专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 地 城 考点01 等式性质与不等式性质 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用不等式的性质来确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则，所以，所以A选项错误. B选项，若，，则， 所以，所以B选项正确. C选项，若，则，所以C选项错误、 D选项，若，则，所以，所以D选项错误. 故选：B 2．(24-25高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 故选：AB. 3．(24-25高一上·青海海南州·期中)若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法，即可比较大小. 【详解】因为，所以. 故选：B 二、多选题 4．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最大值为5 C．的最大值为12 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，， 所以，所以，所以的最大值为，故A错误； 则，所以，所以的最大值为，故B正确； 因为，所以，所以的最大值为，故C错误； 因为，所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BD 5．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由不等式的性质、及特殊值验证即可判断. 【详解】对于A，若，因为，则正确， 对于B，取满足且，显然不成立，故错误； 对于C，若，则，正确； 对于D，取，满足，显然不成立，故错误. 故选：AC 6．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)若，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据所给范围，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】A.∵，∴，∴，故A正确； B.∵，∴，故B正确； C.∵，∴ 在R上为单调递减函数， ∵，∴，因此C不正确； D.∵，∴、且，∴，（时才能取等号），故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．(24-25高一上·青海海南州·期中)若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】一方面，因为，，所以，，故． 另一方面，对任意，取，，则. 综合两方面，可知的取值范围是. 故答案为：. 地 城 考点012 基本不等式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川第二十四中学·期中)若，则y的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求函数的值域. 【详解】当时，，当，即时，等号成立， 当时，，当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 故选：A 2．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 3．(23-24高一上·宁夏银川景博中学·期中)若，则有（    ） A．最大值 B．最小值9 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【分析】配凑构造基本不等式的形式求解即可. 【详解】因为，故 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 4．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)已知，，且，若恒成立.  则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，所以，，即，解得. 故选：D. 5．(24-25高一上·青海西宁第十四中学·期中)设，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 6．(23-24高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式可求得结果. 【详解】，，（当且仅当，时取等号）， 的最大值为. 故选：B. 二、填空题 7．(23-24高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)当且仅当x＝ 时，函数取得最小值． 【答案】 【解析】利用基本不等式时，等号成立，即时，得出x的值. 【详解】∵x＞0， ∴，当且仅当x＝ 时取等号． 故答案为： 三、解答题 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期中) （1）求函数的最小值； （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 【答案】（1）9；（2） 【分析】（1）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （2）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （2）由， 则． 当且仅当，即时取到最小值16． 若恒成立，则． 9．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知，，且. (1)证明： (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以 所以，所以. （2）因为，所以. 因为，，所以 当且仅当，即时，等号成立， 则， 故，即的最小值是2 10．(23-24高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中) （1）已知，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）最小值为1，（2）最小值为9 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为1， （2）由于，所以， 当且仅当等号成立，又，故当时等号成立，故最小值为9. 11．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)中共中央政治局会议提出支持新能源汽车加快发展. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措. 2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元）， 由市场调研知，若每百辆车售价500万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元） 关于年产量x（百辆） 的函数关系式； (2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大? 并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元. 【分析】（1）根据收入总成本求解即可； （2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可. 【详解】（1）由题意知利润收入总成本， 所以利润， 故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为 . （2）当时，， 故当时，， 当时，， 当且仅当，即时取得等号； 综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元. 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏青铜峡第一中学·期中)若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围． 【详解】不等式在内有解等价于时，. 当时，，所以. 故选：A. 2．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 3．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，代入计算，即可求解. 【详解】，，即，则，解得， 原不等式的解集为 故选：A. 4．(23-24高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)关于x的一元二次不等式的解集为，则（    ）． A． B． C．2 D．8 【答案】D 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，再结合韦达定理即可求得的值，从而求得的值. 【详解】因为的解集为，所以是方程的两根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故选：D. 二、多选题 5．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】由二次函数的性质可得A正确，B错误；由韦达定理可得C正确；结合图像和不等式的性质再由一元二次不等式的求解可得D正确； 【详解】对于A、B，由图可知，则，所以，故A正确，B错误； 对于C，由图可知m,n是关于的方程的两个不同实根， 则所以，故C正确； 对于D，由图可得关于的不等式的解集是, 则关于的不等式0，即关于的不等式， 所以，所以或， 即关于的不等式的解集为或，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 6．(24-25高一上·青海西宁第十四中学·期中)已知关于的不等式的解集为， ①                              ②                   ③ ④ 关于的不等式的解集为 则上述结论正确的序号是 . 【答案】②③ 【分析】由一元二次不等式的解法可知，且是方程的两根，再结合韦达定理可得，，结合这些条件再逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且是方程的两根， 所以， 所以， 所以，， 故①错，②，③正确； 对于④，等式，即有， 所以，解得， 所以不等式的解集为，故④错误. 故答案为：②③ 7．(23-24高一上·宁夏银川景博中学·期中)已知关于的不等式的解集为．若且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为，且， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知函数 (1)若函数在 上是单调函数，求实数m的取值范围； (2)若函数恒成立问题，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由二次函数的对称轴得到单调区间，所以包含于某一个单调区间内，从而得出实数m的取值范围； （2）由（1）可知函数最小值为，解出结果即为实数m的取值范围. 【详解】（1）函数对称轴为：， ∴在上单调递增；在单调递减， 有题意可知：或， 即或， （2）由（1）可知， ∴， ∴ 9．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式的解集为， 当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，即时，不等式可化为， 要使得不等式的解集为， 则满足， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由不等式，可得， 当时，即时，不等式即为，解得，解集为； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为或； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为， 综上可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 10．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)（1）解不等式； （2）已知a是实数，试解关于x的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）将分式不等式化为，即可求解集； （2）讨论、、分别求对应解集. 【详解】（1），则，可得 所以不等式解集为； （2）， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为R； 当，即时，解集为. 11．(23-24高一上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知． (1)若的解集为，求关于的不等式的解集； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】(1)通过一元二次不等式的解集以及韦达定理求出参数，然后将分式不等式转化成一元二次不等式求解即可； (2)对参数进行分类讨论，并结合一元二次不等式的求解方法即可得到答案. 【详解】（1）由的解集为可知， 和为的两个根， 由韦达定理可知，且，解得， 从而且， 解得或， 故关于的不等式的解集为或. （2）当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得或； 当时，原不等式可化为， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得． 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 地 城 考点01 等式性质与不等式性质 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．(24-25高一上·青海海南州·期中)若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 二、多选题 4．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最大值为5 C．的最大值为12 D．的最大值为 5．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 6．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)若，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．(24-25高一上·青海海南州·期中)若，，则的取值范围为 ． 地 城 考点012 基本不等式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川第二十四中学·期中)若，则y的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·宁夏银川景博中学·期中)若，则有（    ） A．最大值 B．最小值9 C．最大值 D．最小值 4．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)已知，，且，若恒成立.  则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·青海西宁第十四中学·期中)设，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 6．(23-24高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(23-24高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)当且仅当x＝ 时，函数取得最小值． 三、解答题 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期中) （1）求函数的最小值； （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 9．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知，，且. (1)证明： (2)求的最小值. 10．(23-24高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中) （1）已知，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 11．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)中共中央政治局会议提出支持新能源汽车加快发展. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措. 2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元）， 由市场调研知，若每百辆车售价500万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元） 关于年产量x（百辆） 的函数关系式； (2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大? 并求出最大利润. 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏青铜峡第一中学·期中)若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)关于x的一元二次不等式的解集为，则（    ）． A． B． C．2 D．8 二、多选题 5．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为或 三、填空题 6．(24-25高一上·青海西宁第十四中学·期中)已知关于的不等式的解集为， ①                              ②                   ③ ④ 关于的不等式的解集为 则上述结论正确的序号是 . 7．(23-24高一上·宁夏银川景博中学·期中)已知关于的不等式的解集为．若且，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 8．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知函数 (1)若函数在 上是单调函数，求实数m的取值范围； (2)若函数恒成立问题，求m的取值范围. 9．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 10．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)（1）解不等式； （2）已知a是实数，试解关于x的不等式：． 11．(23-24高一上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知． (1)若的解集为，求关于的不等式的解集； (2)解关于的不等式． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $