专题01 集合与充要条件（讲义）-2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026版浙江省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 集合 · (1)集合及其表示 · (2)集合之间的关系 · (3)集合的运算 2. 充要条件 了解充分条件、必要条件、充要条件的概念；了解命题中条件与结论的关系。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 1 集合/集合的运算（补集） 3 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：一般考查2题，2025年分值占6分。 （3）内容：集合的概念与关系、集合的运算均有考查；充要条件通常与函数、方程、不等式等知识点结合考查。 选择题 4 充分必要条件（与不等式结合考查） 3 2024 选择题 2 集合/集合的运算（交集） 2 2023 选择题 1 集合/集合的运算（交集） 2 选择题 8 充分必要条件（与指数结合考查） 2 2022 选择题 1 集合/集合的运算（补集） 2 填空题 13 充分必要条件（与不等式结合考查） 3 2021 选择题 1 集合/集合的运算（并集） 2 选择题 8 充分必要条件（与方程结合考查） 2 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年浙江省单独招生考试依然有2道题目分别考查集合与充分必要条件，题型均设置为单项选择题，分值各3分，共6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 元素与集合的关系：可能涉及含不等式的集合与元素关系判断 · 集合之间的关系：侧重于简单集合的子集、真子集关系。 · 集合的运算：侧重于简单集合的基础运算。 · 充要条件的判断：充要条件通常与函数、方程、不等式等知识点结合考查。 四、知识梳理 一、两大概念 （一）集合 1.集合的概念：一般地，把一些能够确定的对象集中在一起构成的整体，叫做集合，简称集。 2.集合的分类：（1）有限集、无限集；（2）数集、点集 （二）元素 1.元素的概念：构成集合的每个对象叫做集合的元素。 2.元素的3个特性：确定性、互异性、无序性 二、集合中两大关系 （一）元素与集合的关系 1.元素属于集合。2.元素不属于集合3.注意：元素是相对于集合而言的。 （二）集合与集合的关系 1.包含关系 （1）子集的性质 ①任何一个集合都是它本身的子集，即。 ②空集是任何集合的子集，即。 ③若，则。 2.真包含关系 （1）真子集的性质 ①空集是任何非空集合的真子集，即 ②若，则 3.相等关系 （1）相等的性质： （三）重要性质 设一个集合A有n个元素，则集合A的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个。 三、集合的三大运算 （一）集合的交集 1.交集的定义 给定两个集合A、B，由既属于集合A又属于集合B的所有公共元素所构成的集合，叫做A与B的交集。 2.符号表示：,读作“A交B”，即 （二）集合的并集 1.并集的定义 给定两个集合A、B，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A与B的并集。 2.符号表示：,读作“A并B”，即 （三）集合的补集 1.全集、补集的定义 全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的全集，通常用U表示。 补集：如果A是全集U的一个子集，那么有U中所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集。 2.符号表示：,读作“A在U中补集”，即 五、充分必要条件 （一）基本概念 1.“若p，则q”为真命题时， 可表示为“”，（读作p推出q） 此时称p是q的充分条件， 同时称q是p的必要条件。 2.“若p，则q”为假命题时， 可表示为pq”，（读作p推不出q） 此时称p是q的不充分条件， 同时称q是p的不必要条件。 五、10分钟小测验 1．下列对象可以组成集合的是（   ） A．某校汉字录入速度快的学生 B．小于6的自然数 C．我校一年级成绩较好的男生 D．非常接近0的实数 2．已知集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 3．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．若集合，则（    ）. A． B． C．或. D． 6．若数集，实数，则（    ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，，则集合等于（   ） A． B． C． D． 8．三国时期是中国东汉末年到西晋之间的一段历史，魏、蜀、吴三个国家从建立到灭亡的时间段如下表，那么魏、蜀、吴三个国家同时都存在的历史时间段是（    ） 朝代名称 建立时间 灭亡时间 魏 公元220年 公元265年 蜀 公元221的 公元263年 吴 公元229年 公元280年 A．公元220年-公元280年 B．公元221年-公元280年 C．公元221年-公元263年 D．公元229年-公元263年 9．用符号“   ”“    ”“”“”或“”填空. (1)____； (2)___； (3)N____ Q； (4)0____ R； (5)d ____ ； (6)____； (7)Z_____N； (8)____； (9)_____N； (10)____. 10．已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 1．B 【分析】根据集合的概念即可求解. 【详解】选项A，“速度快” 没有明确的标准，无法确定具体哪些学生属于这一范畴，不具有确定性，不能组成集合， 选项B，自然数是 0，1，2，3，…，小于 6 的自然数明确为 0，1，2，3，4，5，具有确定性，可以组成集合， 选项C，“成绩较好” 没有客观标准，不具有确定性，不能组成集合. 选项D，“非常接近” 是模糊的描述，不具有确定性，不能组成集合. 故选：B. 2．C 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法，解出集合A的元素，再根据元素个数算出真子集个数即可求解. 【详解】不等式可化为，即， 即集合， 因为集合共有5个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：C. 3．A 【分析】利用交集的概念可求. 【详解】因为集合，集合， 所以； 故选：A. 4．D 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】因为集合，， 解方程组可得，所以. 故选：D. 5．C 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 则或. 故选：C. 6．A 【分析】根据题意，结合元素与集合之间的关系，即可求解. 【详解】因为实数， 又a是一个元素，而M是一个集合， 所以， 故选：A. 7．D 【分析】根据补集以及交集的定义求解即可. 【详解】因为全集，，则集合. 进而集合. 故选：D. 8．D 【分析】根据题意分析表格即可得解. 【详解】根据表格可知，魏、蜀、吴三个国家同时都存在的历史时间段是公元229年-公元263年， 故选：. 9．(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】根据元素与集合的关系，集合间的关系即可求解. 【详解】（1）因为集合的元素在集合中都能找到， 且集合没有元素，所以. （2）因为空集是所有集合的子集，所以 （3）因为N为自然数集，Q为有理数集，所以. （4）因为R为实数集，所以. （5）因为集合中不包含元素，所以. （6）因为包含， 所以. （7）因为Z为整数集，N为自然数集，所以. （8）因为集合中没有这个元素，所以. （9）因为N为自然数集，不是自然数，所以N. （10）因为表示由点组成的集合， 也表示由点组成的集合， 所以. 10．(1) (2)或 【分析】（1）先解集合，再根据解实数. （2）根据可得，并解实数. 【详解】（1）集合， 或， 又， ，解得 实数的取值范围是 （2），， 或，解得或. 实数的取值范围是或. 六、经典例题解析 【考试题型1】集合的交并补运算 例1. 已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3,5}，集合B={2,3}，求： (1)A∩B； (2) A∪B； (3) ∁UA； (4) ∁UB。 【答案】(1){3}；(2){1,2,3,5}；(3){2,4}；(4){1,4,5} 【分析】本题考查交集、并集与补集的运算. 【详解】(1) 同时属于A和B的元素只有3，故A∩B={3}； (2) 属于A或B的元素为1,2,3,5，故A∪B={1,2,3,5}； (3) U中不属于A的元素为2,4，故∁UA={2,4}； (4) U中不属于B的元素为1,4,5，故∁UB={1,4,5}。 【例2】已知集合A={x|x<3}，集合B={x|x≥1}，求A∩B和A∪B。 【答案】A∩B={x|1≤x<3}；A∪B=R 【分析】本题考查交集、并集与补集的运算. 【详解】同时满足x<3和x≥1的元素，即1≤x<3，故A∩B={x|1≤x<3}； 满足x<3或x≥1的元素，覆盖全体实数，故为A∪B=R。 【考试题型2】与解方程结合进行集合运算 【例3】设集合，集合，则集合（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次方程，结合集合交集的运算即可解得. 【详解】解方程，即，可得或，所以. 解方程，得，所以. 故. 故选：B 【例4】已知集合A={1}，集合B={x|x²-x=0}，则A与B的关系是（ ） A.A⊆B B.B⊆A C. A=B D.无包含关系 【答案】A 【分析】本题考查集合间的关系. 【详解】解方程x²-x=0得x=0或x=1,故B={0,1},而A={1},故A⊆B. 【考试题型3】利用集合的运算求参数 【例5】已知集合A={x|x²-5x+6=0}={2,3}，集合B={x|x²-ax+a-1=0}，若A∩B={2}，求实数a的值。 【答案】3 【分析】本题考查集合间的关系（子集）求参数. 【详解】因为2∈B，代入方程得2²-2a+a-1=0，4-a-1=0。则a=3； 验证a=3时，B={x|x²-3x+2=0}={1,2}，此时A∩B={2}，符合条件。 【例6】已知集合A={x|x≥a}，集合B={x|x<2}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围。 【答案】a≥2 【分析】本题考查集合间的关系（子集）求参数. 【详解】A∩B=∅表示没有同时属于A和B的元素，即A中的元素都大于等于2，B中的元素都小于2，故a≥2。 【例7】设集合 ，，若 ，求实数的值。 【答案】或 或 【分析】本题考查集合间的关系（子集）求参数，关键是将“”转化为“”（是的子集），并分情况讨论（和） 【详解】第一步：解集合。解方程，因式分解得，因此 ； 第二步：分析的含义。表示的所有元素都在中，即；第三步：分情况讨论的情况： （1）当时：方程无解，此时（若，方程有解）。是任何集合的子集，因此符合条件； （2）当时：方程 有解，因此。由于，必须是的元素（即2或3）： 若，解得； 若，解得。 第四步：综上，的值为、或。 【考试题型4】充要条件 【例8】设是三个集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由交集的性质结合充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】若， 则，但， 所以由，不一定有，所以充分性不成立， 反之，由，一定可得，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 【例9】俗语云：“好人有好报.”这句话的意思是，“好人”是“有好报”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】这句话的意思中“好人”⇒“有好报”，但有好报好人，所以“好人”是“有好报”的充分条件. 故选：A. 【例10】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得， 则选项A中，“”不能推出“”， “”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确. 则选项B中，与方程中的范围相同，故B错误. 则选项C中，“”能推出“”， “”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误. 则选项D中，“”能推出“”， “”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：A. 七、专题归纳小结 1.依据中等职业学校数学课程标准和近5年浙江省高职考数学的命题特点和趋势，集合常处于第1题，命题侧重于简单集合的交并补运算。同时，结合方程与不等式求解集合并判断其关系，也成为命题热点。考生应注意结合实例，灵活运用集合知识，以应对与集合有关的基础性题目。 2.充分必要条件的考查则相对灵活，题目序号和难度都不固定，需要着重理解充分条件和必要条件的内在逻辑关系。 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $