.a+36= 26=专2-a)≤是故6的最大值是是.(2)：=对， .十x2=0或一x2=0.若0十x2=0,则2a十1=0，解得 。=一号，不满足(1)中a的取值范固，舍去：若一=0，则 4a十1=0，解得a=一子，满足(1)中a的取值范围.综上所 述，a的值为-子 周练（二） 1.C解析：x(x-5)=5-x,∴.x(x-5)+(x-5)=0, .(x-5)(x十1)=0，∴x-5=0或x+1=0,解得=5， x2=一1.2.C解析：，关于x的一元二次方程x2-4x十 c=0有两个相等的实数根，.（一4）2一4c=0,解得c=4. 3.D解析：将x=1代入方程，得a-3十2=0，解得a=1, .a的正确值为一1，则原方程为-x2-3x十2=0，∴.(-3)2- 4×(一1)×2=17>0，∴.原方程有两个不相等的实数根 4.B解析：，x2一4x=1,.x2一4x+4=5,即(x一2)2=5. 5.D解析：，关于x的方程x2+(m一1)x一2=0的两实数 根为x、x2,.十x2=1一m,x1x2=一2，x1x2一x1一x2 x1x2-(x1十x2)=2,∴.-2+m-1=2,∴.m=5.6.x1=0, x2=2解析：，x2-2x=0,.x(x-2)=0,.x=0或x 2=0,解得石=0，=2.7.m<号且m≠1解折：方程 有两个不相等的实数根，.b2一4ac=32一4×(m一1)×2>0， 解得m<名又“方程为关于x的一元二次方程，∴m-1≠ 0,m1,m的取值范国为m<号且m≠1.813解 析：x2-6x=1,x2-6x十9=1十9，.(x-3)2=10, ∴.m=3,n=10,∴.m十n=3十10=13.9.>解析：M N=x2+x-(3x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,(x 1)2≥0，M->0,MN.10.59 解析：一元二次 方程8x2-2x-15=0的根为x1、x2,∴.8x1-2x一15=0， x1十2=-。2=8一30欢=8一2（十2）月 15-1=59. 4=翠11.(1)(2zx-1)2=9,2x-1=士3，a= 2,2=-1.(2)3.x(x-1)=x-1,∴.3x(x-1)-(x-1)= 0,.(x-1)(3x-1)=0,.x-1=0或3x-1=0,.0=1, 西=332x+3x-4=02+8x=22+号x+ 1 =2+最即(+广-0x+=士 4 -3+厘，=3④ 4 4 (4)3x2-6x+1=0,a=3,b= 课时提优计划作业本·数 -6,c=1,∴2-4ac=(-6)2-4X3X1=24,x=6告24 2×3 36=3+6,=3-6.12.1)把c=2代入方 3 3 31 1 程，得2-2×2+2m-1=0,解得m=2.(2)当m=-1 时，原方程为x2一2x一3=0，∴.(x一3)(x十1)=0，.x一3=0 或x十1=0，∴x=3,x2=一1.(3)方程有实数根，. 4ac=(-2)2-4(2m-1)≥0，解得m≤1，，m为正整数， m=1,原方程为x2-2x十1=0，.(x-1)2=0,.x1=x2= 1.13.(1)关于x的一元二次方程x2-(2m十1)x十m2+ 2=0有实数根，∴.-4ac≥0，即[-(2m十1)]2-4(m2+ 2)≥0，整理，得4m一1≥0，解得m≥子.(2)：该方程的两 个实数根分别为x、x2,.x十x2=2m十1，xx2=m2+2. +☆-含“a㎡+20， 12 同号=分0合或司- 2 m2+2 解得m=0或m=4或m三-2，m≥，m=4 14.(1)证明：.b2一4ac=[一(2k+1)]2一4×1×(k2+k)= 1>0,.方程有两个不相等的实数根.(2)：x2一(2k+1)x十 k2+k=0,.(x-k)[x-(k+1)]=0,∴x=,x2=k+1,即 AB、AC的长分别为k、k十1.当AB=BC时，即k=4,满足三 角形构成条件；当AC=BC时，k+1=4,解得k=3,满足三角 形构成条件.综上所述，k的值为3或4. 1.4用一元二次方程解决问题 第1课时图形面积问题与变化率问题 课堂演练 1.B2.C解析：设BC的长为xm,则AB的长为2(10+ 1-x)m,根据题意，得2(10+1-x)x=15,解得x=5或x= 6>5.5(不符合题意，舍去)，即BC的长为5m.3.10% 解析：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x,根据题意， 得40(1十x)2=48.4,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符 合题意，舍去)，该公司这两年缴税的年平均增长率是10%. 4.11解析：设参加酒会的人数为x.根据题意，得2x(x 1)=55,整理，得x2-x-110=0,解得x1=11,x2=一10（不 符合题意，舍去)，.参加酒会的人数为11.5.(1)设每个月 盈利的增长率为x,根据题意，得6400(1+x)2=8100,解得 x1=0.125=12.5%,x2=-2.125(不合题意，舍去).答：每个 月盈利的增长率为12.5%.(2)8100×(1+12.5%)=8100× 1.125=9112.5(元).答：按照这个增长率，估计这家商店5月 份盈利9112.5元.6.设预留的上、下通道的宽度为xm, 则矩形冰场的宽为(12-2x)m,矩形冰场的长为号(12-2x)m 根据题意，得2×号(12-2x)(12-2x)=27×12×号，整理， 3 得(12-2x)2=81,解得x1=立2=2 （不符合题意，舍去）， 3[27-2x号12-2a)]=×[21-2x号×(12-2× 3 )门-1m.答：预留的上、下通道的宽度为多m,左、中、 右通道的宽度为1m. 课后拓展 7.A解析：道路的宽为x,'.作为草坪的部分可合成长 为(38一x)m、宽为(20一x)m的矩形.根据题意，得(20 学·九年级上册(SK版) x)(38一x)=540.8.B解析：设每轮传染中平均一个人传 染了x人.根据题意，得1十x十x(1+x)=144,整理，得(1+ x)2=144,解得1=11，x2=一13（不符合题意，舍去）.故每轮 传染中平均一个人传染的人数为11.9.2解析：设底面长 为acm,宽为bcm,剪去的正方形的边长为xcm根据题意， 得a=10-2x,b=号(12-2x)=6-x,代人ab=24中，得 (10一2x)(6-x)=24,整理，得x2一11x十18=0，解得x1=2, x2=9(不符合题意，舍去)，∴.剪去的正方形的边长为2cm. 10.(1)设小路的宽度是xm.根据题意，得(20十2x)(16十 2.x)=480.整理，得x2+18x一40=0，解得01=2，x2=一20（不 符合题意，舍去).答：小路的宽度为2m.(2)设每次降价的 百分比为y.根据题意，得50(1一y)2=32,解得y1=0.2= 20%,y2=1.8(不符合题意，舍去).答：每次降价的百分比为 20%.11.(1),BC=xm,且矩形面积比为1：2，.CD= 2xm,∴BD=3xm,AB=CF=DE=3(24-BD)=(8-x）(m. 根据题意，得3x(8-x)=36,整理，得x2一8x十12=0，解得 x1=2,x2=6.当x=2时，3x=3×2=6<10,符合题意；当 x=6时，3x=3×6=18>10,不符合题意，舍去.即此时x的 值为2.(2)这个想法不能实现，理由如下：假设这个想法能 实现，根据题意，得3x(8一x)=50,整理，得3x2一24x十50= 0,.一4ac=(一24)2一4×3×50=一24<0，∴.原方程没有 实数根，∴假设不成立，即这个想法不能实现. 第2课时价格变化问题 课堂演练 1.C解析：设每件降价x元，则每天可以多销售4x件，每件 的利润为(40-x)元，根据题意，得(40-x)(20+4x)=1000. 2.52元或58元解析：设该商店这种小家电的定价是x元， 则每个的销售利润为(x一40)元，可销售[200一10(x一50)]个 根据题意，得(x一40)[200一10(x一50)]=2160，整理，得x2一 110x十3016=0，解得x=52,x2=58,∴.该商店这种小家电 的定价是52元或58元.3.(1)方法1：(60-x-40)(100+ 10x)=2240.方法2：(x-40)[100+10(60-x)]=2240. (2)方法1：设每千克特产应降价x元.根据题意，得(60一x 40)(100+10x)=2240,解得x1=4,x2=6.要让销售量尽可 能大，故取x=6,60一6=54（元）.答：每千克特产应定价 54元.方法2：设每千克特产降价后定价为x元，根据题意， 得(x-40)[100+10(60-x)]=2240,解得x1=54,x2=56. 要让销售量尽可能大，故取x=54.答：每千克特产应定价54元. 4.(1)60-无200+x(60-品)×20(2)根据题意，得 (200+x0(60-品)-(（60-)×20=14000，整理，得x 420x十32000=0，解得x1=320,x2=100.当x=320时，有游 客入住的客房数量是60-320=28（间），当x=100时，有游客 10 人住的客房数量是60-10=50（间），当x=100时，能吸引 10 更多的游客，则每间客房的定价应为200+100=300（元/天）. 答：每间客房的定价应为每天300元 课后拓展 5.B解析：根据题意，得(4+a)(120-10a)=(4-b)(120+ 10b),解得a一b=8.6.50解析：根据3月份用电80千瓦 时，交电费35元，得20+100(80-a)=35,即d-80a+1500= 0,解得a1=30,a2=50..4月份用电45千瓦时，交电费20元， .a≥45，.a=50.7.(1)当55≤x≤60时，y=800;当60< x65时，设y与x之间的函数关系式为y=kx十b.一次函 数的图像过(60,800)和(65,300)，. 69十80解得 课时提优计划作业本·委 (k=-100y=-100x十680.综上所述，y与x之间的函 1b=6800, 数关系式为y= 1800(55≤60)， -100z+6800(60<≤65).(2)当55≤ x60时，(x一42)×800=12000，解得x=57;当60<x≤65 时，(x-42)(-100x十6800)=12000，解得x1=62,x2=48 (不符合题意，舍去).答：每件服装的售价为57元或62元 8.(1)20+2×4=28(件)，(40-4)×28=1008（元）.答：平均 每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元.(2)设 每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40一x)元，每天可售出 (20十2x)件.根据题意，得(40一x)(20十2x)=1200,整理，得 x2一30x十200=0，解得x1=10,x2=20.又：每件盈利不少于 25元，x=10.答：每件衬衫应降价10元. (3)该衬衫每天 的销售获利不能达到1300元.理由如下：设每件衬衫应降价 y元，则每件盈利(40一y)元，每天可售出(20十2y)件.根据题 意，得(40-y)(20十2y)=1300,整理，得y2-30y+250=0. ,(-30)2-4×1×250=一100<0，.该方程无实数根，故该 衬衫每天的销售获利不能达到1300元. 第3课时几何问题 课堂演练 1.D解析：根据题意，得AC=3x步，AB十BC=7x步， AB=10步，.BC=(7x-10)步，∠A=90°，由勾股定理 得(3.x)2+102=(7x-10)2.2.(1)设经过xs后，△PBQ的 面积等于9cm,则BP=(8一2x)cm,BQ=3xcm.根据题意， 得2(8-2x)×3x=9,化简，得x2-4x+3=0,解得=1， x2=3.答：经过1s或3s后，△PBQ的面积等于9cm.(2)设 经过ys后，P,Q两点间的距离是2/13cm,则BP=(8一2ycm, BQ=3ycm.根据题意，得(8-2y)2+(3y)2=(2√13)2，化简， 得13Y-32)十12=0，解得1=品=2，答：经过8s或 2s后，P、Q两点间的距离是2√/13cm. 3.(1)如图，AA的长即为△ABC移动的 A D 距离.设AC与A'B交于点E,DC与A'C 交于点F,设AA'=x,则A'E=AA'=x, AD=4一x,重叠部分的面积为x(4一x). 根据题意，得x(4一x)=3,解得x=1或 B C x=3,即△ABC移动的距离为1或3， (2)当四边形A'ECF是菱形时，A'E=A'F.设AA'=y,则 A'E=A'F=CF=y,∴.A'F2=2A'D2,.x2=2(4-x)2,.x= 8一4√2或8+4√2（不符合题意，舍去），即当△ABC移动的距 离是8一4v2时，重叠部分是菱形.4.设途中会遇到台风， 且最初遇到的时间为th,此时轮船位于C处，台风中心移到 E处，连接CE,则AC=20tkm,AE=AB-BE=(200 40t)km.AC2+AE2=CE,∴.(20t)2+(200-40t)2=1002, 解得t1=3,t2=5(不符合题意，舍去).答：最早经过3h轮船 就会进入台风影响区. 北 课后拓展 5.(1)(12-2t)4t(2)如图，过点D作DH⊥BC于点H :∠B=90°，即AB⊥BC,.AB∥DH.又D是AC的中点， “BH=BC=12cm,DH是△ABC的中位线，DH= 学·九年级上册(SK版)