17 课时分层训练(十四) 二次函数的应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(十四)　二次函数的应用 知识点一　利用二次函数解决面积的最值问题 1．用长为8 m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是(　C　) A． m2 B． m2 C． m2 D．4 m2 2．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是　12.5　cm2. 知识点二　利用二次函数解决利润最大问题 3．某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1 558，由于某种原因，销售单价只能为 15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是(　A　) A．1 558 元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 4．李阿姨试营一家有80间套房的旅馆．经调查得知，若把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人．每间住了人的客房每日所需服务、维修等各项支出共计40元．那么定价为________时，才能获得最大收益．(　C　) A．160元 B．240元 C．360元　 D．450元 5．某宾馆有150间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在100～200元之间(含100元、200元)浮动时，每提高 10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高(　B　) A．100元 B．75元 C．50元 D．25元 解析：设宾馆标准房单间房价提高x个10元，则日均入住数减少6x间，日营业收入为y元． 由题意，得y＝(100＋10x)(150－6x)(0≤x≤10)， 整理，得y＝－60(x＋10)(x－25)，∴函数的对称轴为直线x＝(25－10)＝7.5， ∴当x＝7.5时，函数取得最大值． 10x＝75， ∴为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高75元． 6．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个．设单价降低x元，则每天的利润y与x之间的函数关系式是　y＝＋40x＋600　；最大利润为　800　元． 7.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．请你帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额． 解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元． 根据题意，得y＝x[800－10(x－30)]＝＋1 100x＝－10(x－55)2＋30 250， 故当一个旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大的营业额． 知识点三　抛物线形实际问题 8．某地刀削面堪称一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝0.8 m，与锅的水平距离L＝0.5 m，锅的半径R＝0.5 m.若将削出的面的运动轨迹视为抛物线，要使其落入锅中(锅的厚度忽略不计)，则其水平初速度v0不可能为(提示：h＝gt2，g＝10 m/s2，水平移动距离＝v0t)(　D　) A．2.5 m/s B．3 m/s C．3.5 m/s D．5 m/s 9．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离 x(m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的水平距离OA＝　10　m. 解析：令y＝0，则－(x－10)(x＋4)＝0， 解得x＝10或x＝－4(不合题意，舍去)， ∴A(10，0)， ∴OA＝10 m． 10．如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环间的水平距离为6 m．求校门的高．(结果精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计) 解：以大门地面为x轴、以它的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点． ∵抛物线关于y轴对称，可设表达式为y＝ax2＋c，则 解得 ∴表达式为y＝－x2＋， ∴顶点坐标为， 即校门的高为 m≈9.1 m． 11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m 时，t＝1.5 s．其中正确的是(　D　) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 12．如图，用长为18 m的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃． (1)设矩形的一边长为x(m)，面积为y(m2)，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当x为何值时，所围苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)由已知，得矩形的另一边长为(18－x)m， 则y＝x(18－x)＝－x2＋18x， 自变量x的取值范围是0＜x＜18. (2)∵y＝－x2＋18x＝－(x－9)2＋81， ∴当x＝9时(0＜x＜18)，苗圃的面积最大，最大面积是81 m2. 13．一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门；(忽略其他因素) (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m 处？ 解：(1)∵8－6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为(2，3)． 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋3. 将A(8，0)代入，得 36a＋3＝0，解得a＝－， ∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3，即y＝－x2＋x＋. 当x＝0时，y＝＞2.44， ∴球不能射进球门． (2)设小明带球向正后方移动m m，则移动后的抛物线的表达式为y＝－(x－2－m)2＋3. 将(0，2.25)代入，得2.25＝－(0－2－m)2＋3， 解得m＝－5(舍去)或m＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处． 14．某县某旅行社推出“一日游”项目，团队人均报名费用y(元)与团队报名人数x(人)之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元．旅行社收到的团队总报名费用为w(元)． (1)求出当x≥20时，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？总报名费最多是多少元？ 解：(1)设y＝kx＋b. 把(20，120)和(32，96)代入， 得{20k＋b＝120， 32k＋b＝96， 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋160. ∵旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元， 当y≥88时，－2x＋160≥88，解得x≤36， ∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋160(20≤x≤36)． (2)由题意，得w＝xy ＝x(－2x＋160) ＝－2x2＋160x ＝－2(x2－80x＋1 600－1 600) ＝－2(x－40)2＋3 200. ∵－2＜0， ∴当x＜40时，w随x的增大而增大， 而20≤x≤36， ∴当x＝36时，w有最大值，为－2×(36－40)2＋3 200＝3 168， ∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，总报名费最多是3 168元． 15．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A 所在y轴的水平距离为2.5 m时，身体离地面最高为4.75 m，已知OA＝1 m. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若人梯到起跳点A的水平距离为4 m，求人梯BC的高． 解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(2.5，4.75). 设此抛物线的函数表达式为y＝a(x－2.5)2＋4.75. 把A(0，1)代入y＝a(x－2.5)2＋4.75，得 1＝a×(0－2.5)2＋4.75， 解得a＝－， ∴该抛物线的函数表达式为y＝－(x－2.5)2＋4.75，即y＝－x2＋3x＋1. (2)当x＝4时， y＝－(x－2.5)2＋4.75 ＝－×(4－2.5)2＋4.75 ＝， ∴人梯BC的高为 m． 【创新运用】 16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)P，Q两点出发2 s时，△PBQ的面积是多少？ (2)设P，Q两点同时出发，移动的时间为t s，△PBQ的面积为S cm2，请写出S与t之间的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值． 解：(1)∵P，Q移动t s时，AP＝t cm，BQ＝2t cm， 则BP＝AB－AP＝(6－t)cm， ∴S△PBQ＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝t(6－t)cm2， ∴P，Q两点出发2 s时，S△PBQ＝2×(6－2)＝8(cm2)． (2)∵S△PBQ＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝t(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9(0＜t≤4)， ∴在移动过程中，△PBQ面积的最大值是9 cm2. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $