专题02 直线的方程（期中真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期

专题02 直线的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的切斜角与斜率 考点02 两直线的位置关系 考点03 直线的方程 考点04 点与点、点与线、线与线的距离 地 城 考点01 直线的切斜角与斜率 一、单选题 1．(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知点在直线上，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·青海海东第一中学·期中)已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．135° D．150° 4．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 5．(23-24高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·期中)已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 6．(23-24高二上·青海海东第一中学·期中)下列命题中错误的是（    ） A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限 三、填空题 7．(24-25高二上·青海海南州·期中)过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 8．(23-24高二上·青海海东第一中学·期中)已知两点，所在直线的斜率为，则 . 9．(23-24高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)已知点，则直线的斜率为2，则 地 城 考点02 两直线的位置关系 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏银川第二中学·期中)“”是“直线：与直线：垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(23-24高二上·宁夏银川唐徕中学·期中)已知直线：，和直线：垂直，则（    ）． A． B． C．或 D． 二、多选题 3．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 4．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．是直线与直线垂直的必要不充分条件 D．存在a使得直线与直线平行 三、填空题 5．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)已知直线与直线平行，则实数 . 四、解答题 6．(24-25高二上·青海海南州·期中)已知直线，直线． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值． 地 城 考点03 直线的方程 一、单选题 1．(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知两点，，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二上·青海海南州·期中)直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·宁夏银川宁夏育才中学·期中)直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（    ） A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行 C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点 5．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)下列命题正确的是（    ） A．任何直线方程都能表示为一般式 B．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等 C．直线与直线的交点坐标是 D．直线方程可化为截距式为 三、填空题 6．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)经过点，且与直线平行的直线的方程是 . 四、解答题 7．(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知点，直线过点且斜率为. (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且倾斜角是直线的一半，求直线的方程. 8．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知△ABC的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； 9．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 10．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 11．(22-23高二上·青海海南藏族贵德县海南州贵德高级中学·期中)已知直线，求满足下列条件的直线的方程． (1)与直线关于轴对称； (2)过点，且与平行． 地 城 考点04 直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 二、多选题 2．(24-25高二上·青海海南州·期中)若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数k的值可能是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)下列说法不正确的有（    ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)下列结论正确的是（ ） A．已知点在圆上，则的最大值是4 B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若直线过点且分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则三角形面积的最小值是及此时的直线方程为. D．若椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是. 三、填空题 5．(23-24高二上·宁夏银川第二中学·期中)若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 . 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的切斜角与斜率 考点02 两直线的位置关系 考点03 直线的方程 考点04 点与点、点与线、线与线的距离 地 城 考点01 直线的切斜角与斜率 一、单选题 1．(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知点在直线上，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：C. 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 3．(23-24高二上·青海海东第一中学·期中)已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】利用两点间的斜率公式可求出其斜率为，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果. 【详解】易知两点间的斜率， 设直线倾斜角为，由斜率与倾斜角之间的关系可得， 故该直线的倾斜角为135°. 故选：C. 4．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】先求出斜率，进而可求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 所以其倾斜角为. 故选：B. 5．(23-24高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·期中)已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】结合已知条件作图并求出直线的定点，然后分别求出直线和直线的斜率，结合图像求解即可. 【详解】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示：      由斜率公式可知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 若与线段相交，只需要或， 故实数a的取值范围是或. 故选：D. 二、多选题 6．(23-24高二上·青海海东第一中学·期中)下列命题中错误的是（    ） A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 三、填空题 7．(24-25高二上·青海海南州·期中)过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 8．(23-24高二上·青海海东第一中学·期中)已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 9．(23-24高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)已知点，则直线的斜率为2，则 【答案】 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】依题意，得，所以. 故答案为： 地 城 考点02 两直线的位置关系 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏银川第二中学·期中)“”是“直线：与直线：垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为直线：与直线：垂直， 所以，解得， 所以“”是“直线：与直线：垂直”的充要条件. 故选：C 2．(23-24高二上·宁夏银川唐徕中学·期中)已知直线：，和直线：垂直，则（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得或1. 【详解】因为直线和直线垂直，故，解得或1， 经检验，符合要求. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】AC 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为，， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，故C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时， 到直线的距离最大，最大值为， 故D正确， 故选：AC. 4．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．是直线与直线垂直的必要不充分条件 D．存在a使得直线与直线平行 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角的关系可判定A，根据直线与一次函数的关系可判定B，根据直线平行与垂直的充要条件可判定C、D. 【详解】对于A项，设直线的倾斜角为， 由题意可知其斜率为，故A正确； 对于B项，直线过第三象限，可以，，故B错误； 对于C项，两直线若垂直，则，反之当时， 两直线方程分别为，显然互相垂直，即是直线与直线垂直的充要条件，故C错误； 对于D项，两直线若平行，则或， 且或，所以当时能使两直线平行，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 5．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)已知直线与直线平行，则实数 . 【答案】1 【分析】根据直线平行的条件求解即可. 【详解】由两直线平行，得，解得. 当时，直线与直线平行，所以. 故答案为：1. 四、解答题 6．(24-25高二上·青海海南州·期中)已知直线，直线． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线平行列式求解，并代入检验即可； （2）根据直线垂直列式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 整理得，解得或， 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意． 综上所述：． （2）因为，所以，解得或． 地 城 考点03 直线的方程 一、单选题 1．(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知两点，，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线AB的斜率及线段AB的中点，再借助直线方程的点斜式即可作答. 【详解】因为，，所以， 则线段AB的垂直平分线的斜率为，又A，B两点的中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即. 故选：B. 2．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 二、多选题 3．(24-25高二上·青海海南州·期中)直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分类讨论直线l是否过原点，结合截距式方程运算求解即可. 【详解】当直线l过原点时，直线l的方程为，即； 当直线l不过原点时，设直线l的方程为， 则，解得， 则直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程可能是或. 故选：BD. 4．(23-24高二上·宁夏银川宁夏育才中学·期中)直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（    ） A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行 C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点 【答案】ACD 【分析】根据，，与零的关系得到直线方程的形式，然后判断即可. 【详解】若，则，，该直线与两坐标轴都有交点，故A正确； ，则直线方程为，该直线与轴平行或重合，故B错； ，，则直线方程为，表示轴所在的直线，故C正确； ，则直线方程为，经过原点，故D正确. 故选：ACD. 5．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)下列命题正确的是（    ） A．任何直线方程都能表示为一般式 B．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等 C．直线与直线的交点坐标是 D．直线方程可化为截距式为 【答案】AC 【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可. 【详解】对A：直线的一般是方程为：， 当时，方程表示水平线，垂直轴； 当时，方程表示铅锤线，垂直轴； 当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确. 对B：两条直线的斜率相等时，两直线可能重合，故B错. 对C：联立，解得，故C正确. 对D：若或时，式子显然无意义，故D错. 故选：AC. 三、填空题 6．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)经过点，且与直线平行的直线的方程是 . 【答案】 【分析】设所求方程为：，再将点代入求解. 【详解】解：设所求方程为：， 因为所求直线经过点， 所以， 故所求直线方程为：， 故答案为： 四、解答题 7．(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知点，直线过点且斜率为. (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且倾斜角是直线的一半，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式直接得解； （2）根据直线斜率确定的倾斜角，进而确定的倾斜角与斜率，进而确定直线方程. 【详解】（1）因为知点，直线过点且斜率为， 所以由点斜式知直线的方程为， 即； （2）设直线与的倾斜角分别为，，， 所以， 因为直线的斜率为，所以， 解得，， 所以， 又直线经过点， 所以由点斜式知直线的方程为， 即. 8．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知△ABC的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. 【详解】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 9．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 10．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 11．(22-23高二上·青海海南藏族贵德县海南州贵德高级中学·期中)已知直线，求满足下列条件的直线的方程． (1)与直线关于轴对称； (2)过点，且与平行． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由对称方法求出直线方程作答. （2）利用平行关系设出直线方程，再求出待定系数作答. 【详解】（1）设与直线关于轴对称的直线上任意点坐标为，则点在直线上，即有， 所以直线的方程为. （2）设与直线平行的直线的方程为， 于是，解得， 所以直线的方程为.    地 城 考点04 直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【分析】首先利用对称关系求出点关于直线的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出最小距离． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 故，解得，即对称点， 故原点到点的距离， 又军营所在区域为，则， 因为， 所以“将军饮马”的最短距离为． 故选：C 二、多选题 2．(24-25高二上·青海海南州·期中)若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数k的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析可知曲线C表示圆的上半部分，根据图形结合直线与圆的位置关系运算求解. 【详解】由，得， 可知曲线C表示圆的上半部分．    且直线过定点， 当直线过点时，； 当直线与圆相切时，，解得或． 由图可知，k的取值范围是． 故选：ABD. 3．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)下列说法不正确的有（    ） A．直线过定点 B．若两直线与平行，则实数的值为1 C．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数a的值，检验后得到答案；C选项，分两种情况（1）直线过原点；（2）直线不过原点讨论求解，即可判断C；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数m的取值范围. 【详解】A选项，， 故直线恒过定点，故A正确； B选项，两直线与平行， 则，解得或， 当时，两直线与满足要求， 当时，两直线与满足要求， 综上，或，故B错误； C选项，当直线过原点且经过点时，可得直线方程为； 当直线不过原点时，设直线为，将点代入解得， 所以直线方程为，故C错误； D选项，直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下： 其中， 则要想直线与线段AB相交，则直线斜率或， 解得或，故D错误. 故选：BCD 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)下列结论正确的是（ ） A．已知点在圆上，则的最大值是4 B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若直线过点且分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则三角形面积的最小值是及此时的直线方程为. D．若椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是. 【答案】ACD 【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；利用截距式方程和基本不等式可判断C；根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即可判断D. 【详解】A选项，因为点在圆上， 所以， 当时，取得最大值4，故A正确； B选项，由，所以，即直线过点， 因为直线和线段相交，故只需或，故B错误； C选项，由题意，设点、，则，， 所以，直线的方程为，则， 由基本不等式可得，即，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，直线的方程为，即， 所以，面积的最小值为，此时，直线的方程为,故C正确； D选项，设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．(23-24高二上·宁夏银川第二中学·期中)若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 . 【答案】0 【分析】由已知两条直线是平行线，因此有圆心到它们的距离相等，从而可得结论. 【详解】由题意直线平行，因此圆心到它们的距离相等， 所以，又，所以，即， 故答案为：0. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $