1.4.1余弦定理（课件）--人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

1.4解三角形 1.4.1余弦定理 CONTENTS 目录 01 情境导入 02 学习目标 03 新知探究 04 班级交流 05 课堂小结 06 当堂达标 情境导入 01 创设情境，生成问题 问题提出 利用如图（1）所示的现代测量工具，可以方便地测出3点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角． 例如，如图（2）所示，A，B分别是两个山峰的顶点， 在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小．你能根据这3个量求出AB吗？ 学习目标 02 知识目标 理解并掌握余弦定理的概念及其变形公式 能力目标 学生运用自主探讨、合作学习，参与余弦定理公式的推导方法，掌握在解三角形中余弦定理的应用，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力. 情感目标 通过观察、对比，引导学生体会数学知识的简洁美与逻辑严谨美，激发对数学学科的学习兴趣与探究欲望；在自主推导公式、小组合作解决复杂问题的过程中，体验成功推导公式、正确求解问题的喜悦，增强学习自信心，培养团队协作意识与沟通交流能力. 核心素养 通过思考、讨论等活动，提升数学运算、逻辑推理和数形结合等核心素养． 新知探究 03 试一试 像勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角的定量关系. 对于一般的三角形，给定一些元素，那么其他元素与给定元素存在着怎样的数量关系呢？ 由三角形的已知元素求未知元素的过程称为解三角形． 下面我们来看，已知三角形的两边及其夹角，如何求第三边． 如图所示，设△ABC 的顶点 A 与坐标原点 O 重合，边AB 在 x 轴上，则点B的坐标为（c，0）， 问题1 你能根据直角三角形的相关知识写出点C的坐标. 提示 （bcosA，bsinA） 问题2 你能根据两点间的距离公式求出边a的值. 提示 化简，得 余弦定理 于是我们可以得到如下公式： 我们把以上公式称为余弦定理，即三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 试一试 用类似方法证明 余弦定理还可以表述为： 想一想 余弦定理与勾股定理的关系？ 小组之间交流一下吧？！ 与勾股定理的联系 勾股定理作为余弦定理的特例 勾股定理可视为余弦定理在直角三角形中的特殊情况，即当角C为90度时，余弦值为0。 余弦定理对勾股定理的推广 余弦定理不仅适用于直角三角形，还能解决任意三角形的边角关系问题，是勾股定理的推广形式。 勾股定理在余弦定理证明中的应用 在余弦定理的证明过程中，勾股定理常被用来推导出三角形两边平方和与第三边平方的关系。 余弦定理在解三角形中的应用主要有两种情形： （1）已知三角形的两边及其夹角，求第三边； （2）已知三角形的三边求内角． 例 1 在△ABC中，已知a=3，c=1，∠B=60°，求b 的 值． 巩固练习，素质提升 解 由余弦定理，得 所以 . 变式 1 求下列三角形中未知的边： （1）a=5,b=24,∠C=60°； （2） 巩固练习，素质提升 答案 （1）31；（2）7 巩固练习，素质提升 例 2在△ABC中，已知 a=1，b=1 ，求∠C 的值． 解 由余弦定理，得 ， 因为0°＜∠C＜180°， 所以∠C=120°． 巩固练习，素质提升 变式 2 在△ABC中，已知 a=2,b=5,c=4 ， 求∠B 的值． 答案 巩固练习，素质提升 例 3 在△ABC中，已知a=6，b=4， ，试判断这个三角形的形状． 解 因为6＞ ＞4，即a＞c＞b，所以∠A是△ABC的最大内角．由余弦定理，得 ， 因为0＜∠A＜π，所以∠A为锐角. 因此， △ABC为锐角三角形. 想一想 若∠A是△ABC中最大的内角，能否由 ，来确定△ABC的形状？ 解题反思 利用余弦定理判断三角形的形状 即通过求三角形最大边所对角的余弦值，来判断三角形的形状. 巩固练习，素质提升 变式3 在△ABC中，已知a=6，b=4， ，试判断这个三角形的形状． 答案：钝角三角形 班级交流 04 班级交流，释疑升华 例4 已知在△ABC中，∠B=60°，证明： ． 分析   要证明 ，只需证 证明 由余弦定理，得 所以 议一议 已知在△ABC中，有 ，如何求出∠B的值？ 答案 ∵ ， ∴ ， ∴ ∵0°<∠B<180°， ∴∠B=120° 班级交流，释疑升华 变式4 在△ABC中，∠A=120°，证明： ． 证明 由余弦定理，得 所以 . 班级交流，释疑升华 课堂小结 05 课堂小结 余弦定理 其他表述： 余弦定理的应用 余弦定理在解三角形中的应用主要有两种情形： （1）求三角形的未知元素 ①已知三角形的两边及其夹角，求其他元素； ②已知三角形的三边求其他元素 （2）判断三角形的形状：通过大角对大边，大边对大角 求三角形的最大角的余弦值，来判断三角形的形状． 当堂达标 06 达标题 1.已知△ABC的三边长分别为a=10，b=5，c=9，则此三角形为 (　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断三角形形状 2.在△ABC中，边a, b, c满足a2=b2+c2+bc，则A= ______ . 3.在△ABC中，已知∠B=60°，且AB=1,BC=4,求AC的长. A 120° 提示 利用大边对大角，求角C的余弦值 提示 利用余弦公式对比化简求值 提示 作业布置 P23，练习3./4./5. 谢谢 $