专题02 实数（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北京版

专题02 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律   平方根与算术平方根的定义 准确说出平方根与算术平方根的定义，能区分“平方根”（双值性）和“算术平方根”（非负性）在概念和表示方法上的不同。 【易错点】 • 混淆“平方根”和“算术平方根”，看到“根”就认为是正数。 • 书写错误，如“16的平方根是±”，应直接写为±4。 ** 【命题趋势】** • 常在选择题中直接考查对概念的理解。 求平方根与算术平方根 熟练求出0-100内完全平方数的平方根及算术平方根。能表示非完全平方数（如2、3、5）的平方根（如±）和算术平方根（如）。 【易错点】 • 求平方根时漏掉负根，’’如的平方根是4”，正确答案是±2。 ** 【命题趋势】** • 基础填空题必考点，要求快速准确得出结果。   的化简与计算 掌握公式 = |a|，并能应用于具体的化简计算中（如）。理解该公式与 ()² = a (a≥0) 的区别。 【易错点】 • 直接写成 = a，忽略a为负数的可能。 • 与()² 的公式混淆。 ** 【命题趋势】** • 常与绝对值、幂运算结合在化简题中考查，是计算能力的基础。 平方根的估算与比较 能够估算一个无理数（如）的大致范围（如介于哪两个连续整数之间），并比较两个无理数的大小（如比较和2.5的大小）。 【易错点】 • 估算范围错误，或比较大小时方法不当。 ** 【命题趋势】** • 常以“与√x最接近的整数是____”或“比较大小”的形式出现在填空题中。 立方根的定义与性质 准确说出立方根的定义，能指出任何数都有且只有一个立方根。归纳立方根的性质：正数、负数、零的立方根符号与原数相同。 【易错点】 • 受平方根影响，误认为负数没有立方根或立方根也有两个。 ** 【命题趋势】** • 常与平方根概念在选择题中对比考查，区分学生是否理解本质。 求立方根 熟练计算常见数的立方根（如8, -27, 0,等）。 【易错点】 • 求负数的立方根时遗漏负号。 ** 【命题趋势】** • 单一考查时属基础题，难度较低。 平方根与立方根的对比 通过制作表格等方式，从定义、个数、符号、被开方数范围等角度对比分析平方根与立方根的异同。 【易错点】 • 在综合情境中无法根据符号判断是该求平方根还是立方根。 ** 【命题趋势】** • 是本章的核心思想方法，渗透在各种综合判断题中。 无理数的识别 准确识别无理数，并能举例说明其三种常见形式：①π及含π的数；②开方开不尽的数（如））；③有规律但不循环的无限小数。 【易错点】 • 误认为带根号的数就是无理数（如））。 • 误认为无限小数就是无理数（如0.1010010001...）。 ** 【命题趋势】** • 高频必考点，常见题型：“下列各数中，无理数的个数是____”。 实数的分类与概念 画出实数分类结构图，理清实数、有理数、无理数、整数、分数之间的关系。理解实数的相反数、绝对值、倒数的意义 【易错点】 • 分类时概念交叉重叠，逻辑混乱。 ** 【命题趋势】** • 常在概念辨析题中间接考查。 实数与数轴 深刻理解“实数与数轴上的点一一对应”这一重要性质。能利用勾股定理在数轴上近似表示, ）等无理数 【易错点】 • 仅停留在记忆层面，无法动手在数轴上做出表示点。 ** 【命题趋势】** • 核心热点，常以作图题或填空题形式出现，综合考查几何与代数知识。 实数的简单运算 会求一个实数的相反数、绝对值（如|π-3.14|）和倒数。能进行实数的加、减、乘、除、乘方的简单混合运算 易错点】 • 运算法则混淆，如错误地认为 = • 在混合运算中顺序错误或符号错误。 ** 【命题趋势】** • 计算题的基础，常与绝对值、幂运算等结合，考查计算准确性。 实数的大小比较 掌握比较两个实数大小的多种方法（数轴法：右边的数总比左边的大；估算法：估算无理数的近似值；平方法：比较正数的大小）。 【易错点】 • 方法选择不当导致比较过程复杂或结果错误。 ** 【命题趋势】** • 常作为填空题或解答题中的一小问出现。 知识点01平方根的概念与性质 定义：若x² = a (a ≥ 0)，则x叫做a的平方根 表示方法： 正数a的平方根记为 ± 算术平方根（正平方根）记为 性质： 正数有两个互为相反数的平方根 0的平方根是0 负数没有平方根 ()² = a (a ≥ 0) = |a| 示例： 16的平方根：±= ±4 16的算术平方根： = 4 易错点： 混淆平方根与算术平方根：求平方根时漏掉负根 化简错误：误认为 = -5（正确结果为5） 知识点02 立方根的概念与性质 定义：若x³ = a，则x叫做a的立方根 表示方法： 性质： 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 重要公式： ()³ = a = a 示例： = 2 = -3 易错点： 误认为负数没有立方根 与平方根性质混淆：认为立方根也有两个 知识点03 无理数与实数的概念 无理数定义：无限不循环小数 常见类型： π及含π的数 开方开不尽的数（如） 有规律但不循环的无限小数 实数分类： 有理数：整数和分数 无理数：无限不循环小数 实数的性质： 实数与数轴上的点一一对应 实数的相反数、绝对值、倒数意义与有理数相同 示例： 无理数：π、、0.1010010001... 有理数：3.14、-、 易错点： 误认为带根号的数都是无理数（如是有理数） 误认为无限小数都是无理数（循环小数是有理数） 知识点04 实数的运算与大小比较 运算法则： 加、减、乘、除、乘方运算规则与有理数相同 运算律（交换律、结合律、分配律）仍然适用 大小比较方法： 数轴法：右边的数总比左边的大 估算法：估算无理数的近似值 平方法：比较正数的大小 示例： 计算：|π-3.14| + ≈ 0.0016 + 3 = 3.0016 比较： > 2.236，故 > 2.2 易错点： 错误运用运算律：误认为+ = 去绝对值符号错误 知识点05 实数与数轴 对应关系：每个实数都对应数轴上一个点，反之亦然 作图方法：利用勾股定理在数轴上表示无理数（如） 应用：比较实数大小，理解实数的连续性 示例：在数轴上表示： 作直角边长为1的等腰直角三角形 题型一 双重非负性（≥ 0 且 a ≥ 0）问题 解｜题｜技｜巧 条件反射：看到算术平方根（），立刻想到它的两个限制条件： 被开方数a必须非负（a ≥ 0）这是式子成立的前提。 其运算结果本身也非负（ ≥ 0）这是化简和计算的准则。 “零和零”模型：这是非负性知识的经典考法。若遇到“几个非负数的和等于零”的等式形式（例如： + + |C| = 0 或 + B² = 0），解题步骤为： Step 1: 识别：确认等式中的每一项都是非负数（通常是算术平方根、绝对值、偶次方（如平方））。 Step 2: 列方程：既然每个非负数都≥0，而它们的和又为0，那么唯一的可能性就是每一项都同时为0。 Step 3: 求解：解由每一项等于0组成的方程组。 Step 4: 计算：将解得的未知数的值代入所求的式子中进行计算。 隐含条件求值域：对于形如 y = 的函数式，求x的取值范围（即定义域）时，直接令被开方数 ax + b ≥ 0 求解即可。 【典例1】若 ，求 的值。 【详解】 识别非负项：等式左边是三个非负数的和：算术平方根（ ≥ 0）、绝对值（y+1 ≥ 0）、平方项（(z-3)² ≥ 0）。 列方程：它们的和为0，意味着每一项都必须为0。 先求 。所以 。 【变式1】若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ______。 【详解】 思路：要使分式有意义，分母x ≠ 0。要使算术平方根有意义，被开方数1-x ≥ 0。 列不等式组： 求解：由1-x ≥ 0得 x ≤ 1。再结合x ≠ 0。 最终答案：x ≤ 1 且 x ≠ 0。 【变式2】已知 ，求 的值。 【详解】 分析隐含条件：首先， 要有意义，必须满足 a - 2025 ≥ 0，即 a ≥ 2025。（这是关键的起步点） 判断符号：因为a ≥ 2025，所以2024 - a ≤ 2024 - 2025 = -1 < 0。因此， - a = a - 2024。 代入化简：将原式中的绝对值部分替换： 求解：等式两边同时减去a： 再运用非负性：两边平方（因为两边都非负，可以平方）： 计算所求： 题型二 无理数的概念辨析与整数、小数部分问题 解｜题｜技｜巧 判定三步骤： 看形态：是否是无限小数？ 判循环：如果是无限小数，是否循环？ 验根源：如果是带根号的数，结果是否能化为整数或分数？（如（ 、就不是无理数） “整数部分与小数部分”问题： 核心思想：任何一个实数R都可以表示为“整数部分A + 小数部分B”，其中A是整数，0 ≤ B < 1。 解题步骤： 估算：先确定这个无理数在哪两个连续整数之间，较小的那个整数就是它的整数部分A。 计算：小数部分 B = R - A。 代入：将A和B代入要求的代数式中进行计算。 【典例1】 的整数部分是 ______，小数部分是 ______。 【详解】 估算 ：∵ 4 < 7 < 9 ∴ 2 < < 3。 确定- 的范围：两边乘以-1，不等号方向改变：-3 < - < -2。所以 - 在 -3 和 -2 之间。 确定整数部分：一个数的整数部分是不超过它的最大整数。-√7 ≈ -2.645，不超过它的最大整数是 -3。（这是最易错的一步，注意负数！） 记忆技巧：负数的整数部分 = （它的绝对值的小数部分不为0时）其绝对值的整数部分加1后取负。即：Int(-x) = - (Int(x) + 1) (x不是整数)。本例中，Int( )=2，所以Int(- ) = -(2+1) = -3。 确定小数部分：小数部分 = 这个数 - 整数部分。 小数部分 = (- ) - (-3) = 3 - 。 验证：∵ - ≈ -2.645，整数部分是-3，小数部分应是 -2.645 - (-3) = 0.355。而 3 - ≈ 3 - 2.645 = 0.355，正确。 【变式1】 已知 是 的整数部分， 是 的小数部分，则 的值是 ______。 【详解】 求a：∵ 9 < 10 < 16 ∴ 3 < < 4，整数部分 a = 3。 求b：∵ 4 < 5 < 9 ∴ 2 < < 3，小数部分 b = 2。 代入计算： 【变式2】已知 ， 是 的小数部分，求 的值。 【详解】 估算m： ≈ 2.236，所以 m ≈ ≈ 0.618。显然，0 < m < 1。 确定整数和小数部分：因为m本身就在0和1之间，所以它的整数部分是0，小数部分n就是m本身，即 。（此步是关键） 代入计算：所求式子变为 。 计算m²： 求最终结果： 题型三 实数运算中的高级化简与技巧 解｜题｜技｜巧 1. 运算顺序是铁律：乘方开方 → 乘除 → 加减，有括号先算括号内。 1. 公式运用： ·  = a：去根号后一定要加上绝对值，再根据a的符号进行化简。这是绝对易错点！ · ()² = a：前提是a ≥ 0。 1. 看见分母有理化：如果结果是分母含无理数的分式，通常要分母有理化，使其变成最简形式。 1. 整体代入法：当已知条件是一个复杂的代数式的值时，观察所求的式子，看是否能通过变形，整体代入已知条件，从而避免繁琐计算。 【典例1】计算： 【详解】 (∵  <  , ∴ | - | =  - )(合并整数项和无理项)​ 原式=3－（-2）+（－）－1 =3＋2+－－1 =4＋－ 【变式1】已知 ，求 的值。 【详解】 方法一（直接代入）：计算繁琐，容易出错。 方法二（配方法，推荐）： 整体代入：∵ ，∴ 。 计算：原式 = 。 【变式2】计算： 【详解】 技巧：分母有理化：观察每一项，例如第一项： 发现规律：同样地， 求和：原式 = 中间项全部抵消，最后剩下： 题型四 实数规律探究与数式规律问题 解｜题｜技｜巧 1. 核心思想：从特殊到一般。先计算或分析前几个具体项（特殊），从中发现共同特征或变化规律（一般），并用含n的代数式（通项公式）表示出来。 1. 常见规律类型： · 算术型：各项是序号的倍数、平方、立方等。（如：2, 4, 6, 8... -> 2n） · 代数型：各项是包含序号的特定代数式。（如： ,  ,  ... -> ） · 周期型：符号、数字等按一定周期循环。 · 递推型：后一项由前一项通过某种运算得到。（如：aₙ = aₙ₋₁ + 3） 1. 解题步骤： · Step 1: 找序号：给每个数字或式子标上序号n（第1个，第2个，第3个...）。 · Step 2: 析内容：分别观察分子、分母、系数、底数、指数、根号下的数等各部分与序号n之间的关系。 · Step 3: 得规律：将发现的各部分规律用含n的式子组合起来，得到通项公式。 · Step 4: 验证：将n=1, 2, 3代入你找到的通项公式，看是否与原序列一致。 【典例1】观察下列各式： 依据以上规律，写出第n个等式（n为正整数）：______。 【详解】 找序号 (n)：第1个，第2个，第3个，第4个... 分析内容：我们对比等号左右两边。 左边根号内“+”号前：分别是1, 2, 3, 4... -> 规律：n 左边根号内“+”号后：分别是, , , ... -> 分母是3,4,5,6... -> 规律： 右边系数：分别是2, 3, 4, 5... -> 规律：n+1 右边根号内：分6... -> 规律： 得规律：将以上规律组合起来。左边： 分别是, , , . 右边：(n+1) *  答：第n个等式为 【变式1】将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行： 1 2 3 4 第二行： 8 7 6 5 第三行： 9 10 11 12 第四行： 16 15 14 13 ... ... ... ... ... 则数字2024位于第 ______ 行，第 ______ 列。 【详解】 找大周期：观察发现，每两行（如1-2行，3-4行）构成一个“蛇形”循环单元，每个单元有8个数。 定位2024：2024 ÷ 8 = 253，正好整除。所以2024是第253个循环单元（即第(253*2)=506行）的最后一个数。 判断奇偶单元：第253个单元是奇数单元。观察奇数单元（如第1-2行）的规律：奇数单元的最后一位（即第8个数）在第2行第1列。（第1-2行：8在第2行第1列；第3-4行：16在第4行第1列，但这是偶数单元，规则不同） 更准确的方法：每个单元的第8个数，其位置的行号是2的倍数，列号是1。 得出结论：因此，2024作为第253个单元的第8个数，应位于第 253*2 = 506行，第1列。 答：第 506 行，第 1 列 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C．3.1415926 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、3.1415926是有理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．已知为实数，且，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质求出、的值，再代入式子计算． 【详解】解：由题意可知，和均为非负数，且它们的和为0，故：，， 由解得， 由解得， 将，代入得： 故选：A． 3．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 4．计算： 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的性质：，掌握此性质是解题的关键；根据此性质即可求解． 【详解】解：； 故答案为：5． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：15． 6．把下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并把它们用“”连接： ，，0，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了实数的大小比较的方法，掌握利用数轴比较实数的大小是解题的关键． 根据用数轴表示数的方法，在数轴上先表示出各数，再由“数轴上右边的数总比左边的数大”把这些数用“”连接即可． 【详解】解：，， 由数轴上各点的位置，如图所示： 把它们用“”连接为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是无理数的识别，根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，再逐一分析判断即可. 【详解】解：无理数，也称为无限不循环小数. 是整数，是分数，是整数，它们都是有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数. 故选：D 2．若和的和是单项式，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的定义、合并同类项和平方根．根据单项式的和是单项式，可得已知的两个单项式为同类项，根据同类项的字母相同且相同字母的指数也相同，可得、的值，再代入计算平方根即可． 【详解】解：和的和是单项式， ，， ， 的平方根是． 故选：D ． 3．已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 【答案】D 【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：设这个数是x，则 ∵，，， ∴或， 故选：D． 4．的倒数是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根、立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的算术平方根、立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的倒数是， 的相反数是， 故答案为：，． 5．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点，点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，解决本题时需注意圆的半径即是点A到1的距离，而求A点表示的数时，需求出A点到原点的距离即A点的绝对值，再根据绝对值的性质和数轴上点的特征求解． 利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点G的距离（即点G的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点G表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴正方形的边长为． ∴G点距离O的距离为， ∴点G表示的数为． 故答案为：． 6．如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中、两点表示的数分别为_______，________； （2）请你参照上面的方法： 把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_______．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） 【答案】（1），（2）图见解析，． 【分析】（1）根据图①得出小正方形对角线长即可； （2）根据长方形面积即可得出正方形面积，从而求出正方形边长； 【详解】解：（1）设边长为的小正方形沿对角线长为x，由图①得：， ∴对角线为， 图②中、两点表示的数分别， 故答案为：， （2）长方形面积为5， 正方形边长为，如图所示： 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律   平方根与算术平方根的定义 准确说出平方根与算术平方根的定义，能区分“平方根”（双值性）和“算术平方根”（非负性）在概念和表示方法上的不同。 【易错点】 • 混淆“平方根”和“算术平方根”，看到“根”就认为是正数。 • 书写错误，如“16的平方根是±”，应直接写为±4。 ** 【命题趋势】** • 常在选择题中直接考查对概念的理解。 求平方根与算术平方根 熟练求出0-100内完全平方数的平方根及算术平方根。能表示非完全平方数（如2、3、5）的平方根（如±）和算术平方根（如）。 【易错点】 • 求平方根时漏掉负根，’’如的平方根是4”，正确答案是±2。 ** 【命题趋势】** • 基础填空题必考点，要求快速准确得出结果。   的化简与计算 掌握公式 = |a|，并能应用于具体的化简计算中（如）。理解该公式与 ()² = a (a≥0) 的区别。 【易错点】 • 直接写成 = a，忽略a为负数的可能。 • 与()² 的公式混淆。 ** 【命题趋势】** • 常与绝对值、幂运算结合在化简题中考查，是计算能力的基础。 平方根的估算与比较 能够估算一个无理数（如）的大致范围（如介于哪两个连续整数之间），并比较两个无理数的大小（如比较和2.5的大小）。 【易错点】 • 估算范围错误，或比较大小时方法不当。 ** 【命题趋势】** • 常以“与√x最接近的整数是____”或“比较大小”的形式出现在填空题中。 立方根的定义与性质 准确说出立方根的定义，能指出任何数都有且只有一个立方根。归纳立方根的性质：正数、负数、零的立方根符号与原数相同。 【易错点】 • 受平方根影响，误认为负数没有立方根或立方根也有两个。 ** 【命题趋势】** • 常与平方根概念在选择题中对比考查，区分学生是否理解本质。 求立方根 熟练计算常见数的立方根（如8, -27, 0,等）。 【易错点】 • 求负数的立方根时遗漏负号。 ** 【命题趋势】** • 单一考查时属基础题，难度较低。 平方根与立方根的对比 通过制作表格等方式，从定义、个数、符号、被开方数范围等角度对比分析平方根与立方根的异同。 【易错点】 • 在综合情境中无法根据符号判断是该求平方根还是立方根。 ** 【命题趋势】** • 是本章的核心思想方法，渗透在各种综合判断题中。 无理数的识别 准确识别无理数，并能举例说明其三种常见形式：①π及含π的数；②开方开不尽的数（如））；③有规律但不循环的无限小数。 【易错点】 • 误认为带根号的数就是无理数（如））。 • 误认为无限小数就是无理数（如0.1010010001...）。 ** 【命题趋势】** • 高频必考点，常见题型：“下列各数中，无理数的个数是____”。 实数的分类与概念 画出实数分类结构图，理清实数、有理数、无理数、整数、分数之间的关系。理解实数的相反数、绝对值、倒数的意义 【易错点】 • 分类时概念交叉重叠，逻辑混乱。 ** 【命题趋势】** • 常在概念辨析题中间接考查。 实数与数轴 深刻理解“实数与数轴上的点一一对应”这一重要性质。能利用勾股定理在数轴上近似表示, ）等无理数 【易错点】 • 仅停留在记忆层面，无法动手在数轴上做出表示点。 ** 【命题趋势】** • 核心热点，常以作图题或填空题形式出现，综合考查几何与代数知识。 实数的简单运算 会求一个实数的相反数、绝对值（如|π-3.14|）和倒数。能进行实数的加、减、乘、除、乘方的简单混合运算 易错点】 • 运算法则混淆，如错误地认为 = • 在混合运算中顺序错误或符号错误。 ** 【命题趋势】** • 计算题的基础，常与绝对值、幂运算等结合，考查计算准确性。 实数的大小比较 掌握比较两个实数大小的多种方法（数轴法：右边的数总比左边的大；估算法：估算无理数的近似值；平方法：比较正数的大小）。 【易错点】 • 方法选择不当导致比较过程复杂或结果错误。 ** 【命题趋势】** • 常作为填空题或解答题中的一小问出现。 知识点01平方根的概念与性质 定义：若x² = a (a ≥ 0)，则x叫做a的平方根 表示方法： 正数a的平方根记为 ± 算术平方根（正平方根）记为 性质： 正数有两个互为相反数的平方根 0的平方根是0 负数没有平方根 ()² = a (a ≥ 0) = |a| 示例： 16的平方根：±= ±4 16的算术平方根： = 4 易错点： 混淆平方根与算术平方根：求平方根时漏掉负根 化简错误：误认为 = -5（正确结果为5） 知识点02 立方根的概念与性质 定义：若x³ = a，则x叫做a的立方根 表示方法： 性质： 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 重要公式： ()³ = a = a 示例： = 2 = -3 易错点： 误认为负数没有立方根 与平方根性质混淆：认为立方根也有两个 知识点03 无理数与实数的概念 无理数定义：无限不循环小数 常见类型： π及含π的数 开方开不尽的数（如） 有规律但不循环的无限小数 实数分类： 有理数：整数和分数 无理数：无限不循环小数 实数的性质： 实数与数轴上的点一一对应 实数的相反数、绝对值、倒数意义与有理数相同 示例： 无理数：π、、0.1010010001... 有理数：3.14、-、 易错点： 误认为带根号的数都是无理数（如是有理数） 误认为无限小数都是无理数（循环小数是有理数） 知识点04 实数的运算与大小比较 运算法则： 加、减、乘、除、乘方运算规则与有理数相同 运算律（交换律、结合律、分配律）仍然适用 大小比较方法： 数轴法：右边的数总比左边的大 估算法：估算无理数的近似值 平方法：比较正数的大小 示例： 计算：|π-3.14| + ≈ 0.0016 + 3 = 3.0016 比较： > 2.236，故 > 2.2 易错点： 错误运用运算律：误认为+ = 去绝对值符号错误 知识点05 实数与数轴 对应关系：每个实数都对应数轴上一个点，反之亦然 作图方法：利用勾股定理在数轴上表示无理数（如） 应用：比较实数大小，理解实数的连续性 示例：在数轴上表示： 作直角边长为1的等腰直角三角形 题型一 双重非负性（≥ 0 且 a ≥ 0）问题 解｜题｜技｜巧 条件反射：看到算术平方根（），立刻想到它的两个限制条件： 被开方数a必须非负（a ≥ 0）这是式子成立的前提。 其运算结果本身也非负（ ≥ 0）这是化简和计算的准则。 “零和零”模型：这是非负性知识的经典考法。若遇到“几个非负数的和等于零”的等式形式（例如： + + |C| = 0 或 + B² = 0），解题步骤为： Step 1: 识别：确认等式中的每一项都是非负数（通常是算术平方根、绝对值、偶次方（如平方））。 Step 2: 列方程：既然每个非负数都≥0，而它们的和又为0，那么唯一的可能性就是每一项都同时为0。 Step 3: 求解：解由每一项等于0组成的方程组。 Step 4: 计算：将解得的未知数的值代入所求的式子中进行计算。 隐含条件求值域：对于形如 y = 的函数式，求x的取值范围（即定义域）时，直接令被开方数 ax + b ≥ 0 求解即可。 【典例1】若 ，求 的值。 【变式1】若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ______。 【变式2】已知 ，求 的值。 题型二 无理数的概念辨析与整数、小数部分问题 解｜题｜技｜巧 判定三步骤： 看形态：是否是无限小数？ 判循环：如果是无限小数，是否循环？ 验根源：如果是带根号的数，结果是否能化为整数或分数？（如 、就不是无理数） “整数部分与小数部分”问题： 核心思想：任何一个实数R都可以表示为“整数部分A + 小数部分B”，其中A是整数，0 ≤ B < 1。 解题步骤： 估算：先确定这个无理数在哪两个连续整数之间，较小的那个整数就是它的整数部分A。 计算：小数部分 B = R - A。 代入：将A和B代入要求的代数式中进行计算。 【典例1】 的整数部分是 ______，小数部分是 ______。 【变式1】 已知 是 的整数部分， 是 的小数部分，则 的值是 ______。 【变式2】已知 ， 是 的小数部分，求 的值。 题型三 实数运算中的高级化简与技巧 解｜题｜技｜巧 1. 运算顺序是铁律：乘方开方 → 乘除 → 加减，有括号先算括号内。 1. 公式运用： ·  = a：去根号后一定要加上绝对值，再根据a的符号进行化简。这是绝对易错点！ · ()² = a：前提是a ≥ 0。 1. 看见分母有理化：如果结果是分母含无理数的分式，通常要分母有理化，使其变成最简形式。 1. 整体代入法：当已知条件是一个复杂的代数式的值时，观察所求的式子，看是否能通过变形，整体代入已知条件，从而避免繁琐计算。 【典例1】计算： 【变式1】已知 ，求 的值。 【变式2】计算： 题型四 实数规律探究与数式规律问题 解｜题｜技｜巧 1. 核心思想：从特殊到一般。先计算或分析前几个具体项（特殊），从中发现共同特征或变化规律（一般），并用含n的代数式（通项公式）表示出来。 1. 常见规律类型： · 算术型：各项是序号的倍数、平方、立方等。（如：2, 4, 6, 8... -> 2n） · 代数型：各项是包含序号的特定代数式。（如：√2, √4, √6... -> √(2n)） · 周期型：符号、数字等按一定周期循环。 · 递推型：后一项由前一项通过某种运算得到。（如：aₙ = aₙ₋₁ + 3） 1. 解题步骤： · Step 1: 找序号：给每个数字或式子标上序号n（第1个，第2个，第3个...）。 · Step 2: 析内容：分别观察分子、分母、系数、底数、指数、根号下的数等各部分与序号n之间的关系。 · Step 3: 得规律：将发现的各部分规律用含n的式子组合起来，得到通项公式。 · Step 4: 验证：将n=1, 2, 3代入你找到的通项公式，看是否与原序列一致。 【典例1】观察下列各式： 依据以上规律，写出第n个等式（n为正整数）：______。 【变式1】将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行： 1 2 3 4 第二行： 8 7 6 5 第三行： 9 10 11 12 第四行： 16 15 14 13 ... ... ... ... ... 则数字2024位于第 ______ 行，第 ______ 列。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C．3.1415926 D． 2．已知为实数，且，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 3．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 4．计算： 5．计算： ． 6．把下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并把它们用“”连接： ，，0，，． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 2．若和的和是单项式，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D． 3．已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 4．的倒数是 ，的相反数是 ．． 5．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点，点表示的数为 ． 6．如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中、两点表示的数分别为_______，________； （2）请你参照上面的方法： 把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_______．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $